Transcript 流体力学9 - 兰州交通大学精品课程建设

第九章
堰流
第一节 堰流及其特性
第二节 宽顶堰溢流
第三节 薄壁堰和实用堰溢流
第四节 小桥孔径水力计算
第五节 水工建筑物下游水流的衔接与消能
第六节 闸孔出流的水力计算
学习要点：水利、土木、市政和环境类专业
应熟练掌握，其它专业掌握堰闸水流的分类
及其判别、堰流（宽顶堰、实用堰及薄壁
堰）、闸孔出流的水力计算；水利、土木和
环境类专业应掌握，其它专业了解水工建筑
物下游的衔接形式、消能工的类型选择及主
要尺寸确定；了解新型消能工的发展现状和
动态；水工、水电、农水掌握专业，其它专
业了解桥梁过流的水力计算。
第一节 堰流及其特性
一、堰和堰流
1.特征量
在明渠流中，为控制水位和
流量而设置的顶部溢流障碍物称
为堰，水流经堰顶溢流使堰前水
面壅高，堰上水面降落，这种急
变流现象称为堰流，如图9—1所
示。在水利工程中，溢流堰是主
图9—1 堰流
要的泄水建筑物，常用作溢流集
水设备和量水设备；在实验室常用作流量量测设备。研究堰流主
要是分析堰的上、下游水流流态，分析堰的过流能力。堰流的各
项特征量如下：
①.堰宽 b ：水流漫过堰顶的宽度；
②.堰顶厚度  ：③堰上水头：上游水位在堰顶上最大超高;
④.堰上、下游坎高 p , p  ；
⑤.堰下游水深 h ；
⑥.上游渠道宽(上游来流宽度) B ；
⑦.行近流速(上游来流速度)v 。
0
2.堰流有以下水力特征：
①堰的上游水流受阻，水面壅高，势能增大；堰顶水深变小，
速度变大，动能增大，势能转化为动能;
②堰流是从缓流到急流的过渡。堰流的水力计算中主要考虑局
部阻力、忽略沿程阻力;
③水流在流过堰顶时，一般在惯性作用下会脱离堰，水流会收
缩。
二、堰的分类
按堰顶宽度与堰上水头的比值范围将堰分为薄壁堰、实
用堰、宽顶堰三类。
 

1.薄壁堰
 0 . 67 

H

堰前来流由于受堰壁阻挡，底部水流因惯性作用上弯。
当水舌回落到堰顶高程时，距上游壁面约0.67H;当堰顶厚
  067 H 时，如图9—2所示，
水舌不受堰宽的影响，堰和过
堰水流就只有一条边线接触，
堰顶厚度对水流无影响，故称
为簿壁堰。薄壁堰主要用作测
量流量的设
备。
图9—2 薄壁堰
2.实用堰



 2 .5 
 0 . 67 
H


堰顶厚度大于薄壁堰，堰顶厚
对水流有一定的影响，堰上水面是
一次性连续降落与下游水流衔接，
这样的堰型称为实用堰。如图9—3
图实用堰的剖面有曲线型和折线型
两种，溢流坝一般都采用曲线型实
用堰。
图9—3 实用堰
3.宽顶堰



 10 
 2 .5 
H


堰顶厚度较大，与堰上水头的比值超过2.5，但小于10,堰顶
厚对水流有显著影响，在堰坎进口水面发生一次降落后。堰上水
流近似于水平流动。至原坎出口水面再次降落与下游水流衔接，
这种堰型称为宽顶堰，如图9—4所示。小桥过流属于宽顶堰流。
堰宽增至   10 H ，沿程水头损失不能忽略，流动已不属于堰
流，要按明渠流动来解决。
图9—4 宽顶堰
第二节 宽顶堰溢流
一、基本公式
1．自由式出流
如图9—5所示宽顶堰自由
式出流，在堰进口不远处 ，
水面降落。形成小于临界水深
收缩水深
h c 0  h k 堰上水流为
急流，水面近似平行堰顶，在
图9—5 宽顶堰溢流自由式出流
宽顶堰的上游取一渐变流断面
1—1、再取堰顶上的收缩断面
c  c 为另一渐变流断面，以堰顶为基准面，列上述构断面
的能量方程。
2
H 0
v0
2g
2
 hc0  
v0
2
vc
2g
2

vc
(9—1)
2g
现设H 0  H   0 2 g为包括行近流速水头的堰上水头,又令h c 0  kH 0
 0与  为
，k 是修正系数，它取决于堰口的形状和过流断面的变化，
 是局部阻力系数，代入上式，得：
相应断面的动能修正系数，
vc 
1
 
1  k 2 gH 0   1  k 2 gH 0
Q  v c hc b  v c kH 0 b   k 1  k b 2 g H
 mb 2 g H 0
3
2
(9—2)
3
2
(9—3)
式中 b —堰宽；
 —流速系数， 
1
 
；
(9—4)
这里，局部阻力系数与堰口形式和过流断面的变化有关
m —流量系数，
(9—5)
m  k 1  k
别列津斯基根据实验，提出经验公式，矩形直角进口宽顶堰如图
9—6所示。
图9—6 宽顶堰进口情况
0 .3 
p
p
3
 3 .0
H
m  0 . 32  0 . 01
H
0 . 46  0 . 75
p
(9—6)
H
p
 3 时: m 
当
H
矩形修圆进口宽顶堰
0
p
H
0 . 32
3
 3 .0
m  0 . 36  0 . 01
p
H
1 .2  1 .5
p
H
(9—7)
当
p
 3 .0
m=0.36。
H
2．淹没式出流
当堰流下游水位较高，下游
水流顶部高过堰上水流顶部，堰上
水深由小于临界水深变为大于临界
水深，水流由急流变为缓流。下游
干扰波向上游传播。称为淹没式溢
流，如图9—7所示。
形成淹没溢流的必要条件：
图9—7 宽顶堰溢流淹没
下游水位高于堰顶，即
hs  h  p   0
(9—8)
形成掩没堰流溢流的充分条件：
h s  h  p   0 .8 H 0
(9—9)
淹没宽顶堰出流的溢流量：
Q   s mb
式中，

s
3
2g H 0
2
为淹没系数，随淹没程度 h
宽顶堰的淹没系数见表9—l所示。
(9—10)
s
H 0 的增大而减小
表9—1
hs
宽顶堰的淹没系数
0.80
0.81
0.82
0.83
0.84
0.85
0.86
0.87
0.88
0.89
1.00
0.995
0.99
0.98
0.97
0.96
0.95
0.93
0.90
0.87
0.90
09.1
09.2
0.93
0.94
0.95
0.96
0.97
0.98
0.84
0.82
0.78
0.74
0.70
0.65
0.59
0.50
0.40
H0

s
hs
H0

s
3.侧收缩的影响
堰宽小于上游渠道宽时b  B  ，水流进堰口后，水流与侧壁
发生分离，使堰流的过流断面宽度实际上小于堰宽，局部水头损
失增加，堰的过流能力降低，侧收缩的影响用收缩系数表示，自
由出流有侧向收缩的宽顶堰溢流量为：
Q   mb
式中
3
2g H 0
2
 mb c
3
2g H 0
2
(9—11)
b c—收缩堰宽， b c   b ；

—侧收缩系数，与相对堰高
对单孔宽顶堰的经验公式：

 1
3
0 .2 
4
p
H
b 
b 
1 

B
B
p H、相对堰宽b B 、墩头形状有关，
(9—12)

式中，
为墩形系数,对矩墩，

 0 . 19，对圆弧墩，  0 . 10
淹没式有侧收缩宽顶溢流量为：
3
Q   s m  b 2 g H 0   smb c 2 g H 0
2
3
2
(9—13)
例9—1 求流经直角进口无侧收缩宽顶堰的流量Q，已知堰顶
水头 H  0 . 85 m ，坎高 p  p   0 . 5 m ，堰下游水深 h  1 . 12 m ，堰
宽 b  1 . 28 m ，取动能修正系数  1 . 0
解 1.首先判明此堰是自由式还是淹没式：
  h  p   1 . 12  0 . 5  0 . 62 m  0
故淹没式的必要条件满足，但
0 . 8 H 0  0 . 8 H  0 . 8  0 .85  0 .68 m  
则淹没式的充分条件不满足，故是自由式宽项堰。
2.计算流量系数
p
H

0 .5
m
 0 . 588  3
0 . 85
m  0 . 32  0 . 01
3  0 . 588
0 . 46  0 . 75  0 . 588
3.计算流量 Q
H 0  H 
Q
2 g b  H
 0 . 347
2

2


P


Q
 mb 2 g  H 
2 
2
2 gb  H  P  

2
Q  mb 2 g H 0
1 .5
1 .5
在计算中，常采用迭代法解此高次方程。将有关数据代入上式，
得：
2


1 .0  Q
Q  0 . 347  1 . 28  2  9 . 8   0 . 85 
2 
2
2  9 . 8  1 . 28  0 . 85  0 . 5  

由迭代式 Q  n 1 
2

Q n 
 1 . 966   0 . 85 
58 . 525




式中，下标为迭代循环变量，取初值  n  0 Q  0   0 ，得：
第一次近似值： Q 1   0 . 966  0 . 85
1 .5

 1 . 54 m / s

1 . 54 
 0 . 966   0 . 85 

58 . 525 

2
第二次近似值： Q  2 
1 .5
3


 1 . 65 m / s
3


1 . 65 
 0 . 966   0 . 85 

58
.
525


2
第三次近似值:
现
Q  3   Q 1 
Q 2 

1 . 67  1 . 65
Q 3 
1 .5

 1 . 67 m / s
 0 . 01
1 . 67
若此计算误差小于要求的误差限值，则：
Q  Q  3   1 . 67 m / s
3
4.校核堰上游是否为缓流
v0 
Q 3 
b H  p 
Fr 
v0

1 . 67
1 . 28  0 . 85  0 . 5 
2
g H  p 

0 . 97
 0 . 97  m / s 
2
9 . 8  1 . 35
 0 . 071  1
故上游水流确为缓流，缓流流经障壁形成堰流。
3

第三节 薄壁堰和实用堰溢流
簿壁堰按堰口的形状的不同，可分为矩形簿壁堰、三角
形薄壁堰和梯形薄壁堰。
一、薄壁堰
1.矩形薄壁堰
如图9—8所示，自由式溢流的基本公式为
Q  mb
2g H
3
2
若将行近流速水头
av
的影响计入流量系数内，
2g
则基本公式改写为：
2
0
Q  m 0b 2 g H
3
2
图9—8 矩形薄壁
堰
(9--14)
式中 H—堰上水头
m 0 —计入流速水头影响的流量系数，由巴赞公式确定；
0 . 0027 
H
2 
m 0  ( 0 . 405 
) 1  0 . 55 (
) 
H
H  p 

(9—15)
式中， H， p 均以 m 计，公式适用范围为 H  1 . 24 m ，
p  1 . 13 m , b  2 m 。
2.淹没影响和侧收缩的影响：
z
①当下游水位超过堰顶 h s  0  且 p   0 .7 时，形成淹没溢
流，此时堰的过水能力降低。
②当堰宽小于上游渠道的宽度 b  B  时，流量系数可用修
正系数的巴赞公式计算：
2

0 . 0027
B  b
H 2 b  

m c   0 . 405 
 0 . 03
)   
1  0 . 55 (

H
B  
H  p  B  

(9—16)
二、如图9—9所示三角形堰的夹角为，堰上水头为，将微小宽度看成
3
薄壁堰流。则微小流量的表达式为：dQ  m
2
2
g
h
db
0

式中，h 为 db 处的水头，由几何关系：
b   H  h  tan
2
则：薄
db   tan

dh
2
代入上式：dQ   m tan  2 g h 3 2 dh
0
2
0
3

4

堰的溢流量：
2
Q   2 m 0 tan
2 g  h dh  m 0 tan
H
2
5
2
当   90  ，
时，
2g H
5
2
H  0 . 05 ~ 0 . 25 m
由实验得到 m 0  0 . 395
，于是
Q  1 .4 H
5
2
(9—17)
（a）
(b)
图9—9三角形薄壁堰
式中 H —自堰口顶点算起的堰上水头；
Q —流量。
当  90  ，
H  0 . 25 ~ 0 . 55 m 时，另有经验公式
Q  1 . 343 H
2 . 47
(9—18)
三、实用堰
实用堰是水利工程中用来挡水同时又能泄水的水工建筑物，按剖面形状
分为曲线型实用堰和折线型实用堰。实用堰基本公式为：
Q  mb
3
2g H 0
2
曲线型实用堰取 m  0 . 45 ，折线型实用堰取
1.淹没影响
m  0 . 35 ~ 0 . 42
当下游水位超过堰顶时，实用堰成为淹没溢流：
Q   s mb
3
2g H 0
2
(9—19)

式中，
为淹没系数，随淹没程度 h s H 的增大而减小。
淹 没系数与淹没程度有关，具体见表9—2。
s
表9—2 实用堰的淹没系数
hs
0.05
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.997
0.985
0.972
0.957
0.935
0.906
0.856
0.80
0.90
0.95
0.975
0.995
1.00
0.776
0.621
0.470
0.319
0.100
0
H0

s
hs
H0
s
2.侧收缩影响
当堰宽小于上游渠道的宽度 b  B  时，过堰水流发生侧收
缩, 造成过流能力降低，其计算式为：
Q  m b 2 g H

式中，
3
2
(9—20)
0
为侧收缩系数，工程中   0 . 85 ~ 0 . 95
取。
第四节 小桥孔径水力计算
一、小桥过流的水力特性
水流流经小桥桥孔时，由
于桥墩的作用，使过流断面减
小，在进口处产生跌落。随
后，有一段是流线几乎互相
图9—10 小桥孔径过流
平行的流动。当下游河道水
（a）自由出流；（b）淹没出流
位较低时，出口产生二次跌落，
若下游水位较高时，收缩断面被淹没(见图9—10)。这种流动与
宽顶堰流完全相同，故可直接用宽顶堰的公式。这里 p 1  p 2  0 。
设下游河道的天然水深为 h s 。桥孔水流的临界水深为 h k 。实
验发现，当h s  1 .3 h k 时，出流为自由小桥过流；当 h s  1 .3 h k 时为
淹没小桥过流。当桥下为自由出流时，河床水深不会对桥孔出流
产生影响；当桥下为淹没出流时，桥孔过流能力降低，桥前水
位壅高。
二、小桥孔径的水力计算
小桥孔径的水力计算问题是：由水文计算决定设计流量Q ，
桥孔通过此流量时，桥下流速 v 应保持不超过不冲刷允许流
速 v  ；桥前壅水水深不大于规范允许值H  ；设计桥孔孔径 B 。
1.桥孔临界水深的 h 计算
k
桥孔断面一般为矩形，净宽为 b ，由于侧收缩影响，有效宽
度为  b 。 可查表9—3得。于是
3
Q  m b 2 g H 0 2
hk 
q
3
g
Q
2

3
 b 
2
2

3
g
2 m H 0
2
(9—21)
式中  为动能修正系数，
  1 . 0 ；m 为流量系数， m 值取宽顶堰的平均流
量系数 m  0 . 3442 ；
为小桥的收缩系数。

因为 Q  v k A k  v k  bh h
所以
hk 
vk
g
2
(9—22)
若取收缩断面的流速 v c  v , h c   h k ,   1 . 0 。由小桥进
口形式决定。
非平滑进口   0 . 75 ~ 0 . 80
平滑进口   0 . 80 ~ 0 . 85
因为 Q  v  bh   bh v
k
k
c
c
v k  v 
所以：
于是满足防冲刷的临界水深为：
2
2
 v 
hk 
2.小桥孔径的计算
当桥孔为自由过流时，Q
代入该式得
b 
Q
 h k v 
(9—23)
(9—24)
g
 v 
2
  bh c v c , 将 h c   h k 、 h k 
或b 
g
2
、 vc  v
gQ
 v 
3
3
(9—25)
当为淹没出流时，将 h c  h t、v c  v  代入 Q   bh c v c
b 
Q
(9—26)
ht v 
由式(9—25)或(9—26)算出孔径 b 后，常采用标准跨径为 B 0 的
10 、
13 、
16 、
20 m 多
定型设计。公路桥梁的准跨径常有等 B 0  4、5、6、8、
种，其净跨径为 L 0 。
由于选用 L 0 常与 b 有出入，为使桥下 v  v ，应取 L 0  b ，并
将 L 0 代入(9—21)式验算出流型式，冲刷情况和壅水情况。
3.桥前水深的计算
由图9—10 a  写 1  1和 c  c 断面的能量方程
H 
a0v0
2
2g
式中
 h c  a c  

vc
2
2g
 hc 
，
hc   hk
所以：
H  hk 
vc
2
2 g
2
，
vc
vk
 v 
2
2 g 
2
2

vk
 

 0Q
2 gA 0
2
2
1
ac  
(9—27)
若取  0
   1 .0
H  hk 
vk
，则上式为：
2
2 g
2
由图9—10b  有：
Q

2 gA 0
H  ht 
式中 v 
Q
2
v
2
(9—28)
2
2 g
2

Q
2
2 gA 0
(9—29)
2
ht L 0
小桥的收缩系数及流速系数见表9—3。
表9—3 小桥的流速系数和侧收缩系数
桥台形状
流速系数 
侧收缩系数
单孔，有锥体填土（锥体护坡）
0.90
0.90
单孔，有八字翼墙
0.90
0.85
多孔，或无锥体填土多孔，或桥台伸出锥体之外
0.85
0.80
拱脚浸水的拱桥
0.80
0.75
［例题9—2］某河道设计流量Q  35 m / s，桥中有一半圆形
墩 d  1m ，桥孔断面为矩形，侧收缩系数  0 . 9 ，流速系数  0 .9 。
河槽的允许流速 v   3 . 5 m / s 。下游河槽的天然水深为1.1m和
1.3m时，计算桥孔孔径和桥前壅水水深。
[解] 1.流态的判别计算
  0 . 85
取 v c  v   3 .5 m / s
3
v k   v   0 . 85  3 . 5  2 . 975 m / s
hk 
 vk
g
2

1  2 . 975
2
 0 . 903 m
9 .8
h1  1 . 1 m 时，
1 . 3 h k  1 . 3  0 . 903  1 . 174  h t  1 . 1 故为自由出流
由式(9—25)得：
b 
Q
 h k v 

35
0 . 9  0 . 85  0 . 903  3 . 5
 14 . 476 m
取标准跨径 B 0  16 m ，则净跨径 L 0
校核桥下出流情况：
hk 
Q
3
1  3 .5
2
 L 0 
2

g
3
0 . 9  15 
2
 B 0  d  16  1  15 m
2
 9 .8
 0 . 882 m
1 . 3 h k  1 . 15  h t  1 . 1m 仍为自由出流
vc 
Q

