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1. Conceitos Iniciais
Dados um número natural n e os números complexos
an, an1, an2, ..., a2, a1, a0, denomina-se função
polinomial, ou simplesmente,
polinômio em C a
função dada por:
P( x)  a n x n  a n1x n1  a n2 x n2  ...  a 2 x 2  a1x  a 0
para todo x  C.
No polinômio P, temos:
•an, an1, an2, ..., a2, a1, a0 são os coeficientes.
•anxn, an1xn1, ... , a1x, a0 são os termos do polinômio.
•a0 é o termo independente de x.
•x é a variável.
2. Grau de um Polinômio
Se an  0, o expoente máximo n é dito grau do polinômio.
Indicamos : gr(P) = n.
P(x) = 7 ou P(x) = 7x0 é um polinômio constante, isto é gr(P) = 0.
P(x) = 2x  1 é um polinômio de grau 1, isto é, gr(P) = 1.
P x   3 x 5  ix 4 é um polinômio de grau 5, isto é, gr(P) = 5.
P(x) = 0; se todos os coeficientes são nulos não se define o
grau absoluto.
As funções f(x) = 3x4 + x2  5 e g(x) = x5 + x3/4
não são
polinômios, pois em cada uma delas há pelo menos um
expoente da variável que não é o número natural.
3. Valor Numérico de Um Polinômio
O valor numérico de um polinômio P(x), para x = a, é o numero
que se obtém, substituindo x por a e efetuando todas as
operações indicadas pela expressão que define o polinômio.
Observe esta situação:
Exemplo 1: Se P(x) = x3 + 2x2  x  1, o valor numérico de
P(x), para x = 2, é:
P(2) = 23 + 2  22  2  1
P(2) = 8 + 2  4  2  1
P(2) = 13
O valor numérico de P(x), para x = 2, é a imagem do 2 pela
função polinomial P(x).
Se P(a) = 0, o número a é denominado raiz ou zero de P(x). a é
a raiz de P(x)  P(a) = 0
4. Identidade de Polinômios
Dois polinômios A(x) e B(x) são idênticos quando assumem
valores numéricos iguais para quaisquer valores atribuídos à
variável x.
Indicamos A(x)  B(x).
A(x)  B(x)  A() = B(),   C
Considere os polinômios:
A( x )  an xn  an 1xn1  ...  a2 x 2  a1x  a0
B( x )  bn xn  bn1xn1  ...  b2 x 2  b1x  b0
Então: A(x)  B(x)  A(x) – B(x)  0
(an – bn)xn + (an1  bn1)xn1 + … + (a2 b2)x2 + (a1  b1)x + (a0  b0)  0,  x  C.
Nesse caso, o polinômio do 1º membro deve ser nulo e, como já
vimos, isso ocorre para:
an bn = 0  an = bn; an1  bn1 = 0  an1 = bn1; … ; a0  b0 = 0  a0 = b0
5. Polinômio Nulo
Dizemos que um polinômio P é nulo (ou identicamente nulo)
quando P assume valor numérico zero para todo x completo.
Em símbolos indicamos:
P  0  Px  0, x  C
Um polinômio P é nulo se, somente se, todos os coeficientes de
P forem nulos. Em símbolos, sendo:
Px   an x n  an 1 x n 1    a2 x 2  a1 x  a0
Então devemos ter:
an  an1    a2  a1  a0  0
6. Operações – Adição, Subtração e Multiplicação
A soma, a diferença e o produto de duas funções polinomiais
complexas são, também, funções polinomiais complexas.
Se duas funções têm coeficientes reais, a soma, a diferença e o
produto também coeficientes reais.
Observa-se que, se A(x) e B(x) são funções polinomiais, então:
•Quando A(x) e B(x) possuírem graus diferentes, o grau de
A(x) + B(x) ou A(x)  B(x) será igual ao maior entre os graus
A(x) e B(x).
•Quando A(x) e B(x) forem do mesmo grau, o grau de A(x) +
B(x) ou A(x)  B(x) poderá ser menor ou igual ao grau dos
polinômios A(x) e B(x) ou, ainda, o polinômio resultante
poderá ser nulo.
•O grau de A(x)  B(x) é a soma dos graus de A(x) e B(x).
6. Operações – Adição, Subtração e Multiplicação
