Transcript A „Fizikai paradoxonok”

2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
1
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
2
FIZIKAI
PARADOXONOK
Escher paradoxiális rajza
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
Escher
3
Mottó:
„A legszebb, amit megérthetünk az
élet
titkának
keresése.
Ez
az
alapérzés, amely az igazi művészet és
tudomány bölcsőjénél jelen van. Aki ezt
nem ismeri, aki nem tud csodálkozni,
elámulni az
- hogy úgy mondjam –
halott, és szeme kialudt.”
Albert Einstein:
Hogyan látom a világot?
Gladiátor Kiadó,
Budapest, 1994. 16.old.
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
4
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
5
• A legtöbb tudomány története (a matematikáé
is) PARADOXONOK története
• A legnagyobb felfedezések általában a
legnagyobb PARADOXONOKAT oldják meg
• Szókratész tanítási módszere, amely
paradoxonokon keresztül vezetett új igazságok
felismeréséhez, éppen ezért a legmélyebben
gyökerező tanítási módszer, mert magának a
megismerésnek az útja is paradoxonokra épül
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
6
• Példa: Pythagoreusok - összemérhetetlenségi
paradoxon (inkommenzurábilitás, a négyzet átlója
és oldala)
• „A tudományos igazságok mindig paradoxiálisak,
ha okoskodásunk a köznapi tapasztalatokra
támaszkodik, amely a dolgoknak csupán csalóka
látszatát ragadja meg.” (K. Marx)
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
7
Mi lenne a jó cím???
• Fizikai paradoxonok
• Paradoxonok a fizikában (????)
Ellentmondásmentesség!
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
8
Paradoxon: A gondolkodásunkban
meglévő ellentmondás (?)
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
9
A „Fizikai paradoxonok” című
kurzus tematikája
BEVEZETÉS
meglepő jelenségek, paradox viselkedések
a)
b)
c)
d)
e)
Furfangos forgó (keltai kő)
Ingatag inga
Gügye golyók
Kettős szivornya
Elektromos gyertya
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
10
A PARADOXON FOGALMA ÉS VELE
ROKON FOGALMAK
a) Paradoxon
b) Ellentmondás
c) Antinómia
d) Apória
e) Fallácia
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
11
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
LOGIKAI, SZEMANTIKAI ÉS MÁS
PARADOXONOK
Epimenidész, a krétai mondta: „Minden krétai
hazudik.”
„Én most hazudok.”
Prótagórasz és tanítványa
Sancho Panza és a híd
A falu fodrásza
A polgármesterek városának polgármestere
A Russel-féle antinómia (az összes rendes
halmazok halmaza)
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
12
ÚTON A FIZIKAI PARADOXONOK FELÉ
a)
b)
c)
d)
Halom paradoxon („Szoritész”)
Kopasz paradoxon („Calvus”)
Elmosódott határú kijelentések
Az éleai Zénon apóriái
I. Sokságellenes apória
II. Mozgásellenes apóriái
i.
ii.
iii.
iv.
2004/2005. II. félév.
Dichotomia
Akhilleusz és a teknős
A repülő nyíl
Sztadion
Fizikai paradoxonok
13
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
FIZIKAI PARADOXONOK
Labda a labdán
Vizuális paradoxon
Zenei paradoxon
Égi mechanikai paradoxon
Pascal-féle paradoxon
Hidrosztatikai paradoxon
Zsukovszkij-féle paradoxon
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
14
h)
i)
j)
k)
l)
m)
n)
o)
p)
Aerodinamikai paradoxon
Hidrodinamikai paradoxon
Bánki-féle paradoxon
Két-buborék paradoxon
Iker paradoxon
A földi elektrosztatikus tér paradoxona
A soros kapcsolás paradoxona
Boucherot-féle paradoxon
Olbers-féle paradoxon
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
15
q)
r)
s)
t)
u)
v)
w)
x)
Energia-lejtő paradoxon
Feynmann-féle paradoxon
A Brown-mozgás (a bolyongás) paradoxonja
Gibbs-féle paradoxon
D’Alembert-féle paradoxon
Einstein-Podolsky-Rosen-féle (EPR) paradoxon
Schrödinger macskája
A polarizációlátás UV-paradoxona
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
16
BEVEZETÉS
néhány motiváló jelenség
a) Ingatag inga
b)Furfangos forgó (keltai kő)
c) Gügye golyók
d)Kettős szivornya
e) Elektromos gyertya
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
17
Furfangos forgó
Más elnevezés: keltai kő
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
18
A szivornya
szívás
Szifon (szivornya)
HÉRON
(Alexandria, Kr.u. I. század)
Működési elv:
HORROR VACUI
A természet irtózik az űrtől
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
19
A kettős szivornya
Más elnevezés:
automatikus
szivattyú
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
20
Az elektromos gyertya kapcsolása
megvilágító
fény
fotodióda
B
BD 139
tranzisztor
C
B: bázis
C: kollektor
E: emitter
izzó
E
-
+
4,5 V K
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
21
LOGIKAI, SZEMANTIKAI
ÉS MÁS
PARADOXONOK
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
22
A hazug (a hazudós) paradoxon
Epimenidész,
a krétai azt mondta:
„Minden krétai hazudik.”
