Transcript Číselné obory

Číselné obory
-Zákony, uzavřenost a operace
Ondřej Nebeský T4A
Druhy čísel
Přirozená čísla N – slouží k vyjádření
počtu osob, zvířat předmětů atd.
1,2,3,4 …
 Celá čísla Z – umožňují vyjádřit změny
těchto počtů a jejich porovnání (přírůstek,
úbytek)
…, -2, -1, 0, 1, 2 …

Druhy čísel


Racionální čísla Q se používají k vyjádření
počtu dílů celku jako jsou zlomky, mohou být
kladná i záporná
1/2 ; -0,83; 0; 8,1; -3
Reálná čísla R umožňují vyjádření výsledků
měření; stejná jako racionální, navíc zahrnují i
čísla iracionální
3 ; -0,1;  ; 1; sin45°
Schéma číselných oborů

Reálná R
-5,479
16


Celá Z
-2
1

tg 60°
-3/4
3
0
Racionální Q
0,583
Přirozená N
5
8
-8

Věty




Věta o asociativnosti sčítání a násobení – sčítance při součtu a
činitele při násobení můžeme libovolně sdružovat (nezáleží na
pořadí závorek.)
a + (b + c) = (a + b) +c
Věta o komutativnosti sčítání a násobení – pořadí sčítanců při
součtu a pořadí činitelů při násobení můžeme měnit
a+b=b+a a*b=b*a
Věta o neutrálnosti čísla 1 – při násobení jakéhokoliv čísla x číslem
1 dostáváme vždy číslo x
1* x=x
Věta o distributivnosti násobení vzhledem ke sčítání – násobíme-li
číslem součet dvou nebo více čísel, vynásobíme tímto číslem
každého sčítance
a(b + c) = ab + ac
Přirozená čísla







Přirozená čísla dovedeme jmenovat, zapisovat číslicemi a
znázorňovat na číselné ose
Základní operace: sčítání a násobení
Uzavřenost: při sčítání nebo násobení dvou přirozených čísel
dostáváme vždy číslo přirozené
Ostatní operace v oboru přirozených čísel při zachování
uzavřenosti (odčítání, dělení a umocňování) můžeme definovat
pomocí základních operací
a € N /\ b € N
Rozdíl a - b
a = b+x (x€N /\ a > b)
Podíl a : b
a = b * x (x€N)
Mocnina ab
a = a1 * a2 * … ab
Celá čísla






Jsou to Přirozená čísla rozšířená o nulu a záporná čísla.
Uzavřenost: při sčítání, odčítání nebo násobení dvou celých čísel
dostáváme vždy číslo celé
Operace při uzavřenosti oboru jsou podobné jako u přirozených
čísel
(a, b, x € Z)
Rozdíl
a–b=x
Podíl
a=b*x
Mocnina
a = 1 * a1 * a2 * … ab (b € N0)
Racionální čísla



•
•
•
Množinu racionálních čísel lze vyjádřit ve tvaru zlomku p/q, kde p je
celé číslo a q je přirozené číslo a jejich společným dělitelem je
pouze číslo jedna (zlomek v základním tvaru)
Uzavřenost: při sčítání, odčítání, násobení nebo dělení dvou
racionálních čísel dostáváme vždy číslo racionální. Výjimkou je
dělení nulou.
Možné tvary zápisu:
Zlomek 1/3
Desetinné číslo s konečným periodickým rozvojem 0,8
Nekonečný periodický desetinný rozvoj s vyznačenou periodou 0,3
Racionální čísla - zlomky

Základní početní operace se zlomky
a c
, R
b d

sčítání

odčítání

násobení

dělení
a c ad  cb
 
b d
bd
a c ac
 
b d bd
a c ad  cb
 
b d
bd
a c a d
  
b d b c
Racionální čísla
Perioda – nekonečná řada neustále se opakující
skupiny čísel za desetinnou čárkou
• Značí se vodorovnou čárkou nad číslicemi
• V rozvoji se před periodou může vyskytovat
ještě skupina číslic (tzv. předperioda) a jedná se
o rozvoj neryze periodický
 Každé desetinné číslo můžeme zapsat také jako
desetinný zlomek, v jehož jmenovateli je
přirozená mocnina deseti (tj. 10n, n € N)

Reálná čísla




Skládá se z množiny čísel racionálních a iracionálních
Iracionální čísla lze zapsat jenom takovým
desetinným rozvojem který je nekonečný a
neperiodický
Patří mezi ně některé odmocniny (2,3,5), Ludolfovo
číslo  a hodnoty některých goniometrických funkcí
např. sin 45°, cos 30°, tg 60° atd.
Pro iracionální čísla není zaveden žádný obor protože
výsledky operací s iracionálními čísly nemusí být
iracionální číslo. Např. pro iracionální čísla \/2 a -\/2 je
součet i součin racionální.
Množina všech iracionálních čísel není uzavřená
vzhledem ke sčítání a násobení.
Reálná čísla






Pro každá tři reálná čísla a, b, c platí:
Jestliže a > b a zároveň b > c, pak a > c.
Jestliže a > b a zároveň c > 0, pak ac > bc.
Jestliže a > b a c je libovolné reálné číslo,
pak a + c > b + c
Zaokrouhlování: V praxi se iracionální čísla nahrazují
desetinnými čísly, která jsou tvořena částí desetinného
rozvoje zaokrouhleného na zvolený počet desetinných
míst, jenž je určen požadovanou přesností výsledku.
Výsledek nebude nikdy absolutně přesný.
Např.  = 3,141 592 653 589 79 … se běžně zaokrouhluje
na 3,142 nebo 3,14