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1. Conceitos Iniciais
Dados um número natural n e os números complexos
an, an1, an2, ..., a2, a1, a0, denomina-se função
polinomial, ou simplesmente,
polinômio em C a
função dada por:
P( x) a n x n a n1x n1 a n2 x n2 ... a 2 x 2 a1x a 0
para todo x C.
No polinômio P, temos:
•an, an1, an2, ..., a2, a1, a0 são os coeficientes.
•anxn, an1xn1, ... , a1x, a0 são os termos do polinômio.
•a0 é o termo independente de x.
•x é a variável.
2. Grau de um Polinômio
Se an 0, o expoente máximo n é dito grau do polinômio.
Indicamos : gr(P) = n.
P(x) = 7 ou P(x) = 7x0 é um polinômio constante, isto é gr(P) = 0.
P(x) = 2x 1 é um polinômio de grau 1, isto é, gr(P) = 1.
P x 3 x 5 ix 4 é um polinômio de grau 5, isto é, gr(P) = 5.
P(x) = 0; se todos os coeficientes são nulos não se define o
grau absoluto.
As funções f(x) = 3x4 + x2 5 e g(x) = x5 + x3/4
não são
polinômios, pois em cada uma delas há pelo menos um
expoente da variável que não é o número natural.
3. Valor Numérico de Um Polinômio
O valor numérico de um polinômio P(x), para x = a, é o numero
que se obtém, substituindo x por a e efetuando todas as
operações indicadas pela expressão que define o polinômio.
Observe esta situação:
Exemplo 1: Se P(x) = x3 + 2x2 x 1, o valor numérico de
P(x), para x = 2, é:
P(2) = 23 + 2 22 2 1
P(2) = 8 + 2 4 2 1
P(2) = 13
O valor numérico de P(x), para x = 2, é a imagem do 2 pela
função polinomial P(x).
Se P(a) = 0, o número a é denominado raiz ou zero de P(x). a é
a raiz de P(x) P(a) = 0
4. Identidade de Polinômios
Dois polinômios A(x) e B(x) são idênticos quando assumem
valores numéricos iguais para quaisquer valores atribuídos à
variável x.
Indicamos A(x) B(x).
A(x) B(x) A() = B(), C
Considere os polinômios:
A( x ) an xn an 1xn1 ... a2 x 2 a1x a0
B( x ) bn xn bn1xn1 ... b2 x 2 b1x b0
Então: A(x) B(x) A(x) – B(x) 0
(an – bn)xn + (an1 bn1)xn1 + … + (a2 b2)x2 + (a1 b1)x + (a0 b0) 0, x C.
Nesse caso, o polinômio do 1º membro deve ser nulo e, como já
vimos, isso ocorre para:
an bn = 0 an = bn; an1 bn1 = 0 an1 = bn1; … ; a0 b0 = 0 a0 = b0
5. Polinômio Nulo
Dizemos que um polinômio P é nulo (ou identicamente nulo)
quando P assume valor numérico zero para todo x completo.
Em símbolos indicamos:
P 0 Px 0, x C
Um polinômio P é nulo se, somente se, todos os coeficientes de
P forem nulos. Em símbolos, sendo:
Px an x n an 1 x n 1 a2 x 2 a1 x a0
Então devemos ter:
an an1 a2 a1 a0 0
6. Operações – Adição, Subtração e Multiplicação
A soma, a diferença e o produto de duas funções polinomiais
complexas são, também, funções polinomiais complexas.
Se duas funções têm coeficientes reais, a soma, a diferença e o
produto também coeficientes reais.
Observa-se que, se A(x) e B(x) são funções polinomiais, então:
•Quando A(x) e B(x) possuírem graus diferentes, o grau de
A(x) + B(x) ou A(x) B(x) será igual ao maior entre os graus
A(x) e B(x).
•Quando A(x) e B(x) forem do mesmo grau, o grau de A(x) +
B(x) ou A(x) B(x) poderá ser menor ou igual ao grau dos
polinômios A(x) e B(x) ou, ainda, o polinômio resultante
poderá ser nulo.
•O grau de A(x) B(x) é a soma dos graus de A(x) e B(x).
6. Operações – Adição, Subtração e Multiplicação
Sendo:
Ax an x n an 1 x n 1 a2 x 2 a1 x a0
Bx bn x n bn 1 x n 1 b2 x 2 b1 x b0
1. A soma é definida como:
Ax Bx an bn x n an 1 bn 1 x n 1 a1 b1 x a0 b0
Ou seja, calculamos a soma adicionando os coeficientes dos
termos semelhantes.
