Transcript Επιχειρησιακή Έρευνα για Μηχανικούς

Επιχειρησιακή Έρευνα
για Μηχανικούς
Δρ. Αθανάσιος Σπυριδάκος
Αναπληρωτής Καθηγητής
Περιεχόμενα
•
•
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Έρευνα
Γραμμικός Προγραμματισμός
Μοντελοποίηση Προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού
Γραφική Επίλυση
Μέθοδος SIMPLEX
Οικονομική Ερμηνεία
Ανάλυση Ευαισθησίας
Προβλήματα Ελαχιστοποίησης
Ασκήσεις - Προβλήματα
Βιβλιογραφία
• Π. Υψηλάντη, Επιχειρησιακή Έρευνα: Λήψη Επιχειρηματικών
Αποφάσεων, Εκδόσεις ΕΛΛΗΝ, 1995.
• Γ. Πραστάκος. Μαθηματικός Προγραμματισμός για τη λήψη
επιχειρηματικών αποφάσεων, Εκδόσεις Σταμούλης, 1991.
• Δ. Ξηρόκωστας, Επιχειρησιακή Έρευνα – Αντικείμενο και μεθοδολογία,
Συμμετρία, 1991.
• Ι. Σίσκος, Γραμμικός Προγραμματισμός, Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών,
1998.
• F.S. Hillier και G.L. Lieberman, Εισαγωγή στην Επιχειρησιακή Έρευνα,
Εκδόσεις Παπαζήση, 1985.
Επιχειρησιακή Έρευνα
• Έχει ως αντικείμενο την επίλυση επιχειρησιακών προβλημάτων με ένα
λογικό, επιστημονικό και συστηματικό τρόπο και την ανάπτυξη των
αντίστοιχων μεθοδολογιών. (Υψηλάντης)
• Αναφέρεται και ως Επιστήμη των Αποφάσεων ή και Διοικητική
Επιστήμη.
• Ο Όρος Επιχειρησιακή αναφέρεται στη λειτουργία (Operation) και όχι σε
Επιχείρηση ή Εταιρεία.
• Ουσιαστικά αποτελεί μια διεπιστημονική μαθηματική επιστήμη
αντλώντας τεχνικές από την Μαθηματική Μοντελοποίηση, την Στατιστική
και την Μαθηματική Αριστοποίηση.
Παραδείγματα Προβλημάτων (1)
• Μοντέλα Αποφάσεων – Επιλογή μιας εναλλακτικής απόφασης (της
βέλτιστης) από ένα σύνολο εναλλακτικών αποφάσεων.
Συστηματικοποιείται η σύγκριση των εναλλακτικών αποφάσεων και
υποστηρίζεται η επιλογή της βέλτιστης.
Παράδειγμα:
Η επιλογή θέσης για την εγκατάσταση ενός εργοστασίου ή ενός ΧΥΤΑ
(Location Problem).
• Γραμμικός Προγραμματισμός – Επιτρέπει την κατανομή των περιορισμών
των πόρων με τον αποτελεσματικότερο τρόπο. Έχει ευρύ πεδίο εφαρμογών
Παράδειγμα:
Ποιο είναι το επίπεδο παραγωγή σε μια βιομηχανία που παράγει συγκεκριμένα
προϊόντα ώστε να ελαχιστοποιήσει το κόστος η να μεγιστοποιήσει το
κέρδος.
Παραδείγματα Προβλημάτων (2)
• Προβλήματα Μεταφοράς- Επιτρέπει το σχεδιασμό της οργάνωσης της
μεταφοράς προϊόντων από την παραγωγή στη κατανάλωση έτσι ώστε να
μεγιστοποιείται η κάλυψη της ζήτησης σε σχέση με την προσφορά
Παράδειγμα: Τα εργοστάσια μιας βιομηχανίας έχουν συγκεκριμένη
δυνατότητα παραγωγής όπως και η ζήτηση στις περιοχές πώλησης. Ποιο
πρέπει να είναι το πρόγραμμα μεταφοράς (εργαστάσια – σημεία πώλησης)
ώστε να ελαχιστοποιείται το κόστος μεταφοράς.
Παραδείγματα Προβλημάτων (3)
• Διαχείριση Αποθεμάτων: Αφορά στην Διαχείριση και τον εφοδιασμό με
πόρους, έτσι ώστε να καλύπτεται η ζήτηση και να ελαχιστοποιείται το
κόστος αποθήκευσης και παραγγελίας.
Παράδειγμα: Ποια είναι η ελάχιστη ποσότητα σε ένα προϊόν που πρέπει να έχει
μια εμπορική επιχείρηση και ποια είναι η ποσότητα που πρέπει να
παραγγέλνει έτσι ώστε να καλύπτεται η ζήτηση και να ελαχιστοποιείται το
κόστος (παραγγελίας, αποθήκευσης, κεφαλαίου, μη εξυπρέτησης).
• Πρόβλημα Ανάθεσης: Προσδιορίζεται ο τροπος κατανομή των πόρων σε
διακριτές θέσεις έτσι ώστε να μεγιστοποιείται η απόδοση ή να
ελαχιστοποείται το κόστος.
Παράδειγμα: Πώς θα αναθέσουμε εργασίες σε υπαλλήλους έτσι ώστε να
μεγιστοποιείται η συνολική απόδοση, όταν γνωρίζουμε την απόδοση του
υπαλλήλου σε κάθε θέσης.
Παραδείγματα Προβλημάτων (4)
• Χρονικός και Οικονομικός Προγραμματισμός Έργων.
Ποιες είναι οι κρίσιμες δραστηριότητες σε ένα έργο και πώς θα καταφέρουμε
να ελαχιστοποιήσουμε το κόστος υλοποίησης του έργου ή να
ελαχτοποιήσουμε το χρόνο αποπεράτωσης του.
Μεθοδολογία Υλοποίησης
Διαμόρφωση του
Προβλήματος
Προσδιορισμός
Παραμέτρων
Εντοπισμός των
Περιορισμών
Κατασκευή Μαθηματικού
Μοντέλου
Επίλυση Μαθηματικού
Μοντέλου
Ανάλυση και Ερμηνεία
της Λύσης
Εφαρμογή
Ιστορικά Στοιχεία
• Αναπτύχθηκε κατά τον 2ο Παγκόσμιο Πόλεμο για την επίλυση
επιχειρησιακών προβλημάτων με την εφαρμογή ποσοτικών μεθόδων.
Δημιουργήθηκαν Ομάδες Επιστημόνων (από διάφορες ειδικότητες) για την
αντιμετώπιση δύσκολων προβλημάτων (η αξιοποίηση των ραντάρ, ο
προσδιορισμός του βάθους έκρηξης των βομβών βυθού, ο προσδιορισμός
του άριστου μεγέθους των νηοπομπών, ο προσδιορισμός του χρώματος
βαφής των αεροπλάνων, κ.ά.
• Μετά τη λήξη του πολέμου βρήκε ευρεία εφαρμογή στη Βιομηχανία, τις
Κατασκευές και στην Οικονομία.
• Αναπτύχθηκαν πολλές εφαρμογές, λογισμικό και εξειδικεύσεις στους
τομείς εφαρμογής της Επιχειρησιακής Έρευνας.
• Η Ελλάδα έχει μεγάλη συμβολή στην ανάπτυξη και διάδοση της
Επιχειρησιακής Έρευνας. Έλληνες Επιχειρησιακοί Ερευνητές στελεχώνουν
πολλά από τα Ερευνητικά Κέντρα και Πανεπιστήμια των ΗΠΑ, Γαλλία, Μ.
Βρεττανία και στην Ελλάδα. (Α. Τσουκιάς, Β. Πάσχος, Ι. Σίσκος, Π.
Παρδαλός, Γ. Πραστάκος, κ.ά.).
Γραμμικός Προγραμματισμός
• Μέθοδος που χρησιμοποιείται ευρύτατα για την επίλυση προβλημάτων που
σχετίζονται με την άριστη αξιοποίηση των πόρων που είναι διαθέσιμοι με
βάση τις συνθήκες και τους περιορισμούς που διέπουν την εκάστοτε μελέτη
περίπτωσης.
Παραδείγματα
Ποια είναι η παραγωγή σε προϊόντα σε μια βιομηχανία με συγκεκριμένες
δυνατότητες του εξοπλισμού της, ώστε να επιτευχθεί το καλύτερο δυνατό
όφελος (κέρδη).
