Transcript L`aire totale d`une figure à trois dimensions composée

Chapitres 5,6,9 : La
mesure et la géométrie
Une hypothèse


Une hypothèse est un énoncé
mathématique que nous proposons comme
vrai sur la base des observations faites,
mais que personne n’a pu prouver.
Une hypothèse est utilisée constamment
avec des preuves de la géométrie.
Les droites sécantes et les
segments de droite sécants




Quand deux droites se coupent, elles
forment quatre angles.
Les angles opposés par le sommet ont
la même mesure.
Deux angles dont la somme est de
180° sont supplémentaires.
Deux angles dont la somme est de 90°
sont complémentaires.
Les droites
perpendiculaires


Les droites perpendiculaires sont les
droites qui coupent à un angle droit
(90°) vers le haut ou vers le bas.
Les droites perpendiculaires ont des
pentes qui sont les réciproques
négatives aux eux-mêmes (voir
l’exemple au tableau)
Les droites parallèles


Les droites parallèles sont les droites
qui ne coupent jamais.
Les droites parallèles ont les mêmes
pentes (chapitre 2) mais les ordonnées
à l’origine différentes (des points de
départ différents)
Des théorèmes des
droites parallèles

1.
2.
3.
Quand une droite coupe des droites
parallèles, 3 relations particulières entre
les angles formés (voir la page 259):
Les angles alternes internes (la forme en
Z)
Les angles correspondants (la forme en F)
Les angles supplémentaires internes (la
forme en C)
Les préfixes communs

Les préfixes sont
toujours attachés au
commencement du
mot et ils veulent dire
un sens spécifique.









Tri = 3
Tetra = 4
Penta = 5
Hexa = 6
Hepta = 7
Octa = 8
Nona = 9
Deca = 10
etc
Un polygone




Un polygone a tous des côtés congruents et
tous des angles congruents.
Les polygones peuvent être régulier ou
irrégulier.
Les polygones régulier ont la symétrie de
rotation et symétrie de la réflexion.
Voici la différence principale entre les
polygones régulier et irrégulier.
Les exemples des polygones
régulier communs





Un trigone régulier (un triangle
équilatéral
Un tétragone régulier (un carré)
Un pentagone régulier (pentagone)
Une hexagone régulier
Un octogone régulier
Les préfixes du système
métrique

Les préfixes
fréquemment utilisés
sont:







Kilo- (k) = 1000
Hecto- (h) = 100
Déca- (da) = 10
Base- = 1
Déci- (d)= 1/10 = 0.1
Centi- (c) = 1/100 =
0.01
Milli- (m) = 1/1000 =
0.001
Convertir des mesures
entre unités métriques

Pour convertir une mesure en une
mesure qui utilise un préfixe différent,
tu peux utiliser l’escalier métrique.
Comment utiliser
l’escalier métrique #1


Quand tu descends l’escalier, tu
convertis une unité en une unité plus
petite.
Alors, tu multiplies le nombre donné
par 10nombre de marches
Un exemple de
conversion #1




Pour convertir 6 km en mètres:
6 km = (6 x 103) m
6 km = (6 x 1000) m
6 km = 6000 m
Comment utiliser
l’escalier métrique #2


Quand tu montes l’escalier, tu
convertis une unité en une unité plus
grande.
Alors, tu divises le nombre donné par
10nombre de marches
Un exemple de
conversion #2




Pour convertir 1200 mL en litres:
1200 mL = (1200 ÷ 103) L
1200 mL = (1200 ÷ 1000) L
1200 mL = 1.2 L
Le périmètre
Le périmètre est la distance totale
autour de la figure.
 Le symbole du périmètre est P.
 Le périmètre est une valeur
unidimensionnelle mesurée en
unités linéaires (un exposant de 1)
comme le millimètre, le centimètre,
le mètre ou le kilomètre.

L’aire



L’aire est la mesure de la région que la
figure contient.
Le symbole de l’aire est A.
L’aire est une valeur bidimensionnelle,
mesurée en unités carrées (exposant
de 2) comme le centimètre carré, le
mètre carré ou le kilomètre carré.
L’aire du rectangle


Pour calculer l’aire du rectangle:
Arectangle = longueur x largeur
L’aire du triangle


Pour calculer l’aire du triangle:
Atriangle = ½ x base x hauteur
Une figure composée


Une figure composée est une figure
qui se compose de deux ou plus
figures communes.
Par exemple, tu peux décomposer le
pentagone en un rectangle et un
triangle.
Un cercle




A cercle est une figure à 2 dimensions
formée de tous les points d’un plan qui sont
équidistants d’un point fixé.
Cette distance constante s’appelle le rayon
du cercle.
Le point fixé s’appelle le centre du cercle.
Il y a 360° dans une rotation complète
autour un cercle.
Qu’est-ce que c’est pi?




