Transcript 第5章测量误差的基本知识 - 青岛滨海学院机电工程学院

第五章 测量误差的基本知识
青岛滨海学院
主讲：
第五章 测量误差的基本知识
5．1测量误差概述
5．2偶然误差的特性
5．3衡量观测值精度的指标
5．4误差传播定律及其应用
5．5等精度独立观测值的算术平
均值及精度评定
5．6不等精度独立观测值的加权
平均值及精度评定
第五章 测量误差的基本知识
•学习目标：通过学习，了解误差产生的规律，正确
处理观测结果。即根据观测结果，求出最可靠值，并
衡量其精度，选取适当测量方法，以符合规定精度。
第五章 测量误差的基本知识
5．1测量误差概述
5．2偶然误差的特性
5．3衡量观测值精度的指标
5．4误差传播定律及其应用
5．5等精度独立观测值的算术平
均值及精度评定
5．6不等精度独立观测值的加权
平均值及精度评定
5.1概述
一、测量误差的发现
1、对同一量进行多次观测，发现观测值不相等
2、某几个量应满足一定的几何条件
如：三角形
α+β+γ=180°
闭合水准 Σh=0
实际测量结果不等于零
原因：测量有误差
二、观测误差的分类
（一）系统误差
1、定义：
在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差
在大小、符号上都相同，或按一定规律变化，这
种误差称为系统误差。
积累性
2、例子：
水准测量：i角误差，地球曲率，大气折光
角度测量：
CC不⊥HH，HH不⊥VV，照准部偏心误差
钢尺量距：尺长，温度，倾斜误差
3、消除方法
（1）采用适当的观测方法
水准测量时前后视距离相等，
可消除i角误差，地球曲率和大气折光的影响
水平角测量时盘左盘右观测取平均值
可消除CC不⊥HH，HH不⊥VV，照准部偏心误差
（2）观测值加改正数
钢尺精密量距计算要加尺长，温度和倾斜改正
（3）测量仪器校正
（二）偶然误差(Δ)
1、定义：
在相同的观测条件下作一系列的观测，如果少量误差出
现从表面上看其大小和符号没有规律性，但就大量误差
出现总体却具有一定的统计规律性,这种误差称为偶然
误差
偶然性
2、例子：
读数误差，照准误差，
闭合水准高差闭合差，
三角形角度闭合差,
3、减小方法：
用高精度仪器，熟练观测员，选择好的观测时间
（三）错误（粗差）
1、种类：读错，记错，算错，瞄错方向
2、要求：观测成果杜绝错误
3、方法：进行多余观测
（四）观测误差处理原则
观测成果整理时要求:
杜绝错误，消除系统误差，
对偶然误差进行处理
（五）研究误差理论的任务
1、求观测值的最可靠值（平均值）
2、评定测量成果的精度
第五章 测量误差的基本知识
5．1测量误差概述
5．2偶然误差的特性
5．3衡量观测值精度的指标
5．4误差传播定律及其应用
5．5等精度独立观测值的算术平
均值及精度评定
5．6不等精度独立观测值的加权
平均值及精度评定
5.2 偶然误差的特性
一、定义式：
在相同的观测条件下对此量进行n次观测，真值为X
观测值
L1，L2，……Ln，
偶然误差（又称真误差）
Δ1，Δ2……Δn，
则
Δi=Li-X
其中
Δi——偶然误差（真误差）
Li——观测值
X——真值
例如 Δi=Wi=（L1+L2+L3）-180°
其中 Wi——三角形闭合差
二、实例：
1.用表格表示
观测358个三角形，得到358个真误差，按一定的
方法统计在表中
2.用直方图表示
从表格和直方图中可以得出偶然误差的三个特性：
1）误差都不超过24″
2）误差小出现的个数多
3）正误差和负误差出现的个数大致相同
3.误差分布曲线
当观测值无限增大时，各长方形顶边的折线就变成
一条光滑的曲线 ，称为误差分布曲线 ,
三、偶然误差统计特性
从误差分布曲线中，可以看到偶然误差的
四个统计特性：
1、在一定观测条件下，
Δmax≤定值
2、P(∣Δ大∣)< P(∣Δ小∣)
3、P(+Δ)= P(-Δ)
1  L L   n
0
n 
n
4、 lim
第五章 测量误差的基本知识
5．1测量误差概述
5．2偶然误差的特性
5．3衡量观测值精度的指标
5．4误差传播定律及其应用
5．5等精度独立观测值的算术平
均值及精度评定
5．6不等精度独立观测值的加权
平均值及精度评定
在测量工作中，常采用以下几种标准评
定测量成果的精度。
中误差
相对中误差
极限误差
中误差所代表的是某一组观测
值的精度。
极限误差是衡量观测值是否被
采用的标准。
相对中误差反应观测的质量。
5.3 衡量观测值精度指标
一、中误差
1、定义式：某量的真值为X，
在相同的条件下进行n次观测
观测值
L1， L2，…… Ln，
真误差
Δ1， Δ2，……Δn，
则中误差定义式为
2



