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Il campo elettrico
AZIONE A DISTANZA E TEORIA DI CAMPO (1)
Come fanno due cariche elettriche ad interagire
fra di loro?
All’inizio del ‘900 si sono confrontate due ipotesi:
1. le cariche si scambiano dei messaggeri e quindi
si accorgono della reciproca esistenza
(AZIONE A DISTANZA);
2. una carica modifica lo spazio d’intorno e questo
permette all’altra di accorgersi della sua
esistenza (TEORIA DI CAMPO).
AZIONE A DISTANZA E TEORIA DI CAMPO (2)
Storicamente fu scelta la teoria di campo perché
più semplice.
Supponiamo di avere due cariche puntiformi Q e q
Carica di prova
Q
Carica generatrice del campo
r
r F
E=
q
q
SPERIMENTALMENTE
r
r
1 qQ r
F=
2
4πε 0 r r
r
r
1 Qr
E=
2
4πε 0 r r
CAMPO ELETTRICO
Una o più cariche elettriche creano nello spazio
circostante un campo elettrico.
Indicando con F la forza agente sulla
carica q, il campo elettrico è definito da
r
r F
E=
q
r
F
q
Il campo elettrico
si misura in N/C
LINEE DI FORZA DEL CAMPO ELETTRICO
Le linee di forza di un campo sono così costruite:
1. la tangente ad una linea di forza, in ogni
punto, dà la direzione del campo in quel punto;
2. le linee sono tracciate in maniera tale che la
loro densità superficiale sia proporzionale
all’intensità del campo. Dove il campo è alto si
addensano, dove è basso si diradano.
Il campo elettrico è un
vettore e quindi date n
cariche il campo totale
sarà
r n r
E = ∑ Ei
i =1
CAMPO ELETTRICO
Campo elettrico
generato da una
carica puntiforme q.
r
r
1 q r
E=
2
4πε 0 r r
CAMPO ELETTRICO
Campo elettrico
generato da un
dipolo elettrico.
DIPOLO ELETTRICO: campo sull’asse
r r
r
E = E+ + E−
r
r
1
q
E+ = E− =
4πε 0 a 2 + r 2
+q
r
P
θ
a
r
a
r
E−
θ
−q
r
E
r
E+
θ
E = 2 E+ cosθ
d’altra parte
a = cosθ a 2 + r 2 ⇒ cosθ =
E=2
1
q
4πε 0 a 2 + r 2
a
a +r
2
2
=
a
a2 + r2
1
2aq
4πε 0
(a
2
+r
)
3
2 2
Definendo il momento di
dipolo elettrico P=2aq
1
P
E=
4πε 0 r 3
(con r >> a )
Un corpo
elettricamente neutro
può avere un campo
elettrico diverso da
zero.
Questo succede perché
le cariche sono
separate spazialmente.
CAMPO ELETTRICO
Campo elettrico
generato da due
cariche uguali.
CARICA ELETTRICA IN CAMPO UNIFORME
r
E
Supponiamo di avere una carica
elettrica q di massa m immersa
in campo uniforme E.
q, m
F = qE = cost
⇒
a=
qE
= cost
m
dv
qE
=a=
dt
m
qE
qE
qE
dv =
dt ⇒ ∫ dv =
dt
v
t
⇒
=
∫
m
m
m
dx
qE
t
=v=
dt
m
qE
qE
1 qE 2
dx =
t dt ⇒ ∫ dx =
t
dt
x
t
⇒
=
m
m∫
2 m
1 2
x = at
2
Equazione
oraria del
moto
uniformemente
accelerato
ENERGIA ELETTRICA
La forza generata dal campo elettrico è una forza
conservativa, come quella gravitazionale.
Si definisce energia potenziale elettrica U posseduta
da una carica elettrica q, una funzione della
posizione tale che il lavoro elettrico per uno
spostamento dalla posizione iniziale i alla posizione
finale f è:
L = U i − U f = − ∆U
POTENZIALE ELETTRICO (1)
Il potenziale elettrico è definito da
V =U q
Il lavoro per uno spostamento dalla posizione iniziale
i alla posizione finale f è dato da
L = U i − U f = q(Vi − V f ) = − q∆V
POTENZIALE ELETTRICO (2)
Nel S.I. il potenziale elettrico si misura in volt (V)
1 joule
1J
1V =
=
1 coulomb 1 C
Fra due punti esiste la d.d.p. di 1 V, quando le forze
del campo elettrico compiono il lavoro di 1 J per
spostare la carica elettrica di 1 C fra i due punti.
POTENZIALE ELETTRICO (3)
Che legame c’è fra il campo elettrico ed il potenziale
elettrico?
r r
∆U = − L = − ∫ F ⋅ dl
r r
q∆V = − q ∫ E ⋅ dl
r r
∆V = − ∫ E ⋅ dl
Campo di Coulomb :
1 q
1 q
E=
V=
2
4πε 0 r
4πε 0 r
Campo uniforme :
E = cost
V = Ex
c
r
E = − grad (V )
Il campo elettrico può essere misurato
anche in volt/m
POTENZIALE ELETTRICO (4)
Le cariche si muovono spontaneamente:
quelle positive verso i potenziali decrescenti,
quelle negative verso i potenziali crescenti.
