Transcript Flusso del campo elettrico e teorema di Gauss
Flusso del campo elettrico e teorema di Gauss
Flusso di un campo vettoriale uniforme Problema (idrodinamico) Calcolare il flusso di acqua (portata in volume) che attraversa una conduttura; cioè il volume di acqua che attraversa una sezione S di una conduttura nell’unità di tempo.
Hp: Per semplicità supporremo che 1 il vettore velocità
V
(x,y,z,t) dell’acqua sia costante in ogni punto di S (campo vettoriale uniforme) 2- e sia costante nel tempo (campo stazionario)
Caso A Il vettore velocità è perpendicolare alla sezione S della conduttura V S S x = V t nel tempo t = t – t 0 di altezza x = V la sezione S è attraversata dal cilindro di acqua t, cioè da un volume di acqua
Volume
Area sezione
x
S
x
S
v
t
per cui il flusso sarà (
S
)
Volume
t
S
x
t
S
v
t
t
S
V m
3 sec
Caso B Il vettore velocità NON è perpendicolare alla sezione S della conduttura V S H x = V t K
Volume
S
HK
S
x
cos
S
V
t
cos (
S
)
Volume
t
S
v
t
cos
t
S
V
cos
m
3 sec (
S
,
V
)
S
V
cos
S x V
Def Ogni superficie piana può essere rappresentata mediante un vettore S che ha: 1.
Intensità = Area della superficie 2.
3.
Direzione perpendicolare alla superficie Verso, diretto all’esterno se la superficie è chiusa, arbitrario se è aperta S A
Def Si dice flusso di un campo vettoriale A
uniforme
attraverso una superficie
piana
S il prodotto scalare:
(
A
)
S x A
S
A
cos
Flusso del campo elettrico
Esaminiamo il caso più semplice: 1° Caso Hp: 1- Il campo elettrico è uniforme (uguale in ogni punto dello spazio) 2- La superficie è piana (il vettore superficie è definito in modo unico) S E
S
(
E
)
S x E
S
E
cos Il flusso del campo elettrico si misura in Nm 2 /C
2° Caso Hp: 1- Il campo elettrico NON è uniforme (in generale varia da punto a punto) 2- La superficie NON è piana (il vettore superficie Non è definito in modo unico) E 3 S 4 E 4 S 2 S 3 E 1 S 1
Φ S (E)
Φ
1
Φ
2
Φ
3 .....
Φ n
i n
1
Φ i Φ S (E)
n
lim
i n
1
Φ i
E 2
Teorema di Gauss
Ob Calcolare il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa qualsiasi..
Consideriamo anzitutto una superficie sferica
posta una carica elettrica positiva Q nel cui centro è S i E i +Q + Q Consideriamo un “elementino” di superficie Si Ei il flusso del campo elettrico E attraverso Si è: i =
S i
x
E i
= Si Ei cos 0° = Si Ei allora il flusso totale attraverso la sfera sarà
Sfera
(
E
) lim
n
i n
1
i
lim
n
i n
1
S i
E
E
lim
n
i n
1
S i
E
Supsfera
E
4
r
2 e poiché il campo elettrico generato da una carica puntiforme è
E
k Q r
2 avremo che
S
(
E
)
E
4
r
2
k Q r
2 4
r
2 4
kQ
4 4 1
Q
Q
S
Q
Quindi: il flusso del campo elettrico generato dalla carica puntiforme attraverso la superficie sferica è uguale alla carica diviso la costante dielettrica del mezzo.
+ Q Questo risultato è generalizzabile ad una superficie chiusa qualsiasi
S
Q
+ Q
e ad una distribuzione qualsiasi di carica .
S E
Q 3 Q 1
S
Q
1
Q
2
Q
1
Q
2
Teorema di GAUSS
Il flusso del campo elettrico chiusa
S
attraverso una superficie qualsiasi S, è uguale alla somma algebrica di tutte e sole le cariche
Q i
contenute all’interno della superficie diviso la costante dielettrica del mezzo:
S
Q
1
Q
2 ....
Q n
1
i n
1
Q i
Osservazione 1
Il flusso del campo elettrico non dipende dalla particolare superficie considerata e quindi non dipende dalla sua forma.
S 2 S 1
Q 1 Q 2 Q 3 Q 4
S
1
S
2
Q
1
Q
2
Q
3
Q
4
Osservazione 2
Il flusso del campo elettrico è dovuto esclusivamente alle cariche interne, le cariche esterne non danno alcun contributo al flusso.
