Transcript Teorija grupa i simetrija u muzici (2010)

Teorija grupa i simetrija u muzici
Nada Cvetković 352/08
1. Skupovi i grupe
•
•
•
•
•
Definicija grupe
Kejlijeva tablica
Red grupe
Definicija podgrupe
Posebne vrste grupa
1. Simetrična
2. Diedarska
3. Ciklička
Kejlijeva tablica
Simetrična grupa S3
Diederska grupa
Ciklička grupa
b 0  a,
b1  b
b2  c
2. Simetrije koje se javljaju u muzici
• Translacija
• Osna simetrija
• Rotacija
Translacija
Betovenova “Mesečeva sonata”
“Tokata i fuga u d-molu” J. S. Bah
Osna simetrija
“Peti gudački kvartet” Bartok Bela
“Valcer” Šopen
Vokalna vežba
Retrogradni kanon
J. S. Bah
Rotacija
“Španska rapsodija” Ravel
3. Homomorfizam grupe i Kejlijeva
teorema
 Definicija homomorfizma
f xy  f x  f  y 
 Teorema: Svaka konačna grupa reda n izomorfna je sa nekom
podgrupom simetrične grupe S n
 Definicija kongruencije 
 Defnicija binarne operacije na količničkom skupu G / 
x , y  G / 
x  y  xy
 / 12
 Isto tako u muzici možemo uvesti relaciju
ekvivalencije gde dva tona smatramo
ekvivalentnim ukoliko se razlikuju za ceo broj
oktava.
 Tada elementi prethodno navedene grupe
obrazuju klase ekvivalencije tonova, gde dve
note pripadaju istoj klasi tonova ako se razlikuju
za ceo broj oktava.
4. Nizovi tonova i operacije na njima
Definicija
Transpozicija
x3 0 8
T 4 ( x)  7 4 0
Inverzija
I x   9 0 4
T 6 I x  3 6 10
Retrogradna operacija
Rx   8 0 3
 Među navedenim operacijama važe sledeći ondosi:
T 12  e
T n R  RT n
T n I  IT  n
RI  IR
 U terminima teorije grupa, oparacije T n formiraju cikličku grupu  / 12
 Operacija R zajedno sa identičkom operacijom čini cikličku grupu  / 2
 Dekartov proizvod
a1 , b1 a2 , b2   a1a2 , b1b2 
 Direktan proizvod podgrupa
5. Orbite i klase razlagnja grupe
 Definicija dejstva grupe na skup
 Definicija binarne relacije na skupu
 Definicija orbite kao klase ekvivalencije

x G   g x  g  G

 Definicija desne klase elementa a
 Teorema 1: x  Ha ako i samo ako x H a
 Definicija leve klase elementa a
 Teorema 2: Postoji bijekcija iz H na desnu klasu Ha
 Teorema 3: Red konačne grupe deljiv je redom svake njene
podgrupe.
 Definicija stabilizatora elementa x


G x  g  G  g x   x
 Teorema 4: Stabilizator elementa x je podgrupa grupe G
 Teorema 5: Postoji bijekcija između desnih klasa razlaganja grupe G
po stabilizatoru elementa x i orbite elementa x.
 Posledica 6.
G : Gx  
xG
6. Normalna podgrupa i količnička grupa
 Definicija normalne podgrupe
 Definicija operacije na količničkom grupoidu
 Teorema:
G / H  aH a G
 Jezgro homomorfizma
 Teorema o homomorfizmu
je grupa
7. Lema Brnsajda
 Problem prebrojavanja nizova tonova
 Apstraktna formulacije problema
8. Skupovi klasa tonova
 Primarna forma
 Vektor intervala
 Oznake