Transcript Produção Pedagógica

Centro Universitário Franciscano
Mestrado Profissionalizante em Ensino
de Física e de Matemática
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: ENSINAR E
APRENDER AS QUATRO OPERAÇÕES COM
NÚMEROS INTEIROS NO 7° ANO DO
ENSINO FUNDAMENTAL
Mestrando: Ana Paula Magalhães de Abreu
Orientadora: : Profª. Drª. Silvia Maria de Aguiar Isaia
Cenários e Sujeitos
Uma turma do sétimo ano do Ensino
Fundamental de uma escola Municipal, com
15 alunos, com idade de 11 a 16 anos.
Durante 10 aulas foram analisadas as
atividades de quatro duplas.
Professora
Foto da turma 72 com a professora.
Conhecimento Escolar a ser
Desenvolvido
As Quatro Operações com
números inteiros
PRIMEIRA AULA
Questionário de levantamento dos conhecimentos prévios
Objetivo: verificar os seus conhecimentos prévios dos alunos
sobre as quatro operações matemáticas, utilizando o conjunto dos
números inteiros.
Os alunos responderam ao questionário, sendo que os mesmos já
haviam estudado com a professora da turma este conteúdo, mas
com outra metodologia. A partir das informações obtidas, foram
organizadas as aulas seguintes, podendo-se, assim, estruturar
atividades de acordo com o grau de informação que a turma
descreveu. Contudo constatou-se falhas de compreensão a partir
da questões colocadas como pode se perceber a seguir.
1) O que vocês sabem ou entendem sobre o conjunto dos
números naturais? E sobre o conjunto dos números inteiros?
Dos quinze alunos da turma, treze responderam:
“não sabemos” ou “não lembramos”, e apenas dois alunos
responderam de forma diferente dos demais:
”números naturais são: {1,2,3,4,5,6,7,8,9} e inteiros são: {1,2,3,...}”
“sei tudo”.
2) Quais são as quatro operações matemáticas? O que vocês
sabem sobre cada uma delas?
Dos alunos três responderam que não sabiam, os demais
responderam de forma correta, indicando que “as quatro operações
são: ”adição, subtração, divisão e multiplicação”,
oito alunos explicaram que: “na adição usa a soma, na divisão se
divide, na subtração se subtrai, e na multiplicação se multiplica”.
3) Existe diferença entre as operações com números naturais e as
operações com números inteiros?
De modo geral os alunos ficaram confusos ao tentar responder,
indicando que não conseguiam diferenciar os dois termos.
Por parte de todos os alunos da turma houve dúvida sobre o
significado da palavra “cotidiano”, assim foi explicado o seu
significado.
4) Cite algumas situações do cotidiano nas quais podemos usar
os números inteiros:
Apenas dois citaram exemplos como: “Os números das casas” ou
“Propagandas da TV (televisor)”. Os demais disseram que não
sabiam nenhum exemplo.
5) Supondo
informação:
que
vocês
ficassem
sabendo
da
seguinte
“Na sua escola, uma editora irá oferecer livros por um
preço mais barato. De R$25,00 passará a custar R$21,00. O que
você entende? Que operação pode-se fazer para chegar neste
preço? Quantos reais o livro teve de desconto?”.
Apenas dois alunos responderam errado, dizendo que o desconto foi
de “R$ 3,00 (três reais)”, os demais responderam corretamente que
“era uma operação de subtração, na qual o desconto foi de R$4,00”.
6) Vocês encontraram dificuldades para resolver o problema
acima? Quais?
Somente um aluno respondeu que teve dificuldades. Foi possível
perceber que os alunos souberam resolver o problema, sem
apresentar dificuldades..
7) Vocês já trabalharam com o material concreto? Em caso
afirmativo cite quando foi usado
Grande parte da turma perguntou à professora “o que era o material
concreto?”.
Somente três alunos responderam que já haviam trabalhado com
material concreto.
Um aluno disse que “o material concreto era o lápis e a borracha”
outro aluno disse que ” já trabalhou, mas nunca manuseou”;
os demais alunos da turma disseram que não haviam trabalhado com
o material concreto.
8) Se vocês já trabalharam com o material concreto respondam
esta questão: O material concreto auxiliou na compreensão e
resolução de problemas?
Como grande parte da turma não sabia o que era o material concreto,
dez alunos responderam que “não”, os demais responderam que
“sim”. Foi observado que no momento inicial da pesquisa, os alunos
não tinham muita certeza do que escreviam, por isso não
conseguiam se expressar, nem explicar sua idéia no papel.
SEGUNDA AULA
Atividades introduzindo o conceito de adição e subtração de
números inteiros utilizando o material concreto.
Objetivo: Manusear as fichas livremente, e em seguida utilizá-las para
resolver expressões e situações-problema com os números inteiros que
envolvam fatos do cotidiano.
A turma se organizou em duplas para realizar as atividades em sala de
aula. Para manter o anonimato dos alunos, cada dupla recebeu uma
letra. Foram selecionados 8 alunos, os quais mantiveram-se fiéis as
suas duplas e presentes em todas as aulas. As duplas pesquisadas
foram: B, C, D e G.
Primeiro momento: foi entregue a turma, para analisar,
um termômetro, apresentando aproximadamente 40 cm de
comprimento, ou seja, de tamanho maior do que eles
conheciam, para que visualizassem melhor as unidades no
termômetro, as unidades positivas e as unidades negativas
e as respectivas distâncias entre as unidades.
Também foi entregue a cada dupla um quite, contendo canudinhos de
refrigerante, palitos de picolé, dinheiro falso, contendo cédulas de
R$1,00, R$2,00, R$5,00, R$10,00, R$20,00, R$50,00 e R$100,00, 10
fichas vermelhas e 10 fichas azuis. Este quite foi entregue a cada dupla
no início de cada aula e recolhido ao seu final.
1) Os termômetros abaixo indicam as temperaturas, máxima e
mínima, registradas num certo dia nas cidades A, B, C e D:
a) Analisando os termômetros, identifique a temperatura
máxima
A questão a, todos responderam de forma correta,
Foto das duplas manuseando o termômetro de forma ilustrativa.
b)Quais as temperaturas, máxima e mínima, registradas num
certo dia nas cidades A, B, C e D:
Todas as duplas responderam:
cidade A: máxima = +12 e mínima = +2
cidade B: máxima = +20 e mínima = +15
cidade C: máxima = 0 e mínima = - 5
cidade D: máxima = - 2 e mínima = -10
c) Qual a soma das temperaturas máximas? E das mínimas?
Duas duplas responderam de forma correta, após o auxílio da
professora, pois estavam errando ao somar temperaturas negativas
com temperaturas positivas.
As duplas B e C responderam o seguinte: “a temperatura máxima foi
de 27º e temperatura mínima foi de 2º”, fazendo os cálculos numa
folha de rascunho.
A dupla D colocou de forma errada, respondendo o seguinte:
“a temperatura máxima foi de 0º e a mínima foi é 0º”.
Pela sua resposta pode-se perceber que eles não leram com
atenção o enunciado e nem analisaram de forma correta o desenho
da atividade.
A dupla G em sua resposta colocou de forma incorreta: “A
temperatura máxima foi de 37º e a mínima foi de 32º”.
Somaram todas as temperaturas, ignorando o sinal delas, não
levando em consideração que algumas eram negativas.
