Teorema di Gauss per il campo elettrostatico

data una qualsiasi distribuzione di cariche elettriche

statiche

nel vuoto, il flusso del campo elettrico  calcolato attraverso una qualsiasi superficie chiusa che racchiuda una carica netta

q int

al suo interno vale:  

q int

 0 mentre se la carica e’ esterna alla superficie il flusso e’ nullo   0

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Significato fisica del teorema di Gauss per il campo elettrostatico

le cariche elettriche sono sorgenti del campo elettrostatico e sono le sole sorgenti del campo elettrostatico

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Note : • carica netta : somma delle cariche positive e negative • superficie chiusa : puo’ essere una qualunque superficie purche’ chiusa e finita • non deve necessariamente essere una superficie reale (superfice gaussiana) • le cariche possono anche essere in moto all’interno della superficie purche’ non l’ attraversino altrimenti costituirebbero una corrente elettrica

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Applicazioni del teorema di Gauss:

campo elettrico generato da un filo indefinito caricato con densita’ lineare di carica costante se il filo e’ indefinito - per motivi di simmetria il campo potra’ soltanto essere radiale e simmetrico rispetto al filo quindi, a parita’ di distanza radiale dal filo, il modulo del campo dovra’ assumere lo stesso valore vista da come superficie gaussiana si assume un cilindro di raggio

r

ed altezza

l

coassiale al filo

l dS

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sulle superfici di base del cilindro il flusso sara’ nullo, mentre sulla superficie laterale si ha :   

S



E



dS sup laterale cilindro



E

2 

rl

da  

dq dl dq

 

dl q

  

dl

  

dl

 

l l

per il teorema di Gauss  

Q

 0

E

2 

rl

 

l

 0  

l

 0 uguagliando

E

 1 2  0 

r dS E

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Lamina piana indefinita caricata con densita’ superficiale di carica

s

uniforme

se la lamina e’ indefinito il campo, per motivi di simmetria, dovra’ essere

E

perpendicolare alla lamina quindi, a parita’ di distanza dalla lamina,

E dS

il modulo del campo dovra’ assumere lo stesso valore come superficie gaussiana si assume un cilindro di raggio

r

e altezza

l

che attraversi la lamina sulla superficie laterale il flusso totale sara’ nullo sulle superfici di base del cilindro il flusso sara’

2

( 

r 2 E

)   

S

 2

E



dS sup di base cilindro

 2  2

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da s 

dq dS dq

 s

dS q

  s

dS

 s 

dS

 s

r

2 per il teorema di Gauss  

Q

 0  s  0

r

2 uguagliando 2 2  s

r

2  0

E

 s 2  0

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Doppia lamina piana indefinita

Campo prodotto da una singola lamina caricata con carica + Q e densita’

E

superficiale di carica uniforme e pari a + s  2 s  0

E

 2 s  0 Campo prodotto da una singola lamina caricata con carica -Q e densita’ superficiale di carica uniforme s

E

 2 s  0

E

 2 s  0

E

 2 s  0

E

 2 s  0

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per il principio di sovrapposizione

E

 0

E

 s  0

E

 0 quindi il campo elettrico prodotto tra due lamine piane caricata con carica e densita’ uguali ed opposte sara’

E

  s 0 superficiale di carica applicazione: condensatore a facce piane e parallele

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