Transcript Topicos_Fundamentais_de_Calculo_Proposicional

Tópicos Fundamentais
de
Cálculo Proposicional
Um problema
a resolver com lógica:
No seguimento do assalto a um Banco, as investigações policiais
permitiram a identificação de três indivíduos (o João, o Manuel e
a Ana) como suspeitos e a certeza de que pelo menos um deles é
culpado.
As informações recolhidas durante a investigação policial
levaram ainda às seguintes conclusões: se o Manuel está metido
no assunto, a Ana também está; se o João é culpado e o Manuel
inocente, então a Ana é culpada; o João nunca faz equipa com a
Ana; a Ana não podia fazer isto sozinha.
Quem efetuou o assalto?
Linguagem Natural e Linguagem Formalizada
Linguagem Formalizada
(conjunto de fórmulas bem formadas)
Tradução 1:
Redução das proposições a
símbolos não interpretados
(variáveis proposicionais)
Objeto do Cálculo Proposicional
oProposições
oRelações formais entre
proposições
Tradução 2
Interpretação semântica
das
fórmulas bem formadas
Uma linguagem:
oVariáveis proposicionais
oOperdadoes
Argumentos em
linguagem natural
Uma sintaxe:
oRegras de formação
oRegras de transformação
Proposições
expressas em
linguagem natural ,
empiricamente
contrastáveis
Dois pressupostos do
Cálculo Proposicional
1º Pressuposto:
2º Pressuposto:
As
proposições atómicas
só admitem
dois valores de verdade:
O valor de verdade
das
proposições complexas
depende exclusivamente
do valor de verdade das
proposições atómicas.
O verdadeiro
O Falso
Uma Linguagem Formal
Variáveis proposicionais:
Símbolos (p, q, r, s, …) em vez de proposições
Operadores lógicos:
(ou conetores ou
conetivas ou
operadores
verofuncionais)
Operador unário:
Negação ( ou )
Operadores binários: Conjunção (  )
Separadores:
Sinais de pontuação : (…), [(…]], {[(…)]}
Disjunção
()
Implicação ( )
Equivalência ( )
Regras de Formação
e
Expressões Bem Formadas (ebf)
Qualquer variável proposicional é uma ebf.
p, q, r são ebf.
Se p, q, r são ebf, então:
então p, q, r são ebf.
Se p, q, r são ebf, então:
P q é uma ebf
P q é uma ebf
p  q é uma ebf
p  q é uma ebf.
Das linguagens naturais
à
linguagem do Cálculo Proposicional
As
proposições simples
(atómicas):
 expressas a través
de frases declarativas simples;
 são substituídas por
símbolos (variáveis
proposicionais).
As
proposições complexas
(moleculares),
 relacionam logicamente proposições simples,
são representadas:
 pelos simbolos (variáveis
proposicionais) que representam as proposições
simples;
 e pelos operadores lógicos
que representam as relações formais entre as variáveis proposicionais.
Das linguagens naturais
à
linguagem do Cálculo Proposicional
Proposições simples
(atómicas)
Descartes é francês ( p )
Kant é alemão ( q )
Proposições complexas
(moleculares)
Descartes é francês e Kant é alemão
Descartes é francês ou Kant é alemão
Se Descartes é francês, então Kant é alemão
pq
pq
pq
Operações lógicas e tabelas de verdade
Uma variável proposicional simboliza uma proposição.
Se uma proposição é verdadeira ou falsa, o mesmo não se pode dizer de uma variável proposicional.
Mas as variáveis proposicionais, em lógica bivalente, podem
assumir um de dois valores de verdade, distribuídos numa tabela de verdade: Verdadeiro (V) ou Falso (F).
Uma tabela de verdade regista todos os valores de verdade
que uma variável ou uma expressão proposicional pode assumir
Assim, as variáveis proposicionais p e q atrás referidas têm as
seguintes tabelas de verdade.
p
V
F
q
V
F
Operações lógicas e tabelas de verdade
Operador Negação
Notação Formalização
 ou 
p
p
Tradução
Exemplos
Não p
Negação de p
É falso que p
Não é verdade que p
Não é o caso que p
Descartes não é alemão
É falso que Descartes seja alemão.
Não é verdade que Descartes seja
alemão.
Não é o caso que Descartes seja
alemão
Tabela de verdade da negação
p
p
V
F
F
V
Operações lógicas e tabelas de verdade
Operador Conjunção
Notação Formalização

pq
Tradução
Exemplos
peq
Descartes é francês e Kant é
alemão.