Pi est un nombre irrationnel qui représente
le rapport du circonférence du cercle à son
diamètre.
Le symbole du pi est ∏
Pi égale à 3.1412… (c’est un nombre
décimal illimité et apériodique)
Pour rendre la vie plus facile, nous allons
assumer toujours que la valeur de pi est 3.
La circonférence d’un
cercle



La circonférence d’un cercle est la
distance autour de la figure.
Alors. la circonférence est le périmètre
du cercle.
Le symbole de la circonférence est C.
Comment calculer la
circonférence



Pour calculer la circonférence d’un
cercle:
C = (2)(Π)(r) ou C=(Π)(d)
Π est le symbole de pi (qui est égale
environs à 3), r est le rayon du cercle
et d est le diamètre du cercle.
Comment calculer l’aire
d’un cercle


Pour calculer l’aire d’un cercle:
A = (Π)(r2)
Les termes de géométrie



Congruent veut dire la même forme et
la même taille.
Parallèle veut dire dans le même
espace mais pas d’intersection.
Un développement peut aider à
visualiser les faces d’une figure à trois
dimensions. (voir la page 221)
Les prismes et les
cylindres

Les prismes et les cylindres ont 2 faces
congruentes et parallèles.
Les exemples des prismes
et des cylindres

Il y a trois
exemples
communs:



un prisme
rectangulaire
un cylindre
un prisme
triangulaire
L’aire totale des prismes
et des cylindres

L’aire totale d’une figure à trois
dimensions est égale à la somme des
aires de toutes les faces.
Une figure à trois
dimensions composée

Une figure à trois dimensions
composée est formé de deux ou de
plusieurs figures à trois dimensions.
L’aire totale d’une figure à
trois dimensions composée


Pour déterminer l’aire totale de ce type
de figure, tu trouves l’aire des faces
exposées.
Alors, l’aire totale d’une figure à trois
dimensions est égale à la somme des
aires de toutes les faces.
Le volume de prismes et
de cylindres



Le volume d’un solide est l’espace
occupé par le solide.
Le symbole du volume est V.
Le volume est une valeur
tridimensionnelle exprimée en unités
cubiques (un exposant de 3), comme
les millimètres cubes, les centimètres
cubes et les mètres cubes.
La capacité de prismes et
de cylindres


La capacité est le volume maximal
qu’un récipient peut contenir.
La capacité est exprimé en litres ou en
millilitres.
Comment calculer le
volume d’un prisme:



Pour calculer le volume d’un prisme :
Vprisme = aire de la base x hauteur
Vprisme = Abase x h
Comment calculer le
volume d’un cylindre:


Pour calculer le volume d’un cylindre:
Vcylindre = Πr2 x h
Comment calculer le volume
de figure à 3-D composées

Tu peux trouver le volume d’une figure
à trois dimensions composée par
additionner les volumes des figures qui
forment la figure composée.
Le volume de figures à
trois dimensions



Le volume est l’espace qu’un objet
occupe, exprimé en unités cubiques.
Un polygone est une figure fermée à
deux dimensions dont les côtés sont
des segments de droite.
Un polyèdre est une figure à trois
dimensions dont les faces sont des
polygones.
Les figures à trois
dimensions

Nous allons calculer
le volume de trois
figures à trois
dimensions:
1.
2.
3.
Un cône
Une pyramide
Une sphère
Un cône

Un cône est un objet à trois
dimensions ayant une base circulaire
et une face courbe.
Comment calculer le
volume du cône



Pour calculer le volume d’un cône:
Vcône = 1/3 x (le volume de cylindre)
Vcône = 1/3 x Πr2 x h
Une pyramide


Une pyramide est un polyèdre qui a
une base polygonale et le même
nombre de faces que la base a de
côtés.
Comme les prismes, les pyramides
sont nommées d’après la forme de
leur base.
Comment calculer le
volume d’une pyramide



Pour calculer le volume d’une
pyramide:
Vpyramide= 1/3 x(le volume de prisme)
Vpyramide = 1/3 x Abase x h
Une sphère


Une sphère est un objet rond comme
une balle.
Tous les points de la surface d’une
sphère sont à la même distance du
point fixe appelé « centre »
Comment calculer le
volume d’une sphère


Pour calculer le volume d’une sphère:
Volume d’une sphère = 4/3 x Πr3
L’aire totale de figures à
trois dimensions



L’aire totale est la somme des aires de
toutes les faces d’une figure à trois
dimensions.
L’aire totale de n’importe quel prisme,
pyramide ou cylindre est simplement
la somme de l’aire des faces exposées.
Le symbole de l’aire totale est At
Comment calculer l’aire
totale du cylindre

Pour calculer l’aire totale du cylindre:

At= 2Πr2 + 2Πrh
Comment calculer l’aire
totale du cône



Pour calculer l’aire totale du cône:
Trouve la somme de l’aire de sa base
et l’aire latéral.
At = Πr2 + Πro
La génératrice



La longueur de la génératrice utilise le
symbole o
En anglais, la génératrice veut dire
« slant height »
La génératrice est calculée en utilisant
le théorème de Pythagore.
Comment calculer l’aire
totale d’une sphère

Pour calculer l’aire totale d’une sphère:

At = 4Πr2
Un cube



Un cube est le produit de trois facteurs
égaux.
Chaque facteur représente la racine
cubique du nombre.
Par exemple, la racine cubique de 8
est 2 parce que 23 = 2 x 2 x 2 = 8
Unique Triangles

A unique triangle is a triangle that does
not have an equivalent. (“one-of-a-kind”)
How to create a unique
triangle

1.
2.
3.
4.
These conditions are needed to create a
unique triangle:
The SSS case means that all three sides are given.
The SAS case means that the measures of two sides
and the angle between the two sides are given.
The ASA case means that the two angles and the
side contained between the two angles are given.
The AAS case means that the two angles and a noncontained side are given.
Congruence


The symbol for congruence, ≈, is read
« is congruent to. »
If 2 geometric figures are congruent,
they have the same shape and size.
How to determine 2
Congruent Triangles

1.
2.
3.
To determine 2 congruent triangles, we must
check a set of minimum sufficient conditions:
Measure the lengths of 1 pair of
corresponding sides and 2 pairs of
corresponding angles and find them equal.
Measure the lengths of 2 pairs of
corresponding sides and the angles included
by these sides and find them equal.
Measure the lengths of 3 pairs of
corresponding sides and find them equal.
Similar figures


The symbol, ~, means « is similar to »
Two figures (polygons) are similar
when their corresponding angles have
the same measure and their
corresponding sides are in proportion.
How to determine 2
Similar Triangles

1.
2.
3.
To determine 2 similar triangles, we must check a
set of minimum sufficient conditions:
2 pairs of corresponding angles have the
same measure.
The ratios of 3 pairs of corresponding sides
are equal (i.e. these 3 pairs are proportional)
2 pairs of corresponding sides are
proportional and the corresponding included
angles are equal.
Transformations
A transformation is a mapping of
one geometrical figure to another
according to some rule.
 A transformation changes a figure’s
pre-image to an image.

Pre-image vs. Image



A pre-image is the original line or
figure before a transformation.
An image is the resulting line or figure
after a transformation.
See page 5 of Math 9 booklet to see
the difference in notation between
these 2 terms.
The types of
transformations

There are 4 types
of
transformations:
 Translations
 Reflections
 Rotations
 Dilatations.
A translation

A translation is a slide. It is
represented by a translation arrow.
A reflection

A reflection is a flip. It is
represented by a reflection line m
(a double arrowed line)
A rotation

A rotation is a turn. It is
represented by a curved arrow
either in a clockwise or counter
clockwise direction.
A dilatation



A dilatation is an enlargement or
reduction. Dilatations always need a
dilatation centre and a scaling factor.
A scale factor is a ratio or number that
represents the amount by which a
figure is enlarged or reduced:
(image measurement) ÷ (pre-image
measurement)
Transformations on a
Cartesian Grid


A map associates each point of a
geometric shape with a corresponding
point in another geometric shape on a
Cartesian Grid.
A map shows how a transformation
changes a pre-image to an image.
An example of a map

(2,3) → (4,7) means that the point
(2,3) maps onto point (4,7).
 This implies that there is a
relationship between the 2 points.
 (2,3) and (4,7) are called
corresponding points.
Mapping Rule
The relationship between 2
corresponding points, expressed as
algebraic expressions, is called a
mapping rule.
 For example: (2,3) → (4,7) has a
mapping rule (x,y) → (x+2, y+4)

Properties of
Transformations


The properties of translations,
reflections and 180° rotations were
discussed in Grade 8.
These properties are summarized on
the worksheet (GS BLM 6.2 Properties
of Transformations Table)
Minimum Sufficient Conditions
for Transformations

To be certain that 2 shapes have
undergone a specific transformation,
one must provide a minimum sufficient
condition (information).
The Minimum Sufficient
Condition for a Translation

The line segments joining
corresponding points are congruent,
parallel and in the same direction.
Minimum Sufficient
Condition for a Reflection

The line segments joining
corresponding points have a common
perpendicular bisector.
A perpendicular bisector


A perpendicular bisector is a line
drawn perpendicular (at a 90° angle)
to a line segment dividing it into 2
equal parts.
The perpendicular bisector always
intersects with the midpoint of the
original line segment.
Minimum Sufficient Condition
for a 180° Rotation

The line segments joining
corresponding points intersect at their
midpoints.
Regular polyhedron
(Grade 7)


A regular polyhedron is a 3-D figure
with faces that are polygons.
Polyhedron’s plural is polyhedra.
Platonic solids

The Platonic solids are the 5 regular
polyhedra named after the Greek
Mathematician Plato.
The 5 Platonic solids
1.
2.
3.
4.
5.