2. A subtração é definida como:
Ax Bx an bn x n an 1 bn 1 x n 1 a1 b1 x a0 b0
Ou seja, calculamos a diferença subtraindo os coeficientes dos
termos semelhantes.
6. Operações – Adição, Subtração e Multiplicação
Sendo:
Ax an x n an 1 x n 1 a2 x 2 a1 x a0
Bx bn x n bn 1 x n 1 b2 x 2 b1 x b0
3. A multiplicação é obtida multiplicando-se cada termo aixi de
A(x) por cada termo bjxj de B(x), ou seja, aplicando a
propriedade distributiva da multiplicação.
Exemplo 2: Sendo A(x) = x3 + 2x2 3 e B(x) = x2 + x + 1,
determine:
A(x) + B(x) = (x3 + 2x2 – 3) + (x2 + x + 1) = x3 + 3x2 + x 2
A(x) . B(x) = (x3 + 2x2 – 3) . (x2 + x + 1)
x5 + x4 + x3 + 2x4 + 2x3 + 2x2 – 3x2 – 3x – 3
x5 + 3x4 + 3x3 – x2 – 3x – 3
6. Operações – Adição, Subtração e Multiplicação
Exemplo 3: Sendo A(x) = 6x2 + 5x + 4 e B(x) = 3x3 + 2x2 + x,
determine A(x).B(x)
Dispositivo prático:
4 5x 6 x 2
x 2 x 2 3x 3
4 x 5x 2 6 x3
8 x 2 10 x 3 12 x 4
12 x 3 15 x 4 18 x 5
4 x 13x 2 28 x 3 27 x 4 18 x 5
7. Divisão de Polinômios
Dados dois polinômios P(x) (dividendo) e D(x) (divisor), dividir P
por D é determinar dois outros polinômios Q(x) (quociente) e r(x)
(resto) de modo que se verifiquem as duas condições seguintes:
I Qx Dx r x Px
II gr (resto) gr (divisor ) ou r 0 divisão exata
7.1 Método de Descartes
Esse método, também conhecido como método
coeficientes a determinar, é aplicado da seguinte forma:
dos
1. determina-se os graus do quociente – Q(x) e do resto – r(x);
2. constroem-se os polinômios Q(x) e r(x), deixando incógnitos
os seus coeficientes (usam-se letras);
3. determinam-se os coeficientes impondo a igualdade Q(x).D(x)
+ r(x) = P(x).
Exemplo 4: Dividir P(x) = 3x4 – 2x3 + 7x + 2 por D(x)
= 3x3 - 2x2 + 4x -1:
1. gr(quociente) = 4 – 3 = 1 Q(x) = ax + b
2. gr(resto) < 3 gr(r) 2 r(x) = cx2 + dx + e
7.1 Método de Descartes
Exemplo 5: Dividir P(x) = 3x4 – 2x3 + 7x + 2 por D(x)
= 3x3 - 2x2 + 4x -1:
Aplicando a relação fundamental da divisão:
Qx Dx r x Px
ax b 3x3 2 x 2 4 x 1 cx 2 dx e 3x 4 2 x3 7 x 2
3ax 4 2ax 3 4ax 2 ax 3bx 3 2bx 2 4bx b cx 2 dx e
3ax 4 2a 3bx3 4a 2b c x 2 a 4b d x b e 3x 4 2 x3 7 x 2
3a 3
a 1
2a 3b 2
4a 2b c 0
4b a d 7
e b 2
2 1 3b 2
4 1 2 0 c 0
4 0 1 d 7
e0 2
d 8
e2
3b 0
b0
c 4
Logo:
Q(x) = ax + b Q(x) = x
r(x) = cx2 + dx + e r(x) = -4x2 + 8x + 2
7.2 Método da Chave
Para efetuar a divisão usando o método da chave, convém
seguir os seguintes passos:
•Escrever
os polinômios (dividendo e divisor) em ordem
decrescente dos seus expoentes e completá-los quando
necessário, com termos de coeficiente zero.
•Dividir
o termo de maior grau do dividendo pelo de maior
grau do divisor, o resultado será um termo do quociente.
•Multiplicar esse termo obtido no passo 2 pelo divisor e subtrair
esse produto do dividendo.
Se o grau da diferença for menor do que o grau do divisor , a
diferença será o resto da divisão e a divisão termina aqui.
