Transcript cz.2

Analiza funkcjonowania urządzeń obsługujących
pojawiają się w systemie rzadziej niż
  1 klienci
są obsługiwani.
Stan równowagi – kiedy sprawność obsługi klientów
w systemie jest nie mniejsza niż częstość napływania
nowych klientów

1
Analiza funkcjonowania urządzeń obsługujących

K
o
s
z
t
na
j
e
d
n.
cza
su
Z punktu widzenia ekonomicznego dążymy do
minimalizacji kosztów lub maksymalizacji
przychodów
Koszty razem
Koszt obsługi
Koszt oczekiwania
Liczba stanowisk
2
Analiza funkcjonowania urządzeń obsługujących
Zapis Kendalla x/y/z/p/n
x– charakterystyka przybywania nowych klientów do
systemu
y – charakterystyka obsługi w stanowiskach obsługi
z – liczba stanowisk
p – dopuszczalna wielkość kolejki
n – wielkość populacji, z której pochodzą klienci
3
SYMBOLE ZAPISU KENDALLA
W KLASYFIKACJI MODELI
SYSTEMÓW KOLEJKOWYCH
SYMBOL
M
D
ZNACZENIE
Wykładniczy rozkład prawdopodobieństwa długości
odstępu czasu między kolejnymi zgłoszeniami do
systemu/czasu obsługi
Wielkość deterministyczna lub o stałym rozkładzie
zgłoszeń klientów/czasu obsługi
G
Dowolny rozkład prawdopodobieństwa o znanej
wartości oczekiwanej i wariancji zgłoszeń do
systemu/czasu obsługi klientów
Ek
Rozkład Erlanga rzędu k opisujący rozkład
prawdopodobieństwa długości odstępu czasu
między kolejnymi zgłoszeniami do systemu/czasu
obsługi
4
SYSTEM M/M/1 (x/y/z)
Z
NIESKOŃCZONĄ POPULACJĄ
mamy z nim do czynienia wtedy gdy:
1. czas obsługi klientów w systemie,
2. długość odstępu czasu między zgłoszeniami
napływającymi do systemu
mają wykładniczy rozkład prawdopodobieństwa,
a w systemie występuje jedno stanowisko
obsługi
5
SYSTEM M/M/S (x/y/z)
Z
NIESKOŃCZONĄ POPULACJĄ
1. czas obsługi klientów w systemie, oraz czas
między zgłoszeniami do systemu mają
wykładniczy rozkład prawdopodobieństwa,
2. w systemie jest S równoległych stanowisk obsługi
ze wspólną kolejką.
6
SYSTEM M/M/S
ZE SKOŃCZONĄ POPULACJĄ
1. czas między zgłoszeniami do systemu oraz czas obsługi
mają wykładniczy rozkład prawdopodobieństwa,
2. istnieje S kanałów obsługi,
3. populacja klientów jest skończona, o liczebności Nu.
4. ogólna budowa formuły (lambda;mi;n;S;Nu)
W systemie ze skończoną liczbą klientów wielkość
populacji nie będącej w systemie zależy w istotny
sposób od liczby klientów obsługiwanych i
oczekujących na obsługę w systemie.
7
Problem 1. (system jednokanałowy)*
W ciągu jednej godziny do sali
egzaminacyjnej gdzie odbywa się egzamin
z MAP, przychodzi średnio 4 studentów.
Czas, jaki egzaminator przeznacza na
pytanie jednego studenta wynosi około 12
minut.
•Wybrane metody badań operacyjnych w zarządzaniu.
Problemy i zadania., pr. zb. pod red. D.Kopańskiej-Bródki,
AE Katowice 2006
8
Wyznacz stopę przybyć, stopę obsługi i parametr
intensywności ruchu.
Stopa przybyć   4
W ciągu godziny można przeegzaminować   60 /12  5
(stopa obsługi) studentów.
 4
Parametr intensywności ruchu     0,8


