Transcript P 3._Distribusi_kontinyu-2

BEBERAPA DISTRIBUSI
PROBABILITAS VARIABEL KONTINYU
1
Pengantar:
Dalam pokok bahasan disini memuat beberapa distribusi
koninyu yang sangat penting di bidang staistika. diantaranya distribusi
normal, distribusi gamma dan eksponensial, distribusi chi-kuadrat dan
distribusi weibull. Distribusi-distribusi ini yang sangat berperan pada
statistik inferensial yaitu dalam pengujian hipotesis,
pengujian
panjang umur (life testing) dan sebagianya
Disini setiap distribusi tersebut diatas telah dibuat grafiknya
menggunakan software R. Selain digunakan membuat grafik fungsi,
nilai-ilai yang biasanya dicari di tabel, disini diberikan cara
penggunaan program R dalam menenukan distribusi probabilitasnya.
2
Kompetensi:
Setelah mempelajari materi pokok bahasan disini, mahasiswa
diharapkan:
1.
Mampu menggunakan konsep-konsep dasar teori Distribusi
Probabilitas Kontinu secara benar.
2.
Mampu melakukan operasi hitungan-hitungan yang berkaitan
dengan distribusi normal, distribusi gamma dan eksponensial,
distribusi chi-kuadrat dan distribusi weibull.
3.
Terampil dalam mengerjakan soal-soal tugas dan latihan.
3
Daftar Isi Materi:
•
Distribusi Normal
•
Luas Daerah dibawah Kurva Normal
• Distribusi Gamma dan Eksponensial
• Distribusi Chi-kuadrat
• Distribusi Weibull
4
6.1 Distribusi Normal
Distribusi probailitas kontinyu yang terpenting di bidang statistik
adalah distribusi Normal. Grafiknya disebut kurva normal, berbentuk
lonceng seperti gambar 6.1. Distribusi ini ditemukan Karl Friedrich (17771855) yang juga disebut distribusi Gauss. Perubah acak X yang
bentuknya seperti lonceng disebut perubah acak normal dengan
persamaan matematik distribusi probabilitas yang bergantung paramerter
 (mean) dan  (simpangan baku) dinyatakan n(x; , )
Pada gambar (6.2) melukiskan dua kurva normal dengan
simpangan baku yang sama tapi rata-rata berbeda, gambar 6.3
melukiskan beberapa kurva yang mempunyai mean sama tetapi standart
deviasi bebeda. Gambar 6.4 mellukiskan kurva normal dengan mean dan
standart deviasi yang berbeda.
5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
dnorm(x)

-4
-2
0

2
4
x
Ganbar 6.1 Kurva normal
6
0.3
1  2
0.2
12   22  1
0.0
0.1
dnorm(x, 5, 1)
0.4
0.5
Distribusi Normal
0
2
4
6
8
10
x
Ganbar 6.2 Kurva normal dengan simpangan baku sama
7
1.5
Distribusi Normal
1.0
0.5
2  0, 22  0.5
3  0, 32  0.75
4  0, 42  1
0.0
dnorm(x, 0, 0.25)
1  0,12  0.25
-4
-2
0
2
4
x
Ganbar 6.3 Kurva normal dengan rata-rata sama
8
0.8
0.4
2  2, 2  1
0.0
0.2
dnorm(x, 1, 0.5)
0.6
1  1,1  0.5
-6
-4
-2
0
2
4
x
Ganbar 6.4 Kurva normal dengan mean dan standart deviasi
yang berbeda
9
Fungsi padat perubah acak normal X, dengan rata-rata 
dan variansi  2 dinyatakan sebagai:
n(x; , ) 
1
2
x 2
( 1 )(
)
2

e
;   x  
dengan   3,14159.... dan e  2, 71828....
2
Begitu  dan  diketahui, maka kurva normal dapat ditentukan. Misal:
  50;   5 maka ordinat n(x; 50, 5) dengan mudah dapat dihitung.
Sifat-sifat Kurva Normal
1. Modus (nilai x maksimun) terletak di x  
2. Simetris terhadap sumbu vertikal melalui 
3. Mempunyai titik belok pada x    
4. Memotong sumbu mendatar secara asimtotis.
5. Luas daerah dibawah kurva dg sumbu mendatar sama dg 1
10
6.2. Luas daerah di bawah kurva Normal
Luas daerah kurva normal antara x = a dan x = b dinyatakan sbb:
b
b

