Transcript VWO A deel 3 H10

vwo A Samenvatting Hoofdstuk10
machtsfuncties
n even
y
O
n oneven
y
x
a > 0
O
a < 0
de top is (0,0)
y
x
O
a > 0
y
x
O
x
a < 0
het punt van symmetrie is (0,0)
10.1
Grafieken van machtsfuncties verschuiven
y
xtop bereken je
door wat tussen
haakjes staat 0 te
y maken.
= x²
top (0, 0)
y = ( x – 4 )²
4 naar rechts
top (4, 0)
y = ( x – 4 )² + 3
3 omhoog
top (4,3)
y = 2 ( x – 4 )² + 3
O
x
parabool smaller
top hetzelfde
top (4, 3)
algemeen
grafiek van
translatie (p, q)
beeldgrafiek
y = axn

y = a(x – p)n + q
y = a ( x - p )² + q
top (p, q)
10.1
los op (exact)
x² < 2x + 3
f(x) = x²
Werkschema bij het oplossen van ongelijkheden
1) Schets de grafieken van f en g.
2) Los de vergelijking f(x) = g(x) op.
3) Lees uit de schets de oplossingen af.
g(x) = 2x + 3
y
f(x) = g(x)
x² = 2x + 3
f
x² - 2x – 3 = 0
( x + 1 )( x - 3 ) = 0
x = -1 v x = 3
aflezen uit de schets
-1 < x < 3
Lees het antwoord af op de x-as
f(x) < g(x) wanneer ligt de
grafiek van f onder die van g.
-1
0
3
x
g
10.1
Werkschema: het tekenen van de grafiek van een wortelfunctie
1. Bereken het domein en de coördinaten van het beginpunt.
2. Maak een tabel.
3. Teken de grafiek.
Werkschema: het oplossen van wortelvergelijkingen
1. Maak de wortel vrij.
2. Kwadrateer het linker- en rechterlid en los de verkregen
vergelijking op.
3. Controleer of de oplossingen van de gekwadrateerde
vergelijking oplossingen zijn van de gegeven vergelijking.
10.2
opgave 23
y
2x + 3 ≥ 0
2x ≥ -3
x ≥ -1½
4
g
3
Wanneer ligt de grafiek
van f onder die van g ?
a) f(x) = -2 + √(2x + 3)
2
beginpunt ( -1½ , -2)
b)
Bf = [ -2 ,  >
c)
f(x) < g(x)
1
voer in y1 = -2 + √(2x + 3)
en
y2 = -0,5x + 2
∙
-1,5
-2
-1
0
x ≈ 2,41
1
2 2,41 3
∙4
x
-1
f
-1½ ≤ x < 2,41
∙
-2
10.2
Wortelvergelijkingen oplossen
voorbeeld
Isoleer de wortelvorm.
Kwadrateer het
linker- en het
rechterlid.
Los de vergelijking op.
2x + √x = 10
√x = 10 – 2x
x = (10 – 2x)2
x = 100 – 40x + 4x2
-4x2 + 40x + x – 100 = 0
-4x2 + 41x – 100 = 0
D = (41)2 – 4 · -4 · -100
D = 81
x = -41 ± √81
Controleer of de
oplossingen kloppen.
-8
x = 6¼ v x = 4
voldoet niet
voldoet
10.2
y
Asymptoten
4
1
x
standaardfunctie
3
De grafiek heet een hyperbool.
2
f (x) =
f (0) bestaat niet.
1
∙
-1
0
1
∙
-1
Je hebt een horizontale asymptoot
en een verticale asymptoot.
Een asymptoot is een lijn waarmee
de grafiek op den duur vrijwel mee
y=0
-2
2
3
x
samenvalt.
-2
x=0
10.3
Transformaties en gebroken functies
y
f(x) =
1
x
g(x) =
1
+1
x-2
standaardfunctie
4
3
∙
2
translatie 2 naar rechts 1 omhoog
1
∙
-1
0
1
∙
-1
y=1
y=0
-2
∙
2
3
x
-2
x=0
x=2
10.3
Gebroken vergelijkingen
