Transcript LÓGICA MATEMÁTICA E FUNDAMENTAL

APRESENTAÇÃO DA DISCIPLINA
Profa.: Ana Florência
[email protected]
Apresentação
 Prof. Ana Florência Chagas Mota
 Formado em Sistemas de Informação – UFPI
 Especialista em Redes e Segurança de Sistemas- INTA
 Mestrando em Ciência da Computação – UFMA
 Linha de Pesquisa:




Computação Gráfica
Processamento de Imagens
Redes de Computadores
etc
 E-mail: [email protected]
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Objetivos
 Geral
 Desenvolver o raciocínio lógico-matemático, utilizando
a lógica como recurso para o desenvolvimento de
habilidades em informática, em particular, programação
estruturada e análise de algoritmos;
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Objetivos
 Específicos
 1. Conhecer os mecanismos lógicos necessários para
realizar um processo dedutivo;
 2. Conhecer os procedimentos, conceitos, descrições e
representações lógicas do conhecimento humano;
 3. Familiarizar-se com a inferência lógica e reconhecer
como esta pode ser usada em informática e em outras
ciências.
 4. Utilizar as estruturas Lógicas de Decisão na
construção de Algoritmos e sistemas computacionais.
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Conteúdo Programático
 MÓDULO I – Lógica Proposicional- 30 h
1. Proposições e Conectivos;
2. Conectivos: Negação, Conjunção, Disjunção,
Condicional e Bicondicional;
3. Construção da tabela verdade de uma
proposição composta e
4. Tautologia, Contradição e Contingência.
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 MÓDULO II – Lógica de Predicados - 30h
1. Sentenças Abertas e Quantificadores
2. Quantificadores Universal e Existencial;
3. Interpretação, valor lógico de uma proposição com
Quantificador;
4. Negação de proposições com Quantificadores
universal e existencial;
5. Implicação e equivalência entre proposições
Quantificadas;
6. Definição de argumento: premissa e conclusão;
7. Validade de um argumento;
8. Axiomas, Regras de Inferência e Teoremas: prova
formal de validade
9. Teoremas e argumentos válidos.
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 MÓDULO III – Lógica Digital - 20h
1. Conectivos Lógicos e Portas Lógicas;
2. Circuitos Sequenciais
3. Circuitos Combinacionais;
4. Confecção de Circuitos Lógicos Digitais;
5. Expressões Booleanas;
6. Funções Booleanas;
7. Circuitos e Expressões;
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Ementa
 Sentido
Lógico-matemático
convencional
dos
conectivos. Argumentos. Regras de formação de
fórmulas. Sistemas dedutivos. Lógica Sentencial.
 Decidibilidade da Lógica Sentencial. A Lógica de
Predicados de primeira ordem. Valores-verdade.
Funções de Avaliação.
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Bibliografia Básica
 ALENCAR FILHO, Edgard de. Iniciação à lógica
matemática. São Paulo: Nobel, 1975.
 DAGLIAN, Jacob. Lógica e álgebra de Boole. 4ed, São
Paulo: Atlas, 1995.
 GERSTING, Judith L. Fundamentos matemáticos para
a ciência da computação. 4ed, Rio de Janeiro: LTC,
2001.
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Bibliografia Complementar
 LIMA, Elon Lages et al. A matemática do ensino
médio. vol 1 e 2, Rio de Janeiro: SBM, 1996.
 IEZZI, Gelson et al. Fundamentos de matemática
elementar. vol 1 e 5, Rio de Janeiro: Atual, 1993.
 PAIVA, Manoel. Matemática II. São Paulo: Moderna,
2000.
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Aulas
 Quarta- feira: 19:00 – 20:40h
 Quinta- feira: 19:00 – 20:40h
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Notas
 P1 = prova 1;
 C= case;
 P2= prova 2.
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LÓGICA MATEMÁTICA E
COMPUTACIONAL
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O que é lógica
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Lógica é:
 é o estudo sobre a natureza do raciocínio e do
conhecimento.