Q3 Q1 Q2
S
Q
1
Q
2
Applicazioni Del Teorema Di Gauss Campo Elettrico generato da una distribuzione sferica di carica
Dati
Corpo sferico carico uniformemente con una carica totale +Q
Obiettivo
Calcolare il campo elettrico E ad una distanza d dal centro del corpo sferico +Q Osserviamo che il campo elettrico generato dalla sfera carica è un campo radiale (
la distribuzione di carica ha una simmetria centrale), carica è positiva
).
uscente (
la
Campo Elettrico generato da una distribuzione sferica di carica +Q S E
s
E x
S
E
S
cos 0
E
S
s
lim
n
i n
1
E
S i
E
lim
n
i n
1
S i
E
4
d
2
Campo Elettrico generato da una distribuzione sferica di carica applicando invece il teorema di Gauss avremo:
S
Q
e poiché i due flussi devono essere uguali avremo:
E
4
d
2
Q
0
E
1 4
d
2
Q
0 1 4
0
Q d
2
k Q d
2 Oss. Il campo elettrico è lo stesso che si avrebbe se tutta la carica Q fosse concentrata nel centro del corpo sferico carico.
Campo Elettrico generato da una distribuzione piana infinita di carica
Dati
Problema Piano infinito carico uniformemente (e positivamente) Densità superficiale di carica
Q
S
costante C/m 2 Calcolare il campo elettrico in un punto P a distanza
d
piano infinito di carica.
dal E P d E E Il campo elettrico è perpendicolare al piano in ogni suo punto
La distribuzione di carica è simmetrica rispetto a qualunque perpendicolare al piano, oppure un osservatore che si muove parallelamente al piano vede sempre la stessa distribuzione di carica.
Il campo elettrico è uscente (perché la carica è +)
Campo Elettrico generato da una distribuzione piana infinita di carica E
cil
base
1
base
2 sup
laterale
B1 E P S B2 E
base
1
base
2
B
1
B
2
x
E
1
x
E
2
B B
E
1
E
2 cos 0 cos 0
B
B
E E
sup
laterale
i n
1
E i x
S i
i n
1
E i
S i
cos 90 0 quindi il flusso totale è dato da
cil
base
1
base
2
sup
laterale B E B E
d’altronde per il Teor. di Gauss
cil
e i due flussi devono essere uguali, quindi
i Q i
1
B
2 1
B
allora
E
2 quindi il campo elettrico è uniforme ed ha direzione verso e intensità costanti (
in ogni punto dello spazio
).
Campo Elettrico generato da una distribuzione lineare infinita di carica
Dato un filo infinitamente lungo carico positivamente e in modo uniforme densità lineare
Q
l
C/m costante il campo elettrico generato dal filo infinito è uguale a:
E
k
2
r
Campo elettrico in prossimità della superficie di un conduttore
Teorema di Coulomb Il campo elettrico sulla superficie di un conduttore è sempre perpendicolare alla superficie del conduttore ed ha intensità uguale alla densità superficiale di carica diviso la costante dielettrica del mezzo nel quale si trova il conduttore E
E
+ + E + + E E + + E + + + + Il teorema è un’immediata conseguenza del teorema di Gauss E
Teorema di Coulomb Per calcolare il campo nelle immediate vicinanze del conduttore consideriamo un cilindro (non serve che sia reale) che racchiude un elementino di superficie S = B del conduttore Se il cilindro è sufficientemente piccolo E E + E E + E + + E • Il campo elettrico E sulla base superiore B 1 del cilindro è perpendicolare alla base e uniforme • Il campo elettrico sulla base inferiore B 2 è zero (il campo all’interno del conduttore è nullo) • Il campo elettrico è tangente alla superficie laterale esterna del cilindro
Teorema di Coulomb Calcoliamo ora il flusso del campo elettrico attraverso il cilindro nei due modi studiati: mediante la definizione di flusso e mediante il teor. di Gauss.
E E + E + + E + E E Calcolo il flusso secondo la definizione:
cil
base
1
base
2
sup
laterale
base
1
base
2
B
1
B
2
x
E
1
x
E
2
B B
E
1 0 cos 0 0
B
E
sup
laterale
i n
1
E i x
S
i
i n
1
E i
S i
cos 90 0
Teorema di Coulomb Quindi il flusso totale attraverso il cilindro sarà il prodotto dell’area di base B per il campo E:
cil
base
1
base
2
sup
laterale
B
E
0
0
B
E
E E + E + + E + E E Calcolo il flusso mediante il teorema di Gauss:
cil
i Q i
1
B
Il flusso è uguale alla carica totale B contenuta nel cilindretto diviso la costante dielettrica
E E Teorema di Coulomb Uguagliando i due flussi avremo:
B
E
1
B
+ E + + E + Da cui
E
E E