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
23
A hazug (hazudós) paradoxon egy újabb keletű
megfogalmazását Pál apostol Títushoz írt levelében
olvashatjuk (Tít. 1, 12-13.):
12. Azt mondta valaki közülök, az ő saját
prófétájok: A krétaiak mindig hazugok,
gonosz vadak, rest hasak.
13. E bizonyság igaz: annakokáért fedd
őket kímélés nélkül, hogy a hitben épek
legyenek.
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
24
A hazug (a hazudós) paradoxon
Epimenidész, a krétai azt mondta:
„Minden krétai hazudik.”
Mivel Epimenidész krétai, így ő is hazudik, tehát minden
kijelentése, így a fentebbi is hamis. Ha hamis, akkor az azt
jelenti, hogy minden (?) krétai igazat mond. De ha
minden krétai igazat mond, akkor Epimenidész minden
kijelentése, így a fentebbi is igaz, tehát minden krétai
hazudik. De ha minden krétai hazudik, akkor Epimenidész
is hazudik, tehát minden kijelentése, így a fentebbi is
hamis, azaz igazat mond …
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
25
A hazudós paradoxon „erősebb”
megfogalmazásai:
Én most hazudok!”
„
Mi okozhatja az ellentmondást?
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
26
Találós kérdés:
Mi az, ami a
majomnak elől is és
hátul is, a
menyasszonynak csak
elől, vőlegénynek se
elől, se hátul nincsen?
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
27
Majom
Menyasszony
Vőlegény
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
28
A nyelv szintjei:
lingvisztikai szint - ‘hó’
konceptuális szint - ‘’hó’’
az objektív valóság szintje - hó
• Tárgynyelv: a valóságra vonatkozó kijelentések
• Metanyelv: a valóságra tett ismeretekre
vonatkozó kijelentések
A hó fehér!
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
29
A hazudós paradoxon „erősebb”
megfogalmazásai:
[Ezen a vásznon a szögletes
zárójelbe tett kijelentés téves!]
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
30
A hazug paradoxon,
írja Tarski (neves filozófus),
„meggyötört sok ókori logikust, és
legalább egynek a halálát is okozta,
nevezetesen a kószi Philétoszét”
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
31
Prótagórász és tanítványa
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
32
• Prótagórász jogászmesterséget is tanított. Amikor
tanítványa, Euathalosz befejezte tanulmányait,
megállapodtak abban, hogy a tanítvány csak akkor
fizeti ki a tandíjat, miután megnyerte élete első
perét, de akkor feltétlenül.
• Telt-múlt az idő, de a tanítvány csak nem fizetett,
már csak azért sem, mert nem folytatott jogászi
tevékenységet. Megelégelte mindezt a mester, és
elhatározta, hogy beperli a tanítványt, bízva abban,
hogy akkor a pénzéhez juthat.
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
33
Hogyan dönt a bíróság??
• Ha a bíróság Prótagórász mellett teszi le voksát,
akkor a tanítványnak fizetnie kell. Ám ekkor a
tanítvány elvesztette élete első perét, tehát a
köztük meglevő egyezség alapján nem kell
fizetnie.