Ποιος είναι ο χρονικός προγραμματισμός στην παραγωγή προϊόντων μιας
βιομηχανίας, ώστε να καλυφθεί η ζήτηση από την αγορά και ταυτόχρονα να
ελαχιστοποιηθεί το κόστος παραγωγής και αποθήκευσης.
Ποια είναι η κατανομή του Κεφαλαίου σε εναλλακτικά Επενδυτικά Σχέδια
ώστε να ελαχιστοποιηθεί ο κίνδυνος απώλειας χρημάτων.
Γραμμικός Προγραμματισμός
• Πρόβλημα Παραγωγής
Μια Βιομηχανία που κατασκευάζει μεταλλικές Πόρτες και Παράθυρα
χρησιμοποιεί τα δυο τμήματα της (σιδηρουργείο και βαφείο). Η
Διαδικασία παραγωγής είναι παρόμοια και για τα δύο προϊόντα της Για την
κατασκευή μιας πόρτας απαιτούνται 4 ώρες στο Σιδηρουργείο και 2 ώρες
στο βαφείο. Για κάθε παράθυρο απαιτούνται 2 ώρες στο Σιδηρουργείο και
2 ώρες στο Βαφείο. Για την επόμενη εβδομάδα οι διαθέσιμες ώρες
(συνολικά) στο Σιδηρουργείο είναι 600 και στο Βαφείο 480. Για κάθε
Πόρτα η Επιχείρηση κερδίζει 80 Ευρώ ενώ για κάθε παράθυρο 60 Ευρώ.
Ποια η παραγωγή της σε πόρτες και παράθυρα ώστε να μεγιστοποιηθεί το
κέρδος της επιχείρησης.
Βήματα
• Καθορισμός των Αγνώστων Μεταβλητών
Χ: Παραγωγή σε Πόρτες, Υ: Παραγωγή σε Παράθυρα
• Αντικειμενική Συνάρτηση
Μεγιστοποίηση Κέρδους
Κέρδος = 80χ+60ψ δηλαδή
max (80x+60ψ)
• Προσδιορισμός των Περιορισμών
Ώρες Σιδηρουργείου <= 600 => 4χ +2ψ ≤ 600
Ώρες Βαφείου <= 600 => 2χ+2ψ<=480
Υπάρχουν και οι περιορισμοί χ,ψ>=0
Μαθηματική Περιγραφή
Ζητείται να υπολογισθούν των μεταβλητών x1, x2, …, xn έτσι ώστε:
Να μεγιστοποιείται (ή ελαχιστοποιείται) η συνάρτηση
max (min) Z= c1x1+ c2x2+ …+ cnxn
Όταν ικανοποιούνται οι παρακάτω περιορισμοί:
a11x1+ a12x2+ …+ a1nxn(≤, ≥)b1
a21x1+ a22x2+ …+ a2nxn(≤, ≥)b2
am1x1+ am2x2+ …+amnxn(≤, ≥)bm
x1, x2, …,xn≥0.
Βασικές Παραδοχές
•
Αναλογικότητα
Η αντικειμενική συνάρτηση καθώς και όλοι οι περιορισμοί πρέπει να είναι γραμμικές
συναρτήσεις. (Η τιμή της αντικειμενικής συνάρτησης και η χρησιμοποίηση τω
διαθέσιμων μέσων, είναι ποσά ανάλογα προς τις ποσότητες κάθε μιας δραστηριότητας).
•
Προσθετικότητα
Οι ποσότητες ενός διαθέσιμου μέσου που καταναλώνονται, από τις διάφορες
δραστηριότητες, μπορούν να προστεθούν. (Δηλαδή αν η δραστηριότητ α1 καταναλώνει
ai1x1μονάδες του συντελεστή I, και η 2 ai2x2 τότε και οι δύο μαζί καταναλώνουν
ai1x1+ ai1x2.
•
Διαιρετότητα
Οι μεταβλητές αποφάσεις παίρνουν συνεχείςτιμές.
•
Προσδιορισμένοι συντελεστές
Όλοι οι συντελεστές ενός μοντέλου Γ.Π. (δηλαδήταaij, bi, cj) θεωρούνται σαν γνωστές
σταθερές
Γραφική Επίλυση
• Όταν το πρόβλημα έχει δυο μόνο αγνώστους τότε μπορεί να επιλυθεί και
Γραφικά.
Βήματα
• Κατασκευάζουμε ένα σύστημα συντεταγμένων (χι, χ2)
• Φέρνουμε τις ευθείες των περιορισμών
• Σκιαγραφούμε την περιοχή των εφικτών λύσεων
• Σχεδιάζουμε μια ευθεία της μορφής.
• Με παράλληλη μετατόπιση της ευθείας βρίσκουμε το σημείο που
μεγιστοποιεί ή ελαχιστοποιεί τη συνάρτηση
Βήμα 1 -2
ψ
(0, 300)
2χ+2ψ=480
(0, 240)
•Κατασκευάζουμε το σύστημα
Αξίνων (χ,ψ)
•Με δεδομένο ότι χ>=0 και
ψ>=0 εργαζόμαστε στο πάνε
δεξιό τεταρτημόριο.
•Κατασκευάζουμε τις ευθείες
4χ+2ψ=600
(χ=0, ψ=300) – (ψ=0, χ=150)
2χ+2ψ=480
(χ=0, ψ=240) – (ψ=0, χ=240)
4χ+2ψ=600
(150, 0)
(240, 0)
χ
Βήμα 3
ψ
(0, 300)
2χ+2ψ=480
(0, 240)
Α
Β
4χ+2ψ=600
Δ
Γ
(150, 0)
(0,240)
Προσδιορισμός της
περιοχής των εφικτών
λύσεων
• Σκιαγραφούμε τις
περιοχές του
τεταρτημόριου που
ικανοποιεί τις
συνθήκες
• Η τομή των περιοχών
ικανοποιεί και τις
τέσσερις συνθήκες
(ΑΒΓΔΑ)
Βήμα 4 -5
ψ
Σημείο Β(60,180)
(0, 300)
(0, 240)
Α
Β
Παράλληλη
Μεταφορά
Δ
Γ
(150,0)
(0,240)
80χ+60ψ=4800
•Κατασκευάζουμε μια
αντιπροσωπευτική ευθεία της
αντικειμενικής συνάρτησης
80χ+60ψ=4800
(χ=0, ψ=80)
(ψ=0, χ=60)
•Παράλληλη μεταφορά της
ευθείας (πάνω ή κάτω). Στο
σημείο που φεύγει (Β) ή
εισέρχεται στην περιοχή των
εφικτών λύσεων έχουμε τη
βέλτιστη λύση.
(Χ=60, ψ=180)
Ζ=80*60+60*180=4800+10800
=15600
Περιπτώσεις
• Άπειρες Βέλτιστες Λύσεις
Σύνολο
Βέλτιστο
Λύσεων (ΒΓ)
Β
Α
Γ
Ο
Δ
• Ασυμβίβαστοι Περιορισμοί
(Αδύνατη λύση) – Δεν
δημιουργείται πολύγωνο εφικτών
λύσεων
• Μη φραγμένο σύνολο
εναλλακτικών λύσεων
Δεν δημιουργείται
κλειστό πολύγωνο
Ο
Πολύγωνο Εφικτών
Λύσεων (ΑΒΓΔΟΑ)
Ασκήσεις –Προβλήματα
1. Να λυθεί το παρακάτω
πρόβλημα:
Max (4X1+3X2)
μ.π:
X1
≤9
X2 ≤ 6
X1 + 2X2 ≤ 14
2X1 + X2 ≤ 16
X1
≥0
X2 ≥ 0
(Με Γραφική Μέθοδο)
2. Ένα οινοποιείο παράγει δύο τύπους
κρασιών Ροζέ και Λευκό και χρησιμοποιεί δυο
ποικιλίες Σταφυλιών Ρομπόλα και
Σαββατιανό. Για την παρασκευή ενός τόνου
λευκού απαιτούνται 2 τόνοι Σαββατιανού και
ένας τόνος Ρομπόλας ενώ για την
Παρασκευή 2 τόνων ροζέ απαιτούνται 3
τόνοι Ρομπόλας και 1 τόνος Σαββατιανού.