Sendo:
Ax   an x n  an 1 x n 1    a2 x 2  a1 x  a0
Bx   bn x n  bn 1 x n 1    b2 x 2  b1 x  b0
1. A soma é definida como:
Ax   Bx   an  bn x n  an 1  bn 1 x n 1    a1  b1 x  a0  b0 
Ou seja, calculamos a soma adicionando os coeficientes dos
termos semelhantes.
2. A subtração é definida como:
Ax   Bx   an  bn x n  an 1  bn 1 x n 1    a1  b1 x  a0  b0 
Ou seja, calculamos a diferença subtraindo os coeficientes dos
termos semelhantes.
6. Operações – Adição, Subtração e Multiplicação
Sendo:
Ax   an x n  an 1 x n 1    a2 x 2  a1 x  a0
Bx   bn x n  bn 1 x n 1    b2 x 2  b1 x  b0
3. A multiplicação é obtida multiplicando-se cada termo aixi de
A(x) por cada termo bjxj de B(x), ou seja, aplicando a
propriedade distributiva da multiplicação.
Exemplo 2: Sendo A(x) = x3 + 2x2  3 e B(x) = x2 + x + 1,
determine:
A(x) + B(x) = (x3 + 2x2 – 3) + (x2 + x + 1) = x3 + 3x2 + x  2
A(x) . B(x) = (x3 + 2x2 – 3) . (x2 + x + 1)
x5 + x4 + x3 + 2x4 + 2x3 + 2x2 – 3x2 – 3x – 3
x5 + 3x4 + 3x3 – x2 – 3x – 3
6. Operações – Adição, Subtração e Multiplicação
Exemplo 3: Sendo A(x) = 6x2 + 5x + 4 e B(x) = 3x3 + 2x2 + x,
determine A(x).B(x)
Dispositivo prático:
4  5x  6 x 2
x  2 x 2  3x 3
4 x  5x 2  6 x3
8 x 2  10 x 3  12 x 4
12 x 3  15 x 4  18 x 5
4 x  13x 2  28 x 3  27 x 4  18 x 5
7. Divisão de Polinômios
Dados dois polinômios P(x) (dividendo) e D(x) (divisor), dividir P
por D é determinar dois outros polinômios Q(x) (quociente) e r(x)
(resto) de modo que se verifiquem as duas condições seguintes:
I  Qx Dx  r x  Px
II  gr (resto)  gr (divisor ) ou r  0  divisão exata
7.1 Método de Descartes
Esse método, também conhecido como método
coeficientes a determinar, é aplicado da seguinte forma:
dos
1. determina-se os graus do quociente – Q(x) e do resto – r(x);
2. constroem-se os polinômios Q(x) e r(x), deixando incógnitos
os seus coeficientes (usam-se letras);
3. determinam-se os coeficientes impondo a igualdade Q(x).D(x)
+ r(x) = P(x).
Exemplo 4: Dividir P(x) = 3x4 – 2x3 + 7x + 2 por D(x)
= 3x3 - 2x2 + 4x -1:
1. gr(quociente) = 4 – 3 = 1  Q(x) = ax + b
2. gr(resto) < 3  gr(r)  2  r(x) = cx2 + dx + e
7.1 Método de Descartes
Exemplo 5: Dividir P(x) = 3x4 – 2x3 + 7x + 2 por D(x)
= 3x3 - 2x2 + 4x -1:
Aplicando a relação fundamental da divisão:
Qx Dx  r x  Px
ax  b 3x3  2 x 2  4 x 1 cx 2  dx  e  3x 4  2 x3  7 x  2
3ax 4  2ax 3  4ax 2  ax  3bx 3  2bx 2  4bx  b  cx 2  dx  e 
3ax 4   2a  3bx3  4a  2b  c x 2   a  4b  d x   b  e  3x 4  2 x3  7 x  2
3a  3
a 1
 2a  3b  2
4a  2b  c  0
4b  a  d  7
e b  2
 2 1  3b  2
4 1  2  0  c  0
4  0 1  d  7
e0  2
d 8
e2
3b  0
b0
c  4
Logo:
Q(x) = ax + b  Q(x) = x
r(x) = cx2 + dx + e  r(x) = -4x2 + 8x + 2
7.2 Método da Chave
Para efetuar a divisão usando o método da chave, convém
seguir os seguintes passos:
•Escrever
os polinômios (dividendo e divisor) em ordem
decrescente dos seus expoentes e completá-los quando
necessário, com termos de coeficiente zero.
•Dividir
o termo de maior grau do dividendo pelo de maior
grau do divisor, o resultado será um termo do quociente.
•Multiplicar esse termo obtido no passo 2 pelo divisor e subtrair
esse produto do dividendo.
Se o grau da diferença for menor do que o grau do divisor , a
diferença será o resto da divisão e a divisão termina aqui.
