Transcript Document
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
ELEMENTARNE FUNKCIJE
Polinomi
p( x) x 7 x 1
3
2
x 3x 5
2
Racionalne funkcije
Algebrajske funkcije
Q( x)
A( x)
x x 1
3
x 1
x
Eksponentne
f ( x) e
2x
5
3
x 1
2
x
2e
2
x
x
in
logaritmske funkcije
Kotne
g ( x) ln( x 1 x )
2
u ( x) sin(2 x 1) 3cos( x 2 )
in
ločne funkcije
MATEMATIKA 1
v( x) arcsin
1 x
1 x
w( x) arctg(1 x )
2
1
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
Elementarne funkcije dobimo s pomočjo računskih
operacij in sestavljanja iz osnovnih funkcij.
Osnovne funkcije:
potence
x , n
n
eksponentna
ex
koreni
n
x, n
logaritemska
ln x
MATEMATIKA 1
sinus
sin x
arkus sinus
arcsin x
arkus tangens
arctg x
2
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
Funkcije podane z grafom
Funkcija f:AB je predpis, ki vsakemu argumentu priredi eno funkcijsko vrednost.
Krivulja v ravnini je graf neke
funkcije če jo vsaka navpična
premica seka največ enkrat.
MATEMATIKA 1
3
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
OBRATNE FUNKCIJE
f :AB
Praslika
Predpis b ↦
f -1(b)={a ∈ A| f(a)=b}
(množica rešitev enačbe
f(a)=b)
f -1(b) določa funkcijo, če imajo množice f -1(b) natanko en element za vse b∈B.
Tedaj je f bijektivna, predpis
f -1:BA, b ↦ f -1(b)
pa je obratna (inverzna) funkcija za f.
f je surjektivna, če imajo
f -1(b) vsaj en element.
f je injektivna, če imajo
f -1(b) največ en element.
Kadar funkcija ni bijektivna, lahko včasih zožimo njeno domeno
ali kodomeno in tako dobimo sorodno funkcijo, ki je bijektivna.
MATEMATIKA 1
4
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
EKSPONENTNA FUNKCIJA
injektivna
surjektivna
Zožimo kodomeno na (0,+).
exp: (0,+) je bijektivna.
Obratna funkcija je
exp-1=ln: (0,+)
MATEMATIKA 1
5
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
TANGENS
injektivna
surjektivna
Zožitev tg : 2 , 2
je bijektivna.
Obratna funkcija
1
arc tg tg :
2 , 2
je strogo naraščajoča, ima
vodoravni asimptoti y=±π/2
MATEMATIKA 1
6
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
SINUS
injektivna
surjektivna
Zožitev
sin : 2 , 2 [1,1]
je bijektivna.
1
2
2
2
1
1
1
1
2
Obratna funkcija je arc sin sin :[ 1,1] 2 , 2
MATEMATIKA 1
7
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
f (x) x e
f :
x
y xe
x
je bijekcija
x ye
y
Obratna funkcija
f
1
:
ni elementarna funkcija.
MATEMATIKA 1
8
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
FUNKCIJSKE ENAČBE, IMPLICITNE FUNKCIJE
F(x,y)=0
f : AB je rešitev funkcijske enačbe, če je F(x,y)
definirana za x ∈ A, y ∈ B in je F(x,f(x))=0 za vse x∈A.
Za funkcijo f pravimo, da je podana implicitno.
x xy y 3
2
2
f1 ( x )
f2 ( x )
MATEMATIKA 1
x 12 3x
2
x 12 3x
2
2
2
f1 , f 2 :[ 2, 2]
9
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
x 3x y 3y 1
4
2
2
4
Implicitna enačba določa funkcijo
na odseku med dvema
navpičnima tangentama
1
f1 ( x )
3x
2
12 3x
4
6
f2 ( x )
f3 ( x )
3x
2
12 3x
2
12 3x
2b
3a
3b
4
6
4
4
6
f4 ( x )
MATEMATIKA 1
3x
2a
3x
2
12 3x
4
6
10
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
ZAPOREDJA FUNKCIJ
f1 ( x ) x
f2 (x ) x
f3 ( x ) x
f4 (x ) x
x
3
3
x
3
3
x
5
5
3
3
x
x
5
5
x
7
7
f ( x ) arctg( x )
Taylorjevi približki za funkcijo arctg(x)
MATEMATIKA 1
11
FUNKCIJE
PODAJANJE FUNKCIJ
f1 ( x ) 1.19 sin( x )
f 2 ( x ) 1.19 sin x 0.38 sin 2 x 0.29 sin 3x
f3 ( x ) 1.19 sin x 0.38 sin 2 x 0.29 sin 3x
0.20 sin 4 x 0.16 sin 5 x
f 4 ( x ) 1.19 sin x 0.38 sin 2 x 0.29 sin 3x
0.20 sin 4 x 0.16 sin 5 x
0.13 sin 6 x 0.12 sin 7 x
f ( x ) arctg( x )
Fourierjevi približki za funkcijo arctg(x)
MATEMATIKA 1
12