2) Conforme o modelo de termômetro da atividade anterior
desenhe os termômetros que indiquem as seguintes temperaturas:
a) -2ºC
b) +20ºC
Alguns se basearam no modelo da atividade um e fizeram igual. Nas
letras a e b, todos desenharam de forma correta e marcaram as
temperaturas pedidas -2ºC e 20ºC, respectivamente. Segue o desenho
feito pela dupla C:
INTRODUÇÃO DO CONCEITO DE ADIÇÃO
No primeiro momento da aula 2, os alunos manusearam as
fichas livremente e em seguida utilizaram-nas para resolver as
atividades propostas. Para resolvê-las os alunos utilizaram fichas
vermelhas e azuis, sempre tendo o conceito de que:
A ficha vermelha representa uma unidade negativa;
A ficha azul representa uma unidade positiva.
a) Quanto obtemos ao adicionarmos três fichas azuis com duas
fichas azuis?
b) Quanto obtemos ao adicionarmos três fichas vermelhas com
duas fichas azuis?
c) Quanto obtemos ao adicionarmos duas fichas vermelhas com
três fichas azuis?
d) Quanto obtemos ao adicionarmos duas fichas vermelhas com
três fichas vermelhas?
Nas questões a, b, c e d, os alunos
tinham que construir a expressão
que correspondesse à frase, e
montá-la utilizando as fichas para
fazer a sua representação
Seguem os desenhos das fichas feitos pela dupla C com
relação às questões a, b, c e d.
Resolução da dupla C na questão a sobre a adição.
Resolução da dupla C na questão b sobre a adição.
Resolução da dupla C na questão c sobre a adição.
Resolução da dupla C na questão d sobre a adição.
INTRODUÇÃO DO CONCEITO DE SUBTRAÇÂO
a) Quantas fichas obtemos quando temos três fichas azuis e
retiramos duas fichas azuis?
A resposta correta com a representação adequada foi dada pela dupla B:
Restou uma ficha azul que representa o número (+1).
Assim das três fichas azuis, eles retiraram duas das que já tinham e
ficaram com uma ficha azul, que representa o número 1 positivo.
b) Quantas fichas obtemos quando temos quatro fichas vermelhas
e retiramos duas fichas vermelhas?
Seguem as repostas de alguma das duplas:
Resolução da dupla B:
Restaram duas fichas vermelhas que representam o número (-2).
A ilustração da questão desta dupla está clara e correta, das quatro
fichas vermelhas retiraram-se duas fichas, ficando apenas com duas
fichas vermelhas, que representam o número dois negativo, -2.
Resolução da dupla C e G:
O desenho que a dupla C fez no seu material de registro
evidencia que eles não souberam expressar a operação
aritmética através das fichas no papel. Enquanto que,
trabalhando com as fichas concretamente a dupla resolveu a
questão de modo correto. Conclui-se que a dupla não soube
expressar a sua ideia corretamente no material de registro
2) Efetuem os seguintes cálculos:
a)(+2) + (+4) = ________
Na questão a, as 4 duplas responderam de forma correta, mas
nem todas as duplas utilizaram inicialmente as fichas.
Todas as duplas fizeram à representação da expressão em suas
classes da seguinte maneira:
Totalizam 6 fichas azuis.
b) (+2) + (- 4) =________
A dupla D representou da seguinte maneira em sua classe:
Restaram 2 fichas vermelhas.
As atividades a seguir foram primeiramente desenhadas no
quadro verde, pela professora, afim de que os alunos
compreendessem o significado das fichas azuis e vermelhas.
Tem-se
3
fichas
vermelhas mais 5 fichas
azuis; como se sabe uma
ficha vermelha representa o
número –1 e uma ficha azul
representa o número +1.
Portanto
quantas
fichas
restaram e de que cor.
Restaram
duas
fichas
azuis
Tem-se duas fichas vermelhas
mais uma ficha azul. Portanto
quantas fichas restaram e de que
cor.
Uma
fichas
azuis
Escrevam a expressão que corresponde ao desenho. Restaram
três fichas azuis.
Todas
escreveram
as
duplas
corretamente
a
expressão que representava o
desenho,
respondendo
(-2) + (+5) = +3
da
seguinte maneira:
A resposta apresentada indica que os alunos
compreenderam o processo de utilizar as fichas e seus
significados.
Pelo desenvolvimento da aula e pelos resultados obtidos, foi
observado que a dificuldade dos alunos de interpretar as
informações que os exercícios forneciam ou pediam, se dava
pelo fato de que eles inicialmente tendiam a responder muito
rápido e acabavam não acertando as questões por detalhes, por
falta de atenção.
Num segundo momento, a professora intermediava as
atividades de acordo com os passos da resolução de problemas
(Polya, 1978). Além disso, as duplas discutiam entre si para
compreender como resolver as atividades. Em alguns momentos
os componentes de cada dupla não pensavam da mesma forma,
assim discutiam entre si qual a maneira correta de resolver a
atividade até chegarem a um consenso.
TERCEIRA
AULA
Atividades introduzindo o conceito de adição e subtração de
números inteiros através de situações-problema.
Objetivo: Resolver problemas que envolvessem as operações de
adição e subtração de números inteiros utilizando o material concreto
como instrumento mediador no processo de aprendizagem,
relacionando-os com o cotidiano dos alunos.
As situações-problema desenvolvidas na Aula 2, foram elaboradas a
partir de situações que ilustrassem o dia-a-dia dos alunos fora do
ambiente escolar, e estes apresentavam subsídios para se trabalhar em
sala de aula.
A composição das duplas permaneceu a mesma das aulas anteriores.
As duplas apresentaram maior entrosamento entre elas, com os demais
colegas e, principalmente, com a professora pesquisadora, pois eles
sentiam-se a cada aula que se passava mais a vontade.
1) Na sala de Fernando há 18 meninos e 23 meninas.
a) Quantas crianças há na sala?
b) E na sua sala, quantos são meninos?
1
c) Quantas são meninas?
d) Quantos são ao todo?
No problema 1, as duplas tinham que analisar os dados do
problema para responder as questões referentes a ele. Na questão a,
das 4 duplas pesquisadas, somente as duplas B e G responderam de
forma correta somando o número de meninos com o número de
meninas (18 + 23 = 41). Esta questão é de nível fácil e sua resolução
é de forma direta. Já as demais duplas não responderam a pergunta,
deixaram-na em branco. Acredita-se que não tenham resolvido por falta
de atenção e não por dificuldades. Todas as duplas resolveram sem
maiores dificuldades e de forma correta as questões b e c. Quanto à
questão d, todos a acertaram sem problemas. Nesta questão eles
tinham que somar o número de alunos da sua turma, algo com o que
eles se identificaram intimamente.
2) Rafael e Sérgio foram para uma festa na escola, na banca de
derrubar latas, Rafael jogou a 1ª bola e derrubou três latas, Sérgio
jogou a 2ª bola e derrubou duas latas.
2
a)Baseado na figura, quantas latas há no jogo?
b) Quantas bolas foram jogadas por Rafael e Sérgio?
c) Quantas latas Sérgio derrubou?
d) Quantas latas Rafael derrubou?
e) Quantas latas faltam para ser derrubadas?
No problema 2, na questão a, era necessário apenas contar
quantas latas aparecem no desenho disponíveis para serem
derrubadas. Apenas a dupla B errou a questão e as demais duplas a
acertaram. Eles apenas contaram o número de latas na figura e
escreveram a quantidade exata no seu material de registro. A questão
b era uma questão de leitura e interpretação do enunciado do
problema.
Todas as duplas responderam corretamente, menos à dupla C, que
disse: “Rafael jogou 1 bola e Sérgio jogou 2 bolas”. Este erro ocorreu
pela falta de atenção na interpretação dos dados do problema e não na
resolução do mesmo. Na questão c, apenas a dupla B respondeu:
“nada”. Esta resposta se justifica pelo mesmo motivo que a dupla C
errou a questão b. As demais duplas responderam de forma correta
esta questão. Todas as duplas responderam de forma correta a questão
d. E, para a questão e, a dupla B respondeu: “7 latas”, enquanto que
as demais duplas responderam corretamente, mostrando seguir
corretamente os passos da resolução de problemas, conforme Polya
(1978).
3) Ana foi a uma loja com suas amigas levando R$50,00. Gastou
R$24,00 e emprestou o restante para sua amiga Luíza.
a) Com quantos reais Ana ficou?