Caso contrário, retoma-se o passo 2, considerando a diferença
como um novo dividendo.
7.2 Método da Chave
Exemplo 6: Dividir P(x) = x4 – 2x3 + x2 – 8x – 12 por
D(x) = x2 + 4:
x  2 x  x  8 x  12
4
3
2
x  0x  4
2
x 2  2x  3
 x 4  0 x3  4 x 2
 2 x 3  3x 2  8 x
2 x3  0 x 2  8x
 3x 2  0 x  12
3 x 2  0 x  12
0
Logo: Q(x) = x2 – 2x – 3 e r(x) = 0
7.2 Método da Chave
Exemplo 7: Dividir P(x) = x4 – 16 por D(x) = x + 1.
x 4  0 x 3  0 x 2  0 x  16
 x 4  x3
x 1
x 3  x 2  x 1
 x  0x
3
2
x x
3
2
Logo:
x  0x
2
x x
 x 16
x 1
2
 15
Q(x) = x3 – x2 + x - 1
e
r(x) = -15
7.3 Divisão por binômios do 1º Grau
Trataremos daqui por diante de divisões em que o dividendo é
um polinômio P(x), em que gr(P)  1, e o divisor é um polinômio
do 1º grau (de grau 1), a princípio de coeficiente dominante (do
termo de grau 1) igual a 1.
Para começar vamos determinar o seguinte, se o divisor é de
grau 1, então resto será de grau zero, e portanto, independente
de x (o resto será um número real).
Vamos estudar:
Teorema
do Resto
Teorema
de D’Alembert
Algoritmo
de Briot-Ruffini
Divisão
pelo binômio (ax + b)
Divisão
pelo produto (x – a).(x – b)
Divisões
Sucessivas
7.4 Cálculo do Resto
Na divisão de um polinômio P(x) por um polinômio do tipo
(x – a), observamos que o resto, se não for nulo, será
sempre um número real. Então:
P( x)
( x  a)
r 
Q( x)
P  x   ( x  a).Q  x   r
Observe que Q(x) é o quociente dessa divisão.
Calculando o valor numérico de P(x) para x = a, temos:
P  x   ( x  a).Q  x   r
P  a   (a  a).Q  a   r
P  a   0.Q  a   r
Logo:
P a  r
Verificamos assim que:
O resto da divisão de P(x) por (x - a) é r = P(a).
EXEMPLO 8: Calcular o resto da divisão de
P(x) = x4 – 3x2 + 2x – 1 por x – 2.
Resolução:
r  P  2  24  3  22  2  2 1
r  P  2  16 12  4 1
r 7
EXEMPLO 9: Calcular o resto da divisão de
P(x) = x4 + 2x3 + 3x2 – 6 por x + 2.
Resolução:
r  P  2    2   2   2   3   2   6
4
r  P  2  16  16  12  6
r 6
3
2
7.5 Teorema de D’Alembert
Para que um polinômio P(x) seja divisível por um polinômio
do tipo (x – a), é preciso que o resto seja igual a zero, ou
seja, P(a) = 0.
P(x) é divisível por (x – a)  P(a) = 0
.
EXEMPLO 10: Determine k para que o polinômio
P(x) = kx3 + 2x2 + 4x – 2 seja divisível por (x + 3).
Resolução: se P(x) é divisível por (x + 3), então devemos ter,
P  3  0
k   3  2   3  4   3  2  0
3
2
4
k
27
7.6 Algoritmo de Briot-Ruffini
EXEMPLO 11: Calcular o quociente e o resto da divisão
a2
de P(x) = 3x3 - 2x2 + 5x – 7 por (x - 2).
Resolução:
2
3
2
5
7
3
4
13
19
Coeficientes do quociente
Assim:
resto
Q  x   3x  4 x  13 e R  x   19
2
EXEMPLO 12: Dividir P(x) = 3x4 + 8x3 - 20x – 21 por (x + 1)
Resolução:
1
a  1
3
8
0
20
21
3
5
5
15
6
Q  x   3x3  5x2  5x 15
R  x   6
EXEMPLO 13: Dado P(x) = 5x4 - 9x3 + 2x2 – 5x – 11,
calcular P(3).
Resolução: Como P(3) é o resto da divisão de P(x) por
(x – 3), temos:
3
5
9
2
5
11
5
6
20
55
154
R  x   154
Assim: lembre-se, P(3) = R(x), então temos:
P  3  154
EXEMPLO 14: Determine k para que
P(x) = x5 + x2 + kx – 5 seja divisível por (x - 2).
Resolução: Devemos ter resto igual a zero na divisão de P(x)
por (x - 2). Então,
2
1
0
0
1
k
1
2
4
9
18  k
5
31  2k
R  x   31  2k
Assim: lembre-se, P(2) = R(x) = 0. Então:
31  2k  0
31
k
2
Briot-Ruffini para o binômio (ax + b)
Casos em que:
Observe,
a  0, b  0 e a  1
P  x    ax  b   Q  x   r
b

