Transcript Fracciones parciales

UNIDAD No. 2
Métodos de integración
Integración por
fracciones parciales
INTEGRACIÓN MEDIANTE EL
DESARROLLO DE
FRACCIONES PARCIALES
Si f(x) y g(x) son polinomios, entonces a la
expresión f(x)/g(x) se le denomina fracción
racional.
 Si el grado de f(x) es menor que el grado de
g(x), entonces a la fracción se le llama
propia. Es impropia Cuando el grado del
numerador es de igual o mayor grado que el
denominador.

INTEGRACIÓN MEDIANTE EL
DESARROLLO DE
FRACCIONES PARCIALES…

Cuando se requiere integrar una fracción racional
propia de la forma:
P( x)
 Q( x) dx
La fracción pueden expresarse como la suma de
fracciones simples o fracciones parciales cuyos
denominadores son los factores de la fracción dada
y los numeradores no son conocidos y solo bastaría
investigar cual es el numerador de cada una de
ellas.
INTEGRACIÓN MEDIANTE EL
DESARROLLO DE
FRACCIONES PARCIALES…


2
5

x 1 x  2
Cuando los términos de la suma:
se combinan por medio de un denominador
común, se obtiene la expresión racional:
Así:
2( x  2)  5( x  1)
7 x 1
 2
( x  1)(x  2)
x  x2
7x 1
2
5
 x 2  x  2dx   ( x  1  x  2 )dx
 2 ln x 1  5 ln x  2  c
INTEGRACIÓN MEDIANTE EL
DESARROLLO DE
FRACCIONES PARCIALES…
El método de integración mediante el
desarrollo de fracciones parciales consiste en
descomponer en fracciones parciales la
fracción racional propia y a partir de ello,
obtener la integral de cada una de dichas
fracciones. De esta manera se obtiene la
integral de la fracción racional.
 Existen cuatro casos a considerar para la
descomposición de la fracción racional.

CASO I
Factores lineales no repetidos

Si: P( x) 
Q( x )
P( x)
(a1 x  b1 )(a2 x  b2 )...(an x  bn )
en donde todos los factores aix+bi son
distintos y el grado de P(X) es menor
que n, entonces existen constantes
reales únicas A1, A2, … , An tales que:
An
A1
A2
P( x )



Q( x) a1 x  b1 a2 x  b2
an x  bn
CASO II
Factores lineales repetidos

Si:
P( x)
P( x)

Q( x) (ax  b) n
en donde n>1 y el grado de P(X) es
menor que n, entonces existen
constantes reales únicas A1, A2, … ,
An tales que:
An
P( x)
A1
A2



2
Q( x) ax  b (ax  b)
(ax  b) n
CASO III
Factores cuadráticos no
repetidos

Si:
P( x)
P( x)

Q( x) (a1 x 2  b1 x  c1 )(a2 x 2  b2 x  c2 ) (an x 2  bn x  cn )
en donde todos los factores
aix2+bix+ci son distintos y el grado de
P(X) es menor que 2n, entonces
existen constantes reales únicas A1,
A2, … , An, B1, B2, …, Bn tales que:
An x  Bn
P( x)
A1 x  B1
A2 x  B2



2
2
Q( x) a1 x  b1 x  c1 a2 x  b2 x  c2
an x 2  bn x  cn
CASO IV
Factores cuadráticos repetidos

Si: P( x) 
Q( x)
P( x)
2
n
(ax  bx  c)
en donde n>1 y el grado de P(X) es
menor que 2n, entonces existen
constantes reales únicas A1, A2, … ,
An, B1, B2, …, Bn tales que:
An x  Bn
P( x)
A1 x  B1
A2 x  B2
 2


2
2
Q( x) ax  bx  c (ax  bx  c)
(ax2  bx  c) n
PROBLEMAS:

Resolver mediante el método de
desarrollo de fracciones parciales los
siguientes problemas:
x 2  2x  4
1. 
dx
3
( x  1)
6
x

1
2.
 (2 x  1) x 3 dx
x2
dx
3.  2
2
( x  4)
4 x 2  3x  1
4. 
dx
3
2
x x
x 4  3x 2  4
dx
5. 
2
( x  1)
dx
6.  2 2
x (x  4) 2