3
b) Quanto ela emprestou para Luíza?
c) Se Ana, após emprestar o dinheiro para Luíza, fosse comprar
um vestido de R$72,00, o que aconteceria? Sobraria dinheiro ou
faltaria? Quanto?
Neste problema as duplas ficaram bastante entusiasmadas com o uso
do dinheiro falso como material concreto. Os alunos identificaram esta
questão com atividades do seu dia-a-dia.
No problema 3, na questão a, apenas a dupla B respondeu de forma
incorreta. Já as demais duplas responderam que: “Ana não com ficou
nada”, mostrando assim que entenderam a pergunta e trocaram
ideias, discutiram entre si para chegar à resposta correta. Na questão
b, a dupla C deixou a questão em branco, já as demais duplas
responderam-na corretamente.
Foto das duplas utilizando o dinheiro falso como instrumento
didático na realização das atividades.
Na questão c, as duplas tinham que interpretar o que o
enunciado do problema informava para responder corretamente
esta questão. Todas as duplas responderam-na de forma
incorreta. O problema já diz que Ana tinha levado R$50,00, que
tinha gasto R$24,00 e que o restante havia emprestado para sua
amiga, ou seja, ela não tinha mais dinheiro para comprar alguma
coisa na loja. A dupla D, por exemplo, respondeu: “faltariam
22,00 reais”. O erro cometido pelas duplas nesta questão está na
interpretação do enunciado do problema.
4) Analisando a tabela abaixo, respondam as perguntas:
Pessoas
Idades
Luiza
43
Naiane
33
Luana
16
Sérgio
13
Felipe
12
Sandro
11
Ricardo
10
a) Qual a idade da pessoa mais nova?
b) b) Qual a idade da mulher mais nova?
c) Qual a idade do homem mais velho?
d) Quantos anos Luiza é mais velha do que Naiane?
4
e) Quantos anos Naiane é mais velha do que Luana?
f) Duas pessoas têm juntas 45 anos. Quais são elas?
g) Juntando a idade de duas pessoas corresponde a idade
da 3ª pessoa. Quais são essas três pessoas? Existem outras
três com as quais isso ocorre?
No problema 4, na questão a, as duplas tinham que
identificar na tabela a idade da pessoa mais nova. Resolvendo
de forma direta todas as duplas responderam corretamente a
idade da pessoa mais nova, mas não justificaram de quem era
essa idade. Nas questões b e c, as duplas tinham que identificar
na tabela a idade da mulher mais nova e do homem mais velho.
Todos responderam corretamente esta questão, identificando as
idades correspondentes.
Na questão d os alunos utilizaram a operação subtração para
chegar ao resultado correto. Foi possível observar que no
momento que as duplas precisaram fazer cálculos para chegar
ao resultado, utilizaram o material concreto. Neste caso usaram
canudinhos. Se faltava material devido ao número ser um valor
alto as duplas compartilhavam o material entre si.
A interação entre os grupos foi fundamental, a troca de ideias
deu mais segurança as duplas e assim, elas não precisaram
tanto da ajuda da professora pesquisadora para resolver estas
atividades.
Na questão e o processo para chegar ao resultado é o mesmo
da questão d. Todas as duplas chegaram ao resultado correto,
com exceção da dupla D. Na questão f, todas as duplas
acertaram esta questão.
Houve bastante interação e questionamentos entre as duplas
sobre essa questão. Alguns alunos citavam dois nomes e outros
não concordavam, a interação era mútua, não somente entre as
duplas, mas entre todos na sala de aula.
Na questão g todos analisaram corretamente, exceto a dupla
B. A resposta desta dupla foi: “Felipe + Sandro + Ricardo =
Naiane”. Este raciocínio não está errado, mas o problema pedia
a idade de duas pessoas cuja soma é a idade de uma terceira
pessoa e neste caso eles usaram quatro pessoas e não três.
5) No ano de 2008, tivemos o Campeonato Brasileiro e nele
participaram diversos times de todos os estados do Brasil. O jornal
local de nossa cidade destacou a colocação na tabela de pontos de
apenas alguns times que estão localizados abaixo:
5
Tabela do Campeonato Brasileiro de 2008
Times
Gols
feitos
Gols
sofridos
Saldo de
gols
Grêmio
12
6
6 feitos
São Paulo
15
15
0
Cruzeiro
12
4
8 feitos
Internacional
5
10
5 sofridos
Juventude
7
10
3 sofridos
Representação
matemática
do saldo de
gols
1,00 cm
a) Complete a coluna da representação matemática do saldo de
gols:
0
b) b) Represente na reta numérica abaixo a classificação dos times
de acordo com o saldo de gols:
c) Quem obteve a melhor classificação? Por quê? Quem obteve a
pior classificação? Por quê?
d) Quem ficou com saldo de gols nulo? Por quê?
No problema 5, o primeiro assunto que surgiu foi da disputa dos
times Inter e Grêmio, e na aula foi criado um momento de descontração
e de brincadeiras por serem times que geram uma polêmica saudável
entre os alunos.
Neste problema, as duplas tinham que analisar as informações da
tabela, completá-la e em seguida responder o que foi pedido. A dúvida
dos alunos foi em qual posição, se antes ou depois do número se coloca
o sinal na representação matemática.
Na questão a, a dupla B ao representar matematicamente o saldo de
gols, colocou o sinal depois do número ao invés de colocá-lo na frente
do número, por exemplo: “6+”. Já a dupla C, errou a representação, pois
não entendeu o enunciado da questão. Por exemplo, para o time do
Grêmio a representação matemática do saldo de gols foi: “+12 – 6 – 6 =
”. As outras duplas representaram corretamente o saldo de gols como o
problema pedia.
Na questão b, as duplas tinham que representar na reta numérica a
classificação dos times de acordo com o saldo de gols. Neste momento
foi relembrado o que é a reta numérica para o conjunto dos números
naturais.
A dupla B colocou os pontos na reta numérica, mas de forma incorreta
e sem identificar os times. Porém a dupla C, preencheu os pontos na
seqüência correta, mas não colocou o saldo de gols dos times da tabela
e nem identificou os times conforme sua classificação. Já as demais
duplas completaram a reta numérica na forma correta como o problema
pedia.
Na questão c, todas as duplas acertaram corretamente. As justificativas
foram: dupla G “Cruzeiro porque eles tem mais pontos e o Inter porque
tem menos pontos”. A dupla C respondeu o seguinte: “Cruzeiro porque
fez 8 gols e o Juventude porque levou 3 gols”; nesta resposta a dupla
não interpretou bem as informações da tabela, e por isto não respondeu
corretamente o item c do problema.
Na questão d, todos identificaram o porquê da classificação do São
Paulo, justificando a questão corretamente.
Conforme a descrição do desenvolvimento da Aula 2 houve
muita interação e também questionamentos sobre o modo de
resolver as atividades, entre os componentes das duplas, entre
as duplas e com a professora pesquisadora.
As duplas inicialmente elas tiveram dúvidas, por terem que
desenvolver as atividades de um modo com o qual não estavam
habituadas a trabalhar.. Em alguns momentos o processo para
resolução das atividades foi modificado e o aluno compreendeu
melhor o que estava fazendo. Em todas as atividades procurouse seguir os passos da Resolução de Problemas. Não se pode
deixar de enfatizar que no ensino de Matemática, não importa
apenas se a criança responde corretamente um algoritmo, mas
sim quais foram os métodos e as relações utilizadas por ela para
obter o resultado da operação (RABELO, 2002).
TERCEIRA
AULA
Atividades introduzindo o conceito de adição e subtração de
números inteiros através de situações-problema.
Objetivo: Criar e resolver problemas do cotidiano do aluno,
usando as operações de adição e subtração de números inteiros.
Na aula 3 os alunos criaram e resolveram problemas
relacionados ao cotidiano, utilizando as operações de soma e
subtração de números inteiros.
