Transcript Economie des ressources non renouvelables

Economie des
ressources épuisables
Sébastien Rouillon
2015
(Première version, 2008)
1. Formalisation générale
On étudie l’exploitation d’une ressource
épuisable. On note :
• T : La durée d’exploitation (finie ou non) ;
• S0 : Le stock initial ;
• (q0, q1, …, qT) : Un plan d’extraction ;
• W(q0, q1, …, qT) : une fonction d’objectif.
1. Formalisation générale
Tout problème de res. épuisable implique de :
Choisir un plan d’extraction
Q = (q0, q1, …, qT)
pour maximiser un objectif
W(q0, q1, …, qT)
sous une contrainte d’épuisement
q0 + q1 + … + qT  S0.
2. La fonction objectif
La fonction W(Q) est appelée fonction
objectif.
Sa forme dépendra du type de
problème que l’on veut traiter :
• Equité intergénérationnelle ;
• Exploitation commerciale.
2. La fonction objectif
Dans tous les cas, la f° objectif :
• définit un critère d’évaluation des
plans Q d’extractions possibles ;
• détermine les propriétés de la
solution Q° du problème.
3. Equité
intergénérationnelle
Réfléchir à l’équité intergénérationnelle de la
répartition de la ressource revient in fine
à définir une fonction objectif W(Q).
Voici des exemples exotiques possibles :
Objectif
Fonction objectif
Egalité
Indice de Gini
Lissage
Somme de carrés des écarts
3.1 Critères welfaristes
Si la ressource n’est jamais stockée, la
quantité qt, extraite à la période t, est
consommée par la génération courante.
Notons alors :
• Ut(qt) : L’utilité tirée par la génération t de
la quantité extraite qt.
Elle sera supposée croissante et concave.
3.1 Critères Welfaristes
Il paraît légitime, pour évaluer Q = (q0, q1, …,
qT), de prendre en compte :
• plutôt que les qt directement,
• les utilités Ut(qt) qu’elles procurent.
Alors, l’objectif peut s’écrire :
W(U0(q0), U1(q1), …, UT(qT))
Quand la fonction objectif s’écrit de cette
façon, elle est dite Welfariste.
3.1 Critères Welfaristes
Voici deux ex. de telles fonctions :
• Maximin :
W = min {U0(q0), U1(q1), …, UT(qT)}
• Additive actualisée (0 <  < 1) :
W = U0(q0) +  U1(q1) + … + T UT(qT)
3.2 Fonction Maximin
Rawls (1971) justifie son utilisation en
affirmant qu’elle serait adoptée, si les
générations décidaient la fonction W
derrière un voile d’ignorance, les rendant
incapables de savoir :
• à quelle date elles vivront ;
• quelle sera leur fonction d’utilité ;
et si elles avaient une aversion infinie pour
le risque.
3.2 Fonction Maximin
Etudions le cas simple où :
S0 = 1 et T = 1.
On cherche q0 et q1
pour maximiser W = min {U0(q0), U1(q1)}
telles que q0 + q1  1.
3.2 Fonction Maximin
Théorème : La solution (q0°, q1°) vérifie
les conditions :
U0(q0°) = U1(q1°),
q0° + q1° = S0.
3.2 Fonction Maximin
Preuve : Soit (q0°, q1°) la solution.
Comme l’utilité est croissante, si q0° + q1° < 1, on peut
augmenter W = min {U1(q0°), U2(q1°)} .
Donc : q0° + q1° = 1.
Supposons que :
(H1) U0(q0°) < U1(q1°).
Alors : W = min {U0(q0°), U1(q1°)} = U0(q0°).
En augmentant q0° (et en diminuant q1° d’autant), W
augmente. (H1) est donc contradictoire.
Idem avec :
(H2) U0(q0°) > U1(q1°).
3.2 Fonction Maximin
Preuve :
U0
U0
U1
U1
W
q1
q0°
q1°
1
q0
Si les deux
générations ont
la même f° d’util.,
on aura de plus :
q0° = q1° = 1/2
3.2 Fonction Maximin
Exercice 1 : Supposons que les deux
générations aient pour fonctions d’utilité :
U0(q0) = 5 (1 – q0/2) q0,
U1(q1) = 8 (1 – q1/2) q1.