Το κέδρος ανά τόνο είναι 1.000 Ευρώ για το
λευκό και 1200 Ευρώ για το ροζέ.
Η παραγωγή φέτος σε σταφύλια αναμένεται
σε 20 τόνους Σαββατιανού και 24 τόνους
Ρομπόλας.
Να κατασκευασθεί το γραμμικό πρόβλημα
(μοντελοποίηση) και να λυθεί γραφικά έτσι
ώστε να μεγιστοποιείται το κέρδος του
οινοποιείου.
Τεχνική SIMPLEX (1)
Μέθοδος για την Αλγεβρική Επίλυση Προβλημάτων Γραμμικού
Προγραμματισμού.
• Για το πρόβλημα παραγωγής
Max(Ζ=80χ+60ψ)
4χ+2ψ≤600
2χ+2ψ≤480
χ,ψ≥0
Με δύο τεχνητές μεταβλητές S1 και S2 οι ανισώσεις μετασχηματίζονται σε
εξισώσεις και το πρόβλημα έχει την μορφή:
Max(80χ+60ψ+0S1 +0S2)
4χ+2ψ+S1 ≤ 600 ή καλύτερα
4χ+2ψ+1S1+0S2 ≤ 600
2χ+2ψ+S2 ≤ 480 ή καλύτερα
2χ+2ψ+0S1+1S2 ≤ 480
χ,ψ, S1, S2 ≥0
Τεχνική SIMPLEX (2)
Κατασκευάζουμε τον αρχικό πίνακα SIMPLEX
Μια προφανής λύση χ=0, ψ=0. Από 4χ+2ψ+S1=600 => S1=600 και από την
2χ+2ψ+S2=480 => S2=480 , Ζ=
Οι S1 και S2 είναι οι βασικές μεταβλητές (ΒΜ) και οι χ, ψ ή μη βασικές
Οι συντελεστές των αγνώστων στην
αντικειμενική συνάρτηση
Οι Βασικές Μεταβλητές
και οι συντελεστές
στην Α.Σ.
Ci
Ci
Ζι προκύπτει από το
άθροισμα των
γινομένων των
συντελεστών των ΒΜ
με τους συντελεστές
των αγνώστων στην
αντίστοιχη στήλη
Οι συντελεστές των αγνώστων στις
εξισώσεις των περιορισμών
80
60
0
0
X
Y
S1
S2
Bi
0
S1
4
2
1
0
600
0
S2
2
2
0
1
480
Zi
0
0
0
0
0
Ci-Zi
80
60
0
0
0
ΔΜΕ
Τεχνική SIMPLEX (3)
Προσδιορίζουμε ποια από τις Βασικές Μεταβλητές θα αντικαταστήσουμε (S1, S2)
με μια από τις Χ, Υ.
2. Διαιρούμε τους Συντελεστές
Bi μα το αντίστοιχο στοιχείο της
οδηγού στήλης. Η γραμμή με το
μικρότερο λόγο καλείται οδηγός
Γραμμή και μας προσδιορίζει
την μεταβλητή που θα
αντικατασταθεί (S1)
1. Βρίσκουμε το μεγαλύτερο θετικό
Ci-Zi. Η Στήλη ονομάζεται οδηγός
στήλη. Η αντίστοιχη μεταβλητή (Χ)
θα αντικαταστήσει μια εκ των Σ1, Σ2
Ci
Ci
80
60
0
0
X
Y
S1
S2
Bi
ΔΜΕ
0
S1
4
2
1
0
600
600/4=150
0
S2
2
2
0
1
480
480/2=240
Zi
0
0
0
0
0
Ci-Zi
80
60
0
0
0
3.Στοιχείο Οδηγός
Τεχνική SIMPLEX (4)
Κατασκευάζουμε τον Νέο Πίνακα SIMPLEX
Ci
Ci
80
60
0
0
X
Y
S1
S2
Bi
ΔΜΕ
0
S1
4
2
1
0
600
600/4=150
0
S2
2
2
0
1
480
480/2=240
Zi
0
0
0
0
0
Ci-Zi
80
60
0
0
0
Διαιρούμε τα στοιχεία της οδηγού γραμμής με το οδηγό στοιχείο
4/4=1, 2/4=1/2, ¼, 0/4=0, 600/4=150 και στις Β.Μ η S1
Αντικαθιστάται από την Χ
Ci
Ci
80
Χ
0
S2
Zi
CiZi
80
60
0
0
X
Y
S1
S2
Bi
1
1/2
1/4
0
150
ΔΜΕ
Τεχνική SIMPLEX (5)
Κατασκευάζουμε τον Νέο Πίνακα SIMPLEX (βήμα 2)
Ci
Ci
80
60
0
0
X
Y
S1
S2
Bi
ΔΜΕ
0
S1
4
2
1
0
600
600/4=150
0
S2
2
2
0
1
480
480/2=240
Zi
0
0
0
0
0
Ci-Zi
80
60
0
0
0
Για τις άλλες γραμμές από το κάθε στοιχείο αφαιρείται το αντίστοιχο
στοιχείο της οδηγού στήλης πολλαπλασιασμένο με τη νέα τιμή του
αντίστοιχου στοιχείου της οδηγού γραμμής. 2-2*1=0, 2-2*1/2=12=1, 0-2*1/4=0-1/2=-1/2, 1-2*0=1, 480-2*150=180
Ci
Ci
80
60
0
0
X
Y
S1
S2
Bi
80
Χ
1
1/2
1/4
0
150
0
S2
0
1
-1/2
1
180
Zi
CiZi
ΔΜΕ
Τεχνική SIMPLEX (6)
Υπολογίσουμε Ζi, Ci-Ζi
Ci
80
60
0
0
X
Y
S1
S2
Bi
Ci
80
Χ
1
1/2
1/4
0
150
0
S2
0
1
-1/2
1
180
ΔΜΕ
Zi
Ci-Zi
Ci
Ci
80
60
0
0
X
Y
S1
S2
Bi
80
Χ
1
1/2
1/4
0
150
0
S2
0
1
-1/2
1
180
Zi
80
40
20
0
Ci-Zi
0
20
-20
0
12000
ΔΜΕ
Υπολογίζουμε Ζι
Σε κάθε στήλη
προσθέτουμε το
γινόμενο των
συντελεστών των
Βασικών Μεταβλητών
με τα αντίστοιχα στοιχεί
της στήλης
80*1+0*0=80,
80*1/2+0*1=40,
80*1/4+0*(-1/2)=20,
80*0+0*1=0
Υπολογίζουμε Ci-Zi
80-80=0,
60-40=20,
0-20=-20,
0-0=0
Υπολογίζουμε Z
Με λύση Υ=0, S2=0,
Χ=150, Σ2=180
Ζ=80*150+60*0=12000
Τεχνική SIMPLEX (7)
Επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία όσο υπάρχει Ci-Ζi>0
Ci
Ci
80
60
0
0
X
Y
S1
S2
Bi
ΔΜΕ
80
Χ
1
1/2
1/4
0
150
150/(1/2)=300
0
S2
0
1
-1/2
1
180
180/1=180
Zi
80
40
20
0
12000
Ci-Zi
0
20
-20
0
1. Βρίσκουμε το μεγαλύτερο θετικό
Ci-Zi. Η Στήλη ονομάζεται οδηγός
στήλη. Η αντίστοιχη μεταβλητή (Υ)
θα αντικαταστήσει μια εκ των Χ, S2
3.Στοιχείο Οδηγός
2. Διαιρούμε τους
Συντελεστές Bi μα το
αντίστοιχο στοιχείο της
οδηγού στήλης. Η
γραμμή με το μικρότερο
λόγο καλείται οδηγός
Γραμμή και μας
προσδιορίζει την
μεταβλητή που θα
αντικατασταθεί (S2)
Τεχνική SIMPLEX (8)
Ci
Ci
80
60
0
0
X
Y
S1
S2
Bi
ΔΜΕ
80
Χ
1
1/2
1/4
0
150
150
0
S2
0
1
-1/2
1
180
180
Zi
80
40
20
0
12000
Ci-Zi
0
20
-20
0
Διαιρούμε τα στοιχεία της οδηγού γραμμής με το οδηγό στοιχείο
0/1=0, 1/1=1, (-1/2)/1=-1/2 1/1=1, 180/1=180 και στις Β.Μ η S2
Αντικαθιστάται από την ψ
Ci
Ci
80
Χ
60
ψ
Zi
CiZ
i
80
60
0
0
X
Y
S1
S2
Bi
0
1
-1/2
1
180
ΔΜΕ
Τεχνική SIMPLEX (9)
Ci
Ci
80
60
0
0
X
Y
S1
S2
Bi
ΔΜΕ
80
Χ
1
1/2
1/4
0
150
150
60
ψ
0
1
-1/2
1
180
180
Zi
80
40
20
0
12000
Ci-Zi
0
20
-20
0
Για τις άλλες γραμμές από το κάθε στοιχείο αφαιρείται το αντίστοιχο στοιχείο
της οδηγού στήλης (1/2) πολλαπλασιασμένο με τη νέα τιμή του αντίστοιχου
στοιχείου της οδηγού γραμμής. 1-1/2*0=1, 1/2-1/2*1=0, 1/4-1/2*(1/2)=1/4+1/4=1/2, 0-1/2*1=-1/2, 150-1/2*180=150-90=60
Ci
Ci
80
60
0
0
X
Y
S1
S2
Bi
80
Χ
1
0
1/2
-1/2
60
60
ψ
0
1
-1/2
1
180
Zi
Ci-Zi
ΔΜΕ
Τεχνική SIMPLEX (10)
Ci
Ci
80
60
0
0
X
Y
S1
S2
Bi
80
Χ
1
0
1/2
-1/2
60
60
ψ
0
1
-1/2
1
180
Zi
80
Ci-Zi
0
60
10
0
1. Υπολογίζουμε Ζι
Σε κάθε στήλη προσθέτουμε το γινόμενο των
συντελεστών των Βασικών Μεταβλητών με τα
αντίστοιχα στοιχεί της στήλης
80*1+0*0=80,
80*0+60*1=60,
80*1/2+60*(-1/2)=10, 80*(-1/2)+60*1=20
-10
20
ΔΜΕ
15600
-20
2.Υπολογίζουμε CiZi
80-80=0,
60-60=0,
0-10=-10,
0-20=-20.