Nesta aula, a turma apresentou dificuldades para elaborar os problemas
e também quanto à redação dos mesmos. Foi observado que nos diálogos
os alunos trocaram ideias, discutiram, sugeriram, mas na hora de escrever
sempre esperavam pelo colega e, com isso, o desenvolvimento da
atividade foi bem mais lento. A pesquisadora procurou orientá-los, deu
dicas, sugestões de problemas e todos ficaram bem atentos a estas
explicações. Assim foi proposta a atividade:
Utilizando os seus conhecimentos sobre adição e subtração, usem a
imaginação e inventem um problema que envolva números inteiros,
cuja resposta seja:
a) R$15,00
b) 10
Atividade 1
Eles tinham que criar um problema e devido as muitas
dificuldades apresentadas, a professora pesquisadora deu
algumas dicas para lembrá-los, por exemplo, de situações
ocorridas na escola, em casa, na rua quando saiam com seus
amigos e pais.
Na questão a todas as duplas criaram os seus problemas,
abordando assuntos diferentes, uns com enunciados mais
simples ou diretos e outros mais detalhados. Seguem os
problemas criados por duas duplas.
Problema da dupla B: “Maria tinha R$30,00, foi ao mercado e comprou
uma massa de lasanha que custava R$7,00 e uma lata de óleo que
custava R$3,00 e mais R$5,00 de pão. Ao total quanto deu? E quanto
sobrou?”.
Na resolução eles colocaram o seguinte:
“(7) + (3) + (5) = +15 , então deu R$15,00 no mercado
e sobraram R$15,00”.
Problema da dupla C: “Amanda ganhou de seu pai R$10,00 e achou
R$5,00. Com quantos reais ela ficou?”. Na resolução a dupla colocou:
“Ela ficou com R$15,00”.
10,00
+5,00
15,00
Na questão b todos formularam problemas interessantes de assuntos
diferentes, uns mais fáceis e outros mais elaborados. Também surgiram
problemas cuja resposta não era 10. Na sequência estão os problemas
criados por duas duplas.
Problema da dupla B: “Um grupo de jovens tinha 4 pessoas e no outro
grupo tinha 6 pessoas. Quantas pessoas tinham ao total?”. Na
resolução colocaram: 6+4=10
Problema da dupla C: “Bianca tinha 20 pirulitos, comeu 10 deles.
Quantos pirulitos ela ficou?”. Na resolução responderam: “ Ela ficou
com 10 pirulitos”.
Na questão C somente as duplas C e D, formularam e resolveram
corretamente seus problemas. As demais não o acertaram.
Problema da dupla C: “A temperatura da cidade era de 0ºC e diminuiu
3ºC. Com quantos graus ficou na cidade?”. A dupla colocou a seguinte
resposta: “A cidade ficou com –3ºC”.
Problema da dupla D: “Ana apostou 10 canetas que Rodrigo não ia
ganhar o jogo, mas ele ganhou, só que Ana tinha somente 7 canetas.
Quantas canetas ela ficou devendo?”. Na resolução tinha somente: “-3”.
Atividade
2
Com base no cardápio do bar de nossa escola, apresentado na
seqüência, invente uma situação-problema e resolva:
Lanches
Cachorro-quente --------------------------------------------------R$2,00
Bauru--------------------------------------------------------------- R$3,00
Torrada------------------------------------------------------------- R$1,00
Suco de laranja --------------------------------------------------- R$1,00
Refrigerante ------------------------------------------------------- R$2,00
Sorvete (duas bolas) ----------------------------------------------R$3,00
Nesta atividade as duplas pesquisadas criaram problemas
semelhantes, colocaram o resultado, mas não desenvolveram os
cálculos. Todos os problemas envolveram dinheiro e para resolvê-los as
duplas utilizaram dinheiro falso. Esta atividade foi feita de modo bem
descontraído. As duplas interagiram de forma divertida e ao mesmo
tempo interessadas em resolver a atividade.
Dupla B: “A Maísa foi ao bar, ela tinha R$5,00, o que ela podia comer?”.
Responderam o seguinte: “A Maísa podia comer um cachorro-quente
que custava R$2,00 e comprou mais duas bolas de sorvete que custava
R$3,00, ao total gastou os R$5,00”.
A dupla elaborou um problema simples, que pode ter mais de uma
resposta.
Dupla C: “Pietro tem R$10,00, e ele quer comprar no bar da escola uma
torrada de R$1,00 e um refrigerante de R$2,00. Quantos reais ele
gastou? E quanto sobrou?”
Responderam o seguinte: “Ela gastou R$3,00 e sobrou R$7,00”.
Nesta aula foi possível perceber que as aulas tornam-se bem
mais produtivas quando os alunos têm que resolver problemas
de matemática relacionados ao seu cotidiano, ou situaçõesproblema, do que simplesmente resolver contas matemáticas
sem nenhum significado para eles. Outro fator interessante que
não se pode deixar de destacar é a troca de ideias e sugestões
para resolver os problemas, muitos dividiram as tarefas, mas,
por fim discutiram suas
soluções, trocaram informações e,
desta forma, foram formando novos conceitos.
Assim, o conhecimento do aluno é elaborado pela interação dos
conceitos matemáticos com os não matemáticos, e dos
conceitos do dia-a-dia com os científicos e através desta
interação a matemática tem significado para o aluno. Também
foi possível perceber que os alunos apresentaram muitas
dificuldades para elaborarem problemas ou situações
envolvendo soma e subtração de números inteiros, a partir de
uma resposta dada.
Convém também destacar a utilização do material concreto na
resolução dos problemas. Na maioria das situações as duplas
utilizaram dinheiro falso para resolvê-las. As duplas
demonstraram bastante empolgação por esta situação ser
semelhante ao que se usa no dia-a-dia.
QUARTA
AULA
Atividades introduzindo o conceito de multiplicação com
números inteiros.
Objetivo: Manusear as fichas livremente, e em seguida utilizálas para efetuar a operação multiplicação.
A partir da aula 4, as atividades começaram a se tornar mais
difíceis para os alunos pois eles se depararam com a operação
de multiplicação entre números inteiros positivos e negativos ou
entre números inteiros negativos. Mas no decorrer do
desenvolvimento das atividades as dúvidas foram sendo
esclarecidas e assim os alunos conseguiram resolver as
atividades propostas uns com mais dificuldades e outros não.
Inicialmente foi proposta a seguinte atividade:
a) Quantas fichas obtemos adicionando dois grupos com
três fichas azuis cada um?
Nesta questão, a proposta era trabalhar com a multiplicação de
números inteiros através da adição. Como os alunos estavam
com dificuldades para resolvê-la a professora pesquisadora
explicou no quadro alguns exemplos semelhantes, colou as
fichas no quadro montando operações de multiplicação entre
números inteiros com a participação da turma e assim eles
perceberam que a multiplicação de números com sinais iguais,
nada mais é do que adicionar várias vezes a mesma quantidade.
A partir deste momento ficou mais fácil para eles prosseguirem
com as atividades. Nesta questão os alunos realizaram a
operação trabalhando com as fichas em suas classes até chegar
ao resultado, colocando em seu material de registro somente as
respostas.
Resolução de duas duplas:
A dupla B se expressou assim: “2 x 3 = 6 positivo”.
E a dupla G colocou somente o desenho:
b) Quantas fichas obtemos adicionando dois grupos com três
fichas vermelhas cada um?
Já nesta questão, bastante semelhante à questão a, as duplas
resolveram com mais facilidade. Seguem as resoluções:
Resolução de duas duplas:
A dupla B colocou somente: “6 negativo”.
A dupla D colocou: “menos seis (-6)”.
c) Quantas fichas obtemos adicionando dois grupos com
duas fichas azuis em cada grupo?
Na questão c, a dupla G colocou como resposta “zero” para
esta questão, isto mostra que a dupla não desenvolveu o seu
raciocínio utilizando as fichas inicialmente e também não fez um
retrospecto para ver se a resposta estava correta. Já as demais
duplas responderam corretamente. As duplas B, C e D
colocaram como resposta: “+4”.
d) Quantas fichas obtemos retirando dois grupos com duas fichas
vermelhas em cada grupo?