P(a  x  b)  f(x)dx 
2
2

a
0.2
0.0
0.1
dnorm(x)
0.3
0.4
a

1
 x 
1
2   2
e
dx
-4
-2
a
0
x
b
2
4
Ganbar 6.5 Luas daerah P(a<x<b)= luas daerah di arsir
11
• Untuk mengatasi kesulitan menghitung integral.
Gunakan tabel distribusi normal standart (Z) yaitu distribusi normal
2


0
dan

1
dengan
x
Caranya menggunakan transformasi dengan rumus z  
Setiap pengamatan perubah acak X dapat ditransformasikan ke
perubah acak Z dengan rata-rata 0 dan variansi 1.
x
Jika X mendapat nilai padananya diberikan oleh z   . Jadi jika X
x1  
z

x

x
bernilai
1 dan x  x2 maka perubah acak Z akan bernilai 1

x2  
dan z2   kemudian dinyatakan sebagai:
P(x1  x  x 2 ) 
1
e
2 2 x
1
z2

x2
 x 
1
2   
2
dx 
1
z2

2 2 z
1
2
 1 z
e 2
dx
 n(z, 0,1) dx  P(z1  z  z2 )
z1
12
0.5
0.4
0.3
0.2
0.0
0.1
dnorm(x, 1, 0.75)
-4
-2
0
X1
x2 2
4
x
Ganbar 6.6 P(x1<x<x2) untuk kurva normal yang berbeda
13
Definisi (6.1)
Distribusi perubah acak normal dengan rata-rata nol dan variansi 1
disebut distribusi normal baku
0.4
0.3
0.1
0.2
dnorm(x, 0, 1)
0.4
0.2
0.0
0.0
dnorm(x, -1, 0.5)
0.6
0.8

-4
-3
-2
x1
-1
x2
0
1
2
-4
-2
z1
0
z2
2
4
z
P(z1  z  z2 )
P(x1  x  x 2 )
Ganbar 6.7 Distribusi normal asli dan yang telah ditransformasikan
P(x1  x  x 2 )  P(z1  x  z2 )
14
Contoh 6.1
Diketahui suatu distribusi normal dengan   50 dan   10
Carilah probabilitas bahawa X mendapat ilai antara 45 dan 62
Jawab:
Dicari nilai z yang berpadaan dengan x1  45 dan x 2  62 adalah
6250
z1  4550  0.5 dan z2  10  1.2
10
P( 45  x  62)  P( 0, 5  z  1.2)
0.00
0.0
0.01
0.1
0.02
0.2
0.03
0.3
0.04
0.4
Jadi:
0
20
40
60
P( 45  x  62)
80
100
-4
-2
0
2
P( 0, 5  z  1.2)
Ganbar 6.7 Luas daerah contoh 6.1
4
15
Gunakan tabel distribusi normal standart, diperoleh:
P( 45  x  62)  P( 0, 5  z  1, 2)
Dengan R
 P(z  1, 2)  P(z  0, 5)
 0,8849  0, 3085
> pnorm(-0.5)
 0, 5764
> pnorm(1.2)
[1] 0.3085375
[1] 0.8849303
Tabel 6.1. Luas daerah di bawah kurva normal
z
0.00
………
0.04
……..
0.09
:
:
-0.5
0.3085
0
:
:
1.2
0.8849
:
:
16
6.3 Distribusi Gamma dan Eksponensial
Distribusi gamma dan eksponensial memaikan peran yang sangat
penting di bidang teori antrian dan teori keandalan (reliabilitas). Distribusi
Eksponensial merupakan keadaan khusus dari distribusi gamma.
Distribusi gamma mendapat namanya dari fungsi gamma yang sudah
dikenal luas.
Definisi (6.2):
Fungsi gamma didefinisikan sebagai:
1
( )   x 1e x dx ; untuk   0
0
Untuk
  1  (1) 


