Transcript Funktionen - Johannes-Kepler

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Funktionen I
Johannes-KeplerGymnasium
Funktionen
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Lernangebot
1. Was sind Funktionen?
2. Darstellungsformen von Funktionen
3. Wichtige Funktionen und ihre Graphen
4. Wie beschreiben Mathematiker
Funktionsgraphen?
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Was sind Funktionen?
Funktionen sind besondere Zuordnungen
Was ist überhaupt noch mal eine Zuordnung?
Einige Beispiele helfen, diese Frage zu beantworten:
 Jedem Kind kann sein Lieblingskuscheltier,
 jedem Schüler seine Schuhgröße,
 jedem Topf sein Deckel,
 jedem ...
zugeordnet werden.
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Das Ganze nun etwas mathematischer!
Elementen der Definitionsmenge D werden immer
Elemente der Wertemenge W zugeordnet.
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oder bekannter mit xx und y
Den Elementen x aus der Definitionsmenge D
werden jeweils
Elemente y aus der Wertemenge W zugeordnet.
-
-l
-
-
-l
-l
-l
-l
l
l
l
l
l
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Was für Zuordnungen sind denn jetzt Funktionen?
Jedem Element der Definitionsmenge D wird genau
ein Element der Wertemenge W zugeordnet.
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Ist diese Zuordnung eine Funktion?
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Wie funktioniert eine Funktion?
Beispiele:
Funktion

Saft machen

Input - Output - Maschine
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Darstellungsformen von Funktionen
Wertetabelle
Funktionsvorschrift
x
x2  1
Funktionsgleichung
y  x2  1
Graph
y 6
5
4
3
2
1
-1
1
-1
2
3
x
x
y
1
2
1,5
3,25
2
5
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Das Spiel:
Funktionen erkennen anhand von Tabellen und
Graphen
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Das Spiel
Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion?
Ja
x
y
1
-5
3
1
5
4
-2
6
3
2
-4
-3
0
7
6
0
Nein
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Funktionen I
Das Spiel
Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion?
Ja
x
y
1
-5
3
1
5
4
-2
6
3
2
-4
-3
0
7
6
0
Nein
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Das Spiel
y
3
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
x
-1
Ja
Handelt es sich um den
Graphen einer Funktion?
Nein
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Das Spiel
Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion?
Ja
x
y
-6
9
0
6
7
0
3
4
2
3
4
5
1
3
3
4
Nein
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Das Spiel
Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion?
Ja
x
y
-6
9
0
6
7
0
3
4
2
3
4
5
1
3
3
4
Nein
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Das Spiel
y
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
x
-1
Ja
Handelt es sich um den
Graphen einer Funktion?
Nein
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Das Spiel
y
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
x
-1
Ja
Handelt es sich um den
Graphen einer Funktion?
Nein
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Das Spiel
Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion?
Ja
x
y
0
3
4
1
7
-5
4
2
5
3
-6
1
8
0
-2
9
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Das Spiel
Handelt es sich um die Tabelle einer Funktion?
Ja
x
y
0
3
4
1
7
-5
4
2
5
3
-6
1
8
0
-2
9
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Das Spiel
y
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
x
-1
Ja
Handelt es sich um den
Graphen einer Funktion?
Nein
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Das Spiel
y
2
1
-3
-2
-1
1
2
3
x
-1
Ja
Handelt es sich um den
Graphen einer Funktion?
Nein
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Funktionsklassen
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Was sind noch mal Potenzfunktionen?
Funktionen der Form
y = a·xn
mit nIN und a  IR nennt
man Potenzfunktionen mit
natürlichen Exponenten.
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Graphen von einfachen Potenzfunktionen
y
4
3
2
1
-3
-2
-1
-1
1
2
3
3
xx
-2
-3
-4
x2
x3
x4
x5
x6
x7
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Wir schaffen Ordnung
Graphen von einfachen Potenzfunktionen (a=1)
mit geraden Exponenten
y
x2
mit ungeraden Exponenten
3
y
x
x3
x4
2
2
x5
x6
3
1
x7
1
-3
-2
-1
1
-1
-3
-2
-1
1
-1
2
3
x
-2
-3
2
3
x
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Monotonie
Streng monoton runter und rauf
Für alle x1 , x 2  0 gilt:
Wenn x1  x 2 ist, dann ist f(x1 )  f(x2 ) .
f ist für x  0 streng monoton fallend.
Für alle x1 , x 2  0 gilt:
x1
x2
x1
x2
Wenn x1  x 2 ist, dann ist f(x1 )  f(x 2 ) .
f ist für x  0 streng monoton steigend.
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Monotonie
Streng monoton rauf und runter
Für alle x1 , x 2  0 gilt:
Wenn x1  x 2 ist, dann ist f(x1 )  f(x 2 ) .
f ist für x  0 streng monoton steigend.
Für alle x1 , x 2  0 gilt:
Wenn x1  x 2 ist, dann ist f(x1 )  f(x2 ) .
f ist für x  0 streng monoton fallend.
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Die drei Fragen
• Was versteht ein Mathematiker unter dem
Begriff „Funktion“?
• Wie kann man Funktionen darstellen?
• Welche Eigenschaften haben Potenzfunktionen?
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Aufgaben
Stunde
1
(Arbeitsblatt
Funktionen)
2
(Arbeitsblatt
Potenzfunktionen)
BASIC´s
Vorderseite (a, b, c, d)
2.) a
3.)
1a) 2)
3a) (I, III, V)
4)
TOP´s
2.) b
3b) 5) 7)
4.)
6
Viel Erfolg!