Caso contrário, retoma-se o passo 2, considerando a diferença
como um novo dividendo.
7.2 Método da Chave
Exemplo 6: Dividir P(x) = x4 – 2x3 + x2 – 8x – 12 por
D(x) = x2 + 4:
x 2 x x 8 x 12
4
3
2
x 0x 4
2
x 2 2x 3
x 4 0 x3 4 x 2
2 x 3 3x 2 8 x
2 x3 0 x 2 8x
3x 2 0 x 12
3 x 2 0 x 12
0
Logo: Q(x) = x2 – 2x – 3 e r(x) = 0
7.2 Método da Chave
Exemplo 7: Dividir P(x) = x4 – 16 por D(x) = x + 1.
x 4 0 x 3 0 x 2 0 x 16
x 4 x3
x 1
x 3 x 2 x 1
x 0x
3
2
x x
3
2
Logo:
x 0x
2
x x
x 16
x 1
2
15
Q(x) = x3 – x2 + x - 1
e
r(x) = -15
7.3 Divisão por binômios do 1º Grau
Trataremos daqui por diante de divisões em que o dividendo é
um polinômio P(x), em que gr(P) 1, e o divisor é um polinômio
do 1º grau (de grau 1), a princípio de coeficiente dominante (do
termo de grau 1) igual a 1.
Para começar vamos determinar o seguinte, se o divisor é de
grau 1, então resto será de grau zero, e portanto, independente
de x (o resto será um número real).
Vamos estudar:
Teorema
do Resto
Teorema
de D’Alembert
Algoritmo
de Briot-Ruffini
Divisão
pelo binômio (ax + b)
Divisão
pelo produto (x – a).(x – b)
Divisões
Sucessivas
7.4 Cálculo do Resto
Na divisão de um polinômio P(x) por um polinômio do tipo
(x – a), observamos que o resto, se não for nulo, será
sempre um número real. Então:
P( x)
( x a)
r
Q( x)
P x ( x a).Q x r
Observe que Q(x) é o quociente dessa divisão.
Calculando o valor numérico de P(x) para x = a, temos:
P x ( x a).Q x r
P a (a a).Q a r
P a 0.Q a r
Logo:
P a r
Verificamos assim que:
O resto da divisão de P(x) por (x - a) é r = P(a).
EXEMPLO 8: Calcular o resto da divisão de
P(x) = x4 – 3x2 + 2x – 1 por x – 2.
Resolução:
r P 2 24 3 22 2 2 1
r P 2 16 12 4 1
r 7
EXEMPLO 9: Calcular o resto da divisão de
P(x) = x4 + 2x3 + 3x2 – 6 por x + 2.
Resolução:
r P 2 2 2 2 3 2 6
4
r P 2 16 16 12 6
r 6
3
2
7.5 Teorema de D’Alembert
Para que um polinômio P(x) seja divisível por um polinômio
do tipo (x – a), é preciso que o resto seja igual a zero, ou
seja, P(a) = 0.
P(x) é divisível por (x – a) P(a) = 0
.
EXEMPLO 10: Determine k para que o polinômio
P(x) = kx3 + 2x2 + 4x – 2 seja divisível por (x + 3).
Resolução: se P(x) é divisível por (x + 3), então devemos ter,
P 3 0
k 3 2 3 4 3 2 0
3
2
4
k
27
7.6 Algoritmo de Briot-Ruffini
EXEMPLO 11: Calcular o quociente e o resto da divisão
a2
de P(x) = 3x3 - 2x2 + 5x – 7 por (x - 2).
Resolução:
2
3
2
5
7
3
4
13
19
Coeficientes do quociente
Assim:
resto
Q x 3x 4 x 13 e R x 19
2
EXEMPLO 12: Dividir P(x) = 3x4 + 8x3 - 20x – 21 por (x + 1)
Resolução:
1
a 1
3
8
0
20
21
3
5
5
15
6
Q x 3x3 5x2 5x 15
R x 6
EXEMPLO 13: Dado P(x) = 5x4 - 9x3 + 2x2 – 5x – 11,
calcular P(3).
Resolução: Como P(3) é o resto da divisão de P(x) por
(x – 3), temos:
3
5
9
2
5
11
5
6
20
55
154
R x 154
Assim: lembre-se, P(3) = R(x), então temos:
P 3 154
EXEMPLO 14: Determine k para que
P(x) = x5 + x2 + kx – 5 seja divisível por (x - 2).
