Transcript Aljabar Boole

ALJABAR BOOLE


Adalah salah satu cabang matematika yang ditemukan
oleh seorang matematikawan Inggris yaitu George
Boole dengan menggunakan aturan dasar logika.
Manfaatnya untuk merancang rangkaian pensaklaran,
rangkaian digital dan rangkaian IC komputer.
Definisi Aljabar Boole :
Aljabar yg terdiri atas suatu himpunan B dg dua operasi
yaitu ‘ + ‘ (jumlah) dan ‘ . ‘ (kali) sehingga utk a,b,c e B
berlaku hukum yg tdk dibuktikan atau aksioma sbb:
lanjutan
1.tertutup : i) a+b e B
ii) a.b e B
2. identitas : i) ada elemen unik 0 e B shg a+0=0+a=a
ii) ada elemen unik 1 e B shg a.1=1.a=a
3. Komutatif: i) a+b=b+a dan ii)a.b=b.a
4. distributif : i) a.(b+c)= (a.b)+(a.c)
ii) a+(b.c)= (a+b).(a+c)
iii) (a.b)+c= (a+c).(b+c)
5. Komplemen: utk setiap a e B ada elemen a’ e B sehingga
berlaku a+a’=1 dan a.a’=0
lanjutan
6. Paling sedikit dua buah elemen dalam B dan
7. Idempoten : a+a=a dan a.a=a
8. Assosiatif : a+(b+c) = (a+b)+c
a.(b.c) = (a.b).c
Catatan:
Jadi yg dimaksud aljabar boole harus ada himpunan B
beserta dua operasi dan juga aturan/definisi operasinya.
Definisi operasi aljabar boole dua nilai
Operasi +
Operasi .
a
b
a+b
a
b
a.b
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
Komplemen
a
a’
0
1
1
0
Contoh
Tunjukkan bahwa dengan didefinisikan dua operasi dan
komplemen , harus benar pers. a.(b+c)=(a.b)+(a.c)
Jawab.
Karena ada tiga variabel berarti ada 8 nilai yg mungkin
(23 cara) sehingga bentuk tabelnya sbb:
Lanjutan
sama
a
0
0
0
0
1
1
1
1
b
0
0
1
1
0
0
1
1
c
0
1
0
1
0
1
0
1
b+c
0
1
1
1
0
1
1
1
a.(b+c)
0
0
0
0
0
1
1
1
a.b a.c
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
(a.b)+(ac)
0
0
0
0
0
1
1
1
Sifat – Sifat Aljabar Boole
1. Hk. Identitas: a+0=a
a.1=a
3. Hk. Komplemen; a+a’=1
a.a’ =0
2. Hk. Idempoten; a+a=a
a.a =a
4. Hk. Dominansi, a+1 =1
a.0 =0
5. Hk. Involusi; (a’)’ = a
6. HkPenyerapan a+(a.b)=a
a.(a+b)=a
7. Hk komutatif, a+b=b+a
a.b=b.a
8. HkAssosiatif
a+(b+c)=(a+b)+c
a.(b.c) = (a.b).c
9. Hk. Distributif
a+(b.c)=(a+b).(a+c)
a.(b+c)=(a.b)+(a.c)
10. Hk. Demorgan
(a.b)’=a’+b’
(a+b)’=a’.b’
Catatan: sifat-sifat di atas dpt dibuktikan melalui hukum dan
juga bisa melalui tabel kebenaran
Contoh:
Buktikan bahwa, i). a+(a’b)=a+b dan ii). a(a’+b)=ab
Jawab: dengan hukum
a+(a’b)=(a+a’).(a+b)
a(a’+b)=(a.a’)+(a.b)
= 1.(a+b)
= 0 +(a.b)
=(a+b)
=a.b
Cara lain lewat tabel kebenaran
a b a’ a’b
a+a’b a+b
0 0 1
0
0
0
0 1 1
1
1
1
1 0 0
0
1
1
1 1 0
0
1
1
sama
Latihan:
Buktikan bahwa:
1.
(a+b)’=a’.b’
jawab dgn hukum-hukum
telah diketahui (a+b)+(a+b)’=1
Apakah benar
(a+b)+(a’.b’)=1 (ini yg dibuktikan)
(a+b)+(a’.b’)=((a+b)+a’).((a+b)+b’)
=(a’+(a+b)).((a+b)+b’)
=((a’+a)+b).(a+(b+b’)
=(1+b).(a+1)
= 1.1 =1 terbukti
Buktikan bahwa
(a.b)’=a’+b’
Telah diketahui bahwa’ (a.b).(a.b)’=0
Apakah benar bahwa, (a.b).(a’+b’)=0 (ini yg
dibuktikan)
Ruas kiri. (a.b).(a’+b’)
=(a.b.a’)+(a.b.b’)
=(0.b) + (a.0)
=0 + 0 =0 terbukti bahwa (a.b)’=a’+b’
LATIHAN
Buktikan
1. a.(a’+b)=ab
2. a+(a’b)=a+b
3. a’b’c+a’bc+ac’=a’c+ac’
Dengan cara bebas(tabel kebenaran/hukum)
Jawab:dgn hukum
1. Ruas Kiri
a.(a’+b)=(a.a’)+(a.b)
=0+(a.b)=a.b
terbukti sama dg r kanan