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Usada:
 para formalizar e justificar os elementos do raciocínio
empregados nas demonstrações / provas de teoremas.
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Baseada:
 em um mundo bivalente ou binário (visão restrita do
mundo real), onde os conhecimentos são
representados por sentenças que só podem assumir
dois valores verdade (verdadeiro ou falso).
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Lógica Proposicional
 a forma mais simples de lógica. Nela os fatos do
mundo real são representados por sentenças sem
argumentos, chamadas de proposições.
 Exemplo:
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Definição (proposição)
 uma proposição é uma sentença, de qualquer natureza,
que pode ser qualificada de verdadeiro ou falso.
 Exemplo:
1 + 1 = 2 é uma proposição verdadeira da aritmética.
0 > 1 é uma proposição falsa da aritmética.
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Observação!
 Se não é possível definir a interpretação (verdadeiro ou
falso) da sentença, esta não é uma proposição. Alguns
exemplos deste tipo de sentença são apresentados
abaixo:
 Frases Interrogativas (ex: Qual o seu nome?).
 Frases Imperativas (ex: Preste atenção!).
 Paradoxos Lógicos (ex: Esta frase é falsa).
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Exercício 1
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Lógica e Informática
 Na computação, a lógica pode ser utilizada, entre
outras coisas, para:
 Conceber circuitos lógicos (o raciocínio do computador
é um raciocínio lógico);
 Representar conhecimento (programação lógica);
 Validar algoritmos e corrigir programas (testes lógicos
das especificações em engenharia de software).
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SINTAXE
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Linguagem e alfabeto
O conjunto de fórmulas da lógica
denominado L∅ (lógica de ordem ∅).
proposicional
é
Cada fórmula deste conjunto é uma proposição gerada pela
concatenação de símbolos pertencentes ao alfabeto da lógica
proposicional, definido inicialmente.
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Este alfabeto é infinito, constituído por:
- Símbolos verdade: true e false;
- Símbolos proposicionais: P, Q, R, S, P1, P2, P3, etc;
- Conectivos proposicionais: ¬ (não), ∨ (ou inclusivo), ∧
(e), → (implica ou “se, então”) e ↔ (equivalência, biimplicação ou “se e somente se”); e
- Símbolos de pontuação: ( e ).
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Regras
As fórmulas proposicionais são construídas, a partir do
alfabeto proposicional, de acordo com as seguintes regras:
1. Todo símbolo verdade é uma fórmula;
2. Todo símbolo proposicional é uma fórmula;
3. Se P é uma fórmula, então a sua negação (¬P) também é
uma fórmula;
4. Se P e Q são fórmulas, então:
4.1. A disjunção de P e Q (P ∨ Q) também é uma fórmula;
4.2. A conjunção de P e Q (P ∧ Q) também é uma fórmula;
4.3. A implicação de P em Q (P → Q) também é uma
fórmula;
4.4. A bi-implicação de P e Q (P ↔ Q) também é uma
fórmula;
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Exemplos de Fórmulas Válidas
(P ∨ Q) ( (¬R) → X) ( (P ↔ (¬Y) ) ∨ (Q → (R ∧ V) ) )
As construções acima são fórmulas proposicionais, pois podem ser
derivadas a partir da aplicação das regras de construção descritas.
Exemplos de Fórmulas Inválidas
PQR (R True →) ( False ∨∧ (↔ Q P) )
As construções acima não constituem fórmulas proposicionais, pois não
é possível derivá-las a partir das regras descritas.
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Exercício 2
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Precedência dos conectivos
Os símbolos de pontuação (parênteses), assim como na
aritmética, são empregados para priorizar um “cálculo
proposicional”. Esses símbolos podem ser omitidos quando
isto não altera o significado da fórmula proposicional.
Ex: ((¬(¬P)) → Q) ≡ ¬¬P → Q
OBS: A fórmula ¬(X ∧ Y) não pode ser escrita sem parênteses:
¬(X ∧ Y) ≠ ¬X ∧ Y.