L = q (Vi − Vf ) > 0
q > 0 ⇒ Vi > Vf
q < 0 ⇒ Vi < Vf
SUPERFICI EQUIPOTENZIALI
Se una carica si muove ortogonalmente al campo
elettrico
r r
r
∆V = − ∫ E ⋅ dl = − ∫ Edl cosθ = 0
E
Le superfici equipotenziali
sono ortogonali ai campi
elettrici
Piani equipotenziali
Sfere equipotenziali
r
E
FLUSSO DI UN VETTORE
Si definisce flusso di un vettore attraverso una
r
n
superficie la grandezza Φ
r
A
r r
dΦ = A ⋅ n dS
r r
Φ = ∫ A ⋅ n dS = ∫ A cosθ dS
Il flusso di un vettore è uno scalare
θ
dS
TEOREMA DI GAUSS
Il flusso del campo elettrico (nel vuoto)
attraverso una qualsiasi superficie chiusa S è
eguale alla somma delle cariche interne qi alla
superficie diviso la costante dielettrica del vuoto.
r
1
ΦS (E ) =
ε0
q
∑i
i
TEOREMA DI GAUSS: cariche interne
r
n
r
Ei
θ
dΦ i = Ei dS cosθ
dS
r
dS = dS cosθ
'
dS '
qi
Q
dΦ i = Ei dS
qi
qi
2
Φi = ∫ dΦi = ∫ Ei dS = Ei ∫ dS = Ei 4πr =
4πr =
2
4πε 0 r
ε0
'
Φ=
'
1
ε0
2
∑q
i
i
=
Q
ε0
1
'
TEOREMA DI GAUSS: cariche esterne
r
n
r
E
θ
1
r
E
θ
2
q
Φ1 =
q
ε0
Φ2 = −
r
n
Φ=0
q
ε0
TEOREMA DI GAUSS: sfera conduttrice (1)
Consideriamo una sfera conduttrice di
Q R
raggio R caricata con una carica Q. In
condizioni stazionarie vogliamo calcolare
il campo elettrico ed il potenziale
associato, all’interno ed all’esterno di questa
distribuzione di carica.
All’interno della sfera il campo elettrico deve
essere nullo, altrimenti le cariche presenti sulla
sfera si muoverebbero sotto l’azione di questo
campo elettrico.
r
r
Eint = 0 ⇒ Φ sfera ( E ) = 0
⇒
∑q
int
=0
Non ci sono cariche all’interno
della sfera. Le cariche si
distribuiscono sulla superficie
esterna dei conduttori.
TEOREMA DI GAUSS: sfera conduttrice (2)
S
Q
r
R
Possiamo utilizzare il teorema di Gauss per
calcolare il campo all’esterno della
distribuzione di carica. Poiché il teorema di
Gauss vale per una qualsiasi superficie chiusa,
conviene sceglierne una sulla quale sia agevole il calcolo
del flusso. Per evidenti ragioni di simmetria in questo
caso la superficie di Gauss migliore è una sfera,
concentrica alla sfera conduttrice, con raggio r>R.
Infatti sulla sfera S il campo E ha simmetria radiale ed
è costante in modulo, potendo
immaginarlo come la somma dei
S
contributi di moltissime cariche
Q R
puntiformi uniformemente distribuite
sulla superficie della sfera
r
conduttrice
TEOREMA DI GAUSS: sfera conduttrice (3)
r
r r
2
Φ S ( E ) = ∫ E ⋅ dS = E ∫ dS = E 4πr
S
Q
R
S
r
S
d’altra parte per il teorema di Gauss
r
1
ΦS (E ) =
ε0
∑q
contenute in S
=
Q
ε0
da cui avremo
E 4πr =
2
Q
ε0
⇒
1 Q
E=
2
4πε 0 r
TEOREMA DI GAUSS: sfera conduttrice (4)
Q
1
R
E
V
esterno
R
r
r
1 Q
V=
4πε 0 r
E =0
interno
R
Q
E=
2
4πε 0 r
1 Q
V=
4πε 0 R
GAUSS: distribuzione uniforme sferica di carica (1)
S
Q
r
R
Possiamo utilizzare il teorema di Gauss per
calcolare il campo all’esterno della
distribuzione di carica. Poiché il teorema di
Gauss vale per una qualsiasi superficie chiusa,
conviene sceglierne una sulla quale sia agevole il calcolo
del flusso. Per evidenti ragioni di simmetria in questo
caso la superficie di Gauss migliore è una sfera,
concentrica alla distribuzione sferica di carica, con
raggio r>R. Infatti sulla sfera S il campo E ha simmetria
radiale ed è costante in modulo, potendo
S
immaginarlo come la somma dei contributi di
moltissime cariche puntiformi uniformemente
Q R
distribuite nel volume della sfera di raggio R.