The cube
The regular tetrahedron
The regular octahedron
The regular dodecahedron
The regular icosahedron
See Page 39 of Math 9 booklet
The 3 characteristics of regular
polyhedra (Platonic solids)
1.
2.
3.
All faces are 1 type of regular
polygon.
All faces are congruent.
All vertices are the same (i.e. they
have vertex regularity)
What is vertex regularity?


When all vertices in a polyhedron are
the same, you have vertex regularity,
which can be described using notation.
For example, the notation {5,5,5}
represents the vertex regularity of a
regular dodecahedron because there
are 3 regular 5-sided polygons at
every vertex.
Circle Geometry

In this section of
circle geometry, we
will be introduced
to these new terms:




Central angles
Inscribed angles
Tangent of a circle
Circumscribed angle
Central angle

A central angle is an angle formed by
2 radii of a circle. (page 42)
Inscribed angle


An inscribed angle is an angle that has
its vertex on a circle and is subtended
by an arc of the circle. (page 42)
What does “subtended” mean
geometrically?
Tangent of a circle

A tangent of a circle is a line that
touches a circle at only 1 point, the
point of tangency. (page 43)
Circumscribed angle

A circumscribed angle is an angle with
both arms tangent to a circle. (page
44)
A polygon



A polygon has all sides congruent and
all angles congruent.
Polygons can be both regular and
irregular.
Regular polygons have both reflective
and rotational symmetry. (Major
difference between regular and
irregular polygons)
Regular polyhedron


A regular polyhedron is a 3-D figure
with faces that are polygons.
Polyhedron’s plural is polyhedra.
Polyhedra with regular
polygonal faces

In grade 9
Geometry, there are
several types of
polyhedra:






The 5 Platonic
solids
A uniform prism
An antiprism
A deltahedron
A dipyramid
The Archimedean
solids
The 5 Platonic solids
1.
2.
3.
4.
5.

The cube
The regular tetrahedron
The regular octahedron
The regular dodecahedron
The regular icosahedron
See Page 39 of Math 9 booklet
Uniform prism

A uniform prism is a prism having only
regular polygonal faces. (page 50)
Antiprism



An antiprism is a polyhedron formed
by 2 parallel, congruent bases and
triangles.
Each triangular face is adjacent (next
to) 1 of the congruent bases.
Page 51
Deltahedron




A deltahedron is a polyhedron that has
only equilateral triangle faces.
The deltahedron is named after the
Greek symbol delta (Δ)
The plural is deltahedra.
Page 51
Dipyramid


A dipyramid is a polyhedron with all
triangle faces formed by placing 2
pyramids base to base.
Page 52
Archimedean solids


The Archimedean solids are the 13
different semi-regular polyhedra.
The Archimedean solids have vertex
regularity and symmetry (reflective
and rotational)
13 Archimedean solids
(page 53)







Cuboctahedron
Great rhombicosidodecahedron
Great rhombicuboctahedron
Icosidodecahedron
Small rhombicosidodecahedron
Small rhombicuboctahedron
Snub cube
13 Archimedean solids
(page 53) continued






Snub dodecahedron
Truncated dodecahedron
Truncated icosahedron
Truncated octahedron
Truncated tetrahedron
Truncated cube
What is a vertex?


A vertex is a point at which 2 or more
edges of a figure meet.
The plural is vertices.
Vertex configuration



Vertex configuration is the arrangement of
regular polygons at the vertices of a
polyhedron. (page 50)
Vertex configuration notation refers to the
types of regular polygons around a vertex.
For example, the notation {3,4,5,4} means
that a vertex has an equilateral triangle, a
square, a regular pentagon and a square
around it in that order.
Plane of symmetry


A plane of symmetry is a plane
dividing a polyhedron into 2 congruent
halves that are reflective images
across the plane.
Page 53
Axis of symmetry


An axis of symmetry is a line about
which a polyhedron coincides with
itself as it rotates.
The number of times a polyhedron
coincides with itself in 1 complete
rotation is its order of rotational
symmetry.
The properties of regular
polyhedra
1.
2.
3.
4.
5.
All faces are regular polygons.
All faces are the same type of congruent
polygon.
The same number of faces meet at each
vertex.
Regular polyhedra have several axis of
symmetry (rotational symmetry)
Regular polyhedra have several planes of
symmetry (reflective symmetry)
The difference between semiregular and regular polyhedra



Regular polyhedra = Platonic solids,
etc.
Semi-regular polyhedra =
Archimedean solids
All faces of a semi-regular polyhedron
are not the same type of regular
polygon.