Κανένα Θετικό.
Βέλτιστη Λύση
3. Υπολογίζουμε Z
Με S1=0, S2=0 έχουμε
Χ=60, Y=180
Ζ=80*60+60*180=15600
Γραφική Παρουσίαση της SIMPLEX
Βρίσκεται το
σημείο Β
(0, 300)
Α
Β
Δ
Γ
(150, 0)
Πρώτα
βρίσκεται το
σημείο Γ
(240, 0)
Η SIMPLEX ξεκινά από
την λύση (0,0) και
διαγράφει το πολύγωνο
(πολύεδρο) μέχρι να βρεθεί
η βέλτιστη. Στο
παράδειγμά μας ξεκινά
από το Δ(0,0) – στον
πρώτο κύκλο
προσεγγίζεται το Γ(150,0)
και στον δεύτερο κύκλο το
Β(60, 180) που είναι η
Βέλτιστη λύση
X
Ασκήσεις - Προβλήματα
1. Να λυθεί το Γραμμικό Πρόβλημα.
2. Να λυθεί το Γραμμικό Πρόβλημα.
max z = -2X1 - X2 + X3
max z = 3X1 + X2 -2X3+Χ4
μ.π
μ.π
X1 + X2 + X3 ≤ 3
X2 + Χ3 ≤ 2
X1
+ X3 ≤ 1
X1, X2, X3 ≥ 0
X1 - X2 + X3 + Χ4 ≤ 5
2Χ1+ X2 +2Χ3
≤1
X1 - X2 + X3 + Χ4 ≤ 5
4X1-Χ2+4X3 +2Χ4 ≤ 11
X1, X2, X3, Χ4 ≥ 0
(Με τη μέθοδο SIMPLEX
(Με τη μέθοδο SIMPLEX
Ασκήσεις - Προβλήματα
3. Μια αεροπορική εταιρία έχει δύο τύπους αεροσκαφών, τύπου Α και τύπου Β. Τα
αεροσκάφη τύπου Α έχουν μεταφορική ικανότητα 40 επιβατών και 30 τόνων φορτίου. Τα
αεροσκάφη τύπου Β έχουν μεταφορική ικανότητα 60 επιβατών και 15 τόνων φορτίου. Η
εταιρία μπορεί να αναλάβει την μεταφορά το πολύ 480 επιβατών και 180 τόνων φορτίου κάθε
ημέρα. Αν το συνολικό κέρδος μεταφοράς με αεροσκάφος τύπου Α είναι 500 χρηματικές
μονάδες και με αεροσκάφος τύπου Β είναι 600 χρηματικές μονάδες, ποιος συνδυασμός
αεροσκαφών των δύο τύπων μεγιστοποιεί το κέρδος της εταιρίας;
4. Η εταιρεία DogFood παράγει δυο προϊόντα σκυλοτροφής. Α) Το προϊόν Α είναι ένα μείγμα
από ένα κιλό δημητριακά και 1,5 κιλό κρέας και χρησιμοποιείται συγκεκριμένη μονάδα
συσκευασίας. Το κέρδος για το προϊόν Α είναι 0,56 Ευρώ ανά συσκευασία. Το προϊόν Β είναι
ένα μείγμα από 2 κιλά δημητριακά και 1 κιλό κρέας και το κέρδος ανά συσκευασία είναι 0,42
Ευρώ. Στις αποθήκες της εταιρείας βρίσκονται διαθέσιμα 240.000 κιλά δημητριακά και
180.000 κιλά κρέας για τον επόμενο μήνα. Η δυναμικότητα του εξοπλισμού συσκευασίας
εργοστασίου για το προϊόν Α είναι για 110.000 συσκευασίες το μήνα. Να κατασκευάστε το
γραμμικό μοντέλο έτσι ώστε να μεγιστοποιηθεί το κέρδος της Εταιρείας προσδιορίζοντας τη
ποσότητα που πρέπει να παράγει για κάθε προϊόν η Εταιρεία. Να λύσετε το πρόβλημα
(γραφικά ή αλγεβρικά).
Ασκήσεις - Προβλήματα
5. Μία εταιρία κατασκευάζει τέσσερα προϊόντα (Α,Β,Γ,Δ) χρησιμοποιώντας 2 μηχανές
(Χ και Υ). Ο χρόνος (σε λεπτά) που απαιτείται για την επεξεργασία μιας μονάδας από
κάθε προϊόν σε κάθε μηχανή είναι:
Για το προϊόν Α, 8 λεπτά με τη Χ και 24 με τη Υ,
Για το προϊόν Β, 14 λεπτά με τη Χ και 23 με τη Υ,
Για το προϊόν Γ, 15 λεπτά με τη Χ και 36 με τη Υ και
Για το προϊόν Δ, 10 λεπτά με τη Χ και 27 με τη Υ,
Το κέρδος ανά μονάδα των προϊόντων Α, Β, Γ,Δ είναι αντίστοιχα 30, 42, 60 και 28 €
αντίστοιχα.
Το προϊόν Α πρέπει να παραχθεί χρησιμοποιώντας και τις δύο μηχανές, ενώ τα
προϊόντα Β, Γ και Δ μπορούν να παραχθούν από οποιαδήποτε από τις δύο μηχανές.
Η εταιρία διαθέτει περιορισμένο χώρο για αποθήκευση των προϊόντων. Η παραγωγή
μιας εβδομάδος αποθηκεύεται σε χώρο εμβαδού 50 τ.μ. με τα προϊόντα Α, Β, Γ και Δ να
καταλαμβάνουν ανά μονάδα 0.12, 0.16, 0.4 και 0.08 τ.μ. αντίστοιχα.
Σύμφωνα με τις απαιτήσεις των πελατών της εταιρίας, η εβδομαδιαία παραγωγή του
προϊόντος 2 πρέπει να είναι περίπου διπλάσια της παραγωγής του προϊόντος 3.
Οι μηχανές Χ και Υ βρίσκονται εκτός λειτουργίας (για συντήρηση ή λόγω βλάβης) για το
5% και το 7% του χρόνου λειτουργίας τους αντίστοιχα.