Si S0 = 1, montrer que :
(q0°, q1°) = (2/3, 1/3).
3.3 Fonction additive
actualisée
Barro (1974) justifie son utilisation en
affirmant qu’elle serait adoptée par
une dynastie parfaitement altruiste,
où chaque génération traite sa
descendance comme elle-même,
notamment en actualisant de la même
façon son utilité au cours de sa vie et
celles de ses descendants.
3.3 Fonction additive
actualisée
Supposons encore que S0 = 1 et T = 1.
On cherche q0 et q1
pour maximiser W = U0(q0) +  U1(q1)
et telle que q0 + q1  1.
3.3 Fonction additive
actualisée
On appelle utilité marginale de la génération
t, la fonction Umt, associant à toute
quantité qt, son gain d’utilité de t pour
l’augmentation d’une unité (infiniment
petite) de sa consommation de la
ressource.
Par définition de la dérivée : Umt = Ut’(qt)
3.3 Fonction additive
actualisée
Théorème : La solution (q0°, q1°) vérifie
les conditions :
Um0(q0°) =  Um1(q1°),
q0° + q1° = S0.
3.3 Fonction additive
actualisée
Preuve :
Um0
Um0
Um1 Une unité en + à la
Um1
Um1
q1
q0°
1
q1°
q0
gén° 1 augmente
W de Um0.
Une unité en + à la
gén° 2 augmente
W de Um1.
W est max. quand
Um0 = Um1.
3.3 Fonction additive
actualisée
Exercice 2 : Supposons que les deux
générations aient pour fonctions d’utilité :
U0(q0) = 5 (1 – q0/2) q0,
U1(q1) = 8 (1 – q1/2) q1.
Si  = 1/2 et S0 = 1, montrer que :
(q0°, q1°) = (5/9, 4/9).
3.3 Fonction additive
actualisée
Exercice 3 : Supposons que les deux
générations ont la même fonction d’utilité :
U0(-) = U1(-) = U(-)
avec : U(q) = (1 – q/2)q, q étant la
consommation de la ressource.
Montrer que : (q0°, q1°) = (1/(1 + ), /(1 +
))
3.3 Fonction additive
actualisée
Exercice 3 : On a : Um0(q0) = 1 – q0 et Um1(q1) = 1 – q1.
La solution du problème vérifie donc :
(1) : 1 – q0 =  (1 – q1)
(2) : q0 + q1 = S0 = 1
En utilisant (2) : q1 = 1 – q0.
En substituant dans (1) : 1 – q0 =  q0
On trouve donc : q0° = 1/(1 + ).
En substituant dans (2) : q1° = 1 - 1/(1 + ) = /(1 + ).
3.4 Exercices
< Attention, casse-tête ! >
Adapter l’exercice 3 dans le cas où on ne
connaît pas le stock initial S0, mais on sait
seulement qu’il est distribué uniformément
sur [0, S].
4. Mathématiques des
ressources épuisables
Cette section présente les outils
mathématiques, permettant de résoudre
un problème de ressource non
renouvelable.
On distingue deux types de modèles :
• Modèle en temps discret ;
• Modèle en temps continu.
4.1 Temps discret
On veut résoudre le problème suivant :
Choisir un plan d’extraction
(qt ; t = 0, 1, …, T)
pour maximiser la fonction objectif
T
W(Q) = Σt=0 t Ut(qt)
sous la contrainte d’épuisement
T
Σt=0 qt  S0.
4.1 Temps discret
On forme le lagrangien associé :
L=
T
Σt=0
t
Ut(qt) – l
T
(Σt=0
qt – S0),
où :
l est un multiplicateur de Lagrange.
4.1 Temps discret
La solution du problème vérifie :
qt  0, L/qt  0 et qt (L/qt) = 0, t,
T
l  0 et l (Σt=0 qt – S0) = 0.
4.1 Temps discret
Avec des fonctions d’utilité standards, la
solution vérifiera :
qt > 0, pour tout t, et l > 0.
On la trouvera donc en résolvant le système :
L/qt = t Ut’(qt) – l = 0, pour tout t,
T
Σt=0 qt – S0 = 0.
4.2 Temps continu
On veut résoudre le problème suivant :
Choisir un plan d’extraction
(q(t) ; t  0)
pour maximiser la fonction objectif
T
W(Q) = 0 e-rt Ut(q(t)) dt
sous la contrainte d’épuisement
T
0 q(t) dt  S0.