P  x  a  x   Q  x  r
a

b

P  x    x    aQ  x   r
a

Fazendo
a  Q( x)  Q1  x , temos:
b

P  x    x    Q1  x   r
a

b

Assim, aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini para  x  
a

obtemos Q1  x  e r , em que r também é o resto de na
1
divisão de P(x) por (ax + b) e  Q1  x  será o quociente.
a
Veja que se:
a  Q( x)  Q1  x 
Resulta então que:
1
Q  x    Q1  x 
a
EXEMPLO 15: Dividir P(x) = 2x3 - 4x2 + 6x – 2 por (2x - 1)
Resolução: em (2x - 1) vamos colocar o 2 em evidência,
obtendo:
1
2
1

2 x  
2

2
4
6
2
2
3
9
2
1
4
Q1  x 
R  x
Agora você deve lembrar que:
1
Q  x    Q1  x 
2
Substituindo então Q1(x), teremos:
1  2
9
Q  x     2 x  3x  
2 
2
3
9
Q  x  x  x 
2
4
2
1
e R  x 
4
EXEMPLO 16:
Qual o resto da divisão de P(x) = x40 - x - 1 por (x - 1)?
Resolução: lembre-se, nesse caso, R(x) = P(1). Então:
P 1  1 1 1
40
P 1  1
Logo:
R  x   1
7.7 Divisão pelo produto (x – a).(x – b)
Consideremos um polinômio P(x) com grau maior ou igual a
dois, que, dividido por (x – a) e por (x – b) apresenta restos
iguais a r1 e r2, respectivamente.
Vamos Calcular o resto da divisão de P(x) pelo produto (x – a)
. (x – b).
Como os restos na divisão de P(x) por (x – a) e por (x – b) são
r1 e r2, respectivamente, temos:
P  a   r1 e P b   r2
O resto da divisão de P(x) por (x – a) . (x – b) é um polinômio
R(x) = mx + n de grau máximo igual a 1, já que o divisor tem
grau 2. Assim:
P  x    x  a    x  b    Q  x    mx  n 
Como:
P  a   r1 e P b   r2
Temos:
P  a    a  a    a  b    Q  a    ma  n 
ma  n  r1
P  b    b  a    b  b    Q  b    mb  n 
mb  n  r2
Com as sentenças obtidas montamos um sistema:
 ma  n  r1

mb  n  r2
Resolvendo esse sistema e calculando os valores de m e n,
obtemos:
r1  r2
ar2  br1
m
e n
a b
a b
Agora substituindo os valores de m e n encontrados na
sentença:
R  x   mx  n
Obtemos:
 r1  r2   ar2  br1 
R  x  
 x 

 a b   a b 
Observações:
I) Se P(x) for divisível por (x – a) e por (x – b) temos:
P  a   0  r1  0
e
P  b   0  r2  0
Então:
Ou seja:
 0  0   a0 b0 
R  x  
 x 

 a b   a b 
R  x  0
CONCLUSÃO: Se P(x) for divisível por (x – a) e por (x – b),
então P(x) será também divisível pelo produto:
(x – a) . (x – b).
EXEMPLO 17:
Verificar se o polinômio P(x) = x3 - 4x2 + 4x - 1 é
divisível por B(x) = x2 - 1.
Resolução: Primeiro vamos lembrar que,
B  x   x 1
2
B  x    x  1   x  1
Mas, para que P(x) seja divisível por B(x), é necessário que
P(x) seja divisível por (x + 1) e também por (x – 1). Então
devemos ter:
P 1  0 e P  1  0
Vamos então calcular P(1) e P(-1):
P 1  1  4 1  4 1 1
P  1   1  4   1  4   1  1
P 1  0
P  1  10
3
2
3
2
Temos, então, que P(x) não é divisível por (x + 1)
E portanto podemos concluir que P(x) não é divisível por B(x)
EXEMPLO 18:
Calcule a e b para que P(x) = x3 + 2x2 + ax - b seja
divisível por (x - 1) e por (x - 2).
Resolução: Nesse caso devemos ter P(1) = 0 e P(2) = 0.
P 1  1  2 1  a 1  b
P  2  23  2  22  a  2  b
0  1 2  a  b
0  8  8  2a  b
a  b  3
2a  b  16
3
2
Agora, vamos resolver o sistema obtido.
 a  b  3