Υποθέτοντας μία εβδομάδα 40 εργασίμων ωρών, η εταιρία ενδιαφέρεται για ένα
πρόγραμμα παραγωγής των τεσσάρων προϊόντων που να μεγιστοποιεί το κέρδος της.
Οικονομική Ερμηνεία του τελικού Πίνακα
SIMPLEX
Παράδειγμα
Αρχικός Πίνακας
Ci
Ci
80
60
0
0
X
Y
S1
S2
Bi
0
S1
4
2
1
0
600
0
S2
2
2
0
1
480
Zi
0
0
0
0
0
Ci-Zi
80
60
0
0
0
ΔΜΕ
Τελικός Πίνακας
Ci
Ci
80
60
0
0
X
Y
S1
S2
Bi
80
Χ
1
0
1/2
-1/2
60
60
ψ
0
1
-1/2
1
180
Zi
80
Ci-Zi
0
60
10
0
-10
20
-20
15600
ΔΜΕ
Οικονομική Ερμηνεία (1)
Ci
Ci
80
60
0
0
X
Y
S1
S2
Bi
80
Χ
1
0
1/2
-1/2
60
60
ψ
0
1
-1/2
1
180
Zi
Ci-Zi
80
0
60
10
0
20
-10
ΔΜΕ
15600
-20
Λύση: Χ=60, Υ=180, S1=0, S2=0:
S1=0, S2=0: Στο Σιδηρουργείο και στο βαφείο θα χρησιμοποιηθούν όλες
οι διαθέσιμες ώρες. Αλλαγή στις διαθέσιμες ώρες στα τμήματα θα
οδηγούσε σε μεταβολή της βέλτιστης λύσης.
Οικονομική Ερμηνεία (2)
Ci
Ci
80
60
0
0
X
Y
S1
S2
Bi
ΔΜΕ
80
Χ
1
0
1/2
-1/2
60
60
ψ
0
1
-1/2
1
180
Zi
80
Ci-Zi
0
60
0
10
-10
20
Συντελεστές
Μετατροπής
15600
-20
Ερμηνεία των συντελεστών Μετατροπής: Για μια αύξηση κατά μια
μονάδας της S1 (μείωση αξιοποιούμενων ωρών στο Σιδηρουργείο) - θα
μειωθεί κατά ½ μονάδα η Χ και θα αυξηθεί κατά ½ η Υ . Με νέους
υπολογισμούς έχουμε τα παρακάτω:
Από
Ώρες Παραγωγής στο Σιδηρουργείο
Παραγωγή σε Πόρτες
Παραγωγή σε Παράθυρα
Κέρδος
Σε
600
599
60
59,5
180
180,5
15600
15590
Το κέρδος θα
μειωθεί κατά 10 €
Οικονομική Ερμηνεία (3)
Ci
Ci
80
60
0
0
X
Y
S1
S2
Bi
ΔΜΕ
80
Χ
1
0
1/2
-1/2
60
60
ψ
0
1
-1/2
1
180
Zi
80
Ci-Zi
0
60
0
10
-10
20
Συντελεστές
Μετατροπής
15600
-20
Ερμηνεία των συντελεστών Μετατροπής: Για μια Μείωση κατά μια
μονάδας της S1 (Αύξηση κατά 1 των αξιοποιούμενων ωρών στο
Σιδηρουργείο) - θα Αυξηθεί κατά ½ μονάδα η Χ και θα μειωθεί κατά ½ η Υ.
Με νέους υπολογισμούς έχουμε τα παρακάτω:
Από
Ώρες Παραγωγής στο Σιδηρουργείο
Παραγωγή σε Πόρτες
Παραγωγή σε Παράθυρα
Κέρδος
Σε
600
601
60
60,5
180
179,5
15600
15610
Το κέρδος θα
Αυξηθεί κατά 10 €
Οικονομική Ερμηνεία (4)
Ci
Ci
80
60
0
0
X
Y
S1
S2
Bi
ΔΜΕ
80
Χ
1
0
1/2
-1/2
60
60
ψ
0
1
-1/2
1
180
Zi
80
Ci-Zi
0
60
0
10
-10
20
Συντελεστές
Μετατροπής
15600
-20
Ερμηνεία των συντελεστών Μετατροπής: Για μια μεταβολή (αύξηση) κατά
μια μονάδας της S2 θα αυξηθεί κατά ½ μονάδες η Χ και θα μειωθεί κατά 1
η Υ και οι αξιοποιούμενες ώρες παραγωγής θα μειωθούν κατά 1 στο
Βαφείο. Με νέους υπολογισμούς έχουμε τα παρακάτω:
Από
Ώρες Παραγωγής στο Βαφείο
Παραγωγή σε Πόρτες
Παραγωγή σε Παράθυρα
Κέρδος
Σε
480
479
60
60,5
180
179
15600
15580
Το κέρδος θα
μειωθεί κατά 20 €
Οικονομική Ερμηνεία (5)
Ci
Ci
80
60
0
0
X
Y
S1
S2
Bi
ΔΜΕ
80
Χ
1
0
1/2
-1/2
60
60
ψ
0
1
-1/2
1
180
Zi
80
Ci-Zi
0
60
0
10
-10
20
Συντελεστές
Μετατροπής
15600
-20
Ερμηνεία των συντελεστών Μετατροπής: Για μια μεταβολή (μείωση) κατά
μια μονάδας της S2 θα μειωθεί κατά ½ μονάδες η Χ και θα αυξηθεί κατά 1
η Υ και οι αξιοποιούμενες ώρες παραγωγής θα αυξηθούν κατά 1 στο
Βαφείο. Με νέους υπολογισμούς έχουμε τα παρακάτω:
Από
Ώρες Παραγωγής στο Βαφείο
Παραγωγή σε Πόρτες
Παραγωγή σε Παράθυρα
Κέρδος
Σε
480
481
60
59,5
180
181
15600
15620
Το κέρδος θα
αυξηθεί κατά 20 €
Συμπεράσματα
• Αλλαγές στους περιορισμούς μπορούν να δώσουν νέες βέλτιστες λύσεις.
• Η Οικονομική Ερμηνεία του τελικού πίνακα βοηθά στην καλύτερη
κατανόηση του προβλήματος και στην άντληση πληροφοριών που βοηθούν
στη λήψη αποφάσεων. Στο παράδειγμά μας
Μια επιπλέον ώρα στο Βαφείο δημιουργεί επιπλέον κέρδος 20 €. Συνεπώς ο
Μηχανικός Παραγωγής θα μπορεί να αύήσει τις ώρες στο Βαφείο, εφόσον
δεν του δημιουργούν επιπρόσθετο κόστος (υπερωρίες) περισσότερο από
20€.
Ασκήσεις - Προβλήματα
6. Να γίνει η οικονομική ερμηνεία του τελικού Πίνακα των προβλημάτων 3
και 4 (προηγούμενη ενότητα)
ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ
Ανάλυση Ευαισθησίας
•
•
•
•
Εκτιμάται το πόσο ευαίσθητη είναι η λύση (βέλτιστη λύση) σε μεταβολές
των τιμών των παραμέτρων του προβλήματος
Στα πραγματικά προβλήματα οι τιμές των παραμέτρων είναι εκτιμήσεις
με περιθώριο λάθους.
Μικρότερη ευαισθησία σημαίνει και μεγαλύτερη σιγουριά για την
βέλτιστη λύση. Το αντίθετο σημαίνει ότι για μικρές μεταβολές στις
παραμέτρους μεταβάλεται και η βέλτιστη λύση.
Η ανάλυση ευαισθησίας γίνεται σε τρεις τομείς:
Συντελεστές Κέρδους
Στις διαθέσιμες ποσότητες των περιορισμών
Στους συντελεστές στις μεταβλητές των παραμέτρων.
Ανάλυση Ευαισθησίας – Συντελεστές Κέρδους (1)
•
Παράδειγμα
Ci
Ci
80
60
0
0
X
Y
S1
S2
Bi
80
Χ
1
0
1/2
-1/2
60
60
ψ
0
1
-1/2
1
180
Zi
Ci-Zi
80
60
0
10
0
20
-10
?