• Ha a tanítványnak adnak a bírák igazat, akkor a
döntés alapján nem kell fizetnie a tanítványnak,
de így meg a megállapodás alapján kell fizetnie,
hiszen megnyerte élete első perét.
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
34
Sancho Panza
és a híd
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
35
• Sancho Panza kormányzó lesz egy szigeten. A
szigetlakók vizsgáztatják Sanchot.
• A szigeten van egy híd, amin az áthaladni
szándékozó csak akkor mehet át, ha arra a
kérdésre, hogy miért jött, az igazat mondja.
Ellenkező esetben a hídfőben álló akasztófára
felakasztják.
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
36
• Egy alkalommal vándor érkezik, aki a feltett
kérdésre így válaszol: Azért jöttem, hogy erre az
akasztófára felakasszanak.
• Mi történjék a vándorral?
• Ha felakasztják, akkor igazat mondott, tehát át
kell őt engedni a hídon.
• Ha átmehet a hídon, akkor nem mondott igazat,
tehát a rendelkezés értelmében fel kell őt
akasztani.
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
37
Hogyan döntött Sancho Panza???
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
38
A falu fodrásza
• Egy falu fodrászát megkérdezik, hogy megy a
sora?
• Válasza: „Rendben van minden, hiszen én azokat
és csak azokat a falubéli lakókat (férfiakat)
borotválom, akik nem maguk borotválkoznak.”
• Ki borotválja a borbélyt?
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
39
Hova tartozik a fodrász???
Azok, akik nem maguk
borotválkoznak
Azok, akik maguk
borotválkoznak
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
40
A polgármesterek városának
polgármestere
• Egy ország lakói városokban élnek. Az uralkodó kiadja az
1. számú rendeletét: Minden városnak polgármestert kell
választania.
• A választások megtörténnek, és lettek olyan
polgármesterek, akik nem abban a városban lettek
polgármesterek, ahol laknak, azaz nem saját városukban.
• Bizonyos okok miatt az uralkodó kiadja 2. számú
rendeletét: Mindazok számára, akik nem lakóhelyükön
lettek polgármesterek, létre kell hozni a polgármesterek
városát, ahol tehát azok és csak azok lakhatnak, akik nem
saját városukban polgármesterek.
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
41
• Az 1. számú rendelet szerint ennek a városnak is
polgármestert kell választania.
• Hol lakjon ez a polgármester?
• Itt nem lakhat, mert a 2. számú rendelet alapján
itt csak azok a polgármesterek lakhatnak, akik
nem saját városukban lettek polgármesterek.
• Más városban sem lakhat, ugyanis ekkor
ugyancsak a 2. számú rendelet alapján itt kell
laknia.
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
42
Russel-féle antinómia
Bertrand Russel
(1872 – 1970)
Brit matematikus és filozófus
Irodalmi Nobel-díjas (1950)
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
43
• Rendes (nem-tartalmazkodó, [az elnevezés
Kalmár Lászlótól]) halmaz: elemként nem
tartalmazza önmagát - HH
• Nem-rendes (tartalmazkodó) halmaz:
elemként tartalmazza önmagát - H0H
• Pl.: a kávéskanalak halmaza rendes halmaz,
hiszen ez a halmaz nem-kávéskanál, de a nemkávéskanalak halmaza szintén nem-kávéskanál,
tehát tartalmazza önmagát, így nem-rendes
halmaz
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
44
• Tekintsük az összes rendes halmazok N halmazát!
Kérdés: ez a halmaz rendes vagy nem-rendes?
Válasz:
• Indirekt bizonyítással bizonyítjuk, hogy N rendes.
Mert ha feltesszük az ellenkezőjét, azaz hogy N0N,
akkor, mivel N minden eleme rendes halmaz,
kapjuk, hogy N sem nem-rendes, azaz hogy NN.
• Indirekt bizonyítással bizonyítjuk, hogy N nemrendes. Mert ha feltesszük az ellenkezőjét, azaz hogy
NN, akkor tudván, hogy N minden rendes
halmazt tartalmaz, önmagát is tartalmaznia kell
elemként, azaz N0N.