2a  b  16
a  b  3

 b  10
b  10
a  13
2
EXEMPLO 19: Se um polinômio P(x) dividido por
(x - 1) deixa resto 2 e dividido por (x - 2) deixa resto 1,
qual é o resto da divisão de P(x) pelo produto
(x - 1).(x - 2)?
Resolução: observe que:
1) A partir da leitura do enunciado podemos concluir que P(1)
= 2 e P(2) = 1.
2) O resto da divisão de P(x) por (x - 1).(x - 2) é um polinômio
do tipo R(x) = ax + b, pois se o divisor tem grau 2, o resto, no
máximo, terá grau 1.
Então:
P  x    x 1 x  2  Q  x   ax  b
A partir da informação de que P(1) = 2 e P(2) = 1, obtemos:
P  x    x 1 x  2  Q  x   ax  b
P 1  1 11  2  Q 1  a 1  b
2  a b
P  2   2 1 2  2  Q  2  a  2  b
1  2a  b
a b  2
2a  b  1
Resolvendo o sistema:
Encontramos:
Assim:
a  1e
R  x  x  3
 a  b  2 2

 2a  b  1
b . 3
7.8 Divisões Sucessivas
Consideremos um polinômio P(x) divisível por
B(x) = (x – a).(x – b), e que o quociente na divisão de P(x) por
B(x) é um polinômio Q(x).
Assim:
P  x    x  a  x  b   Q  x 
Q1  x 
Vamos chamar (x – b).Q(x) de Q1(x).
Observe a sentença obtida,
P  x    x  a   Q1  x 
Veja que P(x) é divisível por (x – a) e o quociente na divisão de
P(x) por (x – a) é Q1(x) = (x – b). Q(x)
Mas, se
Q1  x    x  b   Q  x 
Então, podemos concluir que Q1(x) é divisível por (x – b) e o
quociente na divisão de Q1(x) por (x – b) é Q(x).
Vamos tentar simplificar:
P  x    x  a  x  b   Q  x 
P  x    x  a   Q1  x 
P( x)
( x  a)
 0
Q1 ( x)
( x  a)
 0
Q1 ( x)
Deste modo, podemos concluir que:
P( x)
 x  a  x  b 
 0
Q( x)
EXEMPLO 20: Verificar se P(x) = x3 + 2x2 - 13x + 10
é divisível por (x – 1).(x – 2)
Resolução: Dividimos sucessivamente P(x) por (x - 1) e o
quociente encontrado por (x – 2)
1
2
13
10
1
1
3
10
0
2
1
5
0
Coeficientes do Quociente Q(x)
Como P(x) é divisível por (x - 1) e o quociente desta divisão é
divisível por (x – 2), concluímos, então, que P(x) é divisível por
(x - 1).(x - 2)
EXEMPLO 21: Calcular a e b para que
P(x) = x4 + x2 + ax + b seja divisível por (x – 1)2
Resolução: Dividimos P(x) por (x - 1) e o quociente encontrado
por (x – 1) novamente.
1
0
1
a
b
1
1
1
2
a2
a  2b
1
1
2
4
a6
Os restos das duas divisões devem ser nulos. Então,
 a6 0

a  2  b  0
a  6 e b  4
EXEMPLO 22: Para que o polinômio
P(x) = x3 - 8x + mx - n seja divisível por (x + 1)(x - 2), o
produto m.n deve ser igual a:
Resolução: Se P(x) é divisível por (x + 1)(x - 2), então, P(x) é
divisível por (x + 1), e também é divisível por (x - 2), e isto
significa dizer que,
P  1  0
e
P  2  0
P  1   1  8   1  m   1  n
P  2   2  8   2  m   2  n
0  1  8  m  n
0  8 16  2m  n
mn  7
2m  n  8
3
3
Resolvendo o sistema:
Obtemos,
 mn 7

 2m  n  8
m5 e n2
Agora, podemos responder a proposição inicial do problema,
m  n  10
EXEMPLO 23: Um polinômio P(x) dividido por (x + 1)
dá resto 3 e por (x - 2) dá resto 6. O resto da divisão de
P(x) pelo produto (x + 1)(x - 2) é da forma ax + b. Obter
o valor numérico da expressão a + b.
Resolução: Se P(x) dividido por (x + 1) dá resto 3 e por
(x - 2) dá resto 6, então,
P  1  3
e
P  2  6
Sabemos ainda que o resto da divisão de P(x) pelo produto (x
+ 1)(x - 2) é da forma ax + b, então,
P( x)
 ax  b 
 x  1 x  2
Q( x)
P  x    x  1 x  2 Q  x   ax  b
daí,
P  1  3  a  b  3
 a 1
b4
P  2  6  2a  b  6
a b  5