Lanjutan
2. Ruas kiri, a+(a’.b)=(a+a’).(a+b)
=1.(a+b)=a+b terbukti sama dg ruas kanan
3. Ruas kiri, a’b’c+a’bc+ac’=a’c(b’+b)+ac’
=a’c+ac’
Fungsi Bool adalah:suatu ekspresi yg terdiri dari variabel dua
operasi biner dan komplemen, tanda kurung, tanda sama
dengan
Literal adalah variabel juga komplemennya
Contoh.
1. f(x)=x
2. f(x,y)=x’y+xy’+y
3. f(x,y)=x’y’
4. f(x,y)=(x+y)’
5. f(x,y,z)=xyz’
Nyatakan f(x,y,z)=xyz’ pada tabel kebenaran
(catatan nilai untuk semua kombinasi
yang mungkin harus dibuktikan/tentukan)
Fungsi boole tidaklah unik artinya dua buah fungsi boole yg
ekspresinya berbeda mungkin dua fungsi yang sama (jika
keduanya mempunyai nilai yg sama unt smua kmbinasi)
Contoh
Tentukan apakah dua fungsi berikut;
F(x,y,z)=x’y’z+x’yz+xy’ dan g(x,y,z)=x’z+xy’ adalah sama?
Jawab:
x y
0 0
0 0
0 1
0 1
z
0
1
0
1
x’y’z+x’yz+xy’
x’ y’ x’y’z x’yz xy’
1 1 0
0
0
1 1 1
0
0
1 0 0
0
0
1 0 0
1
0
0
1
0
1
x’z+xy’
x’z xy’
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1 dst.
Bentuk Kanonik adalah fungsi boole yang bentuk suku
sukunyamengandung literal yang lengkap sebagai jumlah dari
hasil kali(SOP) atau hasil kali dari jumlah(POS).
Ada dua macam bentuk kanonik:
1. Minterm atau SOP
2. Maxterm atau POS
Dua variabel/peubah, Minterm dan Maxterm ditunjuk tabel:
x
y
Minterm
suku lambang
0
0
1
1
0
1
0
1
x’y’
x’y
xy’
xy
m0
m1
m2
m3
Maxterm
suku
lambang
x+y
x+y’
x’+y
x’+y’
M0
M1
M2
M3
Tiga variabel unt. Minterm dan Maxterm ditunjuk tabel:
x
0
0
0
0
1
1
1
1
y
0
0
1
1
0
0
1
1
z
0
1
0
1
0
1
0
1
Minterm
suku
lambang
x’y’z’
m0
x’y’z
m1
x’y z’
m2
x’y z
m3
x y’ z’
m4
x y’z
m5
x y z’
m6
xyz
m7
Maxterm
suku
lambang
x+y+z
M0
x+y+z’
M1
x+y’+z
M2
x+y’+z’
M3
x’+y+z
M4
x’+y+z’
M5
x’+y’+z
M6
x’+y’+z’
M7
Catatan:
notasi ∑ dan Π berguna untuk mempersingkat penulisan
fungsi dalam bentuk SOP dan POS
Contoh
Nyatakan fungsi boole f(x,y,z)=x+y’z dalam bentuk SOP dan
POS
Jawab:
f(xyz)= x+y’z
=x(y+y’) +y’z(x+x’)
=xy+xy’ + y’zx + y’zx’
=xy(z+z’)+xy’(z+z’) + y’zx + y’zx’
=xyz+xyz’+xy’z+xy’z’+xy’z+x’y’z
=xyz+xyz’+xy’z+xy’z’+x’y’z=m7+m6+m5+m4+m1
Catatan:
apa bila ada suku yg sama ditulis hanya satu suku
Untuk yang berbentuk POS sbb:
f(xyz)= x+y’z
=(x+y’).(x+z)
=((x+y’)+(z.z’)).((x+z)+(y.y’)
=(x+y’+z).(x+y’+z’).(x+z+y).(x+z+y’)
=M2 . M3 . M0. M2
= M3 . M2 .M0
Bentuk Baku:
Fungsi boole dengan suku-sukunya mengandung
satu, dua atau sejumlah literal (suku-suku boleh
tdk lengkap)
Aplikasi Aljabar Boole: antara lain unt. Bidang jaringan
pensaklaran, rangkain digital elektronik
Jaringan Pensaklaran
Pada jaringan pensaklaran ini ada tiga bentuk
gerbang paling sederhana yaitu:
(a). a
x
b
output b ada jika
x tertutup
f(x)=x
(b). a
x
y
b
output b ada jika x dan y
tertutup
f(x,y)=x.y
(c). a
x
c output c ada jika dan hanya jika
b
y
x atau y tertutup
f(x,y)=x+y
1.
Contoh
Nyatakan gambar rangkaian pensaklaran dibawah ini dalam
fungsi Boole
x
y
x’
z
x y
y
x
y’
z
z
Jawab: f(xyz) = xy + (x’+xy)z + x(y+y’z+z)
lanjutan
2.Rangkaian Digital Elektronik
Rangkaian ini dimodelkan dlm bentuk gerbang logika ,
gerbang logika ini disebut Rangkaian Logika ,hususnya
diimplementasikan pada rangkaian listrik
Ada tiga gerbang logika dasar yaitu AND, OR, dan NOT
x
x
x+y
x
x’
y
x.y y
gerbang AND
gerbang OR
gerbang NOT
Selaian ada gerbang logika dasar ada lagi gerbang turunan yaitu NAND, NOR,
XOR dan XNOR
x
(xy)’
(x+y)’
x+y
(x+y)’
y
x
x
x
y
y
y
NAND
NOR
XOR
XNOR
Contoh
Contoh
Nyatakan fungsi , 1) f(xyz)= xy + x’y
2) f(xyz)=x’yz + x’yz’ + xy’z’ + xy’z
3) f(xy) = x’y +xy’
4) f(xyz) = xz + xy + yz
Jawab: x y
1)
xy
xy+x’y
x’y
2)
3)
4)