Transcript сызықты нақты кеңістігіндегі xy...,z элементтерінің сызықты

Дәріс №2
Сызықты кеңістіктің
векторларының сызықты
тәуелділігі мен тәуелсіздігі.
Анықтама.
V – сызықты нақты кеңістігіндегі xy...,z элементтерінің
сызықты комбинациясы деп
αx +βy +...+γz
(1)
қосындыны айтамыз, мұндағы α, β,..., γ кез-келген нақты сандар
жәнеәне олар осы сызықты комбинацияның коэффиценттері
деп аталады.
V – сызықты нақты кеңістігіндегі x y..., z вектопларының кем
дегенде біреуі нөлге тең емес α, β,..., γ – нақты сандары бар
болып,
αx +βy +...+γz  0
(2)
теңдігі орындалса, онда оны сызықты тәуелді деп атаймыз.
Осы анықтамадан V – сызықты кеңістігінің сызықты тәуелді емес
векторлары сызықты тәуелсіз деп аталады. Осы анықтаманы
басқаша берейік.
Егер 0 болғанда (1) сызықты комбинация нөлге тең
болса, онда V – сызықты кеңістігінің x, y,…, z векторлары
сызықты тәуелсіз деп аталады.
қасиеттері.
10- V – сызықты кеңістігінің x, y,…, z векторлары сызықты тәуелді
болу үшін олардың біреуі қалғандарының сызықты
комбинациясы болуы қажетті әрі жеткілікті.
20. V – сызықты кеңістігіндегі xy...,z элементтерінің ішінде нөл
элемент бар болса, онда олар сызықты тәуелді.
30. V – сызықты кеңістігіндегі x, y,…, z элементтерінің бір бөлігі
сызықты тәуелді болса, онда x y..., z элементтері сызықты
тәуелді.
40. Бір ғана нөл вектордан тұратын система сызықты тәуелді
болады.
50. Құрамында нөл векторы бар векторлар системасы сызықты
тәуелді.
60. Егер векторлар системасының бөлігі сызықты тәуелді болса,
онда оның өзі де сызықты тәуелді болады.
70. Векторлар системасы сызықты тәуелді болу үшін оның бір
векторы қалғандарының сызықты комбинациясына тең болуы
қажетті және жеткілікті.
1-мысал.
Төрт өлшемді
кеңістікте
a1 1; -1; 1; -2,
a2 3; -1; 2; 0
a3 0; 1; -1; 1,
a4-4; 1; -2; 1
векторлары
сызықты
тәуелді бола ма?
Берілген
векторлардың
қосындысы нөлге тең:
a1  a2  a3  a4  0, 1234 10,
Сондықтан, векторлардың кезкелгенін қалғандары арқылы
өрнектейміз, мысалы
Демек, a3  a1  a2  a4
векторларының кез-келгені
қалғандарының a1a2 a3a4сызықты
комбинациясы. Олай болса, 10
қасиеті бойынша берілген
векторлар сызықты тәуелді.
2-мысал.
a12; 3; 4,
a2 1; -2; 1
a3 0; 0; 0,
a4 1; 2; -3
векторлары сызықты
тәуелді бола ма?
Берілген вектордың бірі нөл вектор:
a3 . Олай болса,
a1 1+ a2 2+ a3 3+ a4 4  0
Теңдігі 3 0, 124 0 болған
жағдайда ғана орындалады.
Сондықтан, берілген векторлар
сызықты тәуелді.
Сызықты кеңістіктің базисі
мен өлшемі.
Егер V – сызықты кеңістігінде
l1 l2... ln элементтері сызықты тәуелсіз
болса, 2) сызықты кеңістіктің әрx
векторы үшін x1,x2,…,xn нақты сандар
табылып
x  x1 l1 +x2 l2+…+xnln
(5)
Анықтама.
Теңдігі орындалса, онда l1 l2..., ln
элементтерінің жиынтығы осы
кеңістіктің базисі деп аталады. Бұл
жағдайда (5) теңдігі х элементінің
l1 l2..., ln - базисі арқылы жіктелінуі, ал
x1,x2,…,xn - нақты сандар х элементінің
координаттары деп аталады және
x  x1 , x2 , x3 
символымен белгіленеді.
Анықтама.
Егер V – сызықты кеңістігі n - өлшемді
кеңістік деп аталады, егер осы
кеңістікте
n-сызықты тәуелсіз
элементтер бар болып, ал кез-келген
n+1элементтері сызықты тәуелді болса
және ол Vn – әрпімен белгіленеді. Бұл
жағдайда n саны Vn сызықты
кеңістігінің өлшемі деп аталады да dim
Vn  n символымен белгіленеді.
Егер V – сызықты кеңістігінде шексіз
сызықты тәуелсіз векторлар бар
болса, онда ол кеңістік шексіз кеңістік
деп аталады.
Егер кеңістіктің өлшемі шектелген болса,
онда ол кеңістік шектелген сызықты
кеңістік деп аталады.
Негізінде біз бұл тарауда n өлшемді
кеңістіктерді қарастырамыз.
1- теорема. Vn- сызықты кеңістігінің х элементі l1 l2..., ln базисі арқылы жіктелінуі
х  x1 l1 +x2 l2+…+xnln (5)
тек біреу ғана.
I-теорема. Егер V – сызықты кеңістігінің өлшемі n болса:
dimRn, онда осы кеңістіктің кез-келген n сызықты тәуелсіз
векторларлары базис түзейді.
II -теорема. V – сызықты кеңістігінің n вектордан анықталған
базисі бар болса, онда V сызықты кеңістіктің өлшемі n-ге тең,
яғни тәуелсіз dim V  n.
III-теорема. V – сызықты кеңістігінің n векторы сызықты
тәуелсіз болу үшін осы векторларының координаттарынан
анықталған анықтауыштың мәні нөлге тең болмауы қажетті
әрі жеткілікті.
Салдар. V – сызықты кеңістігінің n векторы базис құрау үшін
осы
векторлардың
кординаттарынан
анықталған
анықтауыштың мәні нөлге тең болмауы қажетті әрі
жеткілікті.
1-мысал.
Vn- сызықты кеңістігінің
x11;0;...;0, x2 0;1;...;0,...x3 0;0;...;1
векторлары базис құрайды. Шынында да, осы
элементтердің координаталарынан анықталған