0
e x dx  e x

 1
0
Jadi (1)  1
17
Jika di integralkan per bagian (parsial) dengan   x 1 dan dv  e x dx
Diperoleh
u  x 1  du  (  1)x  2dx
v  e x  dv  e x dx
Maka
( ) 



0
0

0
 1e x dx  u dv  uv  v du
x






1

x
 x
e

0
 x (  1)x  2dx
e

0

 (  1)  e x x  2dx ; untuk   1
0
( 1)
Jadi diperoleh ( )  (  1)(  1)
18
Dengan formula (rumus) berulang diperoleh
( )  (  1)(  1)  (  1)
(  1)
( 2)( 2)
 (  1)(  2)(  2)  (  1)(  2) (  2)
( 3)( 3)
 (  1)(  2)(  3)(  3)
:
: dan seterusnya
Jika   n dengan bilangan n bulat positif, maka
(n)  (n  1)(n  2)(n  3).........1.(1) ;karena (1)  1
(n)  (n  1)(n  2)(n  3).........1  (n  1)!
atau
(n)  (n  1)!
19
•
Sifat penting fungsi Gamma adalah ( 12 )  
Bukti:
1
 1e x dx ; untuk   0
Dari definisi ( )   x
0
 1
x
Untuk   12  ( 12 )  x 2 e dx
0
2
Menggunakan substitusi: x  u  dx  2udu


Diperoleh:

( 1 ) 
2

2
2

1

u

u
u e
2udu  2 e
du
0
( 12 )
2

0
 
 
 

2
2




u
v
[u2  v 2 ]
 2  e
du 2  e
dv   4   e
dudv
 0
  0

0 0
Dengan merubah sistem koordinatnya ke polar koordinat (  , ) dengan
u   cos  dan v   sin
persamaan diatas menjadi:
20
 
( 1 )
2

2
2

 4


e
[  2 cos2    2 sin2  ]
 d d
 0  0

2

 4


e
  2 [cos2   sin2  ]
 d d 
 0  0

2

 4


2


e
 d d 
 0  0


2

2 
2

1
1
( )  4
e
d  2
d  2 0 2  
2
2
0
 0
 0
 
Jadi
2

 
( 1 )
2
2

  atau ( 1 )  
2
21
Definisi (6.3):
Perubah acak kontinu X berdistribusi gamma dengan parameter 
dan  , jika fungsi padatnya berbentuk:
x


 1
x 1e 
f(x)     ( )

 0
; x0
; x yanglain
dengan   0 dan   0
Grafik beberapa distribusi gamma dipelihatkan pada gambar 6.8, untuk
beberapa nilai parameter  dan 
Distribusi gamma yang khusus dengan   1 disebut distribusi
Eksponensial, dan grafik distribusi gamma dengan   1 dan
beberapa nilai  dipelihatkan pada gambar 6.9
22
1.0
1.2
Distribusi Gamma
0.6
0.4
0.2
  2,   1
  3,   1
0.0
f(x)
0.8
  1,   1
0
2
4
6
8
10
x
Gmbar 6.8 Distribusi Gamma
23
Gmbar 6.9 Distribusi Eksponensial
(Distribusi Gamma dengan   1 )
24
Definisi (6.4):
Perubah acak kontinu X terdistribusi eksponensial dengan
parameter,  , jika fungsi padatnya berbentuk:
x


1 e 
f(x)   

