Transcript Integral Definida

Ensino Superior
Cálculo 2
2. Integral Definida
Amintas Paiva Afonso
Notação para a Integral Definida
limite superior de integração
Simbolo de
Integração
(integral)

b
a
f  x  dx
integrando
Limite inferior de integração
Variável de integração
(diferencial)
)dx
-5/2
S

b
a
f ( x)dx
Avalie as seguintes integrais definidos usando fórmulas de
área geométrica.
3
y4
4
dx

1
1
2
2

4  x dx
2
y  4 x  x  y  4
2
-2
Metade superior só!
1
2
2
2
y  x2
3
 ( x  2)dx
0
1
2
Teorema:
Se f(x) é contínua e não negativa em [a, b], então a
integral definida representa a área da região sob a curva e
acima do eixo x entre as linhas verticais x = a e x = b .
a
b
A Integral de uma Constante
Se F(x) = c, onde c é a constante, no intervalo [a, b], então
b
b
 f ( x)dx   cdx  c(b  a)
o
a
a
Se f é integrável e não negativa em [a, b] então
b

f ( x ) dx  0
a
Se f e g são integráveis e não negativa em [a, b] e
f (x) < g (x) para todo x em [a, b], então
b
b
a
a
 f ( x)dx   g ( x)dx
Usando regras de integrais definidas
Avaliar a usar os seguintes valores:
4
3
x
   2  dx
2
4
4
4
2
4
2
4
2
2
2
3
3
x

2
dx

x
    dx    2 dx

4
3
3
x

2
dx

x
    dx  2 dx = 60 + 2(2) = 64

2
Quando as funções são não-negativos, as somas
de Riemann representam as áreas sob as curvas,
acima do eixo x, sobre algum intervalo [a, b].
Quando as funções são negativos, no entanto, as
somas de Riemann representam o negativo (ou
oposto) os valores das referidas zonas. Em outras
palavras, as somas de Riemann NÃO tem sentido
e pode assumir valores negativos.
Para resumir esse pensamento ...
f

b
a
f ( x)dx  A
A
a
A1
b
f
A3
a
b

b
a
f ( x)dx  A1  A3  A2
= área superior - área abaixo
A2
18

ax3 + bx2 + cx + d = 0
1) Calcule as integrais definidas abaixo:

2

2

2
6x 4 dx
198
5
(5x  4  8x 3 )dx
 37
24
1
1
0
sen(2x )dx
0
 x3

2

2  3  2x  7x  1dx
2

4

2

2
0
1
( 2x  1) dx
8,667
(6x  1)dx
8
1
x (1  x 3 )dx
81
10
- 6,667
2) Calcular a área determinada pelas curvas de equações y = x2 – 3x – 4;
73
y = 0; x = 0 e x = 5.
6
u.a.
3) Calcular a área compreendida entre a curva y = x2, o eixo x, e as
8
ordenadas correspondentes às abcissas x = 0 e x = 2.
u.a .
3
4) Calcule a área compreendida entre os gráficos das funções
y  x; y = 0 e a reta x = 4
16
u.a.
3
5) Calcule a área compreendida entre a curva y = 5x + 1, o eixo x e as
retas x = – 3 e x = 1.
R: 23,2 u.a
6) Calcular a área entre as curvas y = – x2 + 4 e y = 1 no intervalo [–1, 1].
16
u.a.
3
7) Calcular a área entre as curvas y = x2 – 4 e y = x – 3 .
R: 1,86 u.a.
Polinômios
Relações de Girard
ax  bx  c  0
b
x1  x2  
a
c
x1  x2 
a
2
Polinômios
Relações de Girard
ax  bx  cx  d  0
b
x1  x2  x3  
a
c
x1  x2   x1  x3   x2  x3  
a
d
x1  x2  x3  
a
3
2
Polinômios
Relações de Girard
a0 x n  a1 x n1  a2 x n2  ...  an  0
a1
x1  x2  x3  ...  xn  
a0
a2
x1  x2   x1  x3   x1  x4   ...  xn1  xn  
a0
a3
x1  x2  x3   x1  x2  x4   ...  xn2  xn1  xn   
a
0
a
n
n
x1  x2  x3  ...  xn   1 
a0