Descartes é francês, mas Kant é
alemão.
Tabela de verdade da conjunção
p, q
pq
V, V
V
V, F
F
F, V
F
F, V
F
A conjunção só é verdadeira na circunstância em que as as duas conjuntas são
verdadeiras. Em todas as outras circunstâncias a conjunção é falsa.
Operações lógicas e tabelas de verdade
Operador Disjunção
Notação Formalização

p  q
Tradução
Exemplos
p ou q
Descartes é francês ou Kant é
alemão.
Tabela de verdade da disjunção
p, q
pq
V, V
V
V, F
V
F, V
V
F, V
F
A disjunção só é falsa na circunstância em que as duas disjuntas são falsas. Em
todas as outras circunstâncias a disjunção é verdadeira.
A verdade da disjunção apenas nos compromete com a verdade de uma das
disjuntas.
Operações lógicas e tabelas de verdade
Operador Condicional ou Implicação Material
Notação Formalização

pq
Tradução
Exemplos
Se p então q
Se Descartes é francês então Kant
é alemão.
Descartes é francês, a não ser que
Kant seja alemão.
Tabela de verdade da implicação
p, q
pq
V, V
V
V, F
F
F, V
V
F, V
V
A condicional só é falsa na circunstância em que a antecedente é verdadeira e
a consequente falsa. Em todas as outras circunstâncias a condicional é
verdadeira. Assim, qualquer condicional como uma antecedente falsa é
verdadeira.
Operações lógicas e tabelas de verdade
Operador Bicondicional ou Equivalência
Notação Formalização

P q
Tradução
Exemplos
p se e só se q
Descartes não é francês e Kant é
alemão.
Descartes é francês, mas Kant é
alemão.
Tabela de verdade da Equivalência
p, q
p q
V, V
V
V, F
F
F, V
F
F, F
V
A bicondicional é verdadeira na circunstância em que as variáveis
proposicioanis são ambas verdadeiras ou são ambas falsas. Em qualquer outra
circunstância é falsa.
Tabelas de verdade de proposições complexas
A noção de âmbito de uma conetiva:
O âmbito de uma conetiva é o conjunto das variáveis proposicionais que por ela são afetadas.
O uso de parêntesis (quais sinais de pontuação) ajuda a delimitar o âmbito de uma conetiva.
Exemplos:
P
pq
pq
pq
p  q
p  q
p  q
p  q
(pq)
(p q)
p  (q  p)
p v [q  (p  q)]
pq
Exercícios com tabelas de verdade
Construa a tabela de verdade das seguintes proposições
complexas.
pq
pq
(pq)
(pq)
(pq)
Exercícios com tabelas de verdade
Construa a tabela de verdade das seguintes proposições
complexas.
(pq)r
p(qr)
q(pr)
[(qr)(pr)](rp)
[(pq)r](rp)
Formalização de Proposições Complexas
Converta para linguagem do cálculo proposicional:
1) Se a caixa é amarela, então a bola não é verde.
2) Se eu sou jogador, então a bola não é verde
3) A caixa não é amarela ou a bola não é verde
4) A bola é verde, se e só se a caixa é amarela
5) Os aventureiros são destemidos e heróis. Os cobardes ficam
em casa.
Formalização de Proposições Complexas
Converta para linguagem do cálculo proposicional:
1) Se está sol e a leitura é agradável, então estudo.
2) Se Deus é omnipotente, o mundo é perfeito. Se o mundo é
perfeito, o homem não sofre. Assim, se Deus é omnipotente, o
homem não sofre.
3) Se os homens são racionais, têm consciência do que fazem. Os
doentes mentais não têm consciência do que fazem. É claro
que os doentes mentais não são racionais.
4) A inteligência é fundamental, a não ser que as emoções e a
sensibilidade sejam controláveis. Mas as emoções e a
sensibilidade não são controláveis. Por conseguinte, a
inteligência é fundamental.
Tautologias, Contradições, Contingências
Construa as tabelas de verdade das seguintes proposições
complexas:
(pq)(qp)
(pq)r
(pq)(pq)
Tautologias, Contradições, Contingências
Tautologia : é uma fórmula proposicional que é sempre verdadeira, qualquer
que seja o valor de verdade dos enunciados que a compõem.
• A sua verdade depende apenas da sua estrutura lógica, independentemente do valor de verdade das proposições atómicas que
as constituem.
• O seu valor de verdade não depende da experiência empírica
que temos do mundo. Tais fórmulas lógicas são válidas em todos os mundos possíveis.