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
45
ÚTON A FIZIKAI
PARADOXONOK
FELÉ
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
46
Halom paradoxon („Szoritész”)
• Eubulidész ógörög filozófus felteszi a kérdést:
„Egy szem mag vajon halom-e?”
• „Nem.”
• „Hát még egy szem?”
• „Az sem.”
• A kezdetben feltett kérdést sokszor megismétli,
míg végül el kell ismerni, hogy valamilyen újabb
szem hozzáadása eredményeként olyasmi jött
létre, amit kezdetben tagadtunk: vagyis egy
halom gabonaszem.
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
47
Kopasz („Calvus”) paradoxon
Eubilidész egy másik
eszmefuttatása:
Ha valaki kitépi egy embernek
egy szál haját,
nem változtatja az illetőt
kopasszá; kérdés: mikor
változik kopasszá, ha
szálanként tépdesik ki haját?
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
48
Hegel szerint a fentebb
vizsgált „különös”,
tréfának látszó kérdés
mögött a tárgy minőségi és
mennyiségi változásai
kölcsönös kapcsolatának
fontos problémája rejlik.
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
49
Elmosódott határú kijelentések
Minden ember magas (alacsony)
Képzeljünk el két embert, akik közül az egyik 1 mm-rel
magasabb, mint a másik. Ha az egyikük 195 cm, a másik
pedig 1 mm-rel alacsonyabb, akkor mindketten magasak.
Tekintsük a testmagasságoknak egy 195 cm-től induló
csökkenő sorozatát, amelyben a szomszédos tagok
különbsége mindig 1 mm. Egy 195 centis ember
nyilvánvalóan magas. Feltevésünk szerint ekkor
magasnak számít a 194,9 cm magas személy is. Ha
viszont az utóbbiak magasak, akkor magasak a náluk
1 mm-rel alacsonyabbak is. A gondolatmenet folytatható,
és hamarosan ahhoz az abszurd állításhoz érkezünk, hogy
a 155 cm-es emberek is magasnak nevezendők – tehát
valóban, mindenki magas.
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
50
• Thészeusz hajója
• A látható fény spektruma és a színek
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
51
Az éleai Zénon apóriái
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
52
A görög filozófia szinterei, köztük
ÉLEA
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
53
Az éleai iskola
Az iskola fő képviselője:
PARMENIDÉSZ (Kr.e. 540 – Kr.e. 515(?))
A létező egy és mozdulatlan
A létező attributumai:
Egész
Végtelen
A létező változó világként érzékeink torzítása miatt
jelenik meg változó világként
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
54
A parmenidészi bölcselet védelmezője:
ZÉNON
Mesterének állításait az ún.
APÓRIÁkkal
indirekt módon bizonyítja
Sokságellenes apória
Mozgásellenes apóriák
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
55
Mozgásellenes apóriái:
Dichotomia
Akhilleusz és a teknősbéka
Sztadion
A repülő nyíl
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
56
• Zénon apóriái - amelyek Arisztotelész
közvetítésével maradtak fenn az utókorra sok fejtörést okoztak a filozófusoknak.
Általánosan elfogadott megoldásuk (talán
még) ma sincs.
• A következőkben Ruzsa Imre műve
alapján, matematikai elemzés segítségével
olyan megoldást ismertetünk, amely sokak
számára meggyőző és elfogadható.
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
57
•
A Zénon apóriák tárgya közös:
a mozgás, a tér, az idő
Felfogásunk a térről és az időről:
a) A tér és az idő lehet folytonos, azaz
végtelenül osztható (nincs legkisebb, már
tovább nem osztható tér- és időintervallum)
b) A tér és az idő megszakított, nem folytonos,
azaz „atomos” (van tehát olyan legkisebb
tér- és időintervallum, amely már tovább
nem osztható, nevezzük ezeket
„tératomnak” és „időatomnak”.)