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Se em uma fórmula, os parênteses não são usados, o cálculo
proposicional deve seguir a seguinte ordem de prioridade:
¬
→e↔
∨e∧
Ex:
(maior precedência)
(menor precedência)
(precedência intermediária)
P ∨ Q → R ≡ (P ∨ Q) → R
¬P ∧ Q ↔ R ≡
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Exercício 3
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Exercício de Fixação
32
Obrigada!
Por hoje é só!!!
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Aula 1
01/08/2013
Proposições e Operadores Lógicas
Construção de Tabelas – Verdade para Fórmulas
Tautologias
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Comprimento de Fórmula
O comprimento de uma fórmula proposicional H, denotado COMP[H], é
definido como segue:
-Se H é um símbolo verdade ou proposicional, então COMP[H] = 1;
-Se ¬H é uma fórmula proposicional, então COMP[¬H] = COMP[H] + 1;
- Se (P v Q) é uma fórmula proposicional, sendo v um dos conectivos
binários, então COMP[P v Q] = COMP[P] + COMP[Q] + 1.
Ex: COMP[ (P ∧ Q) ↔ R ]
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Subfórmulas
O conjunto formado pelas subfórmulas de uma fórmula
proposicional contém todos os pedaços válidos desta
fórmula, inclusive ela mesma. Este conjunto é formado
pelas seguintes regras:
-H é uma subfórmula de H;
-Se H = (¬P), então P é uma subfórmula de H;
-Se H = (P -> Q), sendo -> um dos conectivos binários,
então P e Q são subfórmulas de H;
- Se P é subfórmula de H, então toda subfórmula de P
também é subfórmula de H.
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Semântica
 A semântica associa um significado a cada objeto
sintático. Assim, quando se escreve a fórmula P∧Q,
dependendo dos valores de P e Q, esta fórmula pode
ser verdadeira ou falsa.
.....
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Proposições e Operadores
Lógicos
Proposição Lógica
Considere que A, B, C, ... sejam símbolos usados para
representar (denotar) qualquer frase ou sentença que pode
assumir apenas um de dois valores verdade: ou a frase é
verdadeira (ela diz uma verdade) ou ela é falsa (diz uma
falsidade). Diz-se também que os símbolos A,B, C, ...
denotarão proposições lógicas.
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Conjunção de Proposições
Considere que o símbolo ∧ será usado para representar o
conetivo “e”, em sentenças como “gatos são mamíferos e
canários são aves”, “3 < 5 e 2+3=5”, etc.
Diz-se que o símbolo ∧ representa a conjunção lógica
das proposições A e B.
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Disjunção de Proposições
O símbolo ∨ será empregado para representar um dos
significados usuais do conetivo “ou” em frases da
linguagem natural.
O significado assumido por este símbolo é o do “ou
inclusivo” que somente será falso se ambas as sentenças
sendo conectadas por ele forem falsas, isto é, A ∨ B será
falso somente se ambos A e B forem falsos.
Diz-se que o símbolo ∨ representa a disjunção lógica das
proposições A e B.
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Implicação
O símbolo → será usado para representar sentenças como
“se chover, então a rua ficará molhada”, ou então “não
estudar implica em tirar notas baixas” ou também “não fui
ao cinema porque o carro estragou” e sentenças similares.
Geralmente estas sentenças podem ser reescritas no
formato “Se sentença A, então sentença B” que
simbolicamente fica apenas: A → B.
A noção que este operador lógico pretende capturar é a de
existência de implicação ou de consequência entre as
sentenças.
....
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Dessa forma a sentença B não poderia ser falsa se a
sentença A fosse verdadeira.
Isto significa que considera-se que a sentença
simbolizada por A→B seria falsa somente no caso em
que A é verdadeiro e B falso.
Nos outros casos a expressão A→B seria verdadeira.