0
dengan   0
; x0
; x yanglain
Teorema 6.1:
Rata-rata dan variansi distribusi gamma adalah
   dan  2   2
Akibat (1):
Rata-rata dan variansi distribusi eksponensial adalah
   dan  2   2
25
Contoh 6.2
Suatu sistem memuat sejenis komponen yang mempunyai daya
tahan pertahun dinyatakan oleh perubah acak T yang berdistribusi
eksponensial dengan parameter waktu rata-rata sampai gagal   5
Bila sebanyak 5 komponen tersebut dipasangkan dalam sistem yang
berlainan, berapa pobabilitas bahwa paing sedikit 2 masih akan
berfungsi pada akir tahun ke delapan.
Jawab:
Probabilitas bahwa suatu komponen tertentu masih akan berfungsi
setelah 8 tahun adalah:
 t
8
P(T  8)  1 e 5 dt  e 5
5
8

 0, 2
26
Contoh 6.3
Hubungan saluran telepon tiba i suatu gardu (sentral) memrnuhi
proses poisson dengan rata-rata 5 hubungan yang masuk per menit.
Berapa probabilitasnya bahwa setelah semenit berlalu baru 2
sambungan telepon masuk ke gardu tadi
Jawab:
Proses poisson berlaku denganwaktu sampai kejadian poisson
memenui distribusi gamma dengan parameter   15 dan   2
Misalkan X perubah acak yang menyatakan waktu dalam menit yang
berlalu sebelum 2 hubungan masuk,probabilitasnya adalah:
x
x
P(X  x)   1 xe  dx

0
1
P(X  1)  25 xe5x dx  [1  e5(1) (1  5)]  0, 96
0
27
6.4 Distribusi Chi-kuadrat
Hal khusus lainya yang sangat penting dari distribusi gamma
adalah dengan mengambil   v dan   2 ;v  bilangan bulat positif
2
Hasilnya disebut distribusi chi-kuadrat, dan v disebut derajad bebas
Definisi (6.4):
Perubah acak kontinu X terdistribusi chi-kuadrat dengan derajad
bebas v, jika fungsi padatnya berbentuk:
v 1  x

1

x2 e 2 ; x  0
f(x)   2v / 2 (v / 2)

; x yanglain
 0
dengan v bilangan bulat positif
Akibat (2):
Rata-rata dan variansi distribusi chi-kuadrat adalah
  v dan  2  2v
28
0.4
0.5
Distribusi Chi-square
0.3
df  2
0.2
df  3
df  4
0.0
0.1
df  5
0
2
4
6
8
10
x
Gambar 6.10 Distribusi Chi- Kuadrat
29
6.5 Distribusi Weibull
Distribusi Weibull ini diperkenalkan oleh ahli fisikawan swedia
Waloddi Weibull pada tahun 1939. Grafik distribusi weibll untuk   1
dan berbagai nilai parameter  dilukiskan pada gambar 6.11
Definisi (6.5):
Perubah acak kontinyu X terdistribusi Weibull dengan parameter
 dan  , jika fungsi padatnya berbentuk:

  x  1e x ; x  0
f(x)  
; x yanglain

0
dengan   0 dan   0
Jika   1 maka distribusi weibull menjadi distribusi eksponensial.
Jika   1 maka kurvanya mirip lonceng dan menyerupai kurva
normal tetapi agak mencong.
30
2.0
Distribusi Weibull
  1,   3
  1,   1
0.5
1.0
  1,   2
0.0
f(x)
1.5
  1,   5
0.0
0.5
1.0
1.5
2.0
2.5
x
Gambar 6.11 Distribusi Weibull
31
Teorema .6.2:
Rata-rata dan variansi distribusi Weibull adalah
   1 /  (1  1 )

 2   2 / 
2




2
1
(1   )  (1   ) 

 

Seperti distribusi gamma dan eksponensial, distribusi weibull
juga dipakai pada persoalan keandalan dan pengujian panjang umur
seperti waktu sapai rusak (panjang umur) suatu komponen, diukur
dari suatu waktu tertentu sampai rusak.
32