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
58
1. feltevés:
A tér és az idő folytonos,
azaz érvényes a
végtelen oszthatóság elve
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
59
1. Dichotomia (felezés)
• Ha elfogadjuk a végtelen oszthatóság elvét,
akkor a mozgás lehetetlen. Mert tegyük föl, hogy
egy d távolságot kell megtennünk. Hogy
megtehessük, előbb meg kell tenni a felét, a d/2
távolságot, hogy ezt bejárjuk, ahhoz előbb be
kell járni ennek felét, a d/4 távolságot, de ennek
feltétele, hogy előbb a felét, a d/8 távolságot
befussuk, . . . és így tovább, a végtelenségig.
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
60
• Meg kell tenni az AB = d távolságot
A
F2
F1
F
B
d/2
Fi : felezőpont
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
61
• A felezést bármeddig folytathatjuk, a d távolság
megtételének a feltételeit is vég nélkül
sorolhatjuk föl, a feltételek e visszafelé haladó
láncolatában nincs első feltétel. Mivel nincs első
feltétel, azt nem is lehet teljesíteni, de hát akkor
egyetlen kikötésünk sem teljesül (hiszen
bármelyiknek előfeltétele a megelőző feltétel
teljesülése). Így a d távolságot nem lehet
megtenni, a mozgás lehetetlen, mert nem lehet
elindulni.
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
62
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
63
2. Akhilleusz és a teknősbéka
A: Akhilleusz
A
d
T: teknősbéka
A1
T
d1
A2
T1
T2
d : a teknősbéka előnye
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
64
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
65
A trójai háború hőse, a gyors lábú Akhilleusz, nem képes
utolérni a lomha teknőst, ha annak bármely csekély előnye
van. Mert tegyük fel, hogy a teknős előnye a d távolság.
Amíg Akhilleusz befutja a d távolságot, addig a teknős
előrecammog valamennyit, mondjuk d1 távolságot. Amíg
Akhilleusz ezt megteszi, addig a teknős előrehalad d2-t, . . .
és így tovább, a végtelenségig. Bármely csekélyre
zsugorodik is a teknős előnye, e csekély távolságnál is van
kisebb - a végtelen oszthatóság elvének elfogadásával-,
tehát amíg Akhilleusz ezt megteszi, addig a teknős képes
egy újabb, bár kisebb előnyre szert tenni. Tehát Akhilleusz
sohasem éri utól a teknőst, a mozgást nem képes befejezni.
A mozgás tehát nem létezik, hiszen ha létezik, nem lehet
megállni.
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
66
2. feltevés:
A tér és az idő atomos, azaz
a végtelen oszthatóság elve
nem érvényes
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
67
3. Sztadion
(A sztadion jelentése: hosszmérték, futópálya)
Tegyük fel, hogy három párhuzamos sorban lovasok
állnak, az alábbi ábrának megfelelően:
Két lovas távolsága mindhárom sorban állandó, legyen ez a
távolságegység. A B és C sorok egyszerre megindulnak, és
egyenlő sebességgel haladnak a nyíllal megjelölt irányban, az
A sor nyugalomban marad.
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
68
A mozgás az alábbi ábrának megfelelően fejeződik be.
A B sor lovasai megállapíthatják helyzetüket az A sorral
illetve a C sorral összehasonlítva. Az elmozdulás 2
illetve 4 egység. Így bebizonyosodott, hogy
2 = 4,
de ez ellentmondás, tehát a mozgás lehetetlen.
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
69
4. A repülő nyíl
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
70
Amíg egy test önmagával egyenlő helyet
foglal el, nincs mozgásban. A repülő
nyíl minden időpillanatban önmagával
egyenlő helyet foglal el. Így a repülő
nyíl nincs mozgásban, a mozgás csak
látszat, nem létezik.
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
71
A szinópéi filozófus, Diogenész és tanítójának
története
• Diogenész, amikor tanítója elmondta neki Zénon
apóriáit, felkelt és ide-oda járkálni kezdett, hogy saját
mozgásával cáfolja meg Zénon következtetéseit.
Válaszul tanítója botot ragadott és verni kezdte
növendékét. Miért? Azért, hogy ez utóbbi
gondolkozzék és megtanulja logikusan megcáfolni
más gondolkodó nézeteit.
• (A görögöknél csak észérvekre lehetett hivatkozni, az
érzékelésünket megcsaló érzékszervekre, a
tapasztalatra pedig nem.)
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
72
A Zénon apóriák
elemzése
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
73
1. Dichotomia elemzése
Esemény: egy távolság megtétele
• D → eljutni B-be (a d távolság megtétele)
• D1 → eljutni F1-be (a d/2 távolság megtétele)
• D2 → eljutni F2-be (a d/4 távolság megtétele)
Leszálló eseménysorozat:
Dn, Dn-1, …, D2, D1, D
ha D-nek a feltétele D1, és általában Di-1-nek
a föltétele Di (i= 2, 3, 4, . . ., n).
Ha Dn nem következik be, akkor D sem
következhet be.
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
74
Dn : a sorozat kezdőtagja, D: a sorozat zárótagja
• Végtelen leszálló eseménysorozat:
… , Dn, Dn-1, …, D2, D1, D (nincs kezdőtag)
• Ha egy leszálló eseménysorozat kezdőtagja nem
következik be, akkor zárótagja sem következhet
be. A végtelen leszálló eseménysorozatnak nincs
kezdőtagja, tehát az nem is következhet be. Így a
zárótagja sem következhet be.
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
75
2. Akhilleusz és a teknős elemzése
• Az előnyök befutásához szükséges idők:
t =t1 + t2 + … + tn + … = ∞ (????)
t1=d/vA
vA: Akhilleusz sebessége
d1=t1∙vT =d∙vT/vA
vT: teknős sebessége
t2=d1/vA = (d∙vT/vA)/vA=(d/vA)∙(vT/vA)
d2=t2∙vT
t3=d2/vA=(d/vA)∙(vT/vA)2
tn=(d/vA)∙(vT/vA)n-1
2004/2005. II. félév.
n= 1, 2, …,
Fizikai paradoxonok
76
• t= (d/vA)∙∑(vT/vV)i
i=0, 1, 2, …, ∞
• Feltehető, hogy vA>vT
vT/vA < 1
• Végtelen mértani sor:
∑(vT/vV)i → 1/(1- vT/vA) , ha i→∞
t→ (d/vA)∙[1/(1- vT/vA)]= d/(vA-vT)≠∞
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
77
• Tegyük fel, hogy x távolság után befogja Akhilleusz a
teknőst!
Ekkor fennáll:
• x=vT∙t
• d+x=vA∙t
• d+vT∙t= vA∙t
• t=d/(vA-vT)≠∞
Elfogadnák-e a görögök ezt a
cáfolatot?
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
78
3. Sztadion elemzése
• Az állítás: a 2 egységnyi hosszúságú út és a 4
egységnyi hosszúságú út ugyanannyi pontból áll,
mint ahány pontot tartalmaz a T időszakasz,
tehát a 2 egységnyi szakasznak ugyanannyi
pontja van, mint a 4 egységinek.
• Távolság egy pontja: „tératom” (távolságatom)
• Időpont: „időatom”
• Logikai ellentmondás
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
79
• Ebben az értelmezésben csak egyféle sebesség
lehetséges!!!
• 1 távolságatomot t idő alatt fut be a test, akkor 1
időatom alatt 1/t távolságatomot tesz meg. De a
távolságatomnál kisebb távolság nincs, azaz, ha t>1,
akkor az 1/t távolság nem létezik. Pl. ha t=3, akkor
1 időatom alatt átugrotta a távolságatomot, 2
időatom alatt pedig „pihent”.
• 1 időatom alatt d>1 távolságatomot fut be, akkor 1
távolságatomot 1 időatomnál kisebb idő alatt futná
be, de 1 időatomnál kisebb időtartam nincs.
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
80
Így ha feltesszük, hogy a mozgás során a test nem
hagy ki atomokat, azaz minden egyes távolságatom
befutásához legalább egy időatom szükséges.
Így bármely mozgás sebessége: 1 távolságatom osztva
1 időatmmal
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
81
• Ha elvetjük az atomos hipotézist, akkor az
apória értelme: bármely szakasz pontjainak
halmaza ekvivalens
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
82
4. A Nyíl elemzése
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
83
Ajánlott irodalom
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
84
Ajánlott irodalom
2004/2005. II. félév.
Fizikai paradoxonok
85