Transcript Дѕріс №2

Дәріс №2
Базистен базиске көшу
матрицасы
Кез келген R кеңістігі берілсін. Берілген
кеңістіктің
төмендегі
екі
базисін
қарастырайық:
І базис: l1 , l 2 ,..., l n l  R , i  1, n
ІІ базис: l , l  ,..., l  l  R , i  1, n
R кеңістігінің кез келген элементі І базис
бойынша жіктелінеді. Сондықтан, ІІ базистің
кез келген элементі І базис бойынша жіктелсін:
l   a  l  a  l  ...  a  l , (6)

i

1
2
n
i
1
11
1
12
2
1n
n
l 2  a 21  l1  a 22  l 2  ...  a 2 n  l n ,
.......... .......... .......... .......... .......... ....
ln  a n 1  l1  a n 2  l 2  ...  a nn  l n ,
Анықтама.
Берілген
l1  a 11  l1  a 12  l 2  ...  a 1 n  l n ,
l 2  a 21  l1  a 22  l 2  ...  a 2 n  l n ,
.......... .......... .......... .......... .......... ....
ln  a n 1  l1  a n 2  l 2  ...  a nn  l n ,
жүйенің аij коэффициенттерінен анықталған квадрат кесте
 a 11

 a 21
A
...

a
 n1
a 12
...
a 22
...
...
...
an2
...
a1 n 

a2n 
... 

a nn 
І базистен ІІ базиске көшу матрицасы (қысқаша көшу
матрицасы) деп аталады.
R кеңістігінің кез келген бір х элементінің екі базистегі
координаттарының арасындағы байланысын анықтайық. Ол үшін
хR элементінің І-базистегі координаттары болсын, яғни
(9)
x   1  l1   2  l 2  ...   n  l
ал осы элементтің ІІ-базистегі координаттары 1, 2,…, n болсын,
х   1  l1   2  l 2  ...   n  l n немесе х   1 ,  2 ,...,  n  (10)
Екі теңдіктен  1  l1   2  l 2  ...   n  l n   1  l1   2  l 2  ...   n  l n (11)
теңдігін аламыз. Енді (6) теңдікті (11) теңдіктің оң жағына апарып
қоямыз:
  1   1  а 11   2  а 21  ...   n  a n 1 ,

(12)
  2   1  а 12   2  а 22  ...   n  a n 2 ,

.......... .......... .......... .......... .......... ........
  n   1  а 1 n   2  а 2 n  ...   n  a nn .

немесе матрица түрінде былай жазылады:
  A  
(13)
Сонымен, (13) формуладан мынадай қорытындыға келеміз:
кез келген элементінің І-базистегі i координаттары осы
элементтің ІІ-базистегі i координаттарымен А матрицасының
А/ транспонирленген матрицасы арқылы өрнектелінеді.
Сызықты түрлендірудің
әртүрлі базистегі
матрицаларының
байланысы. Кері түрлендіру
Кез келген сызықты R кеңістігінде сызықты түрлендіруі мен
f 1 , f 2 ,..., f n
l1 , l 2 ,..., l n ,
(14)
(15)
fК  R
базистері берілген. Онда
болғандықтан, әрбір
базисін (14) базис бойынша жіктеуге болады:
 f 1  а 11  l1  a 21  l 2  ...  a n 1  l n

 f 2  а 12  l1  a 22  l 2  ...  a n 2  l n ,

 .......... .......... .......... .......... .......... .

 f n  а 1 n  l1  a 2 n  l 2  ...  a nn  l n
А  a ij
(16)
мұндағы А матрица (14) базистен (15) базиске көшу матрицасы деп
аталады және
яғни базистен базиске көшу
A  0 болады,
матрицасының А-1 кері матрицасы бар.
 түрлендіруінің (14) базистегі матрицасы В, ал оның (15) базистегі
матрицасы С болсын, яғни (2) формула бойынша:
 l    b  l , k  1, n
(17)
...
c 
b
... b 
c
b
k  1, n
 f   c  f
(18)




