Transcript Дѕріс №2
Дәріс №2
Базистен базиске көшу
матрицасы
Кез келген R кеңістігі берілсін. Берілген
кеңістіктің
төмендегі
екі
базисін
қарастырайық:
І базис: l1 , l 2 ,..., l n l R , i 1, n
ІІ базис: l , l ,..., l l R , i 1, n
R кеңістігінің кез келген элементі І базис
бойынша жіктелінеді. Сондықтан, ІІ базистің
кез келген элементі І базис бойынша жіктелсін:
l a l a l ... a l , (6)
i
1
2
n
i
1
11
1
12
2
1n
n
l 2 a 21 l1 a 22 l 2 ... a 2 n l n ,
.......... .......... .......... .......... .......... ....
ln a n 1 l1 a n 2 l 2 ... a nn l n ,
Анықтама.
Берілген
l1 a 11 l1 a 12 l 2 ... a 1 n l n ,
l 2 a 21 l1 a 22 l 2 ... a 2 n l n ,
.......... .......... .......... .......... .......... ....
ln a n 1 l1 a n 2 l 2 ... a nn l n ,
жүйенің аij коэффициенттерінен анықталған квадрат кесте
a 11
a 21
A
...
a
n1
a 12
...
a 22
...
...
...
an2
...
a1 n
a2n
...
a nn
І базистен ІІ базиске көшу матрицасы (қысқаша көшу
матрицасы) деп аталады.
R кеңістігінің кез келген бір х элементінің екі базистегі
координаттарының арасындағы байланысын анықтайық. Ол үшін
хR элементінің І-базистегі координаттары болсын, яғни
(9)
x 1 l1 2 l 2 ... n l
ал осы элементтің ІІ-базистегі координаттары 1, 2,…, n болсын,
х 1 l1 2 l 2 ... n l n немесе х 1 , 2 ,..., n (10)
Екі теңдіктен 1 l1 2 l 2 ... n l n 1 l1 2 l 2 ... n l n (11)
теңдігін аламыз. Енді (6) теңдікті (11) теңдіктің оң жағына апарып
қоямыз:
1 1 а 11 2 а 21 ... n a n 1 ,
(12)
2 1 а 12 2 а 22 ... n a n 2 ,
.......... .......... .......... .......... .......... ........
n 1 а 1 n 2 а 2 n ... n a nn .
немесе матрица түрінде былай жазылады:
A
(13)
Сонымен, (13) формуладан мынадай қорытындыға келеміз:
кез келген элементінің І-базистегі i координаттары осы
элементтің ІІ-базистегі i координаттарымен А матрицасының
А/ транспонирленген матрицасы арқылы өрнектелінеді.
Сызықты түрлендірудің
әртүрлі базистегі
матрицаларының
байланысы. Кері түрлендіру
Кез келген сызықты R кеңістігінде сызықты түрлендіруі мен
f 1 , f 2 ,..., f n
l1 , l 2 ,..., l n ,
(14)
(15)
fК R
базистері берілген. Онда
болғандықтан, әрбір
базисін (14) базис бойынша жіктеуге болады:
f 1 а 11 l1 a 21 l 2 ... a n 1 l n
f 2 а 12 l1 a 22 l 2 ... a n 2 l n ,
.......... .......... .......... .......... .......... .
f n а 1 n l1 a 2 n l 2 ... a nn l n
А a ij
(16)
мұндағы А матрица (14) базистен (15) базиске көшу матрицасы деп
аталады және
яғни базистен базиске көшу
A 0 болады,
матрицасының А-1 кері матрицасы бар.
түрлендіруінің (14) базистегі матрицасы В, ал оның (15) базистегі
матрицасы С болсын, яғни (2) формула бойынша:
l b l , k 1, n
(17)
...
c
b
... b
c
b
k 1, n
f c f
(18)
... c
b
... b
c
b
C c
мұндағы B b
,
n
k
ik
i
i n1
ik
k
i
11
12
1n
21
22
2n
i 1
ij
...
b
n1
...
bn 2
...
...
...
b nn
ij
Ендігі мақсат А, В, С матрицаларының арасындағы
байланысты табу.
11
1n
21
2n
...
c
n1
...
...
...
c nn
1-теорема.
Егер сызықты түрлендірудің (14) базистегі матрицасы
В=(bij) және (15) базистегі матрицасы С=(сij) болса, онда
В мен С матрицалар арасындағы байланыс мына
төмендегі формуламен өрнектеледі:
С
=
A-1
B
A
немесе
B
=
A-1
C
A,
(19)
мұндағы А матрица (16) формуламен өрнектеледі және .
А 0
Мысал.
6
В
6
түрлендіруінің l1, l2 базистегі матрица
болсын.
түрлендіруінің f1,f2
базистегі
табдыңдар, мұндағы f1=2 l1+3 l2, f2=2l1 + 3l2.
l1, l2 базистен f1, f2 базиске көшу А матрицасы
а 11
А
а 21
а 12 1
а 22 2
2
1
матрицасын
2
, А 1 0 .
3
Сондықтан, А матрицаның кері матрицасы бар. Кері
матрицаны элементар түрлендіру көмегімен анықтайық:
А
1
2 1
0
2
3 0
1
Яғни А-1 =
3
2
Е
1
0
2
1
1 2
0
1
1
0 3
2
0
1 2
1
1
0
2
1
Сонда C = A-1BA =
3
2
2
1
6
6
2
1
1
2
2
3
=
2
0
0
3
0 3
1 2
2
1
Анықтама. Сызықты
түрлендіруі ерекше емес деп
теңдігі х 0 болғанда ғана
аталады, егер ( х ) 0
орындалса, ал бұл теңдік
x 0 болғанда орындалса, онда ол ерекше түрлендіру деп
аталады.
2-теорема. сызықты түрлендіру ерекше емес түрелдіру
болу үшін, түрлендіруінің А матрицасы ерекше емес
болуы,
яғни
А 0 қажетті әрі жеткілікті.
Осы сияқты мына теореманы дәлелдеуге болады.
сызықты түрлендіру ерекше болу үшін,
түрлендіруінің А матрицасы ерекше болуы,
A 0 , қажетті әрі жеткілікті.
яғни
3-теорема.
Анықтама.
Сызықты R кеңістігінің түрлендіруі сызықты
түрлендіруінің кері түрлендіруі деп аталады, егер бірлік
түрлендіру мен кез келген xR элемент
үшін немесе x x x x xR
теңдігі орындалса және түрлендіруінің кері турлендіруі
-1 таңбасымен белгіленеді, яғни
1
1
немесе 1 x 1 x x x
xR. (21)
берілген сызықты түрлендіруінің кері түрлендіруде -1
сызықты.
Сызықты R кеңістігінің сызықты
түрлендіруінің кері -1 турлендіруі бар болу үшін,
оның ерекше емес болуы қажетті және жеткілікті.
4-теорема.
Мысал.
(x)=x түрлендіруінің кері турлендіруін анықтайық,
мұндағы х х1 х 2 х 3 ; х 3 ; х 2
болсын. Берілген
түрлендіркдің матрицасын алайық:
1
A 0
0
1
0
1
1
1 , A 1 0 .
0
Осыдан
A A
Сондықтан, -1 (х) = .х1 х 2 х 3 ; х 3 ; х 2
1
1
0
0
1
0
1
1
1 .
0