Contradição: é uma fórmula proposicional que é sempre falsa, seja qual for o
valor lógico das proposições elementares que a constituem.
A contradição é necessariamente falsa, não por razões empíricas,
mas apenas pela sua estrutura lógica.
Contingentes (indeterminadas): são fórmulas proposicionais que podem ser
verdadeiras ou falsas, em função do valor de verdade das
proposições atómicas que as constituem.
Só o recurso ao domínio empírico pode decidir do respetivo valor
de verdade.
Tautologias, Contradições, Contingências
Para cada uma das expressões proposicionais
seguintes, verifique se é uma tautologia, uma
contradição ou uma contingência.
(pq)(pq)
(pq)q
[(pq)q]p
(pq)(pq)
Análise de Proposições Complexas e Avaliação de Argumentos
O método dos Inspetores de Circunstâncias
Até
agora
trabalhamos
com
fórmulas
proposicionais, sem ter em conta se se trata ou não
de argumentos.
Há fórmulas proposicionais que são
argumentos.
Há fórmulas proposicionais que não são
argumentos
Um argumento é uma sequência de proposições
ordenadas de tal forma que uma delas é a
conclusão e a(s) outra(s) é (são) as premissas.
Análise de Proposições Complexas e Avaliação de Argumentos
O método dos Inspetores de Circunstâncias
Há
Há
argumentos
argumentos
dedutivos e
válidos e
argumentos
argumentos
A Lógica Formal
não dedutivos
não válidos
considera apenas
os argumentos
dedutivos
Um argumento dedutivo válido que parte de premissas
verdadeiras conduz a uma conclusão verdadeira:
Num argumento dedutivo válido, as premissas implicam a
conclusão.
As premissas implicam a conclusão se for impossível que,
sendo as premissas verdadeiras, a conclusão seja falsa.
Análise de Proposições Complexas e Avaliação de Argumentos
O método do Inspetor de Circunstâncias
Uma vez que as condições de verdade das conetivas se
podem representar em tabelas de verdade, podemos
também usar sequências de tabelas de verdade para testar a
validade de argumentos baseados nas conectivas.
 O método das tabelas de verdade serve para determinar o
valor de verdade de proposições atómicas ou moleculares.
 O método do inspetor de circunstâncias serve para testar a
validade dos argumentos.
 Um argumento não tem valores de verdade, é válido ou não
válido.
O método do inspetor de circunstâncias consiste em
apresentar, lado a lado, as tabelas das premissas e da conclusão
e verificar se há ou não um caso em que, sendo as premissas
verdadeiras, a conclusão seja falsa
Análise de Proposições Complexas e Avaliação de Argumentos
O método do Inspetor de Circunstâncias
Exemplo 1:
Dicionário:
O João copiou ou o João estudou
Ora o João não copiou
Logo, o João estudou
p: O João copiou
q: O João estudou.
Simbolicamente:
pq
p
q
Mas o argumento também pode ser representado assim: “pq, ~p ╞ q”.
As premissas estão separadas por vírgulas e o símbolo “╞”, chamado
“martelo semântico” e que se lê “logo”, precede a conclusão, separando-a
das premissas.
O argumento pode ainda ser representado por uma sequência de tabelas de
verdade, como abaixo
p, q
pq
p
V, V
V
F
V
V, F
V
F
F
F, V
V
V
V
F, F
F
V
F
╞
q
Análise de Proposições Complexas e Avaliação de Argumentos
O método do Inspetor de Circunstâncias
O dispositivo gráfico (o inspetor de circunstâncias) mostra todas as
circunstâncias (linhas) possíveis para a combinação dos valores de verdade
de p e de q (1ª coluna), bem como os valores de verdade que, nessas
circunstâncias, são assumidos por cada uma das premissas e pela conclusão.
p, q
pq
p
V, V
V
F
V
V, F
V
F
F
F, V
V
V
V
F, F
F
V
F
╞
q
Observando o inspetor de circunstâncias, verifica-se que:
 Consideradas todas as linhas, não acontece que a premissas verdadeiras se suceda uma conclusão falsa.
 Como o inspetor esgota as circunstâncias (linhas) possíveis, prova-se
que é impossível que a premissas verdadeiras se suceda uma conclusão falsa.
 Assim, o argumento é válido.
Análise de Proposições Complexas e Avaliação de Argumentos
O método do Inspetor de Circunstâncias
Dicionário:
Exemplo 2:
Simbolicamente:
p: Sócrates é romano
pq
q: Sócrates é grego.
p
Mas o argumento também pode ser representado assim: “pq╞ p”.
