ULYSSE

De l’art d’enseigner les mathématiques à la didactique et à l’étude des situations

intro2 La didactique des mathématiques 1

Des pratiques anciennes…

Enseigner des techniques

0,5 Million d’années

Mathématiques

6000 Ans

éduquer les enfants

2 à 5millions d’années ?

ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 2

et l’étude de ces pratiques

Didactique

Art d’enseigner tout à tous Comenius 1632

Étude des Mathématiques

Papyrus Rhind - 18 ième siècle Av.JC

L’enseignement, l’apprentissage et l’éducation mathématique 18

ième

-21 ième siècles

Pédagogie

Art d’ éduquer les enfants

ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 3

Au début du 20

ième

siècle, l’éducation n’est toujours pas l’objet d’une Science

Didactique

Art d’enseigner

Mathématiques Philosophie L’enseignement et l’apprentissage L’éducation mathématique Pédagogie

Art d’ éduquer

ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 4

Elle est un champ (scientifique ?) pour les sciences constituées

Mathématiques Didactique

Art d’enseigner

Logique Statistique L’enseignement et l’apprentissage Economie Sociologie Anthropologie L’éducation mathématique Psychologie Neurosciences Médecine Linguistique Pédagogie

Art d’ éduquer

Histoire de l’Éducation ULYSSE Droit, déontologie de l’éducation intro2 La didactique des mathématiques 5

Didactique

Art d’enseigner

Mathématiques Méthodologie Description de méthodes D’enseignement Pédagogie

Art d’ éduquer

Conception Certains proposent de fonder les méthodes d’enseignement sur la connaissance scientifique des processus psychologiques généraux et notamment sur le behaviorisme. Mais en l’absence d’une analyse systématique de stimuli spécifiques, ce domaine ne peut proposer que des prescriptions générales ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 6

Didactique

Art d’enseigner

Mathématiques Epistémologie Méthodologie Description de méthodes D’enseignement Pédagogie

Art d’ éduquer

ULYSSE Conception  De leur côté les mathématiques se développent, mais aussi elles se renouvèlent :  Leur objet, leurs méthodes, leurs fondements, leur structure et la conception de leur mode de fonctionnement et de leur rôle social se modifient profondément…  Leurs rapports avec la avec les autres sciences, avec l’histoire des concepts mathématiques - et donc avec leur l’enseignement - se renouvellent au sein d’un domaine nouveau de la philosophie : l’ logique, épistémologie , la théorie des sciences .

intro2 La didactique des mathématiques 7

Didactique

Art d’enseigner

Méthodologie Description Conception Mathématiques Epistémologie

Confrontation à la contingence ?

Histoire des Maths Limitée à l’étude philosophique fondée sur des évènements historiques passés, donc non reproductibles, par définition, l’épistémologie n’est pas une science expérimentale. Pédagogie

Art d’ éduquer

ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 8

Didactique

Art d’enseigner

Méthodologie Description Conception Pédagogie

Art d’ éduquer Nouveaux résultats Nouvelle organisation

Mathématiques Epistémologie Histoire des Maths L’épistémologie pourrait proposer de nouvelles conceptions et de nouvelles organisations de l’enseignement des mathématiques mais la méthodologie ne peut pas les étudier de façon expérimentale et scientifique ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 9

Didactique

Art d’enseigner Nouveaux résultats Nouvelle organisation

Mathématiques Epistémologie Méthodologie Description Conception Pédagogie

Art d’ éduquer

ULYSSE Histoire des Maths Psychologie cognitive intro2 La didactique des mathématiques Épistémologie génétique De plus, les conceptions pédagogiques et méthodologiques classiques sont l’objet de critiques de la part des sciences psychologiques 10

Didactique

Art d’enseigner

Méthodologie Description Conception

Nouveaux résultats Nouvelle organisation

Mathématiques Epistémologie élargie

Confrontation à la contingence

Histoire des Maths Pédagogie

Art d’ éduquer

ULYSSE Psychologie cognitive Épistémologie génétique Ainsi d’abord prolongée par l’épistémologie génétique l’enfant) puis par la (étude du développement des connaissances chez psychologie génétique et cognitive .

l’épistémologie élargie peut tendre à devenir une science expérimentale. intro2 La didactique des mathématiques 11

 Ainsi, en tant que théorie de la connaissance et de sa genèse, l’épistémologie peut se soumettre à des expériences par l’intermédiaire de la psychologie cognitive et génétique , puis par les neurosciences.