At
Q
35
 L 0  h k 0 . 9  15  0 . 85  0 . 882
 3 . 458 m / s
v c  v   3 . 5 m / s 可满足防冲要求
2.桥前壅水水深的计算
忽略行近流速水头，由式(9—27)得
H  hk 
vk
2
2 g 
2
h t  1 .3 m
2
 0 . 85  0 . 882 
3 . 458
2
19 . 6  0 . 9  0 . 85
2
2
 1 . 792 m
时：
1 . 3 h k  1 . 174  h t  1 . 3 m
由淹没出流得：
b 
Q
ht v 

35
 8 . 547 m
0 .9  1 .3  3 .5
取标准跨径 B 0  13 m ，净跨径 L 0  B 0  d  13  1  12 m
校核桥下的出流情况
hk 
Q
3
 L 0 
1  35
2
2
3
g
0 . 9  12 
2
2
 9 .8
1 . 3 h k  1 . 3  1 . 023  1 . 33  h t  1 . 3
取B 0
 16 m，净跨径 L 0  15 m
 1 . 023 m
自由出流
h k  0 . 882 m
1 . 3 h k  1 . 15  h t  1 . 3 淹没出流，满足要求
校核流速
vc  v 
Q
L 0 ht

35
0 . 9  15  1 . 3
 1 . 994 m / s
v c  v   3 .5 m / s
满足要求
第五节 水工建筑物下游水流的衔接与消
能
一、概述
为了防止水患，开发水利资源，往往在河渠中兴建一
些水工建筑物，常见的有水闸、溢流坝等。建造了这些建
筑物后，便改变了原来河渠中的水流状态，抬高了上游水
位，也就是说，在水工建筑物的上游集中了较大的水流能
量(势能)。 当建筑物泄水时，这个能量的大部分转变为动
能。使下游水流的流速较天然情况下的河道流速大得多，
如果不采取适当的措施，紧邻水工建筑物下游的河床及岸
坡将遭到严重冲刷，水工建筑物的安全将受到威胁。国内
外的大小水工建筑物，由于这种原因而出事的并不少见。
例如奥地利的列伯令(Lebring)坝,砂卵石地基,上下游水位
差为11.35m，下游冲刷坑深度达12m之多。又如瑞士的波
次谱(Botzpau)坝，上下游水位差仅5m，石灰岩地基，运
用十八年后，河床冲刷深度达12.17m，约为水位差的2.6
倍。可见冲刷问题的严重性。
经过水工建筑物下泄的水流为什么会冲刷河床呢?从
水流方面来说由于上下游水位差较大，加上为降低工程造
价而要求过水宽度缩窄，使水流的机械能大为集中，致使
下泄水流的流速和动能很大，水流内部的紊动也随之加剧。
这样，下泄水流的动能对河床做功，把河床表面的土粒甚
至石块不断地冲动、掀起、卷走，即发生冲刷。水流的大
部分能量将随着冲刷距离的延长和冲刷坑的加深而不断消
耗，直至河下游河道在天然状态下的水流能量一致时为止。
从河床方面来说，河床冲刷的程度与河床土质的颗粒大小、
组成和颗粒间的粘结等情况有关。
为了防止河床冲刷，保证水工建筑物的安全，必须采
取工程措施，使下泄水流中的多余动能尽可能在较短的距
离内消耗掉，以便与天然河道中的水流衔接起来，这就是
水工建筑物上下游水流衔接和消能的问题。
怎样才能消耗下泄水流的大部分动能呢？恩格斯说：
“现在我们知道，摩擦和碰撞是动能借以转化为分子能，
即转化为热的两种形式。”(《自然辩证法》)可见，要消
耗水流的能量，无非是使水质点之间、水质点与气体及固
体边界之间的摩擦和碰撞加剧。通常有以下三种消能的形
式：
1．底流消能
由于水极易变形，即内部质点之间极易发生相对运动，
显然，这种相对运动越剧烈，水质点之间的相互摩擦和碰
撞的作用就越大，因而消耗的机械能也越大。所以我们应
设法加剧下泄水流的内摩擦作用，例如设法在水流中形成
水跃。通常是在闸坝等泄水建筑物出口处建造消力池，使
水流在池中形成水跃，利用水跃漩滚区中水流的激烈紊动
进行消能。由于水跃区的主流靠近底部，所以把这种消能
方式称为底流消能，如图9—11a所示。
2．挑流消能
利用下泄水流的高速
把水股抛入空中，使水流扩
散并与空气摩擦，消耗部分
动能，然后当水股落入水中
时，又与下游水流和河床碰
撞并摩擦而消耗另一 部分多
余的动能。这种消能方式称
为挑流消能，如图9—11b比
所示。
图9—11
3．面流消能
设法使下泄水流的主流靠近下游水面，不致直接冲刷河
床表面，同时在主流与河床之间形成底部漩滚以消耗水
流的能量。这种消能方式称为面流消能，如图9—11c所示。
本章将以底流消能为重点，阐述它的物理过程和水
力计算方法，对其它两种消能形式仅作概略的介绍。
二、 底流消能
从建筑物下泄的水流一般均具有较大的流速，多属急
流，而下游河道中的水流，因底坡一般较缓，流速较小，
多属缓流。水流要从急流过渡到缓流必然会发生水跃。下
面介绍水跃消能的过程。
图9—12所示为溢流坝下游水跃和跃后各断面沿铅垂线
上的流速分布图。
在跃前断面1上，流速最大，流速分布比较均匀，水跃区
中流速分布呈S形(如断面a)，表面漩滚的上半部流速指向
上游，下半部流速指向下游，近底部流速最大，但此断面
的平均流速有所减小。跃
后断面2的流速进一步减
小，但底部流速仍比表面
流速大。断面2下游的流
速分布情况沿流改变
(如断面b)，直到水跃下游
相当距离的断面3，流速分
图9—12流速分布图
布才与下游原水流的流速
分布相一致。
从总水头线的变化可见，从跃前断面1至断面a，总水头线
急剧 降落，从断面a至跃后断面2，降落也很显著，说明
水跃区中能量消耗较大。从断面2至断面3的跃后段：总水
头线缓缓降低，斜率较小，说明在此段中能量消耗较小。
由于水跃的最大流速靠近底部，所以将利用水跃进行
消能的方式称为底流消能。当工程中采用底流消能时，必
须先知水跃发生的位置，因为如果水跃发生在距离坝址较
远处，则下游河床的加固段较长，工程量大，不经济。
因此，要求水跃尽可能在靠近坝址处发生。这样就必须讨
论水跃可能发生的位置。
1．水跃发生的位置
以图9—13所示的溢流坝为例。当水 流沿坝面下泄时，
由于势能不断转换为动能，愈
往下则流速越大，到达坝趾处，
流速最大，水深最小。这个水
深最小的断面称为收缩断面，
该断面的水深称为收缩断面水
深， 用 h c 表示。
图9—13 溢流坝
在一般情况下，下泄水流多为急流，而下游河渠中的水流
多属于缓流，这样水流就要从急流通过水跃过渡到缓流。
为了判别水跃的发生位置，可以先假设水跃在收缩断面处
发生，即以收缩断面为跃前断面(图9—13a)，则收缩断面
水深 h c 应等于跃前水深 h  ，为了区别于其它情况下的跃
前水深，将这个水深写为 h c  ，由水跃函数关系式，可求
得一个相应于 h c  的跃后水深 h c  。因为下游河渠中的水
深 t 就是发生水跃时的实际跃后水深，因此我们可用 t
值与所求得的 h c 值相比较来判别建筑物下游是发生临界
水跃、远离水跃或淹没水跃。

①．当下游水深恰好等于 h c ，即 t  h c  时，它所要求
的跃前水深即为 h   h ，此时水跃就在收缩断面处发生，
即发生临界水跃，如图9—13a所示。


②．当下游水深小于 h c ，即 t  h c 时，从水跃函数
曲线可知，较小的跃后水深对应着较大的跃前水深，即此
时下游水深 t 要求一个大于 h c 的跃前水深 h  与之相对应。
这样，从建筑物下泄的急流将从收缩断面继续向下游流动。
在流动过程中，由于摩擦阻力的作用而消耗部分动能，使
流速逐渐减小，水深逐渐增大。至某一断面处，其水深恰
好与下游水深 t 所要求的跃前水深 h  相等时，水跃就在
该断面处发生，形成远离水跃，如图9—13b所示。
c
c

③．当下游水深大于h c ，即 t  h c  时，这个下游水
深要求一个比 h c 更小的跃前水深 h  与之相对应。因为收
缩断面水深 h c 是建筑物下游的最小水深，所以不可能再
找到一个比更 h c 小的水深，那么水跃应该在哪里发生呢?
从远离水跃发生的位置可知，当下游水深逐渐增大时，它
所要求的跃前水深便逐渐减小，则水跃发生的位置离开建

筑物的距离越来越近。当下游水深增大到等于
时，水
hc
跃便在收缩断面发生，即为临界水跃。如果下游水深再增
大，水跃将继续向前移动，将收缩断面淹没而涌向建筑物，
形成淹没水跃，如图9—13c所示。
由于远离水跃和建筑物之间有一流速较大的急流段，
为了防止急流冲刷河床，必须加固建筑物附近的河床，增
加了工程量，所以工程中不采用远离水跃与下游水流衔接。
对于临界水跃，不论其发生位置或消能效果对工程都是有
利的，但是这种水跃不稳定，如果下游水位稍有变动，即
将转变为远离水跃。
至于淹没水跃，其消能效果将随水跃淹没程度的增大而减
小，这是因为下游水深 t 超过 h c  越多，水跃淹没程度越大，
水跃漩滚将愈被水流压向底部，其水流紊动程度就愈弱，
消能效果愈差。因此，从水跃发生的位置、水跃的稳定性
以及消能效果等方面综合考虑，采用淹没程度较小的淹没
水跃进行衔接与消能较为适宜，因为这种水跃既能保证有
一定的消能效果，又不致因下游水位的变动而转变为远离
水跃。
水跃的淹没程度常用水跃淹没系数  
t
hc

来表示。显
然，对于临界水跃，
   1 ；对于远离水跃，
   1 ；对于
淹没水跃，    1 。
在进行建筑物下游的消能设计时，一般要求：
   1 . 05  1 . 1
从以上分析可知，进行水工建筑物的消能设计时，必
须首先判别建筑物下游发生的水跃形式。为此必须首先求

出收缩断面水深 h c 然后根据 h c  h c 进而求出其跃后水

深 h  ，将 h c 与下游水深相比较，即可判定水跃的形式。
下面介绍 h
的计算方法。
c
c
2．收缩断面水深的计算
仍以溢流坝为例，如图9—14所示。
设过坝流量为 Q ，行近流速为 v 0 ，
坝上水头为 H ，下游坝高为  1 。
以收缩断面最低点为基准面，对坝
的断面1和收缩断面c列能量方程，
则有：
 v0
2
H  1 
2g
 vc
2
 hc 
 v0
2g
2

vc
2g
 h c    

图9—14 溢流坝
2
vc
2g
2
令
H  1 
2g
 T0
，称为上游总水头，则上式可写为：
T 0  h c    
再令
 
1

2
vc
2g
，则    
 
1

2
，
2
代入上式得： T0  hc 
vc
2 g
式中  为溢流坝的流速系数。用 v
代入上式，则得：
T0  hc 
Q
2
c

Q
c
（ c
为收缩断面面积）
2
2 g 
2
2
c
(9—30)
对于矩形断面河渠，Q  qb ，
 c  h c b ，b 为河渠底宽，
则得：
T0  hc 
q
2
2 g h
2
2
c
(9—30)
当通过一定的流量时，下
游水深也就确定了。但是我们
没有必要改变整个河道的水深，
而只需在靠近建筑物下游较短
的距离内使水深增大到足以发
生淹没水跃即可。为此，可采
取下列增大下游水深的措施：
表9—4 泄水建筑物的流速系数值
①.把紧邻泄水建筑物后的一段下游护坦高程降低。形成
一个水池，池中水深就相应增大，因而可在池中发生淹没水
跃。这种降低护坦高程的消能措施称为消力池。
②.在泄水建筑物下游附近的河床中筑一道低堰，使堰前
水位壅高，增大泄水建筑物后的水深，这样亦可发生淹没水
跃。这种在下游建筑低堰的消能措施称为消力墙。
③.如采用消力池或消力墙，在技术经济上均不适宜时，
则可两者同时采用，既降低护坦高程又修筑低堰。这种消能
措施称为综合式消力池。上述各种消能设施统称为消能工。
消能工水力计算的主要内容是计算消力他的深度(或消力墙的
高度)和消力池的长度。
q ，
以上诸式中，
 1 ，v 0 ，T 0 是已知的。坝的流速系数 
的影响因素比较复杂，它与进口形 式、坝面粗糙程度、坝高、
坝上水头等有关，其值一般由经 验确定，可参照表9—4选取。
式(9—30)和(9—31)为收缩断面水深 h c 的三次方程，一般须
用试算法求解。
④.试算法
已知 T 0 ，Q 及河渠断面形状，在选定  值后，可假定一
个 h c 值，求得  c ，则式(9—30)右边可以算得某一数值，
若恰好等于已知的 T 0 值，则所设的 h c 即为所求。 如不
等，再假定 h c 值进行试算，直至相等为止。但要注意，
式(9—30)为一个三次方程，可以有三个根，我们需要的只
是 h k 小于的那一个 h c 值，所以试算时可只在小于 h k 的
数值中取假定值。
3.消能工的水力计算
如果判知泄水建筑物下游发生远离水跃或临界水跃时，
则采取工程措施，以保证建筑物下游能发生淹没程度较小的
淹没水跃。
使远离水跃或临界水跃转变为淹没水跃的关键在于增大
下游水深值。对于一定的河床。
4.消力池的水力计算
消力池的水流现象如图9—15所示。 图 o  o 中线为原
河床底面线，o   o 线为挖深 d 后的护坦底面线。当池中
形成淹没水跃后，水流出池时，受池末竖壁的阻碍，而使
水面跌落  z ，然后与下游水面相衔接，其水流现象与宽
项堰的水流现象相似。 为了使消力池中形成稍有淹没的

水跃，就要求池末水深 h    h c  ，一般取   1 . 05 h，
c
为池中发生临界水跃时的跃后水深。
由图9—15可知，h  与下游河床水深
t 、消力池深度 d 、出池落差 z
有如下的几何关系：

h    h c  t  d   z
因此


d   hc  t   z
图9—15 消力池的水
流现象
如能求得式(9—32)右边的每—项，即可求得池深 d
分别讨论如下：
(9—32)
。现
①.下游河床水深 t
t 值决定于河床的水力特性，如有实测的水文资料
(水位与流量关系曲线等)，则可从给定的流量直接查得，
否则可近似地按明渠均匀流求正常水深的方法计算 t 值。
②.出池落差  Z
以下游河底 o  o为基准面，对消力池出口处的上游断
面1及下游断面2列能量方程，其中两断面间的水头损失为：
hj  
则有：
 v1
2g
t
2
2g
 vt
2
2
H1 
vt
2g
 h j  t    

2
vt
2g
vt
式中 H的断面1的水头，
为断面1的平均流速，
为断面2的平均流
v1
1
速。有上式得：
2
2
vt
 v1
H 1  t     

2g
2g
由图9—15知，H 1  t   Z 。
令
消力池出口的流速系数，则
  
1
1
2
于是上式可改写为：
2
z 
2 g
 v1
2
vt
2
1

2g
1
 
 1
，为
以 v  q ，v 1
t
t

q
 h c

，代入上式得：



q 
1

z 

2


2 g  1 t 
  h  


c



2
(9—33)
式中 q ，t ， （可取   1 . 0 或 1 . 1 ) ，  ， 1（一般取 1  0 . 95 ）

均为已知，关于见 h c 以下的分析。
③.临界水跃的跃后水深 h c 
挖池后池中临界水跃跃后水深 h c  ，可根据挖池后的收缩
断面水深 h
c
 h  h  
用水跃求共轭水深的公式求得。
c
c


但必须注意这里的 h c 应根据挖深后的总水头：T 0  用式(9—

30)求得。但T 0   T 0  d ，因此 h c 和 h c 都与池深 d 有关，这
样就无法直接由式(9—32)求得 d 值，而要用试算法求解。
为便于试算，将式(9—33)代入式(9—32)可得

2
q 
1
1

d   h c  t 


2
2
2 g   1 t 


  h c 










将与 d 有关的项放在等式左边，已知项放在等式右边，
可得：
2
2


 hc 
q

2 g   h c 


2
d t
q
2 g  1t 
2
等式左边均与 d 有关，用 f  d 表示，右边为已知量，用A
表示，上式可写为：
f d   A
(9—34)
可用试算法求解 d 。
除需计算消力池池深 d 外，还需计算池长 l 。池长太长了，
不经济，太短了，水跃可能冲出池外，对下游河床不利，
所以池长太长或太短均不相宜。试验表明，消力池中淹没
水跃的长度较平底渠道中自由水跃的长度为短，这是由于
水跃受池末竖壁的约束所致，一般约减小
。因而
20  30
%
淹没水跃的长度
可按下式计算：
lk
l k  0 . 7  0 . 8 l j
(9—35)
式中 l j 为自由水跃的长度。
对于有垂直跌坎的宽顶堰，其池 l k
长除 l 0 外还应计及跌坎壁到收缩断面的距离
如图9—16所示。则池长
l  l0  lk
(9—36)
l 0 可近似地按下式计算：
l0  4 m
，
图9—16 有垂直跌坎的宽顶堰
 1  0 .25 H 0 H 0
(9—37)
式中 m 为宽顶堰的流量系数； 1为宽顶堰的下游堰高；H 0
为堰上总水头。
对于曲线型的实用堰，L 0  0 ，则池长 l  l k
至此，我们已能根据所给的流量计算消力池的池深和
池长。但是泄水建筑物在运用时，其下泄流量是根据实际
情况来控制的，有一定的变化范围。那么，应根据那一个
流量来计算池深和池长，才能在全部流量变化范围内都满
足消能的要求呢?这就是如何选择消力池设计流量的问题。
显然，我们应当考虑最不利的情况，即以要求有最大的池
深和池长的流量作为消力池的设计流量。
 Z ，近似地
由池深关系式(9—32)知，如果忽略落差
d
 h   t 
可以看出池深 随 
大，因此d 的
 的增大而增
最大值必相应于 h   t  的最大值，即  hc   t  为最大时的


相应流量所要求的池深也最大。
c
c
因此，可以在流量 Q 的变化范围内选取
几个 Q 值，分别计算其相应 的 h c 
和
t 值，绘出
Q与
 h   t  的关系
c


曲线，如图9—17所示。
当

 h  t 
为最大时，
c


对应的
Q 即为
消力池的设计流量
Q设
。
图9—17
关系曲线
［例9—3］ 图9—18所示为一修筑于河道中的溢流坝，坝
顶高程为110.00m，溢流面长度中等，河床高程为
100.00m，上游水位为112.96m，下游水位为104.00m，
通过溢流坝的单宽流量 q  11 . 3 m 2 / s 。试判别坝下游是否
要做沼能工。如要做消能工，则进行消力池的水力计算。
解：①.判别下游是否要做消能工
T  112 . 96  100 . 00  12 . 96 m
v0 
v
2
0
2g
q
T


11 . 3
 0 . 87 m / s
12 . 96
1 . 0  0 . 87
2  9 .8
2
 0 . 04 m
图9—18 溢流坝
 v0
2
上游总水头
T0  T 
q
2
3
临界水深 h k  3 g 
T0

hk
13 . 0
 12 . 96  0 . 04  13 . 0 m
2g
1 . 0  11 . 3
2
 2 . 35 m
9 .8
 5 . 53
2 . 35
按坝的溢流面长度为中等，由表9—4查得 
和 得
hc

hk

hc
 0 . 95。由

T0
hk
 2 . 32 ，则：hc  h  2 . 32  2 . 35  5 . 45 m
k
下游水深 l  104 . 00  100 . 00  4 . 0 m
因 h c   t ，坝下游发生远离水跃，需做消能工。
②.计算消力池池深
用式 (9—34)进行计算。
At

f  d    h c 
q
2
 
2 g 1
q
t 2
2

2 g   h c 


 4
11 . 3
2  9 . 8 0 . 95  4 

2
2
 d  1 . 05 h c 
2
2
 4 . 45 m
 5 . 91

d

1
.
05
h
 2 d
c
2



h
2  9 . 8  1 . 05  h c 
c


11 . 3
图9—19 曲线
设几 d 个值计算相应的 f  d  ，计算
结果列于表9—5。根据表9—5，作
出 d  f  d  曲线，如图9—19。当
f  d   A  4 . 45 m 时，求得
d  1 . 63 m
表9—5 d 与 f  d  的对应表格
T0



图9—19 曲线
2
5 . 91
f d 
d
T0
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)= (5) +(7)- (1)
1.0
14.0
5.96
5.57
5.85
31.02
0.191
5.04
1.5
14.5
6.17
5.64
5.92
31.18
0.186
4.61
2.0
15.0
6.38
5.69
5.97
32.38
0.182
4.15
hk
hc
1 . 05 h c
hc
hc
2
3.计算消力池池长
池长 l  l 0  l k 。对曲线型实用堰 l 0  0 ，l k  0 . 8 l j ，


l  6 . 9  h   h   ，h 与 h 均为挖池以后的跃后和跃前水深
j

T 0  T 0  d  13  1 . 65  14 . 65 m
T0
由h


14 . 65
2 . 35
k
 6 . 23
及  0 . 95 可得

故 h c  0 . 308  2 . 35  0 . 72 m

h c  2 . 4  2 . 35  5 . 64 m
hc
,

hk
T0


14 . 65
hk
2 . 35
 0 . 308
，h c
 6 . 23

hk
 2 .4
故 l j  6 . 9 5 . 64  0 . 72   33 . 95 ，因此池长
l  0 . 8 l j  0 . 8  33 . 95  27 . 20
计算结果，池深d  1 . 65 m ，池长27.20m
5.消力墙的水力计算
消力墙的水流现象如图
9—20所示。消力墙的断面可
以是矩形或梯形。水面在消
力墙前壅高而加大了墙前水
深，形成淹没水跃。消力墙
的水力计算在于确定墙高 s
和 l 池长。为使墙前形成
稍有淹没的水跃，池中水深h 
应为：
h    h c

图9—20 消力墙的
水流现象
h   s  H 1（ H 1 为墙顶上水头），代
由图9—20可知，
入上式可解得：

s   h c  H 1
(9—38)


只要求得
和 H 1 ，便可求得 s 。h c 求法同前。消力
H 1 可由
墙实际上是一种折线型的实用堰。对于矩形河渠，
下式求得
hc
 v10
2
H 1  H 10 
2g
 H 10 
q
2

2 g   h c 


2
式中 v10为墙前流速；
H 10 为墙顶总水头，
H 10可用实用堰公式求得，即：
2
H 10

q


 m  2 g

3



式中 m 为消力墙的流通系数，在0.40～0.44之间，一般可
取0.42； 为消力墙的淹没系数，它与下游水位超过墙顶
的高度 h s 有关，即：
 hs
  f 
 H
10





,但因 h s与墙高
s 有关，所以
也与 s有关，这样，
2

q
H1  
 m  2 g

2
3
q
 
2



2 g   h c 


(9—39)
式(9—38)从表面上来看似乎可以直接求得墙高 s 实际
上不可能，因式(9—39)表明H 1 与 有关，而 又与 s 有关，
s
所以 也与
有关。这样就不能用式
(9—38)直接求得而必
H1
须用计算法求解求解。
为便于试算，将式(9—39)代人式(9—38)，取   1 . 0 ，得：
2
3
2


q
q

 
 
s   h c  H 1   h c 
2
 m  2 g 





2 g   hc 


将与墙高 s 有关的项放在等式左边，已知项放在等式
2
右边，上式可写为：
2
3

q

s
 m  2 g






  h c 
q

2 g   h c 


2
等式左边为 s 的函数，以f  s  表示，等式右边为已知
量，以 B 表示，则上式对写为：
f s   B

h c ，求得
(9—40)
具体计算时，先算出
。然后假设一墙
B
hs

高 s ， 计算 h s  t  s 及 H 1   h c  s 。由 H 可查得堰
1
的淹没系数  ，可求得 f  s 
。f  s  与 B 相等，
 B
f  s为
s
s
则 即为所求。如不等，另设
再计算，直至

止。亦可作出 s ~ f  s曲线求解。
对于消力墙，算出墙高后，还要注意墙上溢下的水流
与下游水流连接的情况。如果墙太高，以致在墙的下游又
发生远离水跃，则可在下游建第二道消力墙，或改用综合
式消力池。
从泄水建筑物末端至消力墙的距离亦称为消力池长度，
用表示。其计算方法同消力池。
［例9—4］按［例9—3］中所给的溢流坝，如下游采用消力
墙消能，试进行消力墙的水力计算。（消力墙的流量系
数 m   0 . 40 ）
解： ①.计算消力墙高度 s
用式(9—39)即 f  s   B 进行试算。［例9—3］中已求
得 h c   5 . 45 m ，则：

B   h c 
q
2

2 g   h c 



q

f s   s 
 m  2 g

 1 . 05  5 . 45 
2
2
3
11 . 3
2
2  9 . 8 1 . 05  5 . 45 


11 . 3
  s


   0 . 40 2  9 . 8

2
3
2
 5 . 92 m

 6 . 38 
  s  

  

2
3
设一系列 s 值，列表9—5进行计算。试算结果，消力高
s
度 s  2 . 4 。由于
值在淹没出流区，故消力墙下游为
hk
淹没水跃，无需建第二道消力墙。
②.计算消力池长度
消力池长度
l  l0  lk
式中 l k  0 . 8 l j ,而l j
 6 . 9  h   h  
。由
T0
hk

13
2 . 35
  0 . 95 ，   0 . 326 ，则：
h   0 . 326  hk  0 . 326  2 . 35  1 . 06 m
 5 . 53
及
h   5 . 45 m
则：l  6 . 9 5 . 45  1 . 06   30 . 29 m
j
故池长： l  0 . 8  l j  0 . 8  30 . 29  24 . 23 m
表9—5
f s 

6 . 38
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）=（1）+（7）
3.72
0.54
0.934
6.83
3.60
5.60
 B
1.5
3.22
0.46
0.946
6.74
3.57
6.07
 B
1.6
3.32
0.48
0.941
6.78
3.58
5.98
 B  5 . 92

s
hs  l  s
H 1   h c  s
（1）
（2）
（3）
2.0
2.0
2.5
2.4
hs
H1

 6 . 38 





2
3
备注
6.综合式消力池的水力计算
当所需消力墙过高，墙后难以保证出现淹没水
跃，而单独采用消力池又可能开挖量过大时，可考虑采
用综合式消力池。图9—21所
示为一综合式消力池。
要求墙高 s 、池深 d
及池长 l 。为了便于
计算，先求出保证池中
及墙后产生临界式水跃
图9—21 综合式消力池
时的墙高 s 0 和池深 d 0 。
①.求 s 0
q
2
令 t  h  ，用水跃方程求出 h  ，再用 T  h   2 g  
出 T10 ，用实用堰自由出流流量公式求 T10 ，则:
10
s 0  T10  H 10
②.求 d 0
由图10—21的几何关系 h   d 0  s 0  H 1 可得：

2
q


d 0  h c  s 0   H 10 
2


2 gh c






2
h
2
求
将已知量和未知量分别写在等式两边得：
hc


q 2
2 gh c

2
 d 0  s 0  H 10
等式左边为 d 0 的函数，以
以 A 0 表示，故：
f  d 0   A0
f d 0 
表示，右边为已知量，
(9—41)
由式(9—40)，用试算法可求得 d 0 ，其方法与消力池同。
以上计算出的 d 0 及 s 0 是池内及墙下游都发生临界水跃时
的池深及墙高。实际采用的池深 d 比 d 0 略加大，而实际采用
的墙高 s 比s 0 略减小，这样在池内及墙后就能保证发生淹
没水跃。
三、挑流消能
需要和强的护坦，工程费用很大；如采用面流消能，又
可能因下游水深不能满足形成面流的要求，因此可采用挑流
消能。
１、挑流消能的过程主要有以下两个阶段
（1）．空中消能
水股从挑流坎抛向空中，并逐渐扩散，与空气接触面积
越来越大，在空气阻力作用及水股内部的摩擦、撞击以及掺
气等作用下，消耗了水流的部分能量。在这一过程中，往往
形成大片雾气，迷漫四周空间。
（2）.水下消能
扩散了的水股在建筑物下游远处跌入河床中，由于仍有
较大的动能，故能不断冲刷河床，形成冲刷坑。坑内水深随
着坑深的增加而增大，从而形成较厚的水垫，并对入流水股
起着缓冲和消能的作用。水股在冲坑内形成一个较大的漩
滚，由于漩滚的强烈紊动，而消耗了入流水股的大部分能量。
2、挑流消能水力计算的主要任务
(1)．记算下泄水流的挑射距离(简称挑距)；
(2)．选择挑流坎的型式和确定挑流坎的高程、反弧半
径和挑射角等尺寸；
(3)．估算下游冲刷坑的深度和范围。
3、挑距的计算
仅讨论挑流坎为连续式(即为一简单柱面)的情况，如
图9—22所示。此时，沿整个挑流坎宽度上具有同一反弧半
径和挑射角  。假定忽略空气阻力和水股扩散等影响，
可把抛射水流的运动看作自由抛射体的运动，则平均挑距
可按自由抛射体的运动轨迹来计算。取挑流坎末端水流断
面(其水深为 h ，流速为
)的中心点为坐标原点，则
抛射体坐标为：
v
x  v cos  t



1 2
y  gt  c sin  t 
2

联解上式得水平距离
x
为：
2
v cos  sin  
1 
x

g

图9—22


1 2
2
v sin  
2 gv
(9—42)
所求挑距有两种情况：水股落至下游水面时的水平距离 L 1 ；水股落
至冲坑最低点时的水平距离 L
2
(1).计算L 1
当水股落至下游水面时，其纵坐标y为：
y  Z s
h
cos 
(9—43)
2
h
cos  。将 y  Z  s
对于高坝，值一般较小，可以略去
h
2
值代入式(9—42)得相应的射程为：
2
v cos  sin  
L1 
1 
g

式中
Z
2 g Z  s  
1 2

2
v sin  
为上下游水位差；s 为上游水游至坎顶的高度。
(9—44)
(2)．计算 L 2
外坑最低点至坝趾的水平距离 L 2 是工程中最关心的
L 2 应等于水股落至下游水面时的水
问题。由图9—22可知，
平距离 L 1 与水股入水点至冲坑最低点的水平距离 l 之和，
即：
L2  L1  l
(9—45)
L 2 的求法己如上所述，下面来求。水股落入下游水面
后，已不作自由抛射运动，而属淹没射流，故不能用式
(9—42)计算。但可以认为水股入水后沿入射角  的方向前
进(见图9—22)，并近似地取淹没射流的中心点作为冲刷坑
的最低点，则有：
l  t p ctg 
(9—46)
式中 t p 为冲坑水深，其估算式将在后面讨论。入射角  值
可按以下近似方法确定。
对坎顶水股断面和入流水股断面近似地列能量方程，不计
h
空中水头损失及 cos  ，取   1 可得：
2
v
2
2
 sZ 
2g
v入
2g
因 v   2 gs ，代入上式解得水股入流流速 v 入 为：
v入 

2g  s  s  Z
2

设水股射出后，其水平分速在整个射程中保持不变，即：
v 入 x  v x  v cos   
2 gs cos 
于是有：
cos  
v入 x
v入

 1 2 gs cos 

2g  s  Z  s
由上式可求出

2
值。
 s
2


 Z s
2
cos 
(9—47)
4、挑射角  的选择
根据抛射运动原理，当挑流坎高程与下游水面齐平时，
 的抛射距离最远,即挑距最大。但根据工程
45 
挑射角
实践，挑射角不能太大，因挑流坎的反弧半径是根据最大
设计流量确定的，当泄流量较小时，如挑射角太大，可能
在反弧面内形成水跃状水滚，水流不能顺利射出坎顶，而
从坎顶漫溢，落至坎脚，以致冲刷坎脚附近的河床，所以
一般挑流坎的挑射角为
15。  30 
5、坎顶高程的确定
从安全角度考虑，如下游水位淹没坎顶，水流的挑射
将受到影响，故坎项应高于下游水位1—2m。
6、反弧半径R的确定
挑流坎反弧半径R与挑流坎上的流速大小有关。根据
实验和工程实践，R应大于最大设计流量时的坎顶水深 h
的 六 倍，即 R  6 h 。通常取 R  ( 8 ~ 10 ) h
7、冲刷坑深度的估算
概括说来，冲刷坑的深度决定于水流的冲刷能力与河
床的抗冲能力两个方面。 当入水水股的冲刷能力大于河
床抗冲能力时，河床即被破坏而形成冲刷坑。随着冲刷坑
的加深，水股入水后的扩散范围增大，水流动能逐渐减小，
冲刷能力也逐渐减弱，直至水股的冲刷能力与河床的抗冲
能力平衡时，冲刷坑就不再加深而基本上达到稳定。
冲刷坑的水深 t p (见图9—22)与挑流坎单宽流量、水
股厚 度、水股扩散程度、水股入水倾角和入水流速以及
下游水 深等有关，更复杂的是它还随下游河床地质情况
的不同而异。由于自然界中各种河床的地质情况千差万别，
通过理论推导出冲刷坑水深计算公式目前尚不可能，只能
用经验公式来估算。又因试验的条件不同，各经验公式计
q
算的结果差别也很大。目前多采用以单宽流量
和上下
游水位差 为主要参数的冲刷坑水深的经验公式，即：
Z
t p  Kq Z
m
n
(9—48)
式中K为系数；m,n均为指数。
由于上式比较简单，并且如K值选择适当，较能符合实际
情况，故得到广泛应用。我国陈椿庭建议，对于滥流高坝，
式(9—47)中采用K=1.25，m=0.5，n＝0.25,其冲刷坑水深的
公式为：
t p  1 . 25 q
0 .5
Z
0 . 25
(9—49)
根据实际工程的原型观测资料，系数K不应为一常数，而
与河床地质条件有关，有些工程部门建议将式(9—48)改为：
t p  Kq
0 .5
Z
0 . 25
(9—50)
如我国水电部第三工程局提出K值大致可分三种情况：对
于坚硬、较完整、抗冲能力强的岩石，K值一船小于1.0；对
于半坚硬、完整性较差的岩石，K值在1.25左右；对于岩石
破碎、裂缝发达、完整性很差的松软岩石，K值在1.5以上。
知道冲刷坑水深 t p 后，河床冲刷坑深度T可由下式求得：
T  t p  Z  t
 Z 为冲坑水面与下游水面之间的落差。
式中 t 为下游水深，
初步估算时， Z 多忽略不计，所得T值稍偏大，设计偏于安
全。即：
T  tp  t
(9—51)
四、面流消能
在泄水建筑物的末端设一鼻坎，将
下泄的高速水股引向水流表面，并逐渐向
下游扩散，而靠近河底的流速则较小，同
时在坎后的主流区下部形成激烈的漩滚，
以消耗下泄水流的能量，种消能方式称为
面流消能，如图9—23所示。
鼻坎的型式有高坎(图9—23a)和低坎
(图9—23b)两种。低坎又称为消力戽。两
种鼻坎的主要区别是高坎的坎角(鼻坎坎
面末端的切线与水平线之间的夹角)较
小，坎高较大，消力戽的坎角较大。坎高
较小。典型的高坎是坎角   0  的水平连
续坎,坎面最低点恒高出下游河床。典型
的消力戽角   45  ，戽底基本与下游河
床同高。
图9—23 面流消能
面流消能虽有四、五十年的发展历史，但高坎面流消
能用于我国工程实际还是从五十年代末才开始，而消力戽
面流消能的应用更迟后至七十年代初。通过我国十几年来
对高坎面流消能的运用经验，初步说明这种消能方式还存
在一些问题。这主要是由于对它的消能规律认识不足，过
分强调了面流消能对下游河床的冲刷作用不大，可以无须
防护，可以节省工程投资等优点，而对其引起下游水面的
剧烈波动，对岸坡的稳定和航运条件都有不利影响等缺点
却重视不够。尽管面流消能存在一些问题，但随着我国水
利建设事业的发展，兴建于丰水河流中、下游的水利枢纽
日益增多，这些工程的特点是下游水深较大，如采用底流
消能，则施工不便，费用较大；另一个特点是上下游水位
差较小，如采用挑流消能，则因流速小，水股不能起挑，
或虽能起挑而挑距太短，因此面流消能正是这些工程需要
应用和大有发展前途的一种消能方式。
1、高坎面流消能简介
根据坎高 c和单宽流量 q 的不
同，当坎角   0  （可以推广
至 10  )，下游水深 t 由小到
大时，可能出现如图9—24所示的
四种演变序列。出现四种演变序
列的条件及流态为：
①．A序列：当 q 较小，坎高
c  c min (可以发生面流的最小坎
高)，
T
c min  0 . 4 h k
0
 1 .5
hk
时，依次出现底流  自由面流
 淹没面流  回复底流；
图9—24 演变序列