Πόσο μπορεί να
μεταβληθεί
ο Συντελεστής Κέρδους
ώστε να μην μεταβληθεί
η βέλτιστη λύση
15600
-20
Υποθέτουμε ότι αυξάνουμε την τιμή της Πόρτας κατά ρ (80+ρ)
Ci
Ci
80+ρ
60
0
0
X
Y
S1
S2
Bi
80+ρ
Χ
1
0
1/2
-1/2
60
60
ψ
0
1
-1/2
1
180
Zi
80+ρ
Ci-Zi
0
10+1/2ρ
60
0
-10-1/2ρ
20-1/2ρ
-20+1/2ρ
15600+60ρ
Η Λύση (Χ=60, Υ=180)
παραμένει βέλτιστη όσο Ci-Zi≤0
Δηλαδή όταν
-10-1/2ρ ≤ 0 και -20+12ρ ≤ 0.
Λύνοντας τις ανισώσεις
προκύπτει
ρ≥-20 και ρ ≤40 συνεπώς
Η βέλτιστη λύση δεν αλλάζει αν
το κέρδος για τις πόρτες είναι
από 80-20=60 έως 80+40=120
Ανάλυση Ευαισθησίας – Συντελεστές Κέρδους (2)
•
Παράδειγμα
Ci
Ci
80
60
0
0
X
Y
S1
S2
Bi
80
Χ
1
0
1/2
-1/2
60
60
ψ
0
1
-1/2
1
180
Zi
Ci-Zi
80
60
0
10
0
20
-10
?
Πόσο μπορεί να
μεταβληθεί
ο Συντελεστής Κέρδους
ώστε να μην μεταβληθεί
η βέλτιστη λύση
15600
-20
Υποθέτουμε ότι αυξάνουμε την τιμή του παράθυρου κατά ρ (60+ρ)
Ci
Ci
80ρ
60+ρ
0
0
X
Y
S1
S2
Bi
80
Χ
1
0
1/2
-1/2
60
60+ρ
ψ
0
1
-1/2
1
180
60+ρ
10-1/2ρ
Zi
Ci-Zi
80
0
0
-10+1/2ρ
20+ρ
-20-ρ
15600+60ρ
Η Λύση (Χ=60, Υ=180)
παραμένει βέλτιστη όσο CiZi≤0
Δηλαδή όταν
-10+1/2ρ ≤ 0 και -20-ρ ≤ 0.
Λύνοντας τις ανισώσεις
προκύπτει ρ≥-20 και ρ ≤20
συνεπώς
Η βέλτιστη λύση δεν αλλάζει αν
το κέρδος για τα παράθυρα
είναι από 60-20=40 έως
80+20=100
Ανάλυση Ευαισθησίας – Ποσότητες περιορισμών
(1.1)
•
ΑΥΞΗΣΗ των ωρών στο Σιδηρουργείο
Ci
Ci
80
60
0
0
X
Y
S1
S2
Bi
80
Χ
1
0
1/2
-1/2
60
60
ψ
0
1
-1/2
1
180
Zi
Ci-Zi
80
60
0
10
0
20
-10
15600
-20
Από την Οικονομική Ερμηνεία έχουμε
Αύξηση Ωρών Παραγωγής στο Σιδηρουργείο
Από
Ώρες Παραγωγής
στο Σιδηρουργείο
Σε
Μεταβολή
600
601
1
Παραγωγή σε
Πόρτες
60
60,5
0,5
Παραγωγή σε
Παράθυρα
180
179,5
-0,5
15600
15610
10
Κέρδος
Για κάθε μια ώρα παραπάνω
στο Σιδηρουργείο έχουμε
αύξηση στις πόρτες κατά 0,5 και
μείωση στα παράθυρα κατά 0,5.
Τα παράθυρα δεν μπορεί να
είναι <0 συνεπώς
180/(1/2)=360 δηλαδή το
ανώτατο όριο αύξησης των
ωρών στο Σιδηρουργείο είναι
360.
Σκιώδης Τιμή
Ανάλυση Ευαισθησίας – Ποσότητες περιορισμών
(1.2)
•
ΜΕΙΩΣΗ των ωρών στο Σιδηρουργείο
Ci
Ci
80
60
0
0
X
Y
S1
S2
Bi
80
Χ
1
0
1/2
-1/2
60
60
ψ
0
1
-1/2
1
180
Zi
Ci-Zi
80
60
0
10
0
20
-10
15600
-20
Από την Οικονομική Ερμηνεία έχουμε
Μείωση Ωρών Παραγωγής στο Σιδηρουργείο
Από
Ώρες Παραγωγής
στο Σιδηρουργείο
Σε
Μεταβολή
600
599
-1
Παραγωγή σε
Πόρτες
60
59,5
-0,5
Παραγωγή σε
Παράθυρα
180
180,5
0,5
15600
15590
-10
Κέρδος
Για κάθε μια ώρα λιγότερη στο
Σιδηρουργείο έχουμε μείωση
στις πόρτες κατά 0,5.
Οι πόρτες δεν μπορεί να είναι
<0 συνεπώς
60/(1/2)=120 δηλαδή το
ανώτατο όριο μείωσης των
ωρών στο Σιδηρουργείο είναι
120.
Ανάλυση Ευαισθησίας – Ποσότητες περιορισμών 1.3
Επομένως οι ώρες στο Σιδηρουργείο έχουν κατώτερο όριο 600-120=480 και
ανώτερο όριο 600+360=960
Μπορούμε να υπολογίσουμε τη βέλτιστη λύση για συγκεκριμένο αριθμό ωρών
στο Σιδηρουργείο (πχ 720 δηλαδή για 120 παραπάνω ώρες στο
Σιδηρουργείο).
Πόρτες: 60 + 120*(1/2) = 60 + 60=120
Παράθυρα 180+120*(-1/2)=180-60=120
Κέρδος = 120*80+120*60=16800
(Ή βέλτιστη λύση έδινε κέρδος 15600 συνεπώς η διαφορά είναι 1680015600=1200 που αντιστοιχεί στο 120 ώρες Χ 10 € (σκιώδης τιμή) )
ΟΜΟΙΩΣ ΕΡΓΑΖΟΜΑΣΤΕ ΚΑΙ ΓΙΑ ΤΙΣ ΩΡΕΣ ΣΤΟ ΒΑΦΕΙΟ
Ασκήσεις - Προβλήματα
7. Μια εταιρεία παράγει δυο τύπους Η/Υ (desktop και laptop). Το πρόβλημα μίξης παραγωγής
μοντελοποιείται ως ακολύθως:
Μεγιστοποίηση του κέρδους max(9000X+7000C)
Με περιορισμούς
2X+1Y<= 40 (ώρες στο τμήμα συναρμολόγησης)
1X+3C<=40 (ώρες στο τμήμα ελέγχου)
Η Λύση του προβλήματος μας δίνει τον παρακάτω τελικό πίνακα SIMPLEX.
Ερωτήματα
Ci
Ci
Ποια είναι η βέλτιστη λύση του
προβλήματος; Ποιό είναι το κέρδος που
προκύπτει;
900
0
7000
0
0
X
Y
S1
S2
Bi
9000
Χ
1
0
3/5
-1/5
18
7000
ψ
0
1
-1/5
2/5
4
Zi
900
0
7000
Ci-Zi
0
0
4000
-4000
1000
-1000
Είναι περισσότερο κεδροφόρο να
χρησιμοποιηθεί δεύτερη γραμμή
συναρμολόγησης με κόστος 2500 ανά
ώρα;
Είναι περισσότερο κερδοφόρο να
προσληφθεί ένα επιπλέον άτομο στον
έλεγχο με κόστος 1750 την ώρα;
Εξετάστε την ευαισθησία της λύσης σε
διακυμάνσεις των συντελεστών
κέρδους κατά 20%.
Ασκήσεις - Προβλήματα
8. Δίδεται ο παρακάτω τελικός πίνακας SIMPLEX
Ci
Ci
1000
3000
0
0
X
Y
S1
S2
Bi
1000
Χ
1
4
2
0
160
0
ψ
0
6
-7
1
200
Zi
1000
4000
2000
0
1600
Ci-Zi
0
-1000
-2000
0
Ποιες είναι οι τιμές των συντελεστών κέρδους για τις οποίες η βέλτιστη
λύση παραμένει αμετάβλητη;
Πόσο μπορούν να αυξηθούν ή μειωθούν οι αρχικές ποσότητες των
περιορισμών, έτσι ώστε να ισχύει ο παραπάνω τελικός πίνακας SIMPLEX.