... c 
b
... b 
c
b
C  c   
мұндағы B  b   

,
n
k
ik
i
i n1
ik
k
i
11
12
1n
21
22
2n
i 1
ij
...

b
 n1
...
bn 2
...
...
...
b nn
ij



Ендігі мақсат А, В, С матрицаларының арасындағы
байланысты табу.
11
1n
21
2n
...

c
 n1
...
...
...

c nn 
1-теорема.
Егер сызықты түрлендірудің (14) базистегі матрицасы
В=(bij) және (15) базистегі матрицасы С=(сij) болса, онда
В мен С матрицалар арасындағы байланыс мына
төмендегі формуламен өрнектеледі:
С
=
A-1
B

A
немесе
B
=
A-1

C
A,
(19)
мұндағы А матрица (16) формуламен өрнектеледі және .
А  0
Мысал.
6
В  
6
 түрлендіруінің l1, l2 базистегі матрица
болсын.
түрлендіруінің f1,f2
базистегі
табдыңдар, мұндағы f1=2 l1+3 l2, f2=2l1 + 3l2.
l1, l2 базистен f1, f2 базиске көшу А матрицасы
 а 11
А  
 а 21
а 12   1
  
а 22   2
 2

1
матрицасын
2
 , А   1  0 .
3
Сондықтан, А матрицаның кері матрицасы бар. Кері
матрицаны элементар түрлендіру көмегімен анықтайық:
А
1
2 1
0
2
3 0
1
Яғни А-1 =
3

 2
Е


1
0
2
1
1  2
0
1

1
0 3
2
0
1  2
1

1
0
2 

 1 
Сонда C = A-1BA =
3

 2
2 

 1 
6

6
 2

1
1

2
2

3
=
2

0
0

3
0 3
1 2
2
1
Анықтама. Сызықты
түрлендіруі ерекше емес деп
теңдігі х  0 болғанда ғана
аталады, егер  ( х )  0
орындалса, ал бұл теңдік
x 0 болғанда орындалса, онда ол ерекше түрлендіру деп
аталады.
2-теорема. сызықты түрлендіру ерекше емес түрелдіру
болу үшін,  түрлендіруінің А матрицасы ерекше емес
болуы,
яғни
А  0 қажетті әрі жеткілікті.
Осы сияқты мына теореманы дәлелдеуге болады.
сызықты түрлендіру ерекше болу үшін, 
түрлендіруінің А матрицасы ерекше болуы,
A  0 , қажетті әрі жеткілікті.
яғни
3-теорема.
Анықтама.
Сызықты R кеңістігінің  түрлендіруі сызықты 
түрлендіруінің кері түрлендіруі деп аталады, егер  бірлік
түрлендіру мен кез келген xR элемент
үшін          немесе    x      x     x   x xR
теңдігі орындалса және  түрлендіруінің кері турлендіруі
-1 таңбасымен белгіленеді, яғни
1
1
        
немесе   1   x      1  x     x   x
xR. (21)
берілген  сызықты түрлендіруінің кері түрлендіруде -1
сызықты.
Сызықты R кеңістігінің сызықты 
түрлендіруінің кері -1 турлендіруі бар болу үшін,
оның ерекше емес болуы қажетті және жеткілікті.
4-теорема.
Мысал.
(x)=x түрлендіруінің кері турлендіруін анықтайық,
мұндағы х  х1  х 2  х 3 ; х 3 ; х 2 
болсын. Берілген
түрлендіркдің матрицасын алайық:
1

A  0
0

1
0
1
1

1 , A   1  0 .
0 
Осыдан
A A
Сондықтан, -1 (х) = .х1  х 2  х 3 ; х 3 ; х 2 
1
1

 0
0

1
0
1
1

1 .
0 