②．B序列：当 q 较大，c  c min 时，依次出现底流
自由面流
混合流
淹没混合流  淹没面流
回复底流；
③．C序列：当 c  c min 时由底流转变为回复底流，
不发生典型面流流态：
c
④．D序列： a  0 . 2 ( a 1 为下游坝高)，呈现底
1
流与自由面流往复出现的交替流。
可见B序列是完全的演变序列。各型流态中，以自由
面流、混合流、淹没混合流和淹没面流为典型的面流流态。



面流的水流现象是复杂多变的，受单宽流量和下游水
深等的影响较大，要使下泄水流保持面流的流态，必须有
足够的水深，即下游水深 t 应大于产生淹没底流时的最
大水深 t 1 (即 t  t1 )，而且水深变化幅度不可太大，同
时下游水深还必须小于发生回复底流时的最小水深。
从消能观点来看，最有利的是出现自由面流和淹没面
流，其次是混合流，不利和不允许出现的是底流和回复底
流，因为底流为最大流速靠近河床表面，对河床会产生严
重冲刷。例如某溢流坝，由于设计不当，以致在1970年
10月渲泄单宽流量 q  30 .8 m / s时，产生回复底流，坝下游
300m 内砂层全部冲走，48m宽的鼻坎崩塌。
高坎面流水力计算尚不成熟，停留在经验阶段，读者
如有必要可以参考有关书籍。
2
2、消力戽面流消能
①.流态
我国陕西省水利科学研究
所对消力戽的流态进行了
研究，其研究成果与国内
外研究的一些成果，基本
一致。无论是  45  坎角
的连续鼻坎或  15  ~ 45  的
差动式鼻坎，其戽底高程
都与河床基本齐平。随着
下游水深 t 由小增大，消
力戽的流态演变将如图9—
25所示。各种流态的发生
条件及特征如下：
图9—25 各种流态
⑴．底流流态
当 t  t s （ t s 为某一界限水深，称为滑出水深）时
水股挑出，在水股与河床之间形成空腔，然后产生水跃，
如图9—25a所示，也可能出现空腔消失，水跃向消力戽推
进，如图9—25b所示，当t s  t  t min 时，除有水跃外，在戽
内产生间歇性的小漩涡，如图9—25c所示。 以上三种情
况具有底流的一切特征，属底流流态。它表示如 t  t s 时
主流下滑呈远离水跃，故
t称为滑出水深，这并不是消
s
力戽 所要求的流态。当 t s  t  t min时水跃虽不远离，但
t
消能作用不显著，也不是消力戽的典型流态。 min 称为
消力戽典型流态的最小界限水深，消力戽要求 t  t min ，
不得以时才要求，t  t 。
s
⑵．典型戽流态
当 t min  t  t max ( t max 称为最大界限水深)，消力戽
将出现两种典型流态。根据动床试验结果认为，当 t  R
( R 为消力戽反弧半径)时呈现三滚一浪的典型流态，如图
9—25c所示；当 t  R 时呈现两滚一浪的典型流态，如
图9—25d所示。
⑶．水舌下坠
当 t  t max 时，出坎射流水舌下坠，直冲河床，在坎
上及下游形成两个旋转方向相同的大漩滚，如图10—25e所
示。 当t  t
时则呈现不稳定流杰，即射流水舌首先下
max
坠，直冲河床，待河床形成较大冲坑后，冲坑内又形成了
顺时针的逆向漩滚。当此底部漩滚的作用强烈时，下坠水
舌被迫抬高，又恢复了两滚一浪的流态。
待底部漩滚将河床下游砂石卷回冲坑，冲坑被填平后，漩
滚作用转弱，水舌又再下坠。如此循环不已，出现两滚一
浪和水舌下坠的不稳定的交替流态。
由上述可知，底流流态和水舌下坠都是对消能不利的，
所以工程中应保证建筑物下游发生典型消力戽流态，即应
t min  t  t 的条件。
满足
max
②.消力戽水力计算
消力戽的水力计算主要
是确定发生典型戽流态时
所需的下游水深。试验表
明，最大界限水深 t max ，
最小界限水深 t
和
min
滑出水深 t s 均与佛汝德数
Fr，鼻坎反弧半径R，坎顶
与河床的高差等因素有关。
参看图9—26。
图9—26
⑴．求泄流的Fr值
由 v1   2 gZ ( v1 为泄流到达下游水面时的流速；
Z
为上下游水位差； 
为流速系数，可由表10—4查得)，
求 v 出后，即可由单宽流量
1
的水深
h1 及 F r 值：
q
求水流流入下游水面时
h1 
Fr 
q
v1
v1
gh 1
⑵.求鼻坎反弧半径R
根据试验，坎顶与河
床的相对位置确定后，反
弧半径R值与
Fr
及
值有关。若
图9—27查得
2

v1
 h1 

2g





F r 已知可由
R mi n
2
h1 
v1
，
2g
从而算出最小的反弧半径
值
R min
图9—27
⑶．求各种界限水深
ti
根据实验，各种界限水深与人流水深 h1 的比值
与
h1
入流
R
处的 F r 及
ti
h1

2
h1 
v1
值有关，可表示为：
2g


R

f
Fr ,
2

v1
h1 

2g

式中 t 可代表 t max ，t min或
i
ti
ts






。根据 F r及
R
2
h1 
v1
，可由
2g
图9—26查得
，从而求出最大界限水深 t ，最小界
max
h1
限水深 t
或滑出水深
min
［例9—5］某河床式溢洪道，设计最大泄洪量 Q  510 m 3 / s，
流速系数   0 . 94 ，上下游水位及河床标高如图9—28 所示。
溢洪道净宽为24．4m。试确定在下游水深t  9 . 7 m 的情况下
能否采用消力戽消能?
解：1.求单宽流量
q
Q
B

510
 20 . 9 m
24 . 4
2.求入流 F
r
值
入流流速 v1  
图9—28
2 gZ
Z  51 . 8  35 . 6  16 . 2
故：
v1  0 . 94
2
v1

2g
h1 
2  9 . 8  16 . 2  16 . 6 m / s
16 . 6
2
 14 . 12 m
19 . 6
q

v1
所以： Fr 
20 . 9
 1 . 26 m
16 . 6
v1
gh 1

16 . 6
9 . 8  1 . 26
 4 . 75
3.求反弧半径R
2
h1 
v1
 1 . 26 
16 . 6
2g
2
 15 . 38 m
19 . 6
由F r  4 . 75 查图10—28得：
R min
h1 
则：R min
v
2
1
 0 . 38
2g
 0 . 38  15 . 38  5 . 85
。采用
R  6m
4．求各种界限水深
R
由 F r  4 . 75 及
得
t min
h1
 7 .2
h1 
v
2
1
6

 0 . 39
15 . 38
，查图10—28
2g
，
所以 t min  7 . 2  1 . 26  9 . 07 m
同时由该图查得的
的情况下) ，所以
t max
h1
 13
(在河床低于坎嘴约0.05R
t max  13  1 . 26  16 . 38 m
因为下游水深
，可知
t  9 .7 m
，满足发生
t min  t  t max
消力戽典型流态的要求，故可以采用消力戽消能。
第六节 闸孔出流
实际工程中的水闸，闸底坎—般为宽顶堰(包括无坎宽
顶堰)或为曲线型实用堰；闸门型式则主要有平板闸门及弧形
闸门两种。当闸门部分开启，出闸水流受到闸门的控制时即
为闸孔出流。
闸孔出流水力计算的主要任务是：在一定闸前水头下，
计算不同闸孔开度时的泄流量；或根据已知的泄流量求所需
的闻孔宽度b。显然，不同的闸门类型，不同的底坎型式，
水流收缩程度及能量损失的大小也不同，泄流能力也会有所
差异。下面分别进行讨论。
一、底坎为宽顶堰型的闸孔出流
图9—29是水平底坎上平板闸门的出流，H为闸前水
头，e为闸孔开度。当水流行近闸孔时，在闸门的约束下
流线发生急剧弯曲；出闸后，流线继续收缩，并约在闸门
下游(0.5～1)e处出现水深最小的收缩断面。收缩断面的水
深h c 一般小于临界水深 h k ，水流为急流状态。而闸后渠
道中的下游水深 h t 一般大于临界水深 h k ，水流呈缓流状
态。由第7章可知，水流从急流到缓流时，要发生水跃，
水跃位置随下游水深 h t 而变。闸孔出流受水跃位置的影
响可分为自由出流及淹没出流两种。
图9—29 水平底坎上平板闸门的出流