Ponieważ   4  5   czyli   1
5
układ jest stabilny (zmierza do stanu równowagi), tzn.
prawdopodobieństwo tego, że kolejka ma określoną
długość jest stałe w każdej jednostce czasu.
9
Podaj przeciętną liczbę studentów czekających
w kolejce na egzamin oraz przeciętną liczbę
studentów znajdujących się w sali
egzaminacyjnej.
2
2
42
Lq 


 3,2 osoby
1    (    ) 5(5  4)

10

Średnia liczba zgłoszeń przebywających w
systemie (łączna liczba zgłoszeń czekających w
kolejce i obsługiwanych)

4
Lq 

 4 osoby
  54
Średnia liczba studentów przebywających na sali
wynosi 4 studentów (łączna liczba studentów
czekających na egzamin i egzaminowanych)
11


Podaj przeciętny czas oczekiwania przez studenta
w kolejce na egzamin oraz średni czas, jaki
spędza student w sali egzaminacyjnej.
Przeciętny czas oczekiwania

4
Wq 

 0,8 godziny
 (    ) 5(5  4)

Średni czas egzaminu (średni czas spędzany w
systemie)
1
1
W

 1 godzina
  54
12

Wyznacz prawdopodobieństwo braku studentów
oczekujących na egzamin.
P0  1    1  0,8  0,2
13

Wyznacz prawdopodobieństwo, że w kolejce
czeka więcej niż dwóch studentów.
Pk k0
Pk 2

 

4
 
5
21
k0 1
64

 0,512
125
14

Jeśli liczba studentów przybywających do Sali
egzaminacyjnej zwiększy się do 6 osób, wówczas
podstawowe parametry układu wynoszą:
  6 osób/godz.
  60/12  5 osób/godz.
  1,2
Układ jest niestabilny, co spowoduje, że z
upływem czasu kolejka studentów oczekujących
na egzamin będzie coraz dłuższa.
15
Problem 2. (system wielokanałowy)
Pracownicy nowoczesnego biurowca wpuszczani
są na teren budynku przez specjalne bramki.
Przejście przez bramkę jednego pracownika trwa
ok.. 10 sek., w czasie których komputer
zainstalowany przy bramce odczytuje kartę
wejścia pracownika, zapisuje czas jego przybycia
i zezwala na wejście do budynku. W ciągu
jednej minuty przychodzi 16 pracowników,
którzy mogą skorzystać z jednej z trzech bramek
wejściowych.
16
a)
b)
c)
d)
e)
Określ podstawowe parametry systemu
kolejkowego
Wyznacz prawdopodobieństwo tego, że
pracownicy nie będą czekali w kolejce
Oblicz średnią liczbę pracowników
oczekujących w kolejce
Ile wynosi średni czas oczekiwania w
kolejce oraz przebywania w systemie?
Jakie jest prawdopodobieństwo, że w
kolejce czeka dokładnie dwóch
pracowników?
17
a)
stopa przybyć  16 prac. / min
stopa obsługi   60 : 10  6prac./min
kanały obsługi n  3
parametr intensywnosci ruchu :

16


 0,89
n   3 6
układ stabilny     n
b)
P0 
1
n 1


i


n

(n   )  (n  1)!
1
1

 0,35
0
1
2
3
2,85
0,89
0,89 0,89
0,89



0!
1!
2!
3!
i 0
i!
Prawdopodobieństwo, że przebywający nie będą
oczekiwać w kolejce wynosi 0,35
19
c)
Lq 

n 1
(n   )  (n  1)!
2
 P0 
31
0,89


0
,
35

0
,
025
2
(3  0,89) (3  1)!
Liczba pracowników oczekujących w kolejce
20
d)
0,025
Wq 

 0,0016

16
Lq
Średni czas oczekiwania w kolejce.
e)
k
  P0 dla k  n
k!
Pk   n -k k
 n   P dla k  n
0
 n!
0,89 2
P2 
 0,35  0,14
2!
Prawdopodobieństwo, że w kolejce będzie oczekiwało 2 klientów
wynosi 0,14.
Miłego dnia
22