Resolução: Devemos ter resto igual a zero na divisão de P(x)
por (x - 2). Então,
2
1
0
0
1
k
1
2
4
9
18 k
5
31 2k
R x 31 2k
Assim: lembre-se, P(2) = R(x) = 0. Então:
31 2k 0
31
k
2
Briot-Ruffini para o binômio (ax + b)
Casos em que:
Observe,
a 0, b 0 e a 1
P x ax b Q x r
b
P x a x Q x r
a
b
P x x aQ x r
a
Fazendo
a Q( x) Q1 x , temos:
b
P x x Q1 x r
a
b
Assim, aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini para x
a
obtemos Q1 x e r , em que r também é o resto de na
1
divisão de P(x) por (ax + b) e Q1 x será o quociente.
a
Veja que se:
a Q( x) Q1 x
Resulta então que:
1
Q x Q1 x
a
EXEMPLO 15: Dividir P(x) = 2x3 - 4x2 + 6x – 2 por (2x - 1)
Resolução: em (2x - 1) vamos colocar o 2 em evidência,
obtendo:
1
2
1
2 x
2
2
4
6
2
2
3
9
2
1
4
Q1 x
R x
Agora você deve lembrar que:
1
Q x Q1 x
2
Substituindo então Q1(x), teremos:
1 2
9
Q x 2 x 3x
2
2
3
9
Q x x x
2
4
2
1
e R x
4
EXEMPLO 16:
Qual o resto da divisão de P(x) = x40 - x - 1 por (x - 1)?
Resolução: lembre-se, nesse caso, R(x) = P(1). Então:
P 1 1 1 1
40
P 1 1
Logo:
R x 1
7.7 Divisão pelo produto (x – a).(x – b)
Consideremos um polinômio P(x) com grau maior ou igual a
dois, que, dividido por (x – a) e por (x – b) apresenta restos
iguais a r1 e r2, respectivamente.
Vamos Calcular o resto da divisão de P(x) pelo produto (x – a)
. (x – b).
Como os restos na divisão de P(x) por (x – a) e por (x – b) são
r1 e r2, respectivamente, temos:
P a r1 e P b r2
O resto da divisão de P(x) por (x – a) . (x – b) é um polinômio
R(x) = mx + n de grau máximo igual a 1, já que o divisor tem
grau 2. Assim:
P x x a x b Q x mx n
Como:
P a r1 e P b r2
Temos:
P a a a a b Q a ma n
ma n r1
P b b a b b Q b mb n
mb n r2
Com as sentenças obtidas montamos um sistema:
ma n r1
mb n r2
Resolvendo esse sistema e calculando os valores de m e n,
obtemos:
r1 r2
ar2 br1
m
e n
a b
a b
Agora substituindo os valores de m e n encontrados na
sentença:
R x mx n
Obtemos:
r1 r2 ar2 br1
R x
x
a b a b
Observações:
I) Se P(x) for divisível por (x – a) e por (x – b) temos:
P a 0 r1 0
e
P b 0 r2 0
Então:
Ou seja:
0 0 a0 b0
R x
x
a b a b
R x 0
CONCLUSÃO: Se P(x) for divisível por (x – a) e por (x – b),
então P(x) será também divisível pelo produto:
(x – a) . (x – b).
EXEMPLO 17:
Verificar se o polinômio P(x) = x3 - 4x2 + 4x - 1 é
divisível por B(x) = x2 - 1.
Resolução: Primeiro vamos lembrar que,
B x x 1
2
B x x 1 x 1
Mas, para que P(x) seja divisível por B(x), é necessário que
P(x) seja divisível por (x + 1) e também por (x – 1). Então
devemos ter:
P 1 0 e P 1 0
Vamos então calcular P(1) e P(-1):
P 1 1 4 1 4 1 1
P 1 1 4 1 4 1 1
P 1 0
P 1 10
3
2
3
2
Temos, então, que P(x) não é divisível por (x + 1)
E portanto podemos concluir que P(x) não é divisível por B(x)
EXEMPLO 18:
Calcule a e b para que P(x) = x3 + 2x2 + ax - b seja
divisível por (x - 1) e por (x - 2).
Resolução: Nesse caso devemos ter P(1) = 0 e P(2) = 0.
P 1 1 2 1 a 1 b
P 2 23 2 22 a 2 b
0 1 2 a b
0 8 8 2a b
a b 3
2a b 16
3
2
Agora, vamos resolver o sistema obtido.
a b 3
2a b 16
a b 3
b 10
b 10
a 13
2
EXEMPLO 19: Se um polinômio P(x) dividido por
(x - 1) deixa resto 2 e dividido por (x - 2) deixa resto 1,
qual é o resto da divisão de P(x) pelo produto
(x - 1).(x - 2)?