   L L  

m

n
n
2
1
2
2
2
n
【例题】用二台不同精度的经纬仪观测10个三角形
的内角，三角形的真误差为
第一组 3，-2，-4，2，0，-4，3，+2，-3，-1秒
第二组 0，-1，-7，+2，+1，+1，+8，0，3，-1秒
试求：m1和m2,哪台仪器误差比较小,精度高?
解
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3  (2)  (4)  2  0  (4)  3  2  (3)  (1)
m1  
 2.7
10
m2  3.6
第一台经纬仪测角中误差小，精度高
二、允许误差
由概率论知道，偶然误差绝对值大于二倍中误差
个数约占总数的5%，大于3倍中误差的占总数的
0.3%,把二倍或三倍中误差作为允许误差。
允  2m ~ 3m
作用：区别误差和错误的界线。
三、相对中误差
真误差、中误差、允许误差都称为绝对误差。
相对中误差的定义：
中误差与观测值之比，并把分子化成1
m
1
K 
D D/ m
【例题】已知：钢尺量两段距离，D1=500米，D2=80
米，中误差相同 m1=m2=±0.02米。试求:K1和K2
解：
K1 
0.02
1

500 25000
0.02
1
K2 

80 4000
由此可见，中误差有时候不能反映观测精度，
而相对中误差能反映观测精度。
高差，高程，水平角，竖直角的测量精度采用中
误差，
而钢尺量距采用相对中误差。
四、权
设有一组不同精度的观测
观测值 L1 L2 …… L0 …… Li
中误差 m1 m2 …… m0 …… mi
权
P1 P2 …… P0=1…… Pn
选择其中某一观测为L0，其中误差m0称为单位权中误差，
它的权为P0=1
1、权定义：
单位权中误差平方m02与其他观测值的中误差mi2之比，
m02
称为观测值的权。用公式表示
Pi  2
mi
从公式中看到观测值的权与观测值的中误差平方成反比。
【例题】已知：m0=±10毫米，其权P0=1，
第一条水准路线m1=±22.4毫米，
第二条水准路线m2=±31.6毫米，
试求：P1，P2
解：
2
2
m02 102
P1  2 
 0.20
2
m1 22.4
m0 10
P2  2 
 0.10
2
m2 31.6
权是反映观测值的相对精度。
观测值中误差越小，权越大，观测精度越高。
第五章 测量误差的基本知识
5．1测量误差概述
5．2偶然误差的特性
5．3衡量观测值精度的指标
5．4误差传播定律及其应用
5．5等精度独立观测值的算术平
均值及精度评定
5．6不等精度独立观测值的加权
平均值及精度评定
•
在测量工作中，有些未知量往往不能直
接测得，而需要由其它的直接观测值按一
定的函数关系计算出来。由于独立观测值
存在误差，导致其函数也必然存在误差，
这种关系称为误差传播。阐述观测值中误
差与观测值函数中误差之间关系的定律称
为误差传播定律。
5.4 误差传播定律及其应用
评定直接观测值的精度
m
[vv]
n
如何评定直接观测值函数的精度，
如：在三角形中，测量α±mα，β±mβ
可计算， γ=180°-α-β，如何求mγ？
如：三角高程中，测量D±mD ， α±mα ，
可计算，h=Dtanα，如何计算mh ？
要用误差传播定律来计算
一、线性函数的误差传播定律
（一）公式
设有n个独立观测值Xi的一个线性函数
Z=K1X1+K2X2+…+KnXn+K0
其中 Ki—已知常数
则Z的中误差为
m  (k1m1 )  (k2m2 )   (kn mn )
2
z
2
2
其中mi—独立观测值Xi的中误差
2
（二）计算步骤
1.根据实际测量问题的要求写出函数式
Z=K1X1+K2X2+…+KnXn+K0
2.把函数式转变成相应的中误差，去掉常数项K0
然后把等式两边的每一项取平方和
mz  K1m1  K2m2  K  Kn mn
m   K1m1    K 2 m2   K   K n mn 
2
z
2
2
2
【例题5-4】已知：在三角形中测得
α±mα=70°42′06″±3.5″，
β±mβ=31°13′30″±6.2″。
试求：γ角及其中误差mγ。
解：函数式：γ=180°-α-β=78°04′24″
中误差式： m2   m 2   m 2
γ
mγ 
α
 mα    mβ 
2
β
2
 3.52  6.22  7.1˝
最后写成：
γ+mγ=78°04′24″±7.1″
【例题5-5】已知：水准路线AB总共观测n站，
每站测量高差的中误差m站
试求：AB两水准点高差hAB的中误差
解：1.函数式：
hAB=h1+h2+…+hn
2.中误差式：
2
2
2
2
mh  nm站
mh2  m站
 m站
 ...  m站
 nm站
3.若n=10站，m站=±2毫米
则有
mh  nm站  10  2  6.3毫米
【例题5-6】已知：对某量同精度观测n次，
观测值
L1，L2，…，Ln，
观测值中误差
m，m，…，m,
试求：平均值x及其中误差M
解：1.函数式：
2.中误差式：x  L1  L  Ln  L1  L2  K  Ln
2
n
2
n
n
m m
m
M       K   
n n
n
m2 m2
 n 2 
n
n
m
M 
n
2
2
n
3.若m=±8.5″，n=8测回
则
m 8.5
M