Na questão d as duplas responderam:
A dupla B colocou: “3 negativo” como resposta.
A dupla C colocou: “(-2) x (-2) = +4”.
A dupla D colocou: “0”.
A dupla G colocou: “-2”.
Analisando as respostas das duplas, observa-se que somente a
dupla C respondeu corretamente a pergunta. Quanto às demais
duplas se nota que elas não utilizaram o material concreto para
representar o que pedia o enunciado da questão, e desta forma
também não fizeram uma revisão do resultado para ver se
tinham respondido corretamente.
e) Quantas fichas obtemos adicionando três grupos com
uma ficha vermelha em cada grupo?
Todas as duplas responderam erradamente a questão
e. Isto mostra que elas não realizaram a operação
primeiramente utilizando o material concreto. As respostas
foram:
A dupla B colocou: “9 negativo” como resposta.
A dupla C colocou: “(-3) x (-1) = +2”.
A dupla D colocou: “-9”.
A dupla G colocou: “5”.
Para esta questão a representação correta e sua resposta seriam:
totalizando
f) Quantas fichas obtemos retirando quatro grupos com duas
fichas vermelhas em cada grupo?
Na questão f as duplas responderam:
A dupla B colocou: “-2” como resposta.
A dupla C colocou: “(-4) x (-2) = +8”.
A dupla D colocou: “-2”.
A dupla G colocou: “+8”.
Analisando as respostas das duplas, percebe-se que somente
as duplas C e G responderam corretamente, sendo que a dupla
C registrou no seu material de registro a expressão
correspondente ao que foi pedido, porém a dupla G colocou
somente a resposta.
No segundo momento da aula 5, os alunos trabalharam com
expressões matemáticas. Nesta situação ficou a critério do
aluno utilizar ou não o material concreto para realizar as
operações. Analisando o desenvolvimento deles no decorrer
desta atividade foi possível perceber que praticamente todas as
duplas usaram as fichas, pois eles apresentaram mais facilidade
em manuseá-las para fazer as operações do que na atividade
seguinte quando as fichas apresentam-se desenhadas e a partir
do desenho os alunos precisam construir a representação
matemática.
2) Utilizem as fichas, para efetuarem os cálculos a seguir:
a) (+3) x (+2) =
b) (+4) x (+1) =
c) (+3) x (-2) =
d) (+4) x ( -1) =
e) (-3) x (+2) =
f) (-3) x (-2) =
Nesta atividade algumas duplas desenvolveram as questões
utilizando o concreto, já outras não o utilizaram e acabaram
cometendo erros. Na sequência está o processo de resolução das
duplas para as questões acima.
A dupla B desenvolveu de forma correta as questões a, b, c, d
e e, apenas errou a questão f, colocando o sinal errado no
resultado. Nesta questão a dupla tinha que criar zeros com as
fichas para resolvê-la corretamente.
A dupla C desenvolveu de forma correta as questões a, c, e, f.
Ela errou as questões b e d, pois ao invés de realizar a operação
de multiplicação dos números a dupla somou, obtendo assim o
resultado incorreto.
A dupla D desenvolveu de forma correta as questões a, b, e e e
errou as questões c, d e f pois não utilizou corretamente as
fichas para a resolução das operações.
A dupla G resolveu todas as atividades corretamente, mostrando
bastante interesse e gosto por utilizar o material concreto, abaixo se tem
as soluções da dupla utilizando as fichas:
a)
totalizando
b)
totalizando
c)
totalizando
d)
e)
f)
totalizando
totalizando
totalizando
No terceiro momento da aula 4, o objetivo era que os alunos
construíssem as expressões matemáticas a partir do desenho
das fichas em seu material de registro. Neste momento eles
sentiram bastante dificuldade, pois tinham que interpretar o que o
desenho informava. Para fazer esta atividade as duplas
interagiram entre elas e a troca de informações foi fundamental
para se chegar à solução da atividade
totalizando
As duplas analisaram a representação por fichas e escreveram a
operação
multiplicação
correspondente.
Para
trabalhar
inicialmente com a multiplicação as duplas tinham como
informação que “multiplicar um número inteiro por um número
inteiro positivo significa adicionar várias vezes a mesma
quantidade”. Ao observar as representações por fichas, as duplas
podiam escrever as expressões utilizando a operação de adição
também.
Resolução de algumas das duplas:
As duplas B e G colocaram a expressão: “2 x 3 = +6”, de forma correta.
A dupla C escreveu a expressão: “(+2) x (+3) = +6”, também de forma
correta. Esta dupla também representou o desenho.
totalizando
Resolução de algumas das duplas:
As duplas C e G responderam: “(+2) x (-3) = -6”, colocando de forma
correta a expressão que correspondia ao desenho das fichas.
A dupla B colocou em sua resposta: “(+2) x (+3) = +6”; analisando a
resposta a dupla não levou em consideração nesta questão que estava
se trabalhando com as fichas de cor vermelha, e que estas representam
números negativos, assim acabaram errando.
Conforme o desenvolvimento das atividades desta aula, percebe-se
como os alunos apresentam muitas dificuldades na compreensão desta
operação. Já uma abordagem mais frequente utilizada em sala de aula
quando se usa a multiplicação, é a relação entre ela e a operação
adição, por exemplo: 3 x 4 = 4 + 4 + 4 = 12. (PCNs, 2000).
Destaca-se novamente a importância da interação entre a professora e
a turma, pois foi fundamental a troca de informações para que o
processo de ensino-aprendizagem ocorresse de forma significativa para
os alunos. Ainda pode-se destacar que os alunos não precisam ter um
ensino direto, onde o conhecimento é dado de forma clara e simples,
não exigindo muito esforço para apresentar um melhor
desenvolvimento lógico-matemático, pois ao se deparar com ideias
conflitantes, que apresentam muitas dificuldades, isto leva o aluno ao
desenvolver seu raciocínio (KAMII, 1991).
QUINTA AULA
Situações-problema envolvendo o conceito de multiplicação com
números inteiros.
Objetivo: Resolver situações-problema envolvendo a operação
de multiplicação, utilizando o material concreto como instrumento
didático mediador.
Na aula 5, os alunos resolveram situações-problema
relacionadas ao seu cotidiano as quais envolviam a operação de
multiplicação. Em seguida foi feita uma breve leitura dos problemas e
explicado cada problema. A turma acompanhou as explicações e depois
começou a desenvolver as atividades. Mas a grande dúvida era qual
operação usar. Eles chamavam a professora nas mesas antes de
resolver para ter certeza do que escrever no registro.
Notou-se que uma das grandes dificuldades dos alunos era
que ao lerem o enunciado das atividades, não às interpretavam
corretamente, ou as liam correndo para terminar rápido. A seguir têm-se
os problemas resolvidos por cada dupla e seu respectivo comentário.
1) No aniversário de Caroline, sua mãe comprou 3 dúzias de
balões rosa, 2 dezenas de balões amarelo e 2 dúzias de balões
verde. Estavam furados 23 balões. Quantos são os balões rosa?
Quantos são os balões amarelos? Quantos são os balões verdes?
Quantos balões ficaram? E quantos balões tinham ao total?
Resolução de duas duplas:
Dupla D: colocou em seu material de registro a seguinte
resposta “36 balões rosas, 24 balões amarelos e 24 balões verdes”.
Assim a sua resposta ficou incompleta. A dupla não respondeu a todos
os questionamentos e para calcular a quantidade de balões amarelos, a
dupla não leu com atenção o que pedia o problema. No enunciado era
pedido 2 dezenas de balões amarelos e a dupla calculou 2 dúzias,
assim respondendo de forma incorreta.