4.2 Temps continu
On forme le lagrangien associé :
L=
T
0
e-rt
Ut(q(t)) dt – l
T
(0 q(t)
dt – S0),
où :
l est un multiplicateur de Lagrange.
4.2 Temps continu
La solution du problème vérifie :
q(t)  0, L/q(t)  0 et q(t) (L/q(t)) = 0,
t,
l  0 et l
T
(0 q(t)
dt – S0) = 0.
4.2 Temps continu
Avec des fonctions d’utilité standards, la
solution vérifiera :
q(t) > 0, pour tout t, et l > 0.
On la trouvera donc en résolvant le système :
L/q(t) = e-rt Ut’(q(t)) – l = 0, pour tout
t,
T
0 q(t) dt – S0 = 0.
4.3 Exercices
Exercice 4 : Supposons que les trois
générations ont la même fonction d’utilité :
U0(-) = U1(-) = U2(-) = U(-)
avec : U(q) = (1 – q/2)q, q étant la
consommation de la ressource.
Ecrire le lagrangien associé à ce problème.
Déterminer le système d’équations
caractérisant sa solution.
5. Gestion privée d’une
ressource épuisable
On étudie ici la gestion d’une res. épuisable
par des propriétaires privés.
On note :
• P(q) = la fonction de demande inverse
• i = le taux d’intérêt
Toutes ces données sont supposées
constantes à travers le temps.
5.1. Valeur Actualisée
Nette
On appelle Valeur Actualisée Nette, associée
à un flux de profits futurs (p0, …, pt, …), la
somme d’argent, notée VAN, telle que tout
acteur du marché financier serait
indifférent entre :
• d’une part, disposer immédiatement de la
somme d’argent VAN ;
• d’autre part, percevoir, dans le futur, la
suite des flux de profits (p0, …, pt, …).
5.1. Valeur Actualisée
Nette
Supposons que le taux d’intérêt du marché
financier soit de i = 50% par période.
La VAN associée à un profit de 1 €, perçu
aux périodes t = 0, 1, 10 ou 100, est donnée
par le tableau (avec 1/(1 + i) = 2/3) :
t
VAN
0
1
1
2/3
10
100
(2/3)10 (2/3)100
5.1. Valeur Actualisée
Nette
En toute généralité, la valeur actualisée
nette d’un flux de profits (p0, …, pt, …),
pour un taux d’intérêt i, s’écrit :
VAN = p0 +  p1 + … + t pt + …
où :
 = 1/(1 + i) = le facteur d’actualisation,
associé au taux d’intérêt i.
5.2. Monopole
Supposons qu’il y a un propriétaire-exploitant
unique, en position de monopole sur le
marché de la ressource épuisable.
On note :
• S0 = son stock
• (c0, …, ct, …) = ses coûts d’extraction
unitaire
5.2. Monopole
Le monopole cherche à :
Choisir un plan d’extraction
(q0, …, qt, …)
pour maximiser son profit intertemporel
VAN = Σt t (P(qt) – ct) qt
sachant sa contrainte d’épuisement
q0 + … + qt + …  S0
On appelle équilibre du monopole la solution (q0*, …,
qt*, …) de ce problème.
5.2. Monopole
On appelle recette marginale du monopole, la
fonction Rm, associant à toute quantité q,
l’accroissement de sa recette totale pour
l’augmentation d’une unité (infiniment
petite) de son offre de la ressource.
Par définition de la dérivée :
Rm = (P(q) q)’ = P’(q) q + P(q)
5.2. Monopole
En adaptant les résultats de la sect° 4,
on déduit que :
Théorème : L’équilibre du monopole
(q0*, …, qt*, …) vérifie :
(1) : Rm0 – c0 = … = t(Rmt – ct) = …
(2) : q0* + … + qt* + … = S0
5.2. Monopole
La condition (1) signifie que le monopole choisit un
plan d’extraction tel que la dernière unité extraite
rapporte autant, en valeur actuelle, à n’importe
quelle date.
Sinon, il aurait intérêt à réduire son offre à une
date où la dernière unité extraite rapporte moins,
en valeur actuelle, pour l’augmenter à une date où
la dernière unité extraite rapporte plus, en valeur
actuelle.