 3.0˝
n
8
【例题】等精度观测了四边形内角各三个测回，
一测回角度中误差mβ=±8.5″，
求:四边形角度闭合差f的中误差mf
解：1．计算每个角度三测回平均值中误差
M 
m
n

8. 5
 4. 9‫״‬
3
2.列出四边形角度闭合差的函数式
3.变成中误差式
f  1  2  3  4  360
mf2  M2  M2  M2  M2  4M2
 mf  2M  2  4. 9  9. 8‫״‬
ْ
二、一般函数的误差传播定律
（一）公式
设有n个独立观测值Xi的一般函数：
Z  f  x1, x2 ,K , xn 
全微分式
变成中误差式
f
f
f
dZ 
dx1 
dx2  K 
dxn
x1
x2
xn
 k1dx1  k2 dx2  K  kn dxn
m   k1m1    k2 m2   ...   kn mn 
2
Z
2
其中mi—独立观测值Xi的中误差
2
2
（二）计算步骤
1.按实际测量问题的要求写出函数式
Z  f  x1, x2 ,K , xn 
2.对函数进行全微分
f
f
f
dZ 
dx1 
dx2  K 
dxn
x1
x2
xn
3.变成中误差式
 k1dx1  k2 dx2  K  kn dxn
m   k1m1    k2 m2   ...   kn mn 
2
Z
2
2
2
【例题】已知：测量矩形的长和宽
a±ma=20.000±0.002米
b±mb=50.000±0.004米
试求：矩形的面积S及其中误差mS
解： 1.函数式：S=a×b=20×50=1000米2
2.全微分：ds  b  da  a  db
3.变成中误差式：
ms2  (b  ma )2  (a  mb )2
 ms  (b  ma )2  (a  mb ) 2
 (50  0.002)2  (20  0.004)2
 0.128米2
最后写成s±ms=1000±0.128米2
【例题5-7】已知：三角高程测量，测量得到
D±mD=120.250±0.050m，α±mα=12°47′00″±30″，
试求：高差h及其中误差mh
解：（1）函数式：
°
h

D
tan
α

120.250

tan12
47´00˝= 27.283m
（2）全微分：
dh   tan α  dD  ( D )  d tan α
dh   tan α  dD  ( D  sec 2 α)(
（3）变成中误差式
d α‫״‬
)
ρ‫״‬
m ‫״‬
m   tan α  m  ( D  sec α) (  ) 2
ρ‫״‬
2
2
h
mh 
2
D
2
2
 tan12 47´00˝    0.05  (120.250  sec2 12o 47´00˝)2 (
o
2
2
 0.022m
最后写成：h±mh=27.283±0.022米
30
)2
206265
【例题5-8】已知：
钢尺量得AB斜距L±mL=29.992±0.003米
测量AB的高差h±mh=2.050±0.050米
试求：水平距离D及其中误差mD
解：（1）函数式：
（2）全微分：D2=L2-h2
化简：
2
D  L  h2  29.9922  2.0502  29.922米
2 DdD  2 LdL  2hdh
DdD  LdL  hdh
（3）变成中误差式
（D×mD）2=（L×mL）2+（-h×mh）2
整理：
2
2
 L  mL    h  mh 
MD 
D
 29.992  0.003   2.050  0.050 
2