设收缩水深 h c 的跃后水深为h c 。实验证明：

若h t  h c ，则水跃发生在收缩断面处(见图9—29b)或收缩
断面下游(见图9—29a)。此时，下游水深 h t 的大小不影
响闸孔出流，称做闸孔自由出流。
若 h t  h c  ：，则水跃发生在收缩断面上游(图9—29c)，
水跃旋滚覆盖了收缩断面，称为闸孔淹没出流。此时通过
闸孔的流量随下游水深 h t 的增大而减小。
上述的判别条件对坎高不为零的宽顶堰型闸孔出流(见图
9—30)也完全适用。
图9—30 闸孔出流
1．底坎为宽顶堰型闸孔自由出流的水力计算
对图9—29a,b，或图9—30a所示的闸孔自由出流，写
闸前断面0—0及收缩面c—c的能量方程。
2
H 
a0v0
2g
2
 hc 
acvc
2g
 hw
h w —0—0到c—c断面间的水头损失，因为这一段是
急变流，而且距离较短，可以考虑局部水头损失，
2
即h w

vc
2g
2
，
 为局部水头损失系数。令H

a0v0
2g
 H 0称
为闸孔全水头，则上式可整理成 v c   2 g  H 0  h c 
令v c 
因为
所以
1
ac  
，称为流速系数。于是 v c  
2 g H 0  hc 
Q  v c A c  v c bh c
Q   bh c
2 g H 0  hc 
收缩断面水深 h c 可表示为闸孔开度 e 与垂直收缩系数  2
的乘积，即
hc   2 e
又设  0   2  ， 0 称为宽顶堰型闸孔出流的基本流量系数。
则得
Q   0 be
2 g H 0   2 e 
（9—52）
为便于实际应用，(9—52)式还可化为更简单的形式
Q   be 1   2
e
H0
2 gH
0
即
Q   be
2 gH
0
（9—53）
式中   0 1   2
e
H0
  2 1   2
e
H0
， ——宽顶堰型闸孔自由流
的流量系数
从(9—52)或(9—53)式都可以看出，闸孔出流的流量与闸前
水头的二分之一次方成正比，即 Q  H
1
0
2
。
(9—52)及(9—53)式都是宽顶堰型闸孔自由出流的计算公式。
由于(9—53)式简单，便于计算。下面的讨论均以(9—53)式为
主。下面来分析影响流量系数的主要因素：
流量系数   2  1   2
e
H
。其中，流速系数 
0
1
ac  
，是
反映0—0到c—c断面间的局部水头损失和收缩断面c—c流速
分布不均匀的影响。 值主要决定于闸孔入口的边界条件
（如闸底坎的形式、闸门的类型等。对坎高为零的宽顶堰
型闸孔，可取   0 . 95 ~ 1 . 0 ；对有底坎的宽顶堰型闸孔，
可取  0 . 85 ~ 0 . 95 )。垂直收缩系数  2 是反映水流行经闸
孔时流线的收缩程度。 2 不仅与闸孔入口的边界条件有关，
e有关。
H
而且还与闸孔的相对开度
所以综合反映水流能量损失和收缩程度的流量系数  值，
应决定于闸底坎的形式、闸门的类型和闸孔相对开度 e H
值。
为了简化计算，当闸前水头H较高。而开度e较小或上游坎
高 P1 ，较大时行近流速 v 0 较小。在计算中可以不考虑，即令
H  H0
对于有边墩或闸墩存在的闸孔出流，一般不需要在(9—53)式中再
单独考虑侧收缩影响。实验证明，在闸孔出流的条件下，边墩
及闸墩，对流量影响很小。
(1)对于平板闸门的闸孔
儒可夫斯基应用理论分析方法，求得在无侧收缩的条件下，平
底坎平板闸门的垂直收缩系数  2 与闸孔相对开度 e H 的关
系； 2 随相对开度的增加而加大，如表9—6所示
表9—6
平板闸门的垂直收缩系数  2
e H
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
2
0.615
0.618
0.620
0.622
0.625
0.628
0.630
e H
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
0.75
2
0.638
0.645
0.650
0.660
0.675
0.690
0.705
流量  系数可按南京水利科学研究所的经验公式计算
e
（9—54）
  0 . 60  0 . 176
H
(2)对于弧形闸门的闸孔
垂直收缩系数 2 ，主要与闸门下缘切线与水平方向夹角
的大小有关，可根据表9—7确定
表9—7弧形闸门的垂直收缩系数
 35 
2
0.789
40

0.766
45

0.742
50

55

60

65
0.720 0.698 0.678
式中 值按下式计算： cos  

0.662


0.646
0.635
70 75
80

0.627
85

0.622
90
0.620
ce
R
式中的符号如图9—31所示，流量系数可由下面的经验公式计
算



   0 . 97  0 . 81

180


 

   0 . 56  0 . 81

 
180
 
 e

H


（9—55）
上式的适用范围是：25

   90

0
e
 0 . 65
H
比较(9—54)式与(9—55)式可以看出：
当 角很大  80   时，e H 相同。
弧形闸门的流量系数大于平板闸门
的流量系数。这是因为弧形闸门的
面板，更接近于流线的形状；因而，
它对水流的干扰比平板闸门小。
上面对平板闸门从弧形闸门所得出的
垂直收缩系数  及流量系数
，

2
适用于平底闸孔。但某些实验证明，
图9—31
对于闸底坎高出渠底的宽顶堰型闸孔(图9—30)，只要收缩断面
c—c仍位于闸坎上，而且闸门系装在宽顶堰进口下游一定距离
处，则堰坎对水流垂直收缩的影响将不显著，仍可按平底闸孔
的公式计算。
2．底坎为宽顶堰型闸孔淹没出流的水力计算
当下游水深大于收缩断面水深的共

轭水深，即 h t  h c 时，闸孔为淹
没出流(见图9—32)。实验资料证明：
闸孔被淹没后，收缩断面c—c的实际
水深增大为 h ，且 h  h c，故实际作
用水头减小为  H 0  h  。因而，闸孔
淹没后其流量小于自由出流的流量。
图9—32 宽顶堰型闸孔淹没出流
但 h 位于旋滚区不易测量，
故实际计算时，是将计算平
底闸孔自由出流的(9—53)式右
端乘上一个淹没系数 s ，而
求得淹没闸孔出流的流量，
即
Q   s  be 2 gH
0
(9—56)
式中， 即为闸孔自由出流的流量
系数。
按(9—56)式计算淹没闸孔出流
时，一般可以不计行近流速
的影响。
据南京水利科学研究所的研
究淹没系数 s 与潜流比 h t  h c 

图9—33 淹没系数与潜流比的关
系曲线

H  h c  有关。可由图9—33查得。

二、底坎为曲线型实用堰的闸孔出流
图9—34为实用堰顶闸孔出
流，当水流由闸前趋近闸孔时，
流线在闸前的整个深度内向闸
孔集中，故水流的收缩比平底
闸孔充分和完善得多。出闸
后．水舌在重力作用下，紧贴
溢流面下泄．不像平底闸孔那
样存在明显的收缩断面。所以，
曲线型实用堰顶闸孔出流的流
量系数也不同于平底闸孔的流
量系数。
图9—34 实用堰顶
闸孔出流
在实际工程中，由于下游水位过高而使曲线型实用堰顶
孔形成淹没出流的情况是十分少见的，所以对曲线型实
堰顶的闸孔，我们只讨论自由出流的情况。
对堰前断面0—0及堰顶闸孔的1—1断面建立能量方程，
以通过堰顶的水平面作为基准面。可得
2
2

p 1  a 1 v1
v1
 
H 
  z 1 

2g
g 
2g
2g

a0v0

式中： z 1 

孔开度
e
p1 
 为１—１断面的平均测压管水头，可用闸
g 
乘以势能修正系数
 表示，
即令：
由此可得
2
v1 

p1 
 z 1 
   e
g 

H 0  e 
1
a1  
a 1 v1
2
2g

v1
2
2g
2 g H 0   e   
2 g H 0   e 
则通过闸扎的流量为： Q  v be  be 
1
可改写为 Q  be  1   e
H0
2 gH
2 g H 0   e 
（9—57）
0
式中 
  1 
e
称为曲线型实用堰顶闸孔自由
H0
出流的流量系数；  
1
a1  
为曲线型实用堰顶闸孔自
由出流的流速系数。
式(9—57)就是计算曲线型实用堰顶闸孔自由出流的公式。
当堰高较大时，v 0 很小，行近流速水头可以略去不计、即
令(9—57)式中 H 0  H 。
比较(9—53)式与(9—57)式可知，平底间孔白由出流与底坎
为曲线型实用堰的闸孔自由出流具有相同的计算公式。但
是，由于边界条件不同，它们的流量系数不相同。
实验表明．影响的线型实用堰顶闸孔出流流量系数的因素
包括：闸门型式（平板门或弧形门)、闸门相对开度e H 、
闸门的位置、堰剖面曲线的形状等。对弧形门还有门轴高
度 c、弧门半径 r ；对平板门还应包括闸门底缘的外形。
在上述因素中，闸门形式和闸门相对开度的影响是主要的，
其他因素的影响程度日前系统研究不够：
1．对于平板闸门
流量系数可按下列经验公式
e 

  0 . 65  0 . 186
  0 . 25  0 . 357
 cos 
H
H 

e

计算式中，
值如图9—35
图9—35
2．对于弧形闸门
由于系统研究不足，初步计算时，流量系数

可按表9—8
参考选用。重要的工程应通过试验确定
表9—8曲线形实用堰顶弧形闸门的流量系数值
e
0.05
0.10
0.15
0.20
0.25
0.30
0.35
0.40
0.50
0.60
0.70
0.721
0.700
0.683
0.667
0.652
0.638
0.625
0.610
0.584
0.559
0.535
H

[例9—6] 某水库溢流坝共五孔。每孔净宽 b  为7m：坝
顶设弧形闸门。试求坝顶水头 H 为5m，各孔口均匀开
启．开度为 e 1m时，通过闸孔的流量(不计行近流速水头)。
[解]：e  1  0 . 2 ，由表8—9查得闸孔流量系数。则通过
H
5
闸孔的为
Q   be
2 gH
 0 . 667  5  7 m  1m 
 231 m / s
3
2  9 .8 m / s  5 m
2