Resolução: observe que:
1) A partir da leitura do enunciado podemos concluir que P(1)
= 2 e P(2) = 1.
2) O resto da divisão de P(x) por (x - 1).(x - 2) é um polinômio
do tipo R(x) = ax + b, pois se o divisor tem grau 2, o resto, no
máximo, terá grau 1.
Então:
P x x 1 x 2 Q x ax b
A partir da informação de que P(1) = 2 e P(2) = 1, obtemos:
P x x 1 x 2 Q x ax b
P 1 1 11 2 Q 1 a 1 b
2 a b
P 2 2 1 2 2 Q 2 a 2 b
1 2a b
a b 2
2a b 1
Resolvendo o sistema:
Encontramos:
Assim:
a 1e
R x x 3
a b 2 2
2a b 1
b . 3
7.8 Divisões Sucessivas
Consideremos um polinômio P(x) divisível por
B(x) = (x – a).(x – b), e que o quociente na divisão de P(x) por
B(x) é um polinômio Q(x).
Assim:
P x x a x b Q x
Q1 x
Vamos chamar (x – b).Q(x) de Q1(x).
Observe a sentença obtida,
P x x a Q1 x
Veja que P(x) é divisível por (x – a) e o quociente na divisão de
P(x) por (x – a) é Q1(x) = (x – b). Q(x)
Mas, se
Q1 x x b Q x
Então, podemos concluir que Q1(x) é divisível por (x – b) e o
quociente na divisão de Q1(x) por (x – b) é Q(x).
Vamos tentar simplificar:
P x x a x b Q x
P x x a Q1 x
P( x)
( x a)
0
Q1 ( x)
( x a)
0
Q1 ( x)
Deste modo, podemos concluir que:
P( x)
x a x b
0
Q( x)
EXEMPLO 20: Verificar se P(x) = x3 + 2x2 - 13x + 10
é divisível por (x – 1).(x – 2)
Resolução: Dividimos sucessivamente P(x) por (x - 1) e o
quociente encontrado por (x – 2)
1
2
13
10
1
1
3
10
0
2
1
5
0
Coeficientes do Quociente Q(x)
Como P(x) é divisível por (x - 1) e o quociente desta divisão é
divisível por (x – 2), concluímos, então, que P(x) é divisível por
(x - 1).(x - 2)
EXEMPLO 21: Calcular a e b para que
P(x) = x4 + x2 + ax + b seja divisível por (x – 1)2
Resolução: Dividimos P(x) por (x - 1) e o quociente encontrado
por (x – 1) novamente.
1
0
1
a
b
1
1
1
2
a2
a 2b
1
1
2
4
a6
Os restos das duas divisões devem ser nulos. Então,
a6 0
a 2 b 0
a 6 e b 4
EXEMPLO 22: Para que o polinômio
P(x) = x3 - 8x + mx - n seja divisível por (x + 1)(x - 2), o
produto m.n deve ser igual a:
Resolução: Se P(x) é divisível por (x + 1)(x - 2), então, P(x) é
divisível por (x + 1), e também é divisível por (x - 2), e isto
significa dizer que,
P 1 0
e
P 2 0
P 1 1 8 1 m 1 n
P 2 2 8 2 m 2 n
0 1 8 m n
0 8 16 2m n
mn 7
2m n 8
3
3
Resolvendo o sistema:
Obtemos,
mn 7
2m n 8
m5 e n2
Agora, podemos responder a proposição inicial do problema,
m n 10
EXEMPLO 23: Um polinômio P(x) dividido por (x + 1)
dá resto 3 e por (x - 2) dá resto 6. O resto da divisão de
P(x) pelo produto (x + 1)(x - 2) é da forma ax + b. Obter
o valor numérico da expressão a + b.
Resolução: Se P(x) dividido por (x + 1) dá resto 3 e por
(x - 2) dá resto 6, então,
P 1 3
e
P 2 6
Sabemos ainda que o resto da divisão de P(x) pelo produto (x
+ 1)(x - 2) é da forma ax + b, então,
P( x)
ax b
x 1 x 2
Q( x)
P x x 1 x 2 Q x ax b
daí,
P 1 3 a b 3
a 1
b4
P 2 6 2a b 6
a b 5