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Bi-implicação ou Equivalência Lógica
O último conectivo lógico apresentado acima, o conectivo
↔ de bi-implicação ou de equivalência lógica é, na
verdade, uma abreviação da seguinte fórmula:
(A→B) ∧ (B→A)
ou seja:
(A↔B) = (A→B) ∧ (B→A)
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Construção de TabelasVerdade para Fórmulas
Para se construir a tabela-verdade de uma fórmula lógica pode-se
seguir os seguintes passos:
(i) nas colunas à esquerda coloque os símbolos sentenciais simples
(A, B, ...), depois
(ii) se houverem sentenças simples negadas (¬A, ¬B, ...) coloque-as
nas
próximas colunas e por fim
(iii) seguindo a precedência crie uma coluna para cada fórmula
composta (não é necessário repetir as sentenças simples negadas).
A última coluna a direita deve ser a expressão ou fórmula final.
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A sentenças ou símbolos proposicionais simples pertencentes a uma
fórmula definem o número de linhas da tabela-verdade para esta
fórmula através de uma regra simples:
1 símbolo: A 2 linhas (21 combinações: V e F)
2 símbolos: A e B 4 linhas (22 combinações: VV, VF, FV, FF)
3 símbolos: A, B e C 8 linhas (23 combinações: VVV, VVF, VFV, VFF,
FVV, FVF, FFV, FFF)
4 símbolos: A, B, C e D 16 linhas (24 combinações)
n símbolos: A, B, ... 2n linhas (2n combinações)
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Exercício
Agora construa
fórmulas:
tabelas-verdade
para
as
seguintes
(a) (A→B) ↔ (B→A)
(b) (A ∨ ¬A) → (B ∧ ¬B)
(c) ¬((A ∧ ¬B) → ¬C)
(d) (A→B) ↔ (¬B → ¬A)
(e) ((A ∧ B ∧ C) ∨ ¬(¬B ∨ A) ∨ (A ∧ ¬C)) → (C ∨ ¬A)
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Tautologias
Uma tautologia é uma fórmula que assume apenas o valor V, ou
seja, que é sempre verdadeira.
Uma tautologia é “intrinsecamente verdadeira” pela sua própria
estrutura; ela é verdadeira independente de qualquer valor lógico
atribuído as suas letras de proposição.
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Uma contradição é o oposto de uma tautologia, ou
seja, é uma fórmula que assume apenas o valor F
independente de qualquer combinação de valores
verdade atribuída às proposições lógicas simples que
entram em sua composição.
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Exercício
Descobrir quais das seguintes fórmulas são tautologias,
contradições ou fórmulas contingentes (fórmulas “simples”
que não são tautologias ou contradições).
(a) A ∨ B ↔ B ∨ A
(b) (A ∨ B) ∨ C ↔ A ∨ (B ∨ C)
(c) ¬(A ∧ B) ↔ ¬A ∧ ¬B
(d) (A ∧ B) ∧ B ↔ ¬((B ∧ A) ∧ A)
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Exercício de classe
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Equivalências Tautológicas e
Leis de DeMorgan
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Equivalências Tautológicas
 P e Q sejam fórmulas tautológicas;
 P bi- implicação Q seja uma tautologia;
 Sempre que P for V numa dada linha da tabela verdade, a
fórmula Q deverá ser V nesta linha.
 O mesmo acontece quando P for F.

Neste caso se diz que P e Q são fórmulas equivalentes.
OBS: Essa propriedade é denota pelo operador
<-> bi-implicação de equivalência tautológica.

52
 Na tabela a seguir são apresentadas algumas
equivalências tautológicas que definem propriedades
importantes da disjunção e da conjunção:
53
 Na tabela as seguir são apresentadas equivalências
tautológicas que permitem reescrever ou redefinir os
outros operadores:
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Atividade em sala
 Demonstrar, pelo uso da tabela- verdade, as
equivalências tautológicas acima ( não precisa repetir
as demonstrações para a equivalência comutativa,
associativa e contraposição).
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Leis de De Morgan
 As equivalências vistas permitem efetuar vários tipos
de manipulações ou alterações numa fórmula sem que
ela altere seu significado.
 Maneira de se converter proposições conectadas pelo
conectivo (ou) em proposições conectadas pelo
conectivo (e).
 Essas equivalências são denominadas Leis de De
Morgan.
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Obrigada!
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