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Polinômios Denominamos polinômio na variável x e indicamos por P(x) a expressão do tipo: P(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a2x2 + a1x + a0 Onde: • an, an-1, ..., a2, a1, a0 são os coeficientes do polinômio. • anxn , an-1xn-1 , ..., a2x2, a1x, a0 são os termos do polinômio. • a0 é o termo independente. • n é um número natural. • x é a variável. Grau de um polinômio O grau de um polinômio P(x) é representado pelo maior expoente da variável x que possui coeficiente não-nulo e é indicado por gr(P). observações importantes: • Um polinômio nulo não tem grau. P(x) = 0 não se define o grau. • Se o coeficiente do termo de maior grau de um polinômio for igual a 1, o polinômio será chamado Mônico. • Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será dito incompleto. exemplo: P(x) = 3x4 – 7x + 8 Valor numérico de um polinômio • Obtemos o valor numérico de um polinômio P(x) para um número x = k, quando substituímos a variável x pelo número k e efetuamos as operações indicadas. exemplo: P(x) = 2x² - 5x +1 se x = 1 temos, P(1) = 2.1² - 5.1 +1, logo P(1) = - 2. Igualdade de polinômios ou polinômios idênticos Considere os polinômios P(x) e Q(x), dizemos que esses polinômios são idênticos se, e somente se, os coeficientes dos termos correspondentes forem iguais. P(x) = ao + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn e Q(x) = bo + b1 x + b2 x2 + b3 x3 + ... + bn xn são iguais se, e somente se, para todo k = 0,1,2,3,...,n: ak = bk Divisão de Polinômios Dados dois polinômios P(x) (dividendo) e D(x) (divisor) com D(x) diferente de zero, dividir P(x) por D(x) é determinar outros dois polinômios Q(x) (quociente) e R(x) (resto) de modo que: Ou seja, dividir o polinômio P(x) pelo polinômio D(x) é obter os polinômios Q(x) e R(x) tais que: P(x) = D(x).Q(x) + R(x) onde GR < GD. Dispositivo Prático Briot - Rufini Este dispositivo é utilizado para dividir um polinômio P(x) por um polinômio do 1º grau da forma x - a. Neste método trabalha-se apenas com os coeficientes do polinômio e com o valor a. Obs.: Se o resto da divisão é zero, então o polinômio é divisível pelo polinômio divisor. Teorema de D'Alembert Um polinômio P(x) é divisível pelo binômio x - a, se e somente se, P(a) = 0. Teorema do Resto O resto da divisão de um polinômio P(x) por um binômio (x - a) é o próprio valor numérico do polinômio para x = a, que indicamos por P(a). De acordo com a definição de divisão, temos: P(x) = (x – a) . Q(x) + R(x), onde R(x) = k (constante) P(a) = (a – a) . Q(a) + k → P(a) = k Logo: R(x)= P(a)