Sócrates é romano ou grego.
Logo, é romano
O argumento pode ainda ser representado por uma sequência de tabelas de
verdade, como abaixo
p, q
p
╞
pq
V, V
V
V
V, F
V
V
F, V
V
F
F, F
F
F
O argumento é inválido:
Numa das circunstâncias em que a premissa é verdadeira, a conclusão é
falsa.
Neste argumento, a conclusão pode ser falsa, ainda que a premissa seja
verdadeira – precisamente o que não pode acontecer num argumento válido.
Análise de Proposições Complexas e Avaliação de Argumentos
O método do Inspetor de Circunstâncias
Notas complementares:
1.Pode parecer que o argumento é válido nas duas primeiras
circunstâncias (duas primeiras linhas) e inválido na terceira.
Mas tenha-se em conta o seguinte:
Não se pode dar o caso de um argumento ser válido uma
vezes e não válido outras vezes.
Um argumento ou é válido ou não é válido.
2.Um argumento válido é aquele em que, em todas as circunstâncias (linhas) em que as premissas sejam verdadeiras, a conclusão também o seja.
Análise de Proposições Complexas e Avaliação de Argumentos
O método do Inspetor de Circunstâncias
Notas complementares – (Cont.):
3.Importa não esquecer estes dois pontos sobre o argumento
válido:
• Se tem premissas verdadeiras, não pode ter conclusão
falsa;
• Se tem conclusão falsa, então pelo menos uma das
premissas é falsa.
4.Um argumento válido que parte de premissas verdadeiras
leva necessariamente a uma conclusão verdadeira.
5.Um argumento que respeite as duas condições para garantir a
verdade da conclusão — a de ser válido e a de ter premissas
verdadeiras — cumpre o objetivo de todo o argumento
dedutivo e chamamos-lhe argumento sólido.
Análise de Proposições Complexas e Avaliação de Argumentos
O método do Inspetor de Circunstâncias
Argumento Válido vs Argumento Sólido
Para:
p –as baleias são peixes;
q – as baleias são insetos
Exemplo 3:
As baleias são peixes ou as baleias são insetos
Ora, as baleias não são insetos.
Logo, as baleias são peixes.
p  q, q ╞ p
p, q
pq
q
V, V
V
F
V
V, F
V
V
V
F, V
V
F
F
F, F
F
V
F
╞
p
 O argumento é válido – em nenhuma circunstância se verifica que a premis-
sas verdadeiras se suceda uma conclusão falsa (tem a mesma forma do argumento do exemplo 1).
 Mas, em vez de ser sólido, este é um argumento muito mau: a primeira premissa é uma falsidade grosseira, como o é também a conclusão.
Análise de Proposições Complexas e Avaliação de Argumentos
O método do Inspetor de Circunstâncias
Exemplo 4:
Se a baleia é um mamífero, então a baleia não é
um inseto.
Ora, a baleia não é um inseto.
Logo, a baleia é um mamífero
Para:
p – A baleia é um mamífero
q – A baleia é um inseto
pq, q ╞ p
p, q
pq
q
V, V
F
F
V
V, F
V
V
V
F, V
V
F
F
F, F
V
V
F
╞
p
Neste argumento, como se sabe, tanto as premissas como a conclusão são verdadeiras.
Mas o argumento não é válido – na quarta linha, as premissas são verdadeiras e a
conclusão é falsa.
Não sendo o argumento válido, obviamente também não é sólido – o facto de a
conclusão ser verdadeira é irrelevante – o inspetor prova que tal acontece por
acaso, não por a conclusão ser implicada pelas premissas.
Formas de Inferência Válidas
Recapitulando 1:
As fórmulas proposicionais, considerando os seus possíveis valores de
verdade, podem ser:
Analíticas
Tautologias
Contradições
Sintáticas
Contingentes
Tautologias
Contradições
Contingentes
São leis lógicas (assumem sempre o valor de
verdade
“verdadeiro”,
para todos os valores de
verdade que as vari-áveis
proposicionais
nelas
contidas possam assumir.
São impossibilidades lógicas
(necessariamente
falsas, pela sua estrutura
formal, para todos os valores de verdade que as
variáveis
proposicionais
nelas contidas possam
assumir).
O valor de verdade das expressões contingentes só
pode ser decidido por recurso à tradução das suas
variáveis proposicionais em
proposições empiricamente
significantes.
Formas de Inferência Válidas
Recapitulando 2:
Por inferência entende-se o processo pelo qual, partindo de
certas proposições dadas (premissas), se obtém, por dedução,
outra proposição (conclusão).