Regels voor het algebraïsch oplossen van gebroken vergelijkingen
A
= 0
B
geeft A = 0
0
=0
1
A
C
=
geeft A = C
B
B
1 = kan niet
0
A = A geeft A = 0 v B = C
B
C
0 = kan niet
0
A = C geeft AD = BC
B
D
0 =0
5
een breuk is nul als de teller nul is
en de noemer niet
Controleer of
geen noemer nul
wordt.
10.3
De grafiek van f(x) = gx
f(x) = gx met g constant en g > 0 is een exponentiële functie
g>1
y
1
O
0<g<1
y
Asymptoot is een lijn
waar de grafiek op den
duur mee samenvalt.
x
1
O
De grafiek is stijgend
De grafiek is dalend
bereik < 0, >
bereik < 0, >
de x-as is asymptoot
de x-as is asymptoot
x
10.4
Het effect van transformaties op y = gx
y = gx
verm. t.o.v. de x-as met a
y = a · gx
Vermenigvuldig in de formule
de functiewaarde met a.
De asymptoot is y = 0.
y = gx
translatie (p, 0)
y = gx – p
Vervang in de formule x door
x – p.
De asymptoot is y = 0.
y = gx
translatie (0, q)
y = gx + q
Tel in de formule q op bij de
functiewaarde.
De asymptoot is y = q.
10.4
Rekenregels voor machten
10.4
Logaritme en exponent
2x = 8
x = 3 want 23 = 8
2x = 8 ⇔ 2log(8)
23 = 8 ⇔ 2log(8) = 3
2log(32) = 5 want 25 = 32
algemeen :
glog(x) = y betekent gy = x
dus glog(gy) = y
x > 0 , g > 0 en g ≠ 1
10.5
De standaardgrafiek y = glog(x)
0<g<1
y
O
g>1
y
x
1
O
x
1
stijgend
dalend
domein < 0,  >
de y-as (x = 0) is asymptoot
10.5
Grafieken van logaritmische functies
Het beeld van y = glog(x) bij enkele transformaties
transformatie
formule beeldgrafiek
domein
formule asymptoot
translatie (0, q)
y = glog(x) + q
< 0,  >
x=0
translatie (p, 0)
y = glog(x – p)
< p,  >
x=p
verm. x-as, a
y = a · glog(x)
< 0,  >
x=0
Werkschema: het tekenen van de grafiek van een logaritmische functie
1. Stel de formule op van de verticale asymptoot.
2. Maak een tabel.
3. Teken de grafiek.
10.5
voorbeeld 1
a)
x=4
Hoe ontstaat f(x) = 3log(x – 4) + 2 uit y = 3log(x) ? y
4
y = 3log(x)
translatie (4, 0)
3
y = 3log(x – 4)
translatie (0, 2)
y=
b)
3
3log(x
2

– 4) + 2
x


1
3
9
log(x)
-2
-1
0
1
2
1

1
O
Df = < 4, >
-1
-2 



2
3

4
2 omhoog
4 naar rechts

5


10.5
Rekenregels voor logaritmen
Werkschema: het oplossen van logaritmische vergelijkingen
1. Kijk of je kunt toepassen glog(x) = y geeft x = gy.
Lukt dat niet, dan
2. Herleid het linker- en rechterlid tot logaritmen met hetzelfde grondtal.
Gebruik daarna glog(A) = glog(B) geeft A = B.
10.6
Logaritmische schaalverdeling
Een gewone schaalverdeling is niet praktisch als je op een getallenlijn
gegevens wilt uitzetten die sterk in grootte verschillen.
We kiezen in zo’n situatie liever een logaritmische schaalverdeling.
paard = 600 kg.
log(600) ≈ 2,8
Op de logaritmische schaalