Transcript Praktikum 1. cas - University of Belgrade

SKUPOVI
Oznake: A, B, C ,...
x  A - x je element skupa A
A  B - skup A je podskup skupa B (svaki element skupa A je i
element skupa B)
 - prazan skup
A  B - unija skupova A i B (unija sadrži sve elemente oba skupa)
A  B - presek skupova A i B (presek sadrži zajedničke elemente oba skupa)
A \ B - razlika skupova A i B (razlika sadrži sve elemente skupa A koji nisu
i elementi skupa B)
AC (u nekom skupu X ) - komplement skupa A u nekom skupu X (skup X \ A)
P( A) - partitivni skup skupa A (skup svih podskupova skupa A)
A  B - Dekartov proizvod skupova A i B (skup svih uređenih parova (a, b)
gde a  A, b  B )
1. Neka je skup A  1, 2, 4, 6, 7 . Skup X za koji važi da je
X  A  1, 2,3, 4, 6, 7 , a X  A  6, 7 je:
1) 2,3, 4, 6, 7 , 2) 3, 6, 7 , 3) 2, 4, 6, 7 , 4) 6, 7 .
2. Odrediti partitivni skup skupa A, ako je 1) A  a , 2) A  a, b .
3. Partitivni skup praznog skupa P () je:
1) , 2)  , 3) ,  , 4)
.
BINARNE RELACIJE
Binarna relacija  skupa A je podskup skupa A  A.
Oznaka: x  y, umesto (x, y )   .
Relacija skupa A je:
- refleksivna, ako (x  A) x  x
- simetrična, ako (x, y  A)( x  y  y  x )
- antisimetrična, ako (x, y  A)( x  y  y  x  x  y )
- tranzitivna, ako (x, y, z  A)( x  y  y  z  x  z ).
Relacija koja je refleksivna, simetrična i tranzitivna zove se
relacija ekvivalencije.
Klasa ekvivalencije elementa x je skup svih elemenata datog
skupa koji su u relaciji (ekvivalencije) sa x.
Relacija koja je refleksivna, antisimetrična i tranzitivna zove se
relacija poretka.
4. Koje su binarne relacije  na skupu R simetrične?
1) x  y  x  y 2) x  y  x  y 3) x  y  xy  0 4) x  y  x  y  2
5. Koje su binarne relacije  na skupu R tranzitivne?
1) x  y  x  y 2) x  y  x  y  4 3) x  y  xy  2 4) x  y  x  y  0
6. U skupu A  2, 0, 2, 4 uvedena je relacija ekvivalencije na sledeći način:
x  y  x 2  y 2 . Naći klase ekvivalencije.
7. U skupu A  1, 2,3, 4,5 uvedena je relacija ekvivalencije na sledeći način:
x  y  3 | x  y . Naći klase ekvivalencije.
FUNKCIJE I OPERACIJE
Preslikavanje (funkcija) f skupa A u skup B je relacija f  A  B koja ima osobinu
da je svaki element skupa A u relaciji f sa tačno jednim elementom skupa B.
Oznake: f : A  B; f ( x)  y, umesto ( x, y )  f .
f : A  B je 1-1 ako (x1 , x2  A)( f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2 ),
tj. ako (x1 , x2  A)( x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 )).
f : A  B je na ako (y  B )(x  A)( f ( x)  y ).
Kompozicija funkcija f : A  B i g : B  C je funkcija f g : A  C tako da je
( f g )(a )  g ( f (a )), za svako a  A.
Funkcija f : A  B je bijekcija ako je i 1-1 i na. U ovom slučaju postoji inverzna funkcija
f 1 : B  A takva da je ( f
f 1 )(a )  a, za svako a  A.
Binarna operacija  je funkcija  : A  B  C koja paru (a, b) pridružuje rezultat a  b.
Ako je A  B  C , onda se kaže da je operacija zatvorena u skupu A, tj. da je
( A, ) grupoid.
8. Koja preslikavanja f : R  R su a) 1-1, b) na ?
1) f ( x)  3x 2) f ( x)  cos x 3) f ( x)  x 2  4
4) f ( x)  x  1
9. Naći f 1 (ako postoji) za funkcije iz prethodnog zadatka.
10. Koji uređeni parovi predstavljaju grupoide?
1) (N , ) 2) (R, )
3) (Z , )
4) (Q \ 0 , )
11. Koje su binarne operacije u datom skupu a) komutativne,
b) asocijativne?
1) oduzimanje u R 2) množenje u N 3) deljenje u Q \ 0
4) sabiranje u Z