O que sustenta a conclusão
O valor de verdade das
premissas
+
A validade do processo
de passagem das
premissas à conclusão
Se as premissas forem verdadeiras e se a derivação lógica
(dedução) for válida, a conclusão é necessariamente verdadeira
Formas de Inferência Válidas
Assim:
O processo dedutivo (de caráter puramente lógico, formal)
assenta apenas em bases lógicas.
A passagem das premissas à conclusão assenta apenas em regras
lógicas (tautologias) que lhe servem de garantia formal.
As tautologias funcionam como fórmulas intermediárias cuja função é
estabelecer uma relação lógica entre as premissas e a conclusão.
As tautologias apresentam-se assim como regras de derivação
(regras de transformação)que permitem substituir umas
proposições (premissas) por outras que lhes são equivalentes.
Formas de Inferência Válidas
Algumas regras de inferência:
O modus ponens (de ponere = afirmar):
Dada uma condicional, afirmar o antecedente implica afirmar o
consequente).
[( p → q )  p ] → q
Dada a afirmação (p →q), a afirmação da verdade de p implica a
afirmação da verdade de q.
Modus Tollens (de tollere - negar)
Dada uma condicional, negar o consequente implica negar o antecedente.
[( p → q ) q] →  p
Dada a afirmação ( p → q ), a negação da verdade de q implica a negação
da verdade de p.
Formas de Inferência Válidas
Mais regras de inferência:
Contraposição (do condicional):
(p→q) ↔ (q→p)
Silogismo hipotético (ou da transitividade do condicional):
[(p→q)  (q→r)]→ (p→r)
Silogismo disjuntivo (ou da inferência da alternativa):
[(pq)q]→p
As Leis de Morgan:
Negação da conjunção:
(p  p) ↔(p  q) (primeira lei de Morgan)
Negação da disjunção:
(pp) ↔(pq) (segunda lei de Morgan).
Falácias Formais
A lógica trata da análise da estrutura formal do raciocínio,
tendo em vista determinar a sua correção (formal).
Mas... determinar a correção do raciocínio é
também determinar em que condições um raciocínio é incorreto.
Nem sempre a correção (ou incorreção) de um raciocínio se
nota imediatamente.
Acontece mesmo, por vezes, que o raciocínio
incorreto (que contém em si um erro lógico) se
apresente aparentemente como verdadeiro.
Falácias Formais
Uma falácia é um raciocínio incorreto (ainda que
aparentemente possa parecer correto).
Uma falácia é um erro de raciocínio (um erro
lógico).
A falácia manifesta-se como:
uma verdade aparente que dá ao raciocínio uma
força persuasiva injustificada.
um erro oculto (uma infração das regras do
pensamento correto) – porque admite premissas
falsas ou porque delas extrai conclusões ilegítimas.
Falácias Formais
Tipos de Falácias:
Antes de mais uma falácia pode ser:
• involuntária (um erro lógico não intencional) e
chama-se paralogismo
• ou voluntária (um erro lógico intencional, visando
enganar o interlocutor) e chama-se sofisma.
Além disso, as falácias podem ser:
• formais (do domínio lógico-dedutivo);
• informais (delas trataremos noutro capítulo)
Falácias Formais
Falácias Dedutivas (Falácias Formais)
A dedução é uma operação que se funda
exclusivamente em regras formais de inferência.
Dada a verdade das premissas e respeitadas
as regras formais de inferência, a conclusão é
necessariamente verdadeira.
Viu-se que, em termos de cálculo proposicional,
uma inferência só é válida se é uma tautologia.
Um raciocínio válido pode sempre ser
reduzido a uma tautologia.
Sermpre que há violação de uma regra de
infer~encia dedutiva
Falácias Formais
Sempre que há violação de uma regra de inferência
dedutiva, há uma falácia formal.
A um argumento válido pode sempre estar associada uma
falácia (por violação das regras de inferência válida.
Exemplos de argumentos dedutivos válidos e respe-tivas
falácias formais:
Argumento válido
Falácia
Modus ponens:
Afirmando o antecedente, afirma-se o
consequente
Falácia do modus ponens:
Afirmando o consequente, afirma-se o
antecedente
[( p → q )  p ] → q
[( p → q )  q ] → p
Modus tollens:
Negando o consequente, nega-se o
antecedente
Falácia do modus tollens
Negando o antecedente, nega-se o
consequente
[( p → q ) q] →  p
[( p → q ) p] →  q