Q
Densità di carica ρ =
= cost
Volume
r
GAUSS: distribuzione uniforme sferica di carica (2)
r
r r
2
Φ S ( E ) = ∫ E ⋅ dS = E ∫ dS = E 4πr
S
Q
R
S
r
S
d’altra parte per il teorema di Gauss
r
1
ΦS (E ) =
ε0
∑q
contenute in S
=
Q
ε0
da cui avremo
E 4πr =
2
Q
ε0
⇒
1 Q
E=
2
4πε 0 r
GAUSS: distribuzione uniforme sferica di carica (3)
S
Q
r
R
Possiamo utilizzare il teorema di Gauss per
calcolare il campo all’interno della
distribuzione di carica. Poiché il teorema di
Gauss vale per una qualsiasi superficie chiusa,
conviene sceglierne una sulla quale sia agevole il calcolo
del flusso. Per evidenti ragioni di simmetria in questo
caso la superficie di Gauss migliore è una sfera,
concentrica alla distribuzione sferica di carica, con
raggio r<R. Infatti sulla sfera S il campo E ha simmetria
radiale ed è costante in modulo,
potendo immaginarlo come la somma
dei contributi di moltissime cariche
Q
puntiformi uniformemente distribuite
r S
nel volume della sfera di raggio r.
R
GAUSS: distribuzione uniforme sferica di carica (4)
r
r r
2
Φ S ( E ) = ∫ E ⋅ dS = E ∫ dS = E 4πr
S
Q
r
S
S
d’altra parte per il teorema di Gauss
R
r
1
ΦS (E ) =
ε0
∑q
contenute in S
=
Q
Q
'
ε0
S
r
Q'
R
4 3
Q = ρVS = ρ πr
3
'
4 3
E 4πr = ρ πr
ε0 3
2
1
ρ
E=
r
3ε 0
GAUSS: distribuzione uniforme sferica di carica (5)
Q
1
R
E
V
esterno
R
r
interno
R
r
Q
E=
2
4πε 0 r
1 Q
V=
4πε 0 r
ρ
E=
r
3ε 0
ρ 2
V=
r
6ε 0
GAUSS: piano conduttore infinito carico (1)
σ=
q
= cost
s
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Possiamo utilizzare il teorema di Gauss per
calcolare il campo della distribuzione di carica.
Poiché il teorema di Gauss vale per una
qualsiasi superficie chiusa, conviene sceglierne
una sulla quale sia agevole il calcolo del flusso.
Per ragioni di simmetria in questo caso la
superficie di Gauss migliore è un cilindro con le
basi parallele al piano conduttore.
Infatti il campo E è ortogonale e costante
rispetto a piani parallelli al piano conduttore,
potendo immaginarlo come la somma dei
contributi di moltissime cariche puntiformi
uniformemente distribuite sulla superficie del
piano conduttore.
GAUSS: piano conduttore infinito carico (2)
σ=
S1
Sl
q
= cost
s
+
+
+
+
+
+
+
+
Φ cil = Φ S1 + Φ Sl + Φ S 2
r
nullo perchè E = 0
S2
r r
nullo perchè E ⊥ n
r
r r
Φ S 2 ( E ) = ∫ E ⋅ dS 2 = E ∫ dS 2 = ES 2
S2
S2
d’altra parte per il teorema di Gauss
r
1
Φ S2 ( E ) =
ε0
∑ qcontenute in S2
σS2
=
ε0
σ
E=
ε0
CAPACITÀ
CAPACITÀ ELETTRICA
Quando ad un conduttore isolato viene
conferita una carica elettrica Q, esso assume
un potenziale V.
Si definisce
capacità elettrica
Unità di misura
della capacità
elettrica nel S.I.
Q
C=
V
Dipende solo dalla
forma geometrica del
conduttore e dal
mezzo dielettrico nel
quale è immerso
coulomb
1 farad = 1 F = 1
volt
CAPACITA’ ELETTRICA: esempio
Consideriamo una sfera conduttrice di
raggio R caricata con una carica Q
immersa nel vuoto.
Abbiamo visto che il potenziale V sulla sfera vale
Q
R
1 Q
V=
4πε 0 R
Q
C = = 4πε 0 R
V
CONDENSATORE PIANO (1)
Campo elettrico
generato da due
lastre parallele
uniformemente
cariche.
S
d
S superficie delle armature
d distanza fra le armature
CONDENSATORE PIANO (2)
1
2
++++++++++++++++
2
3
Superficie di Gauss
----------------------
r
Φ1 = 0 perchè E = 0
r r
Φ 2 = 0 perchè E ⊥ n
Φ3 = S ⋅ E =
Q
V = E⋅d =
d
ε0S
Q
ε0
Q ε0S
C= =
V
d
CAPACITA’ ELETTRICA
La capacità non dipende dalla carica, ma solo
dalle caratteristiche geometriche del conduttore
e dal mezzo dielettrico in cui è immerso.
La capacità di un conduttore scarico è eguale a
quella di quando è carico.
V dipende linearmente da Q