  Or les processus neurologiques ne déterminent pas seuls les phénomènes culturels. Ces sciences ne peuvent donc pas prévoir ou diriger les processus individuels et collectifs de la création d’un concept précis.

D’autre part les apports de ces deux domaines semblent contredire fortement de nombreux principes de la méthodologie classique   Or l’étude de la re-création des connaissances spécifiques au cours de processus didactiques peut fournir à l’épistémologie une confrontation expérimentale plus directe de ses thèses avec la contingence.

Cette étude est à la fois plus visible et plus nécessaire lorsque le développement rapide des mathématiques conduit à essayer de modifier la méthodologie de leur enseignement ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 12

Didactique

Art d’enseigner

Mathématiques Epistémologie élargie Méthodologie Description Conception Pédagogie

Art d’ éduquer

ULYSSE

Confrontation à la contingence ?

L’épistémologie élargie ne peut toujours pas étudier scientifiquement les conditions sociales et culturelles de l’apparition des connaissances spécifiques, ni en concevoir de nouvelles à partir des observations Elle ne peut donc pas être la théorie de la méthodologie intro2 La didactique des mathématiques 13

Pratiques et savoirs didactiques

 Comenius avait énoncé une série de principes et de règles fondamentales pour « enseigner toutes les matières – y compris la morale - avec une méthode unique »avec seulement quelques compléments particuliers. • « Un seul maître suffit à n’importe quel nombre d’élèves, ceux d’une même classe font la même chose simultanément,avec le même livre,… • « Tout ce qui doit être su doit être enseigné, comme actuel et utile, directement et sans détour » • « L’enseignement direct fait voir les causes, il commence par les généralités et va ensuite aux détails. Les connaissances doivent être présentées une à une et une seule à la fois • Il faut insister jusqu’à parfaite compréhension… »  Au début du 20 ième siècle la discussion des principes de l’éducation appartient à la Pédagogie préconisées par les grands éducateurs et/ou pratiquées par les professeurs fait l’objet de la , L’étude des méthodes Méthodologie.

ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 14

Les situations mathématiques

  En comparant la résolution des un rôle essentiel.

problèmes à l’histoire des concepts mathématiques, il apparaît que certaines conditions, qui disparaissent de l’énoncé final, jouent Ces conditions peuvent être considérées comme un milieu dans lequel le sujet poursuit un but. Ce jeu peut être modélisé par une « situation ».   Ainsi chaque concept mathématique peut être associé à des conditions dans lesquelles un être humain est amené à produire, comme réponse, un comportement spécifique témoignant d’une certaine connaissance d’un concept mathématique La notion de « situation » que nous définirons et étudierons d’abord, élargit donc la notion de « problème » et permet d’introduire d’autres paramètres que la validité logique (Ex. : efficacité).

Cf. énoncés  théorèmes  problèmes  situations ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 15

Schéma d’une Situation mathématique

ULYSSE

Figure 1

Invention apprentissage

Connais sances Sujet apprenant Milieu matériel, social etc.

adaptation

intro2 La didactique des mathématiques 16

Connaissances et savoirs mathématiques

    Nos connaissances mathématiques sont le résultat d’activités complexes, individuelles et collectives très diverses. Une partie d’entre elles peut s’exprimer par des termes, des définitions, des théorèmes…, et sont des références culturelles, ce sont les « connaissances - savoir ». Appelons les « savoirs » D’autres interviennent dans les décisions mais elles sont instables, incertaines ou même fausses ou inexprimables, elles naissent et disparaissent selon les circonstances mais elles sont indispensables à la pensée et à l’apprentissage. Appelons les «

connaissances »

Enseigner les mathématiques consiste à enseigner les savoirs

et

l’usage des connaissances . Il n’y a donc pas d’autre moyen que de susciter chez les élèves des activités similaires à celles des mathématiciens qui les produisent. Tout apprentissage est un phénomène épistémologique ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 17

     De façon classique l’activité mathématique est provoquée par des problèmes et des exercices obtenus en transformant le texte de certains théorèmes. Cette méthode présente l’inconvénient d’instaurer l’organisation standard des textes mathématiques comme le modèle de la pensée mathématique naturelle et vivante et ainsi de réduire cette pensée créative à sa fonction de démonstration.

