Transcript 数格点算面积（徐州十三中董磊）.

数学综合与实践活动
数格点 算面积
徐州市第十三中学
董
磊
2010年10月28日
恳请各位专家同仁批评指正！
哥哥说：“我的地一圈只有15棵树，而弟弟的地一圈有17
棵树，弟弟的面积大！”
弟弟说：“我的地里只有16棵树，而哥哥的地里有17棵树，
哥哥的面积大！”
预备知识
如图，网格纸上画着纵、横两组平行线，相邻平行
线之间的距离相等，这两组平行线的交点称为格点.如果
一个多边形的顶点都在格点上，那么多边形叫做格点多
边形.
A
E
B
格点
多边形
格点
C
D
活动任务
若格点多边形的面积为S，多边形边上的格点数为L，
它内部的格点数为N.
试探究出S与L 、 N之间的数量关系.
A
E
面积 S＝17.5
边上的格点数
B
L＝9
内部格点数
C
D
N＝14
活动一
探究N＝0的格点多边形的S与L之间的数量关系．
①
③
②
图形序号
内部格点数N
边上格点数L
面积S
①
0
4
1
②
0
6
2
③
0
8
3
活动二
探究N＝1的格点多边形的S与L之间的数量关系．
①
③
②
图形序号
内部格点数N
边上格点数L
面积S
①
1
4
2
②
1
5
2.5
③
1
9
4.5
活动三
探究N＝2的格点多边形的S与L之间的数量关系．
①
③
②
图形序号
内部格点数N
边上格点数L
面积S
①
2
4
3
②
2
6
4
③
2
10
6
活动四
探究N＝3的格点多边形的S与L之间的数量关系．
①
③
②
图形序号
内部格点数N
边上格点数L
面积S
①
3
4
4
②
3
5
4.5
③
3
6
5
活动五
通过以上活动，探究任意格点多边形的S与L、N之间
存在什么数量关系，试继续通过画图验证你们的结论．
N
0
0
0
L
4
6
8
S
1
2
3
N
1
1
1
L
4
5
9
S
2
2.5
4.5
N
2
2
2
L
4
6
10
S
3
4
6
N
3
3
3
L
4
5
6
S
4
4.5
5
活动五
通过以上活动，探究任意格点多边形的S与L、N之间
存在什么数量关系，试继续通过画图验证你们的结论．
N
0
0
0
L
4
6
8
S
1
2
3
N
1
1
1
L
4
5
9
S
2
2.5
4.5
N
2
2
2
L
4
6
10
S
3
4
6
N
3
3
3
L
4
5
6
S
4
4.5
5
定理学习
如果格点多边形的面积为S，多边形内部格点数为N，它边上的
格点数为L，那么S与N、L之间存在如下的数量关系：
A
E
B
C
D
1
S= L£«N£-1
2
奥地利数学家皮克（Georg Alexander Pick，1859～1943）在1899年
发现了上述公式，并进行了证明.这个公式被称为“皮克定理”，该定理
被誉为有史以来“最重要100个的数学定理”之一.
活动六
请你在下面的网格中设计一个格点多边形，并利用上述定理
求出各格点多边形的面积．
L＝6 N＝7 S＝9
L＝8 N＝5 S＝8
把一个多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所
得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形；
把一个多边形的一边向两方延长，如果其他各边分别位于延长
所得直线的两旁，这样的多边形叫做凹多边形.
活动七
请你在下面的网格中画出一个S＝9，N＝6的
格点多边形．
L＝8
活动小结
本次活动，我们经历了画图、填表、分析数据、探求规律的
过程．发现、验证、应用了皮克定理．获取了“由简单到复杂”
探究问题的方法和经验，提高了分析问题、解决问题的能力.
解决“探求规律类问题”时，首先要多画图、列式，为总结
规律提供素材；然后要纵向、横向比较所列式子各部分的异同，
发现变量和不变量，总结出规律；最后还要验证所得规律．
皮克定理中含有多个变量，在探求该公式时我们采用了变量
控制法的科学思维方法，即通过固定某些变量的值来探求其余变
量的变化规律． “以不变应万变”地帮助我们简化了问题，后续
学习时请大家尝试使用．
课后活动
1. 举例说明以往学习中解决哪些问题时使用到了“由
特殊到一般”、“分类讨论”等重要的数学思想方法．
2. 本次活动所使用的网格纸的纵、横两组平行线是相
互垂直的，如果网格纸的纵、横两组平行线不垂直，还能应
用皮克定理求出格点多边形的面积吗？