Transcript 第6讲

2.2 平行平板的多光束干涉
1. 平行平板多光束干涉的强度分布
——爱里(Airy)公式
2. 多光束干涉图样的特点
3. 透射光的特点
1
n0
n
2
3
4
0
h

n0
1
2
3
光束在平行平板内的多次反射和折射
P
W
n0
n
n0
L
0

h
L
P
在透镜焦平面上产生的多光束干涉
1. 平行平板多光束干涉的强度分布
——爱里(Airy)公式
（1）光程差和相位差
（2）合振动振幅
（3）反射光和透射光强度
（1）光程差和相位差
假设E0i 为入射光电矢量的复振幅，与P点(和P 点)对应
的多光束的出射角为 0，它们在平板内的入射角为  。因而
相邻两反射光或透射光之间的光程差为：
 = 2nh cos 
相应的相位差为：
  kΔ 
4π

nh cos 
（2）合振动振幅
若光从周围介质射入平板时的反射系数为 r ，透射系数
为 t，光从平板射出时的反射系数为 r，透射系数为 t  ，
n0n
r
nn0
r t 
t
1： r
2：t r t
3: t r  r  r  t 
4: t r  r  r  r  r  t 
1
n0
n
2
3
4
0
h

n0
1
2
3
则从平板反射出的各个光束的复振幅为 ：
E01r  rE0i
E02r  r tt E0i e

E0lr  tt r 

( 2 l  3)
i
E0i e
i ( l 1)
所有反射光在P点叠加，其合成场复振幅为：

E0 r  E01r   E0lr
l 2

( 2 l 3)
i ( l 1)


 E01r   tt r
E0 i e
l 2
 E01r  tt r E0i e
i

 r
n 0
2 n in
e
根据菲涅耳公式
n1 cos 1  n2 cos  2
rs 
n1 cos 1  n2 cos  2
n2 cos 1  n1 cos  2
rp 
n2 cos 1  n1 cos  2
2n1 cos 1
2n1 cos 1
ts 
tp 
n1 cos 1  n2 cos  2
n2 cos 1  n1 cos  2
可以证明
r  r 
tt   1  r
2
考虑到反射系数、透射系数与反射率、透射率之间的关系：
r2 = r 2 = R
t t = 1r2 = 1R = T

并利用
1
x 

1 x
n 0
n
i
即可得到振幅：
(1  e ) R
E0r 
E0 i
i
1 R e
(3) 反射光和透射光强度
根据振幅与光强之间的关系：I = E·E*，即可
得到反射光强与入射光强之间的系式为：
i
-i
(1  e ) R
(1  e ) R 
Ir 
E0 i 
E0i
i
-i
1  Re
1  Re

F sin
2
1  F sin

2 I
i
2

2
爱里公式
式中：
4R
F
2
(1  R )
类似地，由透射光 1, 2, 3 也可得到透射光强与入射
光强之间的关系式：
It 
1
1  F sin
2

2
Ii
2. 多光束干涉图样的特点
(1) 互补性
(2) 等倾性
(3) 光强分布的极值条件
(1) 互补性
Ir + It = Ii
该式反映了能量守恒的普遍规律，即在不考虑吸收和
其它损耗的情况下，反射光强与透射光强之和等于入射光
强。
若反射光因干涉加强，则透射光必因干涉而减弱，
反之亦然。即是说，反射光强分布与透射光强分布互补。
(2) 等倾性
Ir 
F sin
2
1  F sin

2 I
i
2

2
由爱里公式可以看出，干涉光强随R和变化，在特定
的R条件下，仅随 变化。也可以说干涉光强只与光束倾
角有关，这正是等倾干涉条纹的特性。
因此，平行平板在透镜焦平面上产生的多光束干涉条
纹是等倾条纹。当实验装置中的透镜光轴垂直于平板时，
所观察到的等倾条纹是一组同心圆环。
0
n0
n
h

n0
0
L
f
P
O
r
R=f 0
多
光
束
干
涉
的
实
验
装
置
图
(3) 光强分布的极值条件
2 
反射光
当
Ir 
F sin
1  F sin
  (2m  1) π
形成亮条纹
当且仅当
I rM
2