Επίλυση με τον SOLVER του EXCEL
Οι άγνωστοι Χ και Υ (C2, C3)
ΑΓΝΩΣΤΟΙ
Πόρτες
χ
Παράθυρα
ψ
Τα Δεδομένα του
Προβλήματος
ΔΕΔΟΜΕΝΑ
ΠΟΡΤΕΣ
ΜΕΓΙΣΤΗ
ΕΒΔΟΜΑΔΙΑΙΑ
ΔΙΑΘΕΣΙΜΟΤΗΤΑ
ΩΡΩΝ
ΠΑΡΑΘΥΡΑ
Ώρες στο Σιδηρουργείο
4
2
600
Ώρες στο Βαφείο
2
2
480
ΚΕΡΔΟΣ/ΠΡΟΪΟΝ
80
60
ΣΥΝΘΗΚΗ 1
0
<=
600
ΣΥΝΘΗΚΗ 2
0
<=
480
ΣΥΝΘΗΚΗ 3
0
>=
0
ΣΥΝΘΗΚΗ 4
0
>=
0
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
0
Οι Συνθήκες, Στο δεξί μέρος
καταχωρούνται οι αλγ.
Παραστάσεις σε συνάρτηση
με τα κελιά =B6*C2+C6*C3,
=B7*C2+C7*C3,
=C2
=C3
Η Αντικειμενική Συνάρτηση
=B8*C2+C8*C3
Επίλυση με τον SOLVER του EXCEL
ΑΓΝΩΣΤΟΙ
Πόρτες
χ
Παράθυρα
ψ
Καλούμε τον solver (Εργαλεία – Επίλυσης.
Καταχωρούμε:
Κελί Προορισμού – Κελί Αντ. Συνάρτησης
ΔΕΔΟΜΕΝΑ
ΠΟΡΤ
ΕΣ
ΠΑΡΑΘ
ΥΡΑ
ΜΕΓΙΣΤΗ
ΕΒΔΟΜΑΔΙΑΙ
Α
ΔΙΑΘΕΣΙΜΟΤ
ΗΤΑ ΩΡΩΝ
Ώρες στο
Σιδηρουργείο
4
2
600
Ώρες στο
Βαφείο
2
2
480
80
60
ΚΕΡΔΟΣ/ΠΡΟΪ
ΟΝ
ΣΥΝΘΗΚΗ 1
0
<=
600
ΣΥΝΘΗΚΗ 2
0
<=
480
ΣΥΝΘΗΚΗ 3
0
>=
0
ΣΥΝΘΗΚΗ 4
0
>=
0
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
0
Επιλέγουμε κατηγορία Προβλήματος: Μέγιστο, Ελάχιστο
Με αλλαγή των Κελιών: Τα κελιά με τους Αγνώστους
Τις Συνθήκες (Περιορισμοί): Διαχείριση με την Προσθήκη,
Αλλαγή, Διαγραφή και εμφάνιση ειδικού διαλόγου
Η Λύση
ΑΓΝΩΣΤΟΙ
Πόρτες
χ
60
Παράθυρα
ψ
180
ΔΕΔΟΜΕΝΑ
ΠΟΡΤΕΣ
ΜΕΓΙΣΤΗ ΕΒΔΟΜΑΔΙΑΙΑ
ΔΙΑΘΕΣΙΜΟΤΗΤΑ ΩΡΩΝ
ΠΑΡΑΘΥΡΑ
Ώρες στο Σιδηρουργείο
4
2
600
Ώρες στο Βαφείο
2
2
480
ΚΕΡΔΟΣ/ΠΡΟΪΟΝ
80
60
ΣΥΝΘΗΚΗ 1
600
<=
600
ΣΥΝΘΗΚΗ 2
480
<=
480
ΣΥΝΘΗΚΗ 3
60
>=
0
ΣΥΝΘΗΚΗ 4
180
>=
0
ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
15.600
Ασκήσεις
9. Να χρησιμοποιήσετε τον SOLVER προκειμένου να λύσετε τις ασκήσεις
1,2,3,4 και 5.
Προβλήματα Ελαχιστοποίησης
Στα προβλήματα αυτά αντικείμενο είναι η ελαχιστοποίηση του κόστους
Τέτοια προβλήματα είναι τα προβλήματα της δίαιτας
Λύνονται με τη μέθοδο SIMPLEX με τις κατάλληλες προσαρμογές ώστε να
καταλήγει σε ελαχιστοποίηση του κόστους.
Παράδειγμα:
Στη διατροφή των ζώων μιας φάρμας θα πρέπει να περιλαμβάνονται 2 θρεπτικά
συστατικά (Α, Β). Στη αγορά υπάρχουν διαθέσιμες τρεις ζωοτροφές (Κ, Λ και
Μ) με κόστος ανά κιλό 2 €, 1,4 και 1,6 €. Η περιεκτικότητα (%) σε θρεπτικά
συστατικά των ζωοτροφών Κ και Λ.
Στη δίαιτα των ζώων θα πρέπει να περιλαμβάνεται στην τροφή τους
τουλάχιστον 25% Α και 30% Β.
Η φάρμα θέλει να προμηθευτεί 1000 κιλά τροφής.
Αντικείμενο είναι η ελαχιστοποίηση του κόστους.
Περιεκτικότητα σε A
Περιεκτικότητα σε B
Ζωοτροφή Κ
30%
30%
Ζωοτροφή Λ
20%
20%
Ζωοτροφή Μ
20%
30%
Μοντελοποίηση του Προβλήματος
Μοντελοποίηση του Προβλήματος
Χ1 Κιλά Ζωοτροφής Κ
Χ2 Κιλά Ζωοτροφής Λ
Χ3 Κιλά Ζωοτροφής Μ
Αντικειμενική Συνάρτηση
Min(2X1 + 1,4*X2 + 1,6Χ3)
Συνθήκες
Τροφή = 1000 δηλαδή
Χ1 + Χ2 + Χ3 = 1000
Θρ.Συστ Α ≥ 25*1000 δηλαδή 0,3Χ1 + 0,2Χ2 + 0,2Χ3 ≥ 250
Θρ.Συστ Β ≥ 30*1000 δηλαδή 0,3Χ1 + 0,2Χ2 + 0,3Χ3 ≥ 300
Χ1, Χ2, Χ3 ≥ 0
Επίλυση με SIMPLEX (1)
1. Εισαγωγή μεταβλητών S1, S2
Min(2X1 + 1,4X2 + 1,6Χ3)
Χ1 + Χ2 + Χ3
= 1000
30Χ1 + 20Χ2 + 20Χ3 - S1 = 25000
30Χ1 + 20Χ2 + 30Χ3 - S2 = 30000
X2, X2, X3, S1, S2 ≥ 0
Διαφοροποίηση
από τα
προβλήματα
μεγιστοποίησης
2. Χρησιμοποιούμε τεχνητές μεταβλητές Α1, Α2, Α3 και έναν πολύ μεγάλο
αριθμό Μ.
Min(2X1 + 1,4X2 + 1,6Χ3 + 0S1 + 0S2+MA1+MA2+MA3)
Χ1 + Χ2 + Χ3
+ Α1
= 1000
30Χ1 + 20Χ2 + 20Χ3 - S1
+ Α2
= 25000
30Χ1 + 20Χ2 + 30Χ3 - S2
+ Α3 = 30000
X2, X2, X3, S1, S2, Α1, Α2, Α3 ≥ 0
Επίλυση με SIMPLEX (2)
Μια προφανής λύση
Χ1=0, Χ2=0, Χ3=0, S1=0, S2=0, A1=1000,
A2= 25000, A3= 30000
Βασικές Μεταβλητές Α1, Α2, Α3
Ο Πίνακας SIMPLEX
Ci
Ακολουθούμε τα ίδια βήματα με το
πρόβλημα μεγιστοποίησης. Η διαφορά
είναι στο ότι οδηγός στήλη επιλέγεται
αυτή με το μικρότερο Ci-Zi, Οδηγός
γραμμή αυτή με το μικρότερο λόγο και
η λύση επιτυγχάνεται όταν Ci-Zi >0.