La condition (2) signifie qu’il épuise son gisement, en
un temps fini ou infini.
5.2. Monopole
Ex. 5 : Déterminer l’équilibre du monopole dans le cas où :
P(q) = 1/qe (0 < e < 1) et ct = 0, pour tout t.
On a : RT = q1-e. D’où : Rm = (1 – e)/qe.
L’équilibre du monopole vérifie :
(1) : (1 – e)/q0e = … = t (1 – e)/qte = …
(2) : q0 + … + qt + … = S0
En utilisant (1) : qt/q0 = dt, pour tout t, en notant d = 1/e.
En substituant dans (2) :
(2) : q0 (1 + d + … + dt + …) = q0/(1 - d) = S0
Donc, q0 = (1 - d) S0.
Finalement, avec (1) : qt* = dt (1 - d) S0, pour tout t.
5.3. Concurrence parfaite
Supposons qu’il y a J propriétairesexploitants identiques.
On note, pour chaque j :
• s0 = son stock, avec Σj s0 = S0
• (c0, …, ct, …) = ses coûts d’extraction
unitaires
• (p0, …, pt, …) = son anticipation des prix
futurs
5.3. Concurrence parfaite
Tous les propriétaires cherchent à :
Choisir un plan d’extraction
(q0, …, qt, …)
pour maximiser leur profit intertemporel
VAN = Σt t (pt – ct) qt
sachant leur contrainte d’épuisement
q0 + … + qt + …  s0
On appelle équilibre du propriétaire la solution (q0*,
…, qt*, …) de ce problème.
5.3. Concurrence parfaite
A quelques détails près (ici, s0 est quelconque
et T peut être infini), ce problème est
semblable à celui de la section 2.2.
En effet, en posant : Ut(qt) = (pt – ct) qt,
on peut le réécrire :
Choisir (q0, …, qt, …),
pour maximiser Σt t Ut(qt),
sachant q0 + … + qt + …  s0.
5.3. Concurrence parfaite
En adaptant le théorème de la sect°
2.2, avec ici, Umt(qt) = pt – ct, on
déduit :
L’équilibre du propriétaire (q0*, …, qt*,
…) vérifie :
(1) : p0 – c0 = … = t (pt – ct) = …,
(2) : q0* + … + qt* + … = s0.
5.3. Concurrence parfaite
La condition (1) signifie que les propriétaires doivent
anticiper que la dernière unité extraite rapporte
autant, en valeur actuelle, à n’importe quelle date.
Sinon, tous auraient intérêt à attendre la date où
(ils anticipent que) la dernière unité extraite
rapportera le plus, en valeur actuelle, pour
extraire s0 en une fois. Mais alors, le prix à cette
date s’effondrerait et leur anticipation serait
contredite.
La condition (2) signifie qu’il épuise son gisement, en
un temps fini ou infini.
5.3. Concurrence parfaite
Un équilibre du marché (symétrique et avec
anticipation parfaite) se définit par :
• Une anticipation de prix (p0*, …, pt*, …)
• Un plan d’extraction (q0*, …, qt*, …)
tels que :
• L’anticipation (p0*, …, pt*, …) se réalise si tous les
propriétaires appliquent le plan (q0*, …, qt*, …)
• Le plan (q0*, …, qt*, …) est un équilibre des
propriétaires s’ils anticipent (p0*, …, pt*, …)
5.3. Concurrence parfaite
Théorème : Les anticipations de prix (p0*, …, pt*, …)
et le plan d’extraction (q0*, …, qt*, …) forment un
équilibre de marché (symétrique et avec
anticipation parfaite) si :
(p0*, …, pt*, …) = (P(Σjq0*), …, P(Σjqt*), …),
p0* – c0 = … = t (pt* – ct) = …,
q0* + … + qt* + … = s0.
5.3. Concurrence parfaite
Ex. 5 : Déterminer l’équilibre du marché dans le cas où :
J = 2, P(q) = 1/q et ct = 0, pour tout t.
L’équilibre du marché vérifie :
(1) : (p0, …, pt, …) = (1/(2q0), …, 1/(2qt), …)
(2) : p0 = … = t pt = …,
(3) : q0 + … + qt + … = s0.