2
m  0, 1, 2,
时
F

Ii
1 F
  2mπ
形成暗条纹
2 I
i
Irm = 0
m  0, 1, 2,
时
透射光
亮纹：
It 
1
Ii

1  F sin
2
  2mπ m  0, 1, 2,
2
I tM  I i
暗纹： 
 (2m  1) π
I tm
m  0, 1, 2,
1

Ii
1 F
说明：
讨论平行平板双光束干涉时，二反射光的光程差计入了
第一束反射光“半波损失”的贡献：
 = 2nh cos2 + /2
而讨论平行平板多光束干涉时，除了第一个反射光外，其它
相邻二反射光间的光程差均为 = 2nh cos2 ，
第一束反射光的特殊性已由菲涅耳系数 r = r′表征 。
因此得到的光强分布极值条件，与只计头两束反射光时的双
光束干涉条件，实际上是相同的，自然干涉条纹的分布也完
全相同。
3. 透射光的特点
(1) 光强分布与反射率 R 有关
(2) 条纹锐度与反射率R有关
(3) 频率特性——滤波特性
(1) 光强分布与反射率R有关
It 
1

1  F sin
2
2
R 很小时，干涉光强的变化不大，即干涉条纹
的可见度很低。当R增大时，透射光暗条纹的强度
降低，条纹可见度提高。控制R的大小，可以改变
光强的分布。
I tM  I i
1
I tm 
Ii
1 F
Ii
(2) 条纹锐度与反射率R有关
R增大，极小值下降，亮条纹宽度变窄。但
因透射光强的极大值与R无关，所以，在R很大时，
透射光的干涉条纹是在暗背景上的细亮条纹。
与此相反，反射光的干涉条纹则是在亮背景
上的细暗条纹，由于它不易辨别，故极少应用。
能够产生极明锐的透射光干涉条纹，是多光
束干涉的最显著和最重要的特点。
It/Ii
1.10
0.88
F=0.2(R=0.046)
0.66
0.44
F=2(R=0.27)
0.22
F=20(R=0.64)
0.00
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 F=200(R=0.87)
2m
2(m+1)
多光束干涉的透射光强分布曲线图
It/Ii
1
0.5
0
2m

条纹的半宽度图示

在It/Ii～曲线上，若用条纹的半峰值全宽度  =
表征干涉条纹的锐度，当
Δ
  2mπ 
2
当
It 1
 
Ii 2
从而有：
时
1
Δ 
2
1  F sin  mπ 

4 


2 
F sin
 F sin
1
4
4
2
若 F 很大(即R较大)， 必定很小，有 sin /4 ≈  /4，
F( /4)2=1，因而可得：
4
2(1  R)


F
R
显然，R愈大， 愈小，条纹愈尖锐。
条纹锐度除了用  表示外，还常用相邻两条纹间的相
位差(2)与条纹半宽度()之比N表征。即：
2π
π R
N

 1 R
(3) 频率特性——滤波特性
由It/Ii～分布曲线，只有相邻透射光相位差处在半宽
度 内的光才能透过平行平板。
 =2nh cos
 =2  /
在平行板的结构(n、 h)确定，入射光方向一定的情况
下，相位差 只与光波长有关，只有使 =2m 的光波长才
能最大地透过该平行平板。
将 改写为：
2π
4π


nh cos 

c
It/Ii

1
F=20
1/2
0.5
0
m
2m
R=0.87
2
m+1
2(m+1)


通常将相应于条纹半宽度 的频率范围1/2称为滤
波带宽，且
Δ 1/ 2 
Δ
4π
nh cos 
c
利用(2.2-16)式，将其改写为：
Δ 1/ 2
c(1  R)

2πnh R cos 
| Δ m |
由m = c/m 求微分得
c

2
m
Δm

2nh cos 
相应于  = 2m 的光波长： m 

m
m
所以，透射带宽可用波长表示：
(Δm )1/ 2  Δ 1/ 2


2
m N
2m
2(1  R)nh cos 

c
m2 π R

m
mN
通常称 (m)1/2 为透射带的波长半宽度。显然，R愈大，
N愈大，相应的( m)1/2愈小。
作
业
18，23，24，25