2
1,4
1,6
0
0
M
M
M
X1
X2
X3
S1
S2
A1
A2
A3
Bi
M
A1
1
1
1
0
0
1
0
0
1000
M
A2
30
20
20
-1
0
0
1
0
25000
M
A3
30
20
30
0
-1
0
0
1
30000
ZI
61M
41M
51M
-M
-M
M
M
M
Ci-Zi
2-61M
1,4-41M
1,6-51M
M
M
-M
-M
-M
Βρίσκουμε το μικρότερο CiZi. Διαφοροποίηση από
πρόβλημα Μεγιστοποίησης
Επίλυση με SIMPLEX (3)
Ci
2
1,4
1,6
0
0
M
M
M
X1
X2
X3
S1
S2
A1
A2
A3
Bi
ΔΜΕ
M
A1
1
1
1
0
0
1
0
0
1000
1000
M
A2
30
20
20
-1
0
0
1
0
25000
833,3333
M
A3
30
20
30
0
-1
0
0
1
30000
1000
ZI
61M
41M
51M
-M
-M
M
M
M
Ci-Zi
2-61M
1,4-41M
1,6-51M
M
M
-M
-M
-M
Βρίσκουμε το μικρότερο CiZi. Οδηγός Στήλη και τη
μεταβλητή (Χ1) που θα
ενταχθεί στις βασικές.
Διαφοροποίηση από
πρόβλημα Μεγιστοποίησης
Βρίσκουμε το μικρότερο
Βι/αντ. Στοιχείο Ο.Δ.. Η
Οδηγός Γραμμή καθορίζει
τη βαδική μεταβλητή που θα
αντικατασταθεί.
Διαφοροποίηση από
πρόβλημα Μεγιστοποίησης
Επίλυση με SIMPLEX (4)
Ci
M
2
M
2
1,4
1,6
0
0
M
M
M
X1
X2
X3
S1
S2
A1
A2
A3
ΔΜΕ
Bi
A1
0
0,333333
0,333333
0,033333
0
1
-0,03
0
166,6667
Χ1
1,00
0,67
0,67
-0,03
0,00
0,00
0,03
0,00
833,33
A3
0
0
10
1
-1
0
-1
1
500
ZI
Ci-Zi
Διαιρούμε τα στοιχεία της οδηγού γραμμής με το οδηγό στοιχείο 30/30=1,
…και στις Β.Μ η Α2 Αντικαθιστάται από την Χ1
Για τις άλλες γραμμές από το κάθε στοιχείο αφαιρείται το αντίστοιχο στοιχείο
της οδηγού στήλης πολλαπλασιασμένο με τη νέα τιμή του αντίστοιχου
στοιχείου της οδηγού γραμμής.
Επίλυση με SIMPLEX (5)
Ci
M
2
M
2
1,4
1,6
0
0
M
M
M
X1
X2
X3
S1
S2
A1
A2
A3
Bi
A1
0
0,3333333
0,333333333
0,033333333
0
1
-0,033333333
0
166,6667
Χ1
1,00
0,67
0,67
-0,03
0,00
0,00
0,03
0,00
833,33
A3
0
0
10
1
-1
0
-1
1
5000
2
1,3333+0,3
33M
10,3333M+1,
3334
1,0333M-0,6
-M
0
0,06670,33
3M
0,266710,334
M
-1,0033m+0,6
m
ZI
Ci-Zi
1,0333M
+0,06
M
0
2,0333M-0,06
M
0
Επίλυση με SIMPLEX (5)
Ci
M
2
M
2
1,4
1,6
0
0
M
M
M
X1
X2
X3
S1
S2
A1
A2
A3
Bi
ΔΜΕ
A1
0
0,3333333
0,333333333
0,033333333
0
1
-0,033333333
0
166,666
7
5000
Χ1
1,00
0,67
0,67
-0,03
0,00
0,00
0,03
0,00
833,33
1250
A3
0
0
10
1
-1
0
-1
1
5000
500
2
1,3333+0,
333
M
10,3333M+1
,3334
0
0,06670,33
3M
0,266710,334
M
ZI
Ci-Zi
1,0333M-0,6
-M
1,0333
M+0,06
M
M
1,0033
m+0,6
m
0
2,0333M0,06
Υπολογίζουμε Zi και Ci-Zi
Βρίσκουμε Οδηγό Στήλη – Οδηγό Γραμμή και Οδηγό Στοιχείο
Στις Βασικές μεταβλητές θα εισαχθεί η Χ3 στη θέση της Α3
Επαναλαμβάνουμε τα βήματα
0
Επίλυση με SIMPLEX (6)
Ci
M
2
1,4
1,6
0
0
M
M
M
X1
X2
X3
S1
S2
A1
A2
A3
ΔΜΕ
Bi
A1
0
0,3333333
0
0
0,033333
1
0
-0,0333333
0
2
Χ1
1,00
0,67
0,00
-0,10
0,07
0,00
0,10
-0,07
500,00
1,6
Χ3
0
0
1
0,1
-0,1
0
-0,1
0,1
500
ZI
Ci-Zi
Υπολογίζουμε Zi και Ci-Zi
Βρίσκουμε Οδηγό Στήλη – Οδηγό Γραμμή και Οδηγό Στοιχείο
Στις Βασικές μεταβλητές θα εισαχθεί η Χ3 στη θέση της Α3
Επαναλαμβάνουμε τα βήματα
Επίλυση με SIMPLEX (6)
Ci
M
2
1,4
1,6
0
0
M
M
M
X1
X2
X3
S1
S2
A1
A2
A3
ΔΜΕ
Bi
A1
0
0,3333333
0
0
0,033333
1
0
-0,0333333
0
0
2
Χ1
1,00
0,67
0,00
-0,10
0,07
0,00
0,10
-0,07
500,00
750
1,6
X3
0
0
1
0,1
-0,1
0
-0,1
0,1
500
ZI
2
0,333M+1,
3334
1,6
-0,04
0,0333M
-0,02
0
0,333M+0,
0667
0
0,04
0,020,033M
Ci-Zi
M
0,04
0
m-0,04
-0,0333M0,14+0,16
0,9666M+0
,03
Υπολογίζουμε Zi και Ci-Zi
Βρίσκουμε Οδηγό Στήλη – Οδηγό Γραμμή και Οδηγό Στοιχείο
Στις Βασικές μεταβλητές θα εισαχθεί η Χ2 στη θέση της Α1
Επαναλαμβάνουμε τα βήματα
Επίλυση με SIMPLEX (6)
Ci
2
1,4
1,6
0
0
M
M
M
X1
X2
X3
S1
S2
A1
A2
A3
ΔΜΕ
Bi
1,4
X2
0
1
0
0
0,1
0
2
Χ1
1,00
0,00
0,00
-0,10
0,00
500,00
1,6
X3
0
-1
1
0,1
-0,1
500
ZI
2
-0,2
1,6
-0,04
-0,02
Ci-Zi
0
1,6
0
0,04
0,02
Τελικός Πίνακας
Χ1=500, Χ2=0, Χ3=500
Ασκήσεις - Προβλήματα
10. Μια εταιρία παρασκευάζει ένα αναψυκτικό με γεύση πορτοκαλί συνδυάζοντας
σόδα πορτοκαλιού και χυμό πορτοκαλιού. Κάθε γραμμάριο σόδας πορτοκαλιού
περιέχει 0,5 mg ζάχαρη και 1 mg βιταμίνης C. Κάθε γραμμάριο χυμού πορτοκαλιού
περιέχει 0,25 mg ζάχαρη και 3 mg βιταμίνης C. To κόστος παραγωγής ενός
γραμμαρίου σόδας πορτοκαλιού είναι 2 € ενώ ενός γραμμαρίου χυμού πορτοκαλιού
είναι 3 €. Το τμήμα μάρκετινγκ της εταιρίας αποφάσισε ότι κάθε μπουκάλι του
αναψυκτικού πρέπει να περιέχει το πολύ 36 mg βιταμίνης C και το πολύ 4 mg
ζάχαρης. Λύστε το πρόβλημα με γραμμικό προγραμματισμό ώστε να
ικανοποιηθούν οι ανάγκες της εταιρίας με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Αν κάθε
μπουκάλι αναψυκτικού περιέχει το πολύ 20 mg βιταμίνης C, πως μεταβάλλονται οι
επιλογές της εταιρίας;
A) Να λυθεί με τη μέθοδο SIMPLEX.
B) Να πραγματοποιήσετε την ανάλυση ευαισθησίας