En substituant (1) dans (2), on a :
(2) : 1/(2q0) = … = t/(2qt) = …
Il s’ensuit que : qt/q0 = t, pour tout t.
En substituant dans (3) :
(3) : q0 (1 +  + … + t + …) = q0/(1 - ) = s0
Donc, q0 = (1 - ) s0.
On en déduit que : qt* = t (1 - ) s0, pour tout t.
L’offre totale est donc Σj qt* = 2qt* = t (1 - ) S0, pour tout t.
Les prix d’équilibre sont : pt* = 1/[t (1 - ) S0], pour tout t.
5.3. Concurrence parfaite
Ex. 5 : Déterminer l’équilibre du marché dans le cas où :
J = 2, P(q) = 1/qe (0 < e < 1) et ct = 0, pour tout t.
L’équilibre du marché vérifie :
(1) : (p0, …, pt, …) = (1/(2q0)e, …, 1/(2qt)e, …),
(2) : p0 = … = t pt = …,
(3) : q0 + … + qt + … = s0.
En utilisant (1), on a :
(2) : 1/(2q0)e = … = t/(2qt)e = …
Il s’ensuit que : qt/q0 = dt, pour tout t, en notant d = 1/e.
En substituant dans (3) :
(2) : q0 (1 + d + … + dt + …) = q0/(1 - d) = s0
Donc, q0 = (1 - d) s0.
Finalement, avec (2) : qt* = dt (1 - d) s0, pour tout t.
L’offre totale est donc : Σj qt* = 2 qt* = dt (1 - d) S0, pour tout t.
Les prix d’équilibre sont : pt* = 1/[dt (1 - d) S0]e, pour tout t.
5.4. Règle d’Hotelling
On appelle rente de rareté à la date t
du propriétaire, notée Rt, sa marge
sur la dernière unité extraite à la
date t :
Rt = pt – ct, en concurrence parfaite
Rt = Rmt – ct, en monopole
5.4. Règle d’Hotelling
Théorème (Règle d’Hotelling) : A l’équilibre, la rente
de rareté croît à toute période au rythme du taux
d’intérêt i :
(Rt+1 – Rt)/Rt = i.
Preuve : En substituant Rt = pt – ct ou = Rmt – ct, la
seconde condition du théorème devient :
R1 = … = t Rt = ….
On a donc : quelle que soit t,  Rt+1 = Rt, d’où l’on
déduit : (Rt+1 - Rt)/Rt = 1/ - 1 = i.
5.5. Application Excel
Soit le problème de ressource suivant :
S0 = le stock initial,
T = la durée d’exploitation,
 = le facteur d’actualisation,
Ut(qt) = (a – b qt/2) qt = l’utilité,
Ct(qt) = c qt = le coût d’extraction,
avec a > 0, b > 0, c > 0 et 0 <  < 1.
5.5. Application Excel
On va construire une feuille de calculs pour
déterminer les plans d’extraction
d’équilibre en conc. pure et parfaite et du
monopole.
Pour cela, il faut maximiser resp. :
WCPP(Q) = St t [Ut(qt) – Ct(qt)],
WM(Q) = St t [RTt(qt) – Ct(qt)].
(Rque : La f° de demande est Pt(qt) = a – b qt.)
5.5. Application Excel
On organise la feuille de calcul en :
• Une zone de paramètres (a, b, c, , S0) ;
• Une zone de calculs pour déterminer
l’équilibre en conc. pure et parfaite ;
• Une zone de calculs pour déterminer
l’équilibre du monopole.
5.5. Application Excel
Zone de paramètrage :
On déclare, dans les cellules :
B4 et B5 : les paramètres a
et b de la fonction d’utilité ;
B6 : le paramètre c de la
fonction de coût ;
B7 : le fact. d’actualisat°  ;
B8 : le stock initial S0.
5.5. Application Excel
Zone de calculs : Cas de
la conc. pure et parf.
On déclare, dans les cellules :
A15:A25 : les dates t ;
B15:B25 : les qtités qt ;
C15:C26 : les stocks St ;
D15:D25 : les util. Ut(qt) ;
E15:E25 : les coûts Ct(qt) ;
F15:F25 : t (Ut(qt) – Ct(qt)).
