Transcript לבני די ג`י
התפתחות המנייה ומערכות המספרים,
השיטה העשרונית
ולבני די ג'י
טלי שכטר
ראשיתה של המתמטיקה...
התפתחות המנייה ומערכות המספרים
ממצאים ארכיאולוגיים מעידים כי כבר לפני 50,000
שנה השתמשו בני האדם במנייה .המנייה נוצרה
מהצורך לבצע חישובים במסחר ,במדידת אדמה וחיזוי
אירועים אסטרונומיים
החשבון (בשמו היווני "אריתמטיקה" שפירושו "אומנות
המספרים") ,תפס מאז ומעולם מקום משמעותי ,בכל
תחום ,בחיי היום יום שלנו
מנייה בהתאמה
התחלת המנייה לא נעשתה במילים או בסמלים ,אלא
התבססו על סוג של התאמה חד -חד ערכית .ההתאמה
יכלה להתבצע בין אובייקטים (אנשים ,חפצים)...
לבין אצבעות ,אבנים,
קשרים של חוט,
חריטה על מקלות
או בסימנים על האדמה
שיטת החריטות וסימנים
על גבי עצמים קשיחים
השיטות שפותחו כללו חריטה של המספר על אבנים,
יצירת חריצים על חתיכות עץ או יצירת קשרים ע"י
סיבים באורכים ובצבעים שונים ,כאשר סימון אחד על
החומר הקבוע מייצג עצם אחד מתוך האוסף שאותו
סופרים.
שיטה זו מהווה את הצעד הראשון להתפתחותה של
התקשורת הכתובה בין בני האדם ולהבנה מופשטת
יותר של מושג המספר
"עצם האישנגו"
אחד העצמים המתמטיים
הקדומים ביותר שהתגלה
באחד ממקורותיו של נהר
הנילוס והוא בן 8,000שנה.
העצם מהווה הוכחה לשימור
מספרים על ידי חריטה על
חומרים קשיחים.
מערכות מספרים קדומות
עם הזמן ,הסימון בחריטה הפך לבלתי יעיל ונוצר צורך לארגן
את המספרים בצורה שונה שבה יוצגו מספרים בגדלים שונים.
הדוגמא המוקדמת ביותר למערכת מספרים בה מיוצגים
המספרים בגדלים שונים ,היא מערכת המספרים שהתפתחה
במצריים העתיקה בשנת 3500לפני הספירה.
עם השנים התפתחו שיטות מנייה
רבות ושונות
מערכת ספירה בבלית
מערכת ספירה רומית
עיקר פריחתה של המתמטיקה הייתה ביוון העתיקה.
בימיו של סוקרטס ( 450לפני הספירה) חלה
התפתחות כבירה במתמטיקה ,והונח היסוד
למתמטיקה כפי שהיא נתפסת בעולם המודרני של
היום.
לשיאה הגיעה המתמטיקה בימיו של אוקלידס (300
לפני הספירה) כאשר קיבץ את כל חוקי המתמטיקה
הידועים של זמנו .קובץ זה מהווה בסיס למתמטיקה
של ימינו.
"אלוהים נתן לאדם את
המספרים הטבעיים ,כל שאר
המספרים הם פרי יצירתם של
בני האדם"
המתמטיקאי לאופולר קונקר 1891 - 1823 -
התפתחות כתיבת המספרים נמשכה אלפי שנים
והתפתחו שיטות מנייה למיניהן באזורים שונים
בעולם על בסיסים שונים:
בסיס חמש – אצבעות יד אחת( צפון הודו ,רומא)
בסיס 20בסיס ויגסימלי אצבעות הידיים והרגליים
(בני המאיה)
בסיס 60בסיס סקסגסימלי (אשור ובבל)
בימינו משתמשים בקבוצות מספרים על בסיס של 10
השיטה העשרונית
השיטה העשרונית
השיטה העשרונית היא שיטה להצגת מספרים
לפי בסיס 10
השיטה פותחה במקור בהודו במאה ה6-
כבר בתנ"ך הייתה מנייה במאות ,עשרות ואחדות( .לדוגמה:
"שבע ועשרים ומאה") ,וכך גם בספרות הרומיות.
המתמטיקאי אל ח'ואריזמי (מאה )8הביא חידוש של
שימוש בבסיס לשיטת הספירה,
כלומר רישום המספרים כך
שיש משמעות למיקום של
הספרה במספר
השיטה העשרונית
בכל התרבויות העתיקות השתמשו האנשים באצבעות
ידיהם כדי למנות דברים ,ועד היום יש שפות בגינאה
החדשה שבהן המספרים נקראים לפי שמות האצבעות.
כשהגיעו לעשר לא נשארו אצבעות למנות ,ואז החלו
סיבוב נוסף (התחלת השיטה העשרונית)
אחת הדרכים הנפוצות בעולם בימי קדם לציין ולזכור את
מה שמנו בע"פ ובעזרת האצבעות הייתה לאסוף אבנים
בערימות ("חישוב"" -קלקולציה" בלטינית אבן קטנה)
מנייה באצבעות
המילה "( "digitסיפרה) באה מהמונח הלטיני ""digitus
שפירושו אצבע.
המילה " "digitאומצה כשם עבור התווים המשמשים למניה
מבחינות מסוימות עשר אינו בסיס נוח מכוון שהוא מתחלק
ללא שארית לחמש ושתיים בלבד אך הוא מקובל היות
ולאדם יש עשר אצבעות
לבני די גי
מערכת לבני דיג'י היא כלי מארגן שעוצב במטרה לספק
לילדים אמצעים להבנה קונקרטית ואינטואיטיבית של האופן
שבו מספרים מאורגנים במבנה העשרוני .זהו אמצעי המחשה
להבנת המבנה העשורי ולימוד פעולות חשבון.