La responsabilité de cette représentation de la pensée mathématique repose entièrement sur le professeur qui est conduit à réprimer tout écart à ce modèle. Les connaissances éventuellement provoquées par le problème doivent être immédiatement traduites en savoirs ou réprimées Toute manifestation d’une

connaissance

qu’il doit réprimer. que le professeur sait être une erreur ou une digression, devient une faute Il en résulte une tension qui est difficile à supporter pour la plupart des élèves et des professeurs . Les connaissances deviennent sulfureuses et l’activité mathématique devient individuelle et solitaire.

ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 18

    Remplacer certains problèmes par des situations déférer une part cette responsabilité à un milieu laisser libre cours à la pensée de l’élève, et de lui en montrer les conséquences, indépendamment du positive. permet de chargé de professeur… qui devient alors disponible pour une attitude Toute la difficulté de l’ingénierie didactique consiste alors à faire que les réactions du milieu soient instructives, c’est-à dire conduisent assez rapidement à résoudre le problème (souvent caché) en comprenant sa résolution. Autrement dit qu’il produise des réactions non seulement correctes mais suggestives et pertinentes, c’est-à-dire spécifiques de la connaissance à produire et adaptées à la démarche de l’élève. Un milieu faiblement significatif, qui se borne par exemple à indiquer « réussite/échec » sans que chaque expérience apporte d’autre information que l’élimination d’une issue possible est un milieu très dispendieux et inefficace La relation didactique peut être modélisée par un système composé d’un élève et d’un milieu dont le professeur n’est qu’une partie. Ce modèle permet de mieux analyser les observations des épisodes de classe ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 19

L’épistémologie expérimentale

 Les situations retiennent des ensembles de conditions cohérents et limités à volonté. Ce qui rend possible leur reproduction et leur analyse à l’aide de leurs effets sur les décisions des élèves. Noter bien qu’il s’agit d’une étude des situations et   non pas d’une étude des élèves . Ainsi les situations permettent, - de reproduire à volonté des phénomènes pour les étudier, ce qui fonde l’

épistémologie expérimentale des mathématiques

- d’éprouver et d’améliorer des dispositifs pour l’enseignement d’une connaissance, ce qui fonde

l’ingénierie didactique

- d’étudier les

dispositifs pour la psychologie

du développement des connaissances des élèves intro2 La didactique des mathématiques ULYSSE 20

Didactique

Art d’enseigner

Méthodologie Description Conception Pédagogie

Art d’ éduquer

ULYSSE Mathématiques Epistémologie Expérimentale

Confrontation à la contingence ?

Étude des Situations

mathématiques

Observation Ingénierie des dispositifs Méthodes d’observation des situations mathématiques intro2 La didactique des mathématiques 21

Les situations didactiques

   Les situations mathématiques sont utilisées pour faire produire et apprendre aux élèves des connaissances mathématiques. Ces connaissances apparaissent comme nécessaires dans un rôle qui leur est spécifique et qui permet à l’élève de les reconnaître, de les comprendre, de les apprendre et de les utiliser.

Aucune intervention extérieure n’est nécessaire pour la construction historique des mathématiques. Elle est lente et aléatoire. Par contre, dans les processus d’apprentissage, l’intervention du professeur et de la société sont indispensables et le sens des mathématiques enseignées peut en être changé. Il faut donc reprendre l’étude des situations mathématiques en considérant chacune comme une partie d’une situation didactique. Celle-ci sera définie comme « un système de conditions qui permet à un professeur et à un groupe d’élèves de s’acculturer à une partie déterminée des mathématiques ». ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 22

ULYSSE

Le « triangle didactique »

Figure 2

Transposition didactique

Système Educatif Savoir scolaire

apprentissage

Elève

communication

intro2 La didactique des mathématiques 23

La situation didactique utilise des situations mathématiques

Figure 3 Système Educatif Savoir scolaire Connais sances

organisation

Ce schéma évite la confusion des fonctions Milieu matériel, social etc.

Elève Sujet apprenant Et l’éviction du milieu

ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 24

      Note sur le milieu, les situations et les problèmes.