=$B$7^A15*(D15-E15)
=$B$8
=$B$6*B15
=($B$4-$B$5/2*B15)*B15
=C15-B15
=SOMME(F15:F24)
5.5. Application Excel
Boîte de dialogue du Solveur :
Dans le solveur, on
déclare :
F26 comme cellule
cible ;
B15:B24 comme
cellules variables ;
B15:B24 >= 0 comme
contraintes ;
C25 >= 0 comme
contrainte.
5.5. Application Excel
Le Solveur converge vers cette solution :
5.5. Application Excel
Zone de calculs : Cas du
monopole.
On déclare, dans les cellules :
A30:A40 : les dates t ;
B30:B39 : les qtités qt ;
C30:C40 : les stocks St ;
D30:D39 : les rec. RTt(qt) ;
E30:E39 : les coûts Ct(qt) ;
F30:F39 : t(RTt(qt)–Ct(qt)).
=$B$7^A30*(D30-E30)
=$B$8
=$B$6*B30
=($B$4-$B$5*B30)*B30
=C30-B30
=SOMME(F30:F39)
5.5. Application Excel
Boîte de dialogue du Solveur :
Dans le solveur, on
déclare :
F41 comme cellule
cible ;
B30:B39 comme
cellules variables ;
B30:B39 >= 0 comme
contraintes ;
C40 >= 0 comme
contrainte.
5.5. Application Excel
Le Solveur converge vers cette solution :
5.5. Application Excel
Comparaison des deux trajectoires d’extraction :
5.5. Exercice
Adapter la feuille de calculs pour prendre en
compte l’hypothèse d’un progrès technique
dans l’extraction de la ressource.
Formellement, supposer que le coût
d’extraction s’écrit :
Ct(qt) = ct qt,
ct = c (1 – g)t,
où g = le taux de progrès technique.
6. Mesurer la rareté
Les Nations Unies définissent :
• Les Réserves comme l'ensemble des
gisements connus et exploitables,
techniquement et économiquement ;
• Les Ressources comme l'ensemble
des gisements connus ou supposés.
6. Mesurer la rareté
Exploitable
RESSOURCES
RESERVES
Sites inconnus
Trop coûteux
Non
Découvertes découvertes
Sites connus
Coût
d’exploit°
Certitude géologique croissante
6.1 Indicateurs physiques
6.1 Indicateurs physiques
La ratio Rés./Conso.
donne le nombre d’années
de consommation, au
même rythme, à réserves
constantes.
Ce n’est pas un bon
indicateur de rareté (Cf.
tableau).
6.1 Indicateurs physiques
Plusieurs facteurs peuvent expliquer
l’évolution du ratio Conso./Rés. :
• La découverte de nouveaux gisements ;
• L’amélioration des technologies
d’exploitation ;
• L’augmentation du prix, incitant à ouvrir
des sites non rentables ;
• Le comportement stratégique des acteurs.
6.2 Indicat. économiques
Du point de vue économique, la rareté se
mesure comme le coût d’opportunité d’un
bien, exprimé en unités d’un autre bien.
Comme indicateur de rareté d’une ressource,
on utilisera donc :
• Son coût d’extraction ;
• Son prix de marché ;
• Sa valeur in situ.
6.2 Indicat. économiques
€/u
pt*
P(q)
Rt *
qt*
Si, à une date t,
l’extraction à l’éq. éco.
est qt*, alors :
• Le coût d’extract°
est Cm ;
Cm
• Le prix de marché
est pt* ;
q
• La valeur in situ est
Rt* = qt* – Cm.
6.2 Coût d’extraction
Coût technique d’un baril de brut (dollar US)
6.2 Coût d’extraction
Sur la décennie 19902000, le coût
d’extraction du pétrole a
fortement diminué (Cf.
Tableau).
Ceci traduit un progrès
technique important dans
ce secteur.
6.3 Prix de marché
Indices de prix réel 1960-1995
Source : Krautkraemer (2005)
6.4 Valeur in situ
Comme il est rare qu’un gisement soit vendu,
les statistiques sur la valeur in situ sont
rares.
Elles doivent donc être reconstituées :
• soit à partir de séries de prix et de coût
d’extraction ;
• soit à partir de séries de coût
d’exploration.
6.4 Valeur in situ
Les tentatives de reconstitution indirecte de
séries de valeurs in situ ont en général conclu
qu’elles avaient plutôt diminué avec le temps
(Krautkraemer 1998).