1 0
0 1
 
0 0
 0 10
 0
 
 1
анықтауышы нөлге тең емес.
x1;4 элементінің l1 l2 және
базистеріндегі
координаттарын анықта, мұндағы l1 1;2, l2 -2;3
және 1;1, 1;0.
Алдымен х элементінің l1, l2 базисіндегі координаттарын
анықтайық. х элементінің l1, l2 базисіндегі координаттары
x1,x2 болсын, яғни
x  x1 l1 +x2 l2
l1 -ді x1-ге, l2 -ні x2-ге көбейтіп, қоссақ:
x1 l1 +x2 l2 
x1;2 x1   2 x2 ;3x2  x1  2 x2 ;2 x1  3x2
Сонда x1  2 x2 ;2 x1  3x2   x Тең элементтердің (векторлардың)

теңдігін ескеріп
 
 
 x1  2 x2  1,

2 x1  3 x2  4
түзулер жүйесін аламыз. Осыдан
мәндерін табамыз.
x1 
11
2
, x2 
7
7

Сонымен, x элементінің l1, l2 базисте координаттары
11
2
және
,
7
7
яғни
l1
l2
11 2 
,

11

2


7
7
 7 7
'
'
l
,l
элементінің 1 2базисіндегі координаттарын табайық,
ол координаттар да x1, x2 болсын дейік, сонда
x  x1l1  x2l2
'
Осыдан
'
x1l '1  x2l ' 2  x1 ; x2  x2 ;0  x1  x2 ; x1,
 x1  x2  1

 x1  4
Сонымен x1=4, x2=-3 cандары х элементінің , базисіндегі
'
'
l '1,l ' 2 координаттары, яғни x =  4;-3= 4l1  3l2