Umkehrung und Winkel
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Transcript Umkehrung und Winkel
Fachdidaktik Seminar –
Kernideen der Mathematik
Sommersemester 2009
Universität Mainz
Johanna Trinkhaus, Timo
Schweißguth
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Inhalt der Präsentation
Umkehrungen in Mathematikunterricht –
Was geht, was geht nicht?
Winkel um Mathematikunterricht
–
Wo kommen sie vor?
Unterrichtsplanung zum
Innenwinkelsummensatz von Dreiecken
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Umkehrungen – Satz des
Pythagoras
Satz des Pythagoras:
Ist ein Dreieck ABC ein rechtwinkliges
Dreieck mit Hypotenuse c, dann gilt:
a ² b² c ²
Umkehrung:
Sei ein Dreieck ABC mit den Seiten a,b,c
gegeben und es gelte a ² b² c ².
Dann ist das Dreieck ein rechtwinkliges
Dreieck mit AB c als Hypotenuse.
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Umkehrungen – Satz des
Pythagoras
Beweisidee:
Wir wählen uns ein rechtwinkliges Dreieck
mit den Katheten a und b und zeigen, dass
dieses kongruent zum Dreieck aus der
Umkehrung ist.
Schüler sollen an diesem wichtigen und
bekannten Satz lernen, worauf es bei
Umkehrungen und Beweisen ankommt.
Dies ist dann eine gute Übung, um das
mathematische Argumentieren zu
trainieren. (Kompetenz K1)
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Umkehrungen – Satz des Thales
Satz des Thales:
Die freien Ecken C aller rechtwinkligen
Dreiecke mit gemeinsamer Hypotenuse
AB liegen auf einem Kreis mit AB als
Durchmesser.
Umkehrung:
Jedes Dreieck, dessen Ecken so auf
einem Kreis liegen, dass eine Seite
Kreisdurchmesser ist, besitzt einen
rechten Winkel.
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Umkehrungen – Satz des Thales
Beweis:
Ergänzung des rechtwinkligen Dreiecks zu
einem Rechteck und Betrachtung der
beiden Diagonalen
Vorkenntnisse:
Diagonalen eines Rechtecks sind gleich
lang
Diagonalen eines Rechtecks halbieren
sich gegenseitig
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Umkehrungen - Strahlensätze
Strahlensätze
1. Strahlensatz
Merkregel:
2. Strahlensatz
Umkehrung:
Erster Strahlensatz ist umkehrbar, der zweite
allerdings nicht.
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Umkehrungen - Strahlensätze
Beweise/Begründungen
Für den ersten Satz sollen die Schüler an
Beispielen erkennen, dass die Umkehrung
gilt
Für den zweiten Strahlensatz ergibt ein
einfaches Beispiel, dass die Umkehrung
nicht gilt. (Kreis um A mit r AA' ergibt
weitere, nicht parallele, Strecke für die die
Behauptung gilt.
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Umkehrungen - Probleme
Häufig fällt es den Schülern schwer
Behauptung und Voraussetzung zu
trennen. So wird beim Beweisen vielleicht
ungültiges als Beweismittel eingesetzt.
Schüler müssen bei
Gleichungsumformungen darauf achten
ob die Umkehrung wirklich gelten kann.
(Umkehrung könnte /0 sein)
Trennung von Satz und Umkehrung
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Winkel - Höhenbestimmung
Problemstellung
Aufgabe
Schüler gehen auf den Schulhof und sollen
die Höhe h des Schulgebäudes bestimmen
und vorher eine Skizze anfertigen
Vorerst sollen die Schüler ohne Hilfe zurecht
kommen
Hilfestellung: Trigonometrische Funktionen
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Winkel - Höhenbestimmung
Vorkenntnisse:
Umgang mit der Winkelmessung eines
Theodoliten (Einführung im Unterricht)
Kenntnisse über trigonometrische
Funktionen
Probleme
Schüler versuchen h zu schätzen, indem sie
die Höhe des Gebäudes mit der eigenen
Größe vergleichen
Zeichnungen allein helfen bei Messung
nicht, da der Realitätsbezug verloren geht
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Winkel – Ähnliche Dreiecke
Problem:
Quadrat mit Seitenlänge
8cm
Aufgabe:
Zeige, dass alle Dreiecke ähnlich sind.
Zeige an einem Dreieck, dass die
Seitenverhältnisse 5:4:3 sind.
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Winkel – Ähnliche Dreiecke
Vorkenntnisse:
Innenwinkelsummensatz von Dreiecken
Definitionen von Stufen-, Wechsel- und
Nebenwinkeln
Satz des Pythagoras
Probleme:
Sehr formal, da keine Zahlenbeispiele
Anwendungsaufgabe
Bsp. mit Winkelmessungen kann helfen
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Winkel – Grad- und Bogenmaß
Problem:
Was ist b? Wie berechne ich b?
Idee: Einheitskreis U 2
Schüler sollen erkennen, dass b eine Teil
von U ist
Aufgabestellung:
Schüler sollen Werte vom Bogenmaß ins
Gradmaß umrechnen und umgekehrt
Schüler sollen möglichst alleine allg.
Formeln aufstellen
Was ist bei r 1 ?
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Winkel – Grad- und Bogenmaß
Vorkenntnisse:
Berechnung vom Kreisumfang
Umgang mit Winkeln im Bogenmaß
Probleme:
Formale Abstraktion
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Einstiegsmöglichkeiten
Winkelsummensatz
Dreieck auf Papier oder Pappe zeichnen
und ausschneiden, Ecken abreißen und
zusammenlegen
Im Helf oder mit DynaGeo sollen die
Schüler versuchen ein Dreieck mit
möglichst großer Innenwinkelsumme zu
zeichnen
Abschreiten der Winkel
Formaler Ansatz für die besseren Schüler