La situation est composée de règles (d’un jeu) proposées par le professeur et d’un milieu composé de contingences matérielles et des savoirs de l’élève Le milieu et les règles déterminent ensemble la trouvaille probable de la réponse et de la solution. Mais la validité des « informations » qui apparaissant dans les rapports de l’élève avec le milieu ne sont plus de la responsabilité du professeur. Celui n’étant donc plus obligé de dénoncer et de rectifier immédiatement celles qu’il sait fausses, comme il est obligé de le faire dans le cas de la résolution d’un problème, peut laisser se développer une activité mathématique authentique et apparaît

publique

de la part de l’élève, sans déroger à sa mission de professeur, garant de la vérité de qui Sans reconnaissance du milieu ni utilisation de son rôle, une situation devient un simple problème, c’est-à-dire une reconstitution de texte suivant la logique de l’exposé d’un texte. Ce qui ne simule et ne développe qu’une des composantes de l’activité mathématique et qui en modifie la signification et l’usage ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 25

Didactique

Art d’enseigner

Méthodologie Description Conception

Etudes des situations didactiques en mathématiques

Pédagogie

Art d’ éduquer

ULYSSE Mathématiques Epistémologie Expérimentale

Situations mathématiques

Situations didactiques en mathématiques Observation Ingénierie didactique Méthodes d’observation des situations didactiques intro2 La didactique des mathématiques 26

Didactique

Art d’enseigner

Méthodologie Description Conception

Etudes des situations didactiques en mathématiques

Pédagogie

Art d’ éduquer

ULYSSE Mathématiques Epistémologie Expérimentale

Situations mathématiques

Situations didactiques Observation Ingénierie didactique Méthodes d’observation des situations didactiques Didactique des Mathématiques

Science de l’enseignement des mathématiques

intro2 La didactique des mathématiques 27

ULYSSE

L’étude des situations

Programme du cours

intro2 La didactique des mathématiques 28

1

ère

Partie 2

ème

Partie

Situations mathématiques

Observation Ingénierie mathématique et didactique

Curriculums mathématiques

Observations longitudinales Ingénierie Mathématique et didactique Méthodes d’observation des situations mathématiques Modélisation et Eléments Fondamentaux des situations mathématiques Méthodes d’observation des curriculums didactiques Modélisation et Eléments Fondamentaux des curriculums Méthodologie de l’observation ULYSSE Théorie des situations mathématiques à usages didactiques Méthodologie de la recherche expérimentale intro2 La didactique des mathématiques Théorie des curriculums didactiques en mathématiques 29

3

ème

Partie

Situations didactiques en mathématiques

4

ème

Partie

Macrodidactique des mathématiques

Observation d’épisodes didactiques Ingénierie didactique Observations macrodidactiques Méthodes d’observation des situations didactiques Méthodologie de la recherche expérimentale en didactique ULYSSE Modélisation et Eléments Fondamentaux des situations didactiques Théorie des situations didactiques en mathématiques cadres conceptuels Modélisation des phénomènes systèmes à agents didactiques -Théories behavioristes et économiques -Théories Anthropologiques du Didactique - Ethno mathématiques intro2 La didactique des mathématiques 30

4

ième

Partie

:

Phénomènes de

Macro didactique

    La microdidactique étudie comment les connaissances humaines sont diffusées, reproduites et utilisées par les individus et par les sociétés. En ce sens elle a pu être comparée à la microéconomie. La théorie des situations didactiques appartient à la microdidactique. Elle étudie la relation didactique Par analogie, existe-t-il une Macrodidactique, c’est-à-dire l’étude scientifique de tous les phénomènes en rapport avec la diffusion des connaissances mathématiques dans les différentes sociétés humaines? Dans ce cas, l’ ethnomathématique serait la partie anthropologique de la macrodidactique des mathématiques - - La Théorie Anthropologique du Didactique (Anthropologie des savoirs) fera l’objet d’un chapitre introductif à part  ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques 31

Didactique

Art d’enseigner

Méthodologie Description Conception Microdidactique Mathématiques Epistémologie Expérimentale

Situations mathématiques

Situations didactiques Observation Ingénierie didactique Méthodes d’observation des situations didactiques Macrodidactique Pédagogie

Art d’ éduquer

ULYSSE intro2 La didactique des mathématiques Didactique des Mathématiques

Science

32