Transcript Funciones racionales

Descomposición en Fracciones
simples.
Funciones Racionales
Descomposición en fracciones simples
Integración de funciones racionales
(descomponiendo en fracciones simples).
Ejemplos
Descomposición en fracciones simples
Funciones Racionales
Definición
Ejemplo
Una función del tipo P/Q, siendo P y Q
polinomios, es una función racional.
x3  1
es una función racional.
2
x  x 1
El grado del denominador de la función de arriba es menor que el
grado del numerador. Reescribimos la función racional de manera
más sencilla dividiendo los polinomios.
Reescribimos la función
x3  1
2

x

1

x2  x  1
x2  x  1
A la hora de integrar, es necesario siempre realizar si es posible la
división de los polinomios. Integrar la parte polinómica es sencillo,
y podemos reducir el problema de integración a integrar funciones
racionales generales, en las que el denominador tiene mayor grado
que el numerador.
Descomposición en fracciones simples
Integración de Funciones Racionales (ejemplo)
1
1
2x
,
y
es una tarea fácil
2
2
1 x 1 x
1 x
aplicando las fórmulas básicas de integración y, en el último caso
Integrar las funciones
haciendo el Cambio de Variable: u  1  x 2 .
Así, obtenemos  omitiendo las constantes de integración 
1
1
2x
2
dx

ln
1

x
,
dx

arctg
x
y
dx

ln
1

x


 1 x
 1 x 2
 1 x 2


Por tanto:
1
2x 
 1
2


dx

ln
1

x

arctg
x

ln
1

x
 C.


  1 x 1 x 2 1 x 2 


3x 2  3x  2
2
Ejemplo:  3
dx

ln
1

x

arctg
x

ln
1

x
 C.


2
x  x  x 1


Con C constante de integración.
Descomposición en fracciones simples
Descomposición en fracciones simples
3x 2  3x  2
La integración de  3
dx  ln 1  x  arctg  x   ln 1  x 2  C
2
x  x  x 1
estaba basada en la descomposición en fracciones simples


3x 2  3x  2
1
1
2x



x 3  x 2  x  1 1 x 1 x 2 1 x 2
de la función integrando, para facilitar la integración
La descomposición de la función
Definición
(3x2+3x+2)/(x3+x2+x+1) es una Descomposición en
fracciones simples.
Descomponer en fracciones simples es un método para expresar una
función racional en suma de Funciones Racionales lo más sencillas
posible.
Generalmente, la Descomposición en fracciones simples es complicada
y se presentan diferentes casos. Siempre comenzaremos factorizando
el denominador. El tipo de descomposición en fracciones simples que
realicemos dependerá de los factores del denominador. Explicaremos
cada tipo en las siguientes diapositivas.
Descomposición en fracciones simples
Descomposición en fracciones simples (2)
La Descomposición en fracciones simples de una función racional R=P/Q,
con grad(P) < grad(Q) depende de los factores del denominador Q.
Como estamos factorizando polinomios con coeficientes reales, el
denominador Q puede tener distintos tipos de factores.
1.
Simples, factores de primer grado no repetidos ax + b.
2.
Factores de primer grado (ax + b)k, k > 1.
3.
Simple, factores de segundo grado no repetidos ax2 + bx + c.
Al asumir que los factores no pueden factorizarse más, debe
suceder que b2 – 4 ac < 0.
4.
Factores de segundo grado (ax2 + bx + c)k, k>1. También aquí
b2 – 4 ac < 0.
La descomposición en fracciones simples se calcula de la misma
forma en todos los casos de arriba. En ocasiones, es necesario
integrar las fracciones simples resultantes. Podemos realizar la
integral de manera inmediata mediante las fórmulas de integración,
aunque los cálculos para la descomposición suelen ser complicados.
Descomposición en fracciones simples
Factores de primer grado (no repetidos)
(Raíces reales simples)
Caso 1
Consideramos una función racional del tipo:
Px
Qx

Px
 a1x  b1  a2 x  b2   an x  bn 
con a j  0  j ,
bi b j

para i  j, y grad P   n  grad Q .
ai a j
Descomposición en fracciones simples:
Caso 1
Px
 a1x  b1  a2 x  b2   an x  bn 
A1
A2



a1x  b1 a2 x  b2
con Ak , k  1, , n. 
Descomposición en fracciones simples
An

an x  bn
Factores de primer grado (no repetidos)
(Raíces reales simples)
2
2
Ejemplo
Considermos la función racional:
x2  1

 x  1 x  1
.
En este ejemplo del caso 1, podremos encontrar numeros A y B  :
2
2
A
B
Las ecuaciones



.
2
x  1  x  1 x  1 x  1 x  1
para obtener A y B
se obtienen
Calcularemos dichos números de la sigiente manera:
sabiendo que dos
polinomios son
2
A
B
2
A( x  1)
B( x  1)





x2  1 x  1 x  1
x 2  1 ( x  1)( x  1) ( x  1)( x  1) iguales si y solo si
sus coeficientes
A  B  0
 A  1 son iguales.
0 x  2 ( A  B )x  ( A  B )

x 1
2

x 1
2


.
B  1
A  B  2
Por tanto la descomposición en fracciones simples será:
Descomposición en fracciones simples
2
1
1


.
2
x 1 x 1 x 1
Factores de segundo grado (no repetidos)
(Raíces complejas simples)
Caso II
Cosideramos una función racional del tipo
Px
Qx
, grad P   grad  Q  .
Supongamos que el denominador Q  x  tiene un factor de segundo grado
ax 2  bx  c, con b2  4ac  0
Descomposición en fracciones simples:
Caso II
El factor de segundo grado ax 2  bx  c del denominador lleva a una
Ax  B
expresión de la forma
al descomponer en fracciones simples.
2
ax  bx  c
Descomposición en fracciones simples
Factores de segundo grado (no repetidos)
(Raíces complejas simples)
3
3
Ejemplo
La función racional
del tipo
x3  1

( x  1)( x 2  x  1)
tiene un término
Ax  B
al descomponer en fracciones simples.
2
x  x 1
3
Ax  B
C
3
( Ax  B)( x  1)
C( x 2  x  1)
 2

 3

 2
3
2
x 1 x  x 1 x 1
x  1 ( x  1)( x  x  1) ( x  x  1)( x  1)
A C  0

3
( A  C )x  (C  B  A)x  C  B



C  B  A  0
x3  1
x3  1

C B  3

2
3
1
x2


x3  1 x  1 x 2  x  1
 A  1

 B  2.
 C 1

Para obtener estas ecuaciones
usamos el hecho de que los dos
numeradores deben ser iguales.
Por ello los coeficientes del
mismo grado deben coincidir
Descomposición en fracciones simples
Factores de primer grado repetidos
(raíces reales múltiples)
Caso III
Consideramos una función racional del tipo
Px
Qx
, grad P   grad  Q  .
Supongamos que el denominador Q  x  tiene un factor de primer grado
repetido:  ax  b  , k  1, es decir tiene una raíz real múltiple
k
Descomposición en fracciones simples: Caso III
El factor
 ax  b 
k
del denominador nos lleva a una expresion de la forma
A1
A2


ax  b  ax  b 2

Ak
 ax  b 
k
al descomponer en fracciones simples.
Descomposición en fracciones simples
Factores de primer grado repetidos
(raíces reales múltiples)
Ejemplo
4x 2  4x  4
4x 2  4x  4
La Función racional 3

se desconpondrá
2
2
x  x  x  1  x  1 x  1
A
B
C


.
x  1  x  12 x  1
en fracciones simples de la forma:
4x 2  4x  4
A
B
C




x3  x2  x  1
x  1  x  12 x  1
A  x  1 x  1  B  x  1  C  x  1
 x  1 x  1

2
2
4x 2  4x  4
 3
x  x2  x  1
 A  C  x 2   B  2C  x  A  B  C
 x  1 x  1
2
Igualando los
coeficientes de
los numeradores.
 A C  4
4x  4x  4

 3

 B  2C  4
2
x  x  x 1
  A  B  C  4

2
A  3
2

4
x
 4x  4
3
2
1
 B  2 Obtenemos



.
2
3
2
x

x

x

1
x

1
x

1
C  1
 x  1

Descomposición en fracciones simples
Factores de segundo grado repetidos
(raíces complejas múltiples)
Caso IV
Consideramos una función racional
Px
Qx
, grad P   grad  Q  .
Supongamos que el denominador Q  x  tiene un factor de segundo


k
grado repetido: ax  bx  c , k  1 con b2  4ac  0 .
2
Descomposición en fracciones simples: Caso IV
El factor de segundo grado
a una expresion del tipo:

ax 2  bx  c

k
del denominador nos lleva
A1x  B1
A2 x  B2

ax 2  bx  c
ax 2  bx  c

al descomponer en fracciones simples
Descomposición en fracciones simples

2


Ak x  Bk
ax
2
 bx  c

k
Factores de segundo grado repetidos
(raíces complejas múltiples)
2x 4  3 x 2  x
2x 4  3 x 2  x

tendrá una
2
5
4
3
2
2
x  x  2 x  2 x  x  1  x  1 x  1

Ejemplo
descomposición del tipo

A1x  B1 A2 x  B2
C


.
2
2
2
x 1
x 1
x 1

A1x  B1 A2 x  B2
C



2
2
x2  1
x

1
x 1







 A1x  B1  x 2  1  x  1   A2 x  B2  x  1  C x 2  1
 x  1  x
2

1
2
2
Siguiendo el mismo procedimiento que en los ejemplos anteriores obtenemos:
A1  B1  A2  C  1, y B2  0.
2x 4  3 x 2  x
x 1
x
1
Por tanto: 5



.
2
4
3
2
2
2
x  x  2x  2x  x  1 x  1
x 1
x 1

Descomposición en fracciones simples

Integración de las fracciones simples
Descomponer en fracciones simples es el método más utilizado para
integrar Funciones Racionales. Tras la descomposición, deberemos
tratar con integrales de los siguientes tipos . Tendremos cuatro casos;
los dos primeros son muy sencillos:
A
A
1. 
dx  ln ax  b  K
ax  b
a
A  ax  b 
2. 
dx

l
a
1 l
 ax  b 
A
1 l
 K , l  1.
Descomposición en fracciones simples
K es la constante de
integración.
Integración de las fracciones simples
En los casos restantes calcularemos integrales del tipo:
3.
Ax  B
 ax 2  bx  c dx
y
4.

Ax  B
 ax
2
 bx  c

l
dx, l  1
En la tercera, observamos que– como el denominador no puede
factorizarse más– tenemos 4ac-b2 > 0. Mediante los cambios de
variable pertinentes obtenemos:
Ax  B
 ax 2  bx  c dx 
 2ax  b 
 2B  Ab / a  arctg 

2
A
4
ac

b

 K

ln ax 2  bc  c 
2a
4ac  b 2
Siendo K la constante de integración
Descomposición en fracciones simples
Integración de las fracciones simples
Las integrales del tipo:
Ax  B
 ax
2
 bx  c

l
dx, l  1, serán el último caso.
Integrando por partes repetidamente estas integrales pueden
reducirse al tercer caso
Teorema
P
se pueden por descomposición
Q
en Fracciones Simples siempre que el polinomio Q se pueda factorizar.
Todas las funciones racionales f 
Descomposición en fracciones simples
Algoritmo de Integración
Una Función racional f = P/Q, donde P y Q son polinomios, puede
ser integrada de la siguiente forma:
1.
Si grad(Q) grad(P), dividimos los polinomios y reescribimos la
función como P/Q = S + R/Q, donde S y R son polinomios con
grad(R) < grad(Q). Integramos el polinomio S.
2.
Factorizamos los polinomios Q y R, y simplificamos.
Descomponemos en fracciones simples la función R/Q.
3.
Integramos las fracciones simples
Descomposición en fracciones simples
Ejemplos (1)
Ejemplo 1
Calcular
3
 x 3  1dx.
Observamos que x 3  1  ( x  1)( x 2  x  1). Por tanto
3
A
Bx  C


Para A,B,C  .
3
2
x 1 x 1 x  x 1
Para calcular dichos coeficientes tenemos:
3
A( x 2  x  1)
(Bx  C )( x  1)


x 3  1 ( x  1)( x 2  x  1) ( x 2  x  1)( x  1)

3
( A  B )x  ( A  B  C )x  A  C

x3  1
x3  1
2
AB 0


 A  B  C  0 

A C  3

Por tanto
3
1
x2


x3  1 x  1 x 2  x  1
Descomposición en fracciones simples
 A 1

 B  1.
C  2

Ejemplos (2)
Ejemplo 1
Calcular
3
 x 3  1dx.
Por los cálculos anteriores tenemos que:
3
1
x2
dx

dx

 x3  1
 x  1  x 2  x  1dx
1
2x  1
3
1
 ln x  1   2
dx   2
dx
2 x  x 1
2 x  x 1

Hacer el Cambio de
Variable u=x2+x+1 en
la primer integral y
reescribir la segunda.

1
3
1
2
 ln x  1  ln x  x  1  
dx
2
2
2  x  1/ 2  3 / 4
1
 2x  1 
 ln x  1  ln x 2  x  1  3 arctan 
K

2
 3 


Esta es la expresión que nos indica el cambio de variable para
finalizar el cálculo
Descomposición en fracciones simples
Ejemplos (3)
Ejemplo 2
x3  x  2
Calcular 
dx.
2
x 1
Podemos simplificar la función dividiendo los polinomios en primer lugar.
Debemos realizarla siempre que sea posible. Así, obtenemos:
x3  x  2
2

x

x2  1
x2  1
Descomponemos en fracciones simples y obtenemos:
x3  x  2
2
1
1

x


x


x2  1
x2  1
x 1 x 1
Por último integramos :
x 3  1 2
1
1 

dx

x


 x2  1
  x  1 x  1 dx
x2
x2
x 1

 ln | x  1|  ln | x  1| K 
 ln
 K.
2
2
x 1
Descomposición en fracciones simples
Ejemplos (4)
Ejemplo 3
3x 2  2
Calcular 
dx.
2
x x 2


En este caso, descomponiendo en fracciones simples obtenemos:
3x 2  2
1
2x


x x2  2
x x2  2


Que es una expresión fácil de integrar.
Sin embargo, la integral es inmediata: hacemos el cambio de
t  x x 2  2 , dt  3 x 2  2 dx
variable:




Y obtenemos directamente el resultado:
3x 2  2
dt
2
dx


ln
t

K

ln
x
x
 2  K.
 x x2  2
t



Descomposición en fracciones simples

Cálculo en una variable
Autor: Mika Seppälä
Traducción al español:
Félix Alonso
Gerardo Rodríguez
Agustín de la Villa