Digi-Block
Digitספרה Blockלבנה ומכאן השם לבני דיג'י
הכלי המתמטי "לבני דיג'י" הוא פרי פיתוח של פרופ' אילון
קולברג מאוניברסיטת הרווארד בקיימבריג'.
מדברי פרופ' קולברג...
החשיבה מאחורי פיתוח לבני הדי ג'י הייתה למצוא
מודל שיאפשר להסביר היטב בתיווך מבוגר את
השיטה העשרונית.
לאפשר לילד "לראות בעיניים" את שיטת המספרים,
כדי שיבין כל שלב בעצמו וישלוט ביישום שלה.
ללמד מעט ,אך את המעט שמלמדים הילד צריך
להבין! יש לכך חשיבות בתחום הדעת מתמטיקה.
הרעיון המתמטי בלבני דיג'י
מערכת לבני הדיג'י מציעה סוג חדש של לבנים,
המספקות לילדים דרכים לגילוי עצמי מודרך של שיטת
המנייה שלנו באמצעות מניפולציה פיזית.
מטרתו -לתמוך בהבנת המבנה
העשרוני באמצעות מודל
מייצג קונקרטי.
היתרונות הייחודיים של לבני דיג'י
בלבני דיג'י משתמשים ברציפות מגיל הגן ועד סוף כתה ו'.
לבני דיג'י הן עזר המתאים לעבודה בכל אחת מהגישות
והשיטות הקיימות כיום בשוק ,החל בשיטות מסורתיות
וכלה בגישות החקר השונות.
לבני דיג'י הן עזר המגביר את המוטיבציה של הילדים
ללימוד חשבון ,משום שהן הופכות את תהליך הלמידה
למהנה .הכלי מאפשר לתלמידים בעלי יכולות שונות לעבוד
בו זמנית.
העבודה עם לבני דיג'י מובילה לתובנה מתמטית ושליטה
טובה במניפולציות חשבוניות
האלמנטים החשבוניים שניתנים
להמחשה באמצעות לבני דיג'י
המחשת המבנה העשורי
פעולות חיבור וחיסור עד 1,000כולל פריטה והמרה
המחשת מהות פעולות הכפל והחילוק ,כולל חילוק
ארוך
הבנת השבר עשרוני ,כולל חיבור וחיסור
והמניפולציות החשבוניות המופעלות עליו
השימוש בערכת דיג'י
ילדים מתחילים בגילוי המנייה עם הלבנים האחדות .הם
מגלים את האריזה לקבוצות של 10ואת ייצוג המספרים
במבנה עשרוני
בהמשך משתמשים הילדים בלבנים במצבים שונים לפתרון
בעיות.
שילוב הערכה בחיי הגן ייעשה על פי הגישה המתכללת .אין
"ללמד את הכלי" ,אלא יש לאתר מצבים שונים שבהם ניתן
לשלב את השימוש בו באופן יעיל ומשמעותי.
השימוש בערכת לבני דיג'י
חיוני לתת לילדים זמן להתנסות פעמים רבות ככל
שיידרש בבנייה חופשית ,במשחק ובאריזה עד
שלבסוף הם יוכלו לשער את התוצאה לפני ההזזה של
הלבנים .כאשר יוכלו לשער באופן עקבי מה יתרחש,
יגבשו הילדים הכללות ורעיונות חשובים לגבי המספר
ופעולות החשבון
שיח מתמטי סביב הפעילויות עם לבני הדיגי .דיונים
כגון אלה מעודדים אותם להחליף רעיונות ,לבדוק
השערות ולהבהיר את חשיבתם .ילדים גם זקוקים
לזמן להפנים את רעיונותיהם ,ליצור דרכים משלהם
לתיאור הידע החדש
השימוש בערכת לבני דיג'י
מערכת לבני דיג'י מאפשרת לילדים בעלי יכולות שונות
לעבוד עם אותם חומרים ,כל אחד על הכישורים שהוא
זקוק להם .קבוצת ילדים יכולה גם לחקור אותה
משימה ,אך ממגוון גישות.
מערכת לבני דיגי' פותחת במשימות שהן קלות כמעט
עבור כל הילדים ומשתמשת בהן כבסיס לחקר רעיונות
מתמטיים המהווים אתגר לרבים .המשימות ברורות
ומוגדרות ,ועם זאת יש מרחב פעולה עצום באופן
ביצוען.
הצפייה בביצועי התלמידים ,כאשר הם עובדים
ומשוחחים ,חושפת בפני הגננת את דרכי הלמידה.
השימוש בערכת דיג'י
35
רכבת צהובה
25
רכבת סגולה
שימו לב! טעות בתמונה! הקטר
תמיד יהיה משמאל !
35
רכבת צהובה –טובה
35
רכבת צהובה – לא טובה
שימו לב! טעות בתמונה! הקטר
תמיד יהיה משמאל !
שימו לב! טעות בתמונה! הקטר
תמיד יהיה משמאל !
רכבת צהובה +רכבת סגולה =רכבת לא טובה
שימו לב! טעות בתמונה! הקטר
תמיד יהיה משמאל !
רכבת צהובה +רכבת סגולה =רכבת טובה
שימו לב! טעות בתמונה! הקטר
תמיד יהיה משמאל !
מאפיינים עיקריים מייחדים של
לבני דיג'י
שימור המבנה בכל הגדלים
הכלה במקום המרה
הבנייה
ההתנסות בטכניקות חישוב נעשות
בשלוש רמות
ייצוג פיזי
הסבר
"ניחוש נבון"