最后写成
29.922
 0.005米
D±mD=29.922±0.005m
2
三 误差传播定律的应用
（一）水准测量的精度
水准路线高差总和的中误差
m h  nm站

m h  Lm1km

其中 n——水准线路的总站数
L——水准线路的长度
m站——每测站测量高差的中误差
m1km——每千米测量高差的中误差
（二）测回法测量水平角的精度
1.DJ6经纬仪-测回的方向值 a，c ，
其中误差 m1方  6.0″
1
a  [a左 （a右  180o）
]
2
1
c  [c左 （c右  180o）
]
2
2.半测回的方向值为a左，a右，c左，c右，其中误差m半方根据
上述公式
1
1
1 2
2
2
m12方 （ m半方）
（ m半方）
 m半方
2
2
2
对于DJ6经纬仪
 m半方  2m1方
m半方  2  6.0  8.5‫״‬
3.半测回的角度β上，β下，其中误差为m半角
β 上  c左  a左
β 下  c右  a右
2
2
2
( m半角) 2 （m半方）
（- m半方）
（
2 m半方）
m半角  2m半方  2 2m1方  2m1方
对于DJ6经纬仪： m半角=2×6.0=±12.0″
4.一测回角度为β，其中误差是m1角
则
对于DJ6经纬仪
1
β  (β 上  β 下 )
2
1
1
1 2
2
2
2
 m1角 （ m半角） （ m半角）  m半角
2
2
2
m1角  2m1方  2  6.0  8.5‫״‬
（三）电磁波测距仪
测量水平距离和高差的精度
已知：电磁波测距仪测得斜距 L±mL，
观测竖直角
α±mα
求：水平距D和高差h及其中误差mD和mh
解：
1.计算D和mD
函数式
全微分
D=Lcosα
中误差式
dα‫״‬
dD=(cosα)dL-(L  sinα)（
ρ‫״‬
）
mα 2
m D =[(cosα)mL ] +[-(L  sinα)（ ）
]
ρ‫״‬
2
2
2.计算h和mh
函数式
h=L·sinα
全微分
dα‫״‬
dh=(sinα)dL+(L  cosα)（
）
ρ‫״‬
中误差式
mα 2
m =[(sinα)mL ] +[(L  cosα)（ ）
]
ρ‫״‬
2
h
2
【例题5-9】已知：电磁波测距
L±mL=158.47±0.003米，
α±mα=35°18′55″±6.0″
试求：D±mD和h± mh
解：1.计算D和mD
D  Lcosα  158.470  cos35º18´55‫ ״‬ 129.309米
mα 2
m D = [(cosα)mL ] +[-(L  sinα)（ ）
]
ρ‫״‬
2
6.0 2
mD = [(cos35 18´55´  0.003)]
‫״‬
+[(158.470sin35 18 55‫]) () ״‬
ρ
o
=±0.0036米
2
o
2.计算h和mh
h  L sin α
 158.470  sin 35o18´55˝
= 91.608米
m h  [(sinα)m L ]2 +[(Lcosα)(
mα 2
)]
ρ
6.0
 [(sin 35 1855" )  0.003]  [(158.470  cos 35 1855" )(
)]2
206265
 0.0041米
o
2
o
四、根据真误差计算中误差的实例
根据三角形的闭合差W，计算三角形内角和的中误
差m∑
及测角中误差mβ
1.计算m∑
Wi  i  (αi +βi +γi ) 180°
三角形闭合差的计算公式：
[]
[WW ]
mw  m  

n
n
根据中误差的定义式：
2.计算mβ
  α+β+γ
m  3mβ
∵
m
[WW ]
则
mβ 

3
3n
这是著名的费列罗公式。
【例题5-10】已知：有20个三角形的闭合差Wi
+5＂，-7＂，-16＂，+2＂，-13＂，+8＂，-2＂，+7＂
-2＂，-6＂，-6＂，+3＂，+7＂，-3＂，-12＂，+1＂
-5＂，+19＂，+13＂，+7＂
试求：mΣ和mβ
解：
[WW ]
1512
m 