Dupla G: respondeu “são 36 balões rosas, 20 balões
amarelos, 24 balões verdes, ficaram 57 balões e ao total tinham 80
balões”. A dupla desenvolveu de forma correta o problema, interpretou
todas as informações, interagiu entre si para chegar à resposta correta.
2) Ana Luiza foi ao supermercado com seu pai para comprar
bebidas. Eles compraram 3 caixas, contendo 12 garrafas cada
caixa. Quantas garrafas foram compradas? Se cada garrafa
contém 500 ml de bebida, quantos litros tem cada caixa? Quantos
litros tem ao total as 3 caixas?
Resolução de duas duplas:
A dupla D respondeu que “foram compradas 45 garrafas, contém em
cada caixa 6 litros, ao total tem 18 litros”. No primeiro momento da
resolução a dupla errou a multiplicação, para saber a quantidade de
garrafas que foram compradas, já para as demais perguntas eles
desenvolveram os cálculos corretamente, chegando à resposta
esperada.
A dupla G respondeu “foram compradas 36 garrafas, as garrafas
continham 6 litros em cada, e ao total tinham 18 litros”. A dupla
respondeu com sucesso a todos os questionamentos do problema,
desenvolvendo a resolução corretamente.
3) Meu álbum de figurinhas tem 40 páginas, em cada página
cabem 9 figurinhas.
a) Qual é o número total de figurinhas que cabem no álbum?
b) Se já tenho colocadas 150 figurinhas. Quantas estão faltando
para completá-lo?
c) Se cada pacote de figurinhas custa R$2,00, e cada pacote
contém 10 figurinhas. Quantos reais vou gastar para conseguir
completar meu álbum?
Resolução de duas duplas
A dupla C, na questão a, colocou “tem 360 figurinhas no álbum”,
respondendo corretamente. Isto mostra que a dupla interpretou as
informações e soube realizar os cálculos necessários para obter a resposta
desejada. Na questão b, respondeu “Faltam 210 figurinhas para completar
o álbum”, apresentando a resposta correta para esta questão. Na questão
c, colocou a seguinte resposta: “Vou gastar para conseguir completar o
álbum R$42,00”. Esta questão exigiu mais atenção da dupla na sua leitura
e também na sua resolução para chegar ao resultado correto.
As duplas D e G responderam as questões a e b da mesma forma que a
dupla C, somente na questão c, que colocaram “R$72,00”, não
conseguindo chegar à resposta certa. As duplas apresentaram mais
dificuldades em resolver os cálculos, pois estas questões exigiram mais
dos alunos quanto à interpretação e a realização dos cálculos.
4) Raquel resolveu alugar sua casa na praia, propondo o seguinte: “Casa
com 2 quartos e demais dependências, o aluguel mensal é de R$540,00”.
Sendo assim:
a) Se a duração do contrato de aluguel é de 6 meses, quanto ela receberá de
aluguel?
b) E se for de 12 meses?
c) Se alugarem por 4 meses, quanto o inquilino pagará por dia?
d) E se alugarem por 14 dias?
Resolução de duas duplas:
A dupla D: na questão a respondeu “R$3240,00”, interpretando as
informações do problema e realizando desta forma o cálculo correto para
obter o resultado desejado. Na questão b respondeu “R$6.480,00”
também apresentando o resultado correto. Na questão c colocou
“R$18,00” sendo a resposta correta e na questão d colocou “R$252,00”
apresentando todos os cálculos corretamente.
A dupla G: na questão a respondeu “R$3240,00”, interpretando as
informações do problema e realizando desta forma o cálculo correto
para obter o resultado desejado. Na b a dupla respondeu “R$6.480,00”
também apresentando o resultado correto. Na c colocou “R$18,00”
sendo a resposta correta e na questão d “R$212,00” apresentando um
erro na multiplicação dos valores. Isso mostra que eles desenvolveram
o raciocínio corretamente, entenderam todos os questionamentos, mas
mais uma vez reforçam que na multiplicação apresentam dificuldades.
Neste problema ficou clara a dificuldade dos alunos em realizar as
multiplicações.
Ao final destas atividades a professora pesquisadora juntamente com os
alunos da turma deduziu regras de sinais para a operação multiplicação.
Nesta aula, foi possível perceber que os alunos possuem mais
facilidades para desenvolver atividades quando as operações são
realizadas através de situações-problema, onde os alunos podem fazer
uma ligação com o seu cotidiano, desta forma, dando mais sentido e
lógica para o seu estudo em sala de aula.
SEXTA AULA
Introduzir o conceito da divisão de números inteiros.
Objetivo: Manusear as fichas livremente, e em seguida utilizá-las para
resolver expressões e situações-problema com os números inteiros que
envolvam fatos do cotidiano.
Trabalhar com a turma a divisão exata de números inteiros por um número
inteiro positivo utilizando as fichas, não foi uma tarefa muito difícil, porém,
a grande dificuldade da turma foi compreender a divisão exata de um
número inteiro por um número inteiro negativo. Mesmo utilizando-se as
fichas o processo não é tão simples. Desta forma, a divisão foi tratada
como operação inversa à multiplicação e esse processo foi usado para
dividir números inteiros por números inteiros negativos. Também foram
utilizadas fichas como ferramenta de apoio nos cálculos.
a) Temos quatro fichas azuis e queremos dividi-las em dois grupos,
de modo que cada grupo tenha o mesmo número de fichas, quantas
fichas cada grupo vai ter?
As duplas não colocaram o desenho das fichas no material de registro,
mas desenvolveram os cálculos utilizando as fichas e calculando na
classe. Segue abaixo a resolução das duplas.
As duplas B e G colocaram a resposta por extenso “Cada grupo vai ter
duas fichas azuis”. Analisando-se estas respostas se percebe que as
duplas desenvolveram a atividade corretamente, mas não colocaram no
material de registro o desenho das representações, sendo que a
representação correta foi feita em suas classes.
b)Temos quatro fichas vermelhas e queremos dividi-las em dois
grupos, de modo que cada grupo tenha o mesmo número de
fichas, quantas fichas cada grupo vai ter?
As duplas já começaram a apresentar algumas dúvidas, mostrando não
terem muita confiança para desenvolver a atividade sem o auxílio do
professor.
Resolução de duas duplas:
A dupla C apenas colocou o resultado “-2”, mas desenvolveu os
cálculos com o material concreto em suas classes.
A dupla G respondeu “2 fichas vermelhas”. A dupla interpretou as
informações e respondeu o que era pedido, não apresentando
dificuldades.
No primeiro momento da aula é notório que as duplas apresentaram
mais dificuldades para desenvolver as questões quando se tratava de
números inteiros negativos.
No segundo momento os alunos trabalharam com as expressões
matemáticas.
2) Efetuem os seguintes cálculos:
a) (+16) : (+2) =
b) (-6) : (+2) =
c) (+15) : (+3) =
d) (-15) : (+3) =
e) (+10) : (+5) =
f) (-10) : (+5) =
Nesta atividade, ficou a critério dos alunos utilizaram ou não o
material concreto para desenvolverem os cálculos acima.
Todas as duplas resolveram as operações de forma correta,
não apresentaram os cálculos no material de registro, mas
colocaram as respostas corretamente.
No decorrer desta atividade observou-se que mesmo não sendo
exigido que os alunos utilizassem as fichas para efetuarem os cálculos
todos utilizaram material concreto. Além das fichas alguns usaram
canudos de refrigerante para realizar os cálculos e também palitos de
sorvete. Desta forma, todas as duplas realizaram os cálculos
corretamente, atingindo o objetivo da aula.
Convém observar que ao se trabalhar com divisão de números
inteiros por números negativos usa-se um resultado já conhecido, de
que a operação divisão é a operação inversa da multiplicação. Na
segunda etapa da divisão os alunos tiveram dificuldades para
efetuarem os cálculos.
As duas atividades da sequência foram resolvidas juntamente com
os alunos no quadro para que eles compreendessem os passos para a
resolução das operações.
Por exemplo, qual é o resultado da divisão de (+4) por (-2)?
(+ 4) : (- 2) = a, ou seja, encontre o valor de a de modo que a
x (- 2) = (+4).
Para a = +2, tem-se dois grupos com duas fichas vermelhas
cada (+2) x (-2) =
totalizando
representa o número (-4),
esta não é a resposta desejada, logo o resultado da divisão não é o
número “+2”. Ou para a = -2 desejam-se retirar dois grupos com duas
fichas vermelhas cada (-2) x (-2) =
totalizando
sendo esta a resposta correta.
que representa o número (+4),
Assim o que foi feito acima foi criar os zeros e a partir deles foram
retirados dois grupos de fichas, sendo que cada grupo continha duas
fichas vermelhas. Logo resultaram somente quatro fichas azuis que
eram as esperadas no resultado.
De modo análogo, ache o valor de [(- 4) : (- 2)] .
a x (- 2) = (- 4), ou seja, deseja-se encontrar o valor de a que
multiplicado por (-2) seja igual a (-4), ou seja, deseja-se encontrar que a
x (- 2) = (-4).
Existem duas possibilidades para o valor de a:
Para a = -2 têm-se que retirar dois grupos com duas fichas vermelhas
cada (-2) x (-2) =
totalizando
que representa o número (+4),
sendo que esta não é a resposta correta.
Assim foram criados zeros e a partir deles, retirados dois grupos sendo
que cada grupo possuía duas fichas vermelhas. Logo, restaram
somente quatro fichas azuis e esta não é a resposta correta.
E para a = +2, têm-se dois grupos com duas fichas vermelhas cada (+2)
x (-2) =
totalizando
sendo a resposta certa
que representa o número (-4),
A partir destas explicações os alunos desenvolveram as
operações seguintes.
3) Efetuem os seguintes cálculos:
a) (+6) : (-2) =
b) (-6) : (-2) =
c) (+3) : (+1) =
d) (-3) : (+1) =
e) (-4) : (-2) =
f) (+8) : (-2) =
g) (+15) : (+3) =
h) (-15) : (+3) =
i) (+10) : (+5) =
j) (-10) : (+5) =
As duplas B, D e G resolveram todos os cálculos de forma
correta, não apresentaram o desenvolvimento dos cálculos.
Somente a dupla C não apresentou os resultados no seu
material de registro, deixando as questões em branco.
Não se pode deixar de destacar a importância do uso do material
concreto para o desenvolvimento desta aula. Desta forma o seu uso
pode ser entendido de várias maneiras, pois os alunos do sétimo ano do
ensino fundamental, podem não ter bem desenvolvida a capacidade de
pensar sobre as coisas que não sejam apresentadas concretamente ou
as quais não tiveram contato em suas experiências. Tal fato indica a
importância e a necessidade de disponibilizar aos alunos uma grande
variedade de materiais manipuláveis que sirvam de auxiliares para a
compreensão do que estão estudando.
SÉTIMA AULA
Situações-problema envolvendo a divisão.
Objetivo: resolver situações-problema utilizando o material concreto
como instrumento mediador.
1) Um restaurante de 6 sócios, teve um prejuízo de R$36.000,00
no fim do mês. Assim o valor que faltou foi dividido
igualmente entre os sócios. Quanto cada sócio teve de pagar,
para cobrir o valor que faltou?
As duplas responderam, sem apresentar no material de registro, o
processo que as levaram a chegar ao resultado. Todas expressaram
as suas respostas de forma correta. De um modo geral responderam
assim: “Cada sócio teve que pagar R$6.000,00 de prejuízo”.
Mostrando que interpretaram as informações do problema e
desenvolveram a atividade sem apresentar dificuldades.
2) Um auditório possui 23 filas com 25 assentos em cada uma
delas, e uma fila com 20 assentos. Para um espetáculo nesse
auditório já foram vendidos 420 ingressos.
a)Quantos ingressos ainda estão à venda?
b) Quanto custa cada ingresso se, com o auditório lotado a
arrecadação foi de R$5.950,00?
Diferentemente do problema anterior, as duplas precisaram interpretar
as informações dadas e, assim, desenvolver cálculos para obterem as
respostas corretas.
Resolução de duas duplas:
A dupla B, na questão a, apenas colocou a resposta “170 ingressos”.
Esta resposta não esta correta, apesar de ser um resultado próximo do
correto. Isso mostra que a dupla não revisou os passos para chegar à
resposta final, mostrando algumas falhas nos cálculos. Na questão b,
responderam “O ingresso custa R$10,00”, desta forma realizando a
divisão corretamente.
A dupla G, na questão a colocou como resposta “São 155 ingressos à
venda”, esta resposta não é a correta, mas está bem próxima do
resultado correto. Isso mostra que a dupla não revisou os passos para
chegar à resposta final, e também, os alunos efetuaram erros de
cálculo. Na questão b responderam “O ingresso custa R$10,00”, desta
forma realizando a divisão corretamente para se obter o valor correto.
3) No momento Cívico da escola, os professores organizaram as
350 crianças em filas de 7 alunos cada uma. Quantas filas
obtiveram?
As duplas interpretaram corretamente todas as informações do
enunciado do problema, resolveram-no corretamente, registrando
como resposta: “Obtiveram 50 filas”.
4) A professora Ana organizou sua sala de aula da seguinte forma:
como são 36 alunos, para as classes manterem uma distância
considerável entre elas, colocou 4 fileiras iguais. Quantos alunos
ficaram em cada fileira? Sobraram alunos? Faltaram? Couberam
certo os alunos?
As duplas não apresentaram muitas dificuldades para resolver.
Resolução de duas duplas.
A dupla D respondeu “Ficaram 9 alunos em cada fileira, não, não, sim”,
mostrando desta forma que compreenderam o problema, interpretaram
as informações e responderam a todos os questionamentos de forma
correta.
A dupla G colocou em sua resposta “9, sim”, mostrando que realizaram
a operação corretamente, mas não conseguiram atender a todos os
questionamentos do problema.
A dupla B criou o seguinte problema “A menina foi ao shopping e comprou 2 blusas
uma custava R$20,00 e a outra R$15,00. Quanto que ela pagou pelas duas blusas?
Resolução: (+20) + (+15) = 35. Ela pagou R$35,00 pelas duas blusas”.
A dupla C criou o seguinte problema “Paula tem 23 figurinhas, ela ganhou mais 13
figurinhas de sua amiga. Quantas figurinhas Paula ficou? Resposta: Ela ficou com
36 figurinhas”.
Os demais problemas elaborados pelas duplas atingiram o objetivo proposto que
era de elaborar um problema que envolvesse a operação de adição e resolvê-lo de
modo correto. Para tanto, eles utilizaram material concreto, no caso, dinheiro falso,
para facilitar a resolução dos mesmos. Percebe-se que os problemas elaborados
estão relacionados a atividades do cotidiano dos alunos.
Foi possível perceber que nos problemas elaborados pelas duplas que acertaram a
atividade, a operação de adição foi sempre entre dois números inteiros positivos.
Ninguém elaborou uma atividade de soma cujas grandezas fossem números
inteiros negativos. Isso mostra que os alunos ainda têm dificuldades de trabalhar
com quantidades inteiras negativas.
O processo de resolução das atividades propostas é mais significativo
para o aluno quando apresentado na forma de situações que ele possa
relacionar com o meio no qual vivem. Desta forma ele dará mais sentido
e significado para o seu estudo. Partindo desta idéia ressalta-se a
importância da utilização do material concreto para facilitar os cálculos e
também a importância do desenvolvimento dos passos da Resolução de
Problemas (POLYA, 1978) para alcançar os objetivos propostos.
2) Inventem um problema que faça uso somente da subtração de
números inteiros e apresentem a sua solução:
As dificuldades iniciais diminuíram e as duplas já tinham em mente
sobre a situação que iam descrever em seus problemas. Segue abaixo
os problemas elaborados pelas duas duplas com as respectivas
respostas e comentários.
A dupla G criou o seguinte problema “Michael Jackson comprou um
óculos de R$200,00 e tinha R$300,00. Quanto sobrou? Resposta:
Sobrou R$100,00”. A dupla montou um problema curto no qual existia a
operação pedida no enunciado, apresentou a solução do mesmo
atingindo o nosso objetivo.
A dupla D “Ana comprou um carro no valor de R$32.000,00, mas ela
ganhou um desconto de 10%. Quanto Ana pagou pelo carro? Resposta:
Seu carro saiu por R$28.800,00”.
O problema elaborado pela dupla atingiu o objetivo proposto. Observase também que a dupla utilizou o conceito de porcentagem tornando o
problema mais rico. A dupla desenvolveu a atividade corretamente e
ainda expressou os seus conhecimentos sobre outros conteúdos.
Também relacionou conteúdos entre si e usou-os para ligar a
matemática da sala com o cotidiano.
3) Inventem um problema que faça uso somente da adição e subtração de
números inteiros e apresentem a sua solução:
A dupla B “No estádio do Grêmio estavam jogando Grêmio e o Fluminense, o
placar estava 3 x 0 para o Grêmio. No segundo tempo o placar estava 4 x 1.
Quantos gols foi ao total no jogo? Qual o saldo de gols do Grêmio? Resposta: 4
+ 1 = 5 gols e 4 – 1 = +3, ao total foram 5 gols e o saldo de gols do Grêmio foi
de 3 gols positivos”.
A dupla alcançou o objetivo da atividade, apresentando as duas operações
pedidas no enunciado do problema e na sequência respondendo aos
questionamentos feitos por eles mesmos no problema.
A dupla C “Bruna ganhou R$10,00 da sua mãe, e R$17,00 do seu pai, gastou
R$15,00. Quanto ela ganhou? E quanto sobrou? Resposta: Ela ganhou R$27,00
e sobrou R$12,00”.
O problema proposto pela dupla está correto, bem como a sua resposta. A dupla
também utilizou dinheiro falso como auxiliar na resolução do problema
elaborado.
Foi possível perceber que nos problemas elaborados pelas duplas que
acertaram a atividade a operação de subtração foi sempre entre dois
números inteiros positivos cujo resultado continua sendo um número
inteiro positivo. Isso mostra que os alunos ainda têm dificuldades de
trabalhar com quantidades inteiras negativas.
NONA AULA
Apresentação dos problemas criados pelos alunos.
Objetivo: elaborar situações-problema e apresentá-las para a turma.
Elaborem um problema que faça uso somente da multiplicação de números
inteiros e em seguida apresentem a sua solução:
Seguem os problemas elaborados por duas duplas referentes à atividade
A dupla D criou o seguinte problema “Ganhei de mesada R$200,00, no outro dia
achei na rua o quádruplo do que minha mesada. Com quanto fiquei?
200
x4
800
+200
1.000
Resposta: Fiquei com R$1.000,00”. A dupla elaborou um problema envolvendo a
multiplicação e também a adição. Ela apresentou o desenvolvimento de seus
cálculos corretamente em seu material de registro.
A dupla C “Marina comprou 13 balas e Caio comprou o sêxtuplo de balas que
Marina. Quantas balas Caio comprou? Resposta: Caio comprou 78 balas”.
A situação-problema elaborada pela dupla está correta, a dupla fez uso somente
da multiplicação e apresentou o resultado correto conforme o que se pedia no
problema elaborado por eles.
Construam um problema que faça uso somente da divisão de
números inteiros e em seguida apresentem a sua solução:
.
A dupla B “Fabíola tinha 30 bolinhas de gude, ela dividiu suas bolinhas
de gude entre 3 amigos, Quantas bolinhas de gude cada amigo de
Fabíola vai ganhar? Resposta: Cada amigo de Fabíola vai ganhar 10
bolinhas de gude”.
O problema elaborado pela dupla atende ao que o enunciado pedia e
sua resolução está correta.
A dupla D criou o seguinte problema “Tinha R$100,00 e tive que dividir
este valor entre quatro pessoas. Com quanto cada pessoa ficou?
Resposta: Cada pessoa ficou com R$25,00”.
O problema elaborado pela dupla atende ao que o enunciado pedia e
sua resolução está correta.
3) Construam um problema que faça uso da multiplicação e divisão
de números inteiros, e em seguida apresentem a solução:
A dupla C criou o seguinte problema
“Lucas ganhou 10 balas, Tavares ganhou o dobro de balas de Lucas.
Eles querem dividir com 4 amigos as balas. Quantas balas Tavares têm?
Quanto Lucas e Tavares têm juntos? Quantas balas cada amigo
ganhou? Resposta: Tavares tem 30 balas, eles tem juntos 40 balas e
cada amigo ganhou 8 balas”. Analisando o problema elaborado pela
dupla, nele constam as operações de multiplicação e divisão, mas a
dupla não soube resolvê-lo corretamente. Pelas informações fornecidas
no problema Tavares tem 20 balas, ou seja, o dobro de Lucas que tem
10 balas, 2 x 10 = 20 balas, e juntos Lucas e Tavares possuem 10 + 20
= 30 balas; se fossem dividir além dos dois com mais 4 amigos, então
teriam que dividir o total de balas que são 30 entre 6 pessoas. Logo
cada amigo receberia 5 balas.
A dupla D criou o seguinte problema
“Ana tinha R$565,00 e dividiu com seu irmão e com sua irmã este valor,
no outro dia ela conseguiu multiplicar em 18 vezes o que valor que tinha
ficado para ela. Com quanto Ana ficou dividindo o seu dinheiro com
seus irmãos? E com quanto ficou quando multiplicou por 18 vezes?
Resposta: Dividindo ela ficou com R$188,33 e quando multiplicou por 18
ficou R$3.389,94”. A dupla elaborou um problema usando a
multiplicação e a divisão como havia sido pedido no enunciado da
atividade. Em seguida apresentou corretamente a resolução do
problema criado por eles. Observou-se que apesar do problema
apresentar somente números inteiros, na resposta do mesmo aparecem
números decimais. Isso é comum quando se trabalha com a divisão não
exata de números inteiros.
4) ELABOREM um problema que faça uso da adição, subtração,
multiplicação e divisão de números inteiros, e em seguida
apresentem a solução:
A dupla C “
Tinha R$600,00 e ganhei mais R$500,00. Fui a uma loja e gastei
R$100,00 com um tênis e ainda recebi o dobro do dinheiro que me
restou e dividi com mais 4 pessoas. Com quanto fiquei no final de tudo
isso? Resposta: Fiquei com R$400,00”.
A elaboração do problema envolveu as quatro operações nesta
seqüência: adição, subtração, multiplicação e por fim a divisão, desta
forma eles alcançaram o objetivo desta atividade e, posteriormente,
resolveram o problema de forma correta, apresentando o seu resultado.
A dupla D criou o seguinte problema “Ana tinha R$150,00, ganhou
R$50,00 de sua mãe, tinha que pagar uma conta de R$50,00. Ela
comprou uma camiseta e uma jaqueta por R$140,00, parcelou este
valor em 2 vezes. Quanto ela pagará nas parcelas? Quanto sobrou?
Resposta: Ela pagará pela R$140,00 e sobraram R$10,00”. O problema
elaborado pela dupla apresenta três das quatro operações pedidas no
enunciado, possui a adição, subtração e a divisão, faltando somente a
multiplicação. Na resolução do problema, a dupla fez confusão, pois
dividindo o valor total gasto em duas vezes, o valor de cada parcela
seria R$70,00 e não o valor total gasto como a dupla colocou. Já o
segundo questionamento feito pela dupla estava correto, sobrando
então o valor de R$10,00.
Ao finalizar as das atividades da aula 9 , os alunos apresentaram
para a turma, explicando a forma de resolução.