 8.7‫״‬
n
20
m 8.7
mβ 

 5.0‫״‬
3
3
应用误差传播定律的注意事项：
F
xi
• 1、式中的
是用观测值代入后算出的偏
导函数值。
• 2、当给出的角度中误差以度分秒为单位时，
则应除以
。
• 3、各观测值必须是相互独立的。
第五章 测量误差的基本知识
5．1测量误差概述
5．2偶然误差的特性
5．3衡量观测值精度的指标
5．4误差传播定律及其应用
5．5等精度独立观测值的算术平
均值及精度评定
5．6不等精度独立观测值的加权
平均值及精度评定
5.5 等精度观测
在相同的观测条件下，对某量进行n次观
测
观测值：
L1 L2 …… Ln
观测值中误差： m
m …… m
求：平均值x，观测值中误差m，平均值
中误差M
一、计算平均值
L1  L2  K  Ln  L
x

n
n
二、计算观测值中误差
VV 
V12  V22  K  Vn2
m 
 
n 1
n 1
其中：Vi——观测值改正数
计算公式：Vi=x-Li
三、计算平均值中误差
VV 

m
M

( n  1) n
n
【例题】已知：用经纬仪观测水平角6次，观测值列
入表中求：x，m和M
解：
1、计算平均值：
L

x
 75 21 26
n
2、计算中误差：
Vi=x-Li
Vi=0，2，3，1，-2，-4秒
VV   
34
m
 2.6
n 1
6 1
3、计算平均值中误差： M  m  2.6  1.1
n
6
【例题】已知：用钢尺量距6次，观测值列入表中。
求：x，m，M和平均值相对中误差K
解：
L

1、计算平均值： x   289.788米
n
2、计算观测值中误差：
Vi=x-Li
Vi=6，9，-2，-11，7，-9毫米
m
VV   
n 1
372
 8.6毫米
6 1
3、计算平均值中误差和相对中误差：
m 8.6
M

 3.5毫米
n
6
K
M
3.5
1


x 289788 83000
第五章 测量误差的基本知识
5．1测量误差概述
5．2偶然误差的特性
5．3衡量观测值精度的指标
5．4误差传播定律及其应用
5．5等精度独立观测值的算术平
均值及精度评定
5．6不等精度独立观测值的加权
平均值及精度评定
5.6 不等精度观测
在不同的观测条件下，对某量进行n次观测
观测值：
L1 L2 …… Ln
观测值中误差： m1 m2 …… mn
观测值的权：
P1 P2 …… Pn
求：加权平均值x和它的中误差M
一、计算加权平均值
PL
 PL
1、加权平均值
1 1  P2 L2  L  Pn Ln
x
2、计算观测值的权
计算水准路线的权
P1  P2  L  Pn
Pi 

 P
c
Si
其中 c——任意常数
Si——水准路线的长度，以公里为单位
二、计算加权平均值的中误差
2
2
PVV 
( PV

L

PV

1 1
n n )
M 

(n  1)( P1  L  Pn )
(n  1)  P 
【例题】已知：由四条水准路线组成的单结点
水准网。ABCD是已知水准点，分别测量E点的高程
L1 L2 L3 L4以及水准路线长度S1 S2 S3 S4列入表中
试求：x，M
解：1、计算水准路线的权
Pi=4.0，2.5，2.0，5.0
c 10
Pi  
Si Si
2、计算加权平均值
PL 4.0 128.814  L  5.0 124.817

x

 124.812米
4.0  2.5  2.0  5.0
 P
3、计算加权平均值的中误差
Vi=x-Li
Vi=-2，5，10，-5毫米
M
 PVV  
(n  1)  P 
=±3.2毫米
2
2
4.0 （-2）
 L  5.0 （-5）
（4-1） 13.5
课堂练习： 某一段距离共丈量了六次，结果如下表所示，求算
术平均值、观测中误差、算术平均值的中误差及相对误差。
测
次
观测值
/ m
1 148.643
2 148.590
3 148.610
4 148.624
5 148.654
6 148.647
平
均
观测值
改正数
v/ m m
vv
计算
课堂练习：某一段距离共丈量了六次，结果如表下所示，求算术
平均值、观测中误差、算术平均值的中误差及相对误差。
观测值
测
观测值
改正数
vv
计
算
次
/ m
v/ m m
1
148.643
-15
225
2
148.590
+38
1444
3
148.610
+18
324
4
148.624
+4
16
5
148.654
-26
676
6
148.647
-19
361
148.628
v   0
平
均
3046

l
L   148.628m
n
m
M 
vv  
n 1
vv 
nn  1
3046
 24.7 mm
61
3046

6(6  1)
 10.1 mm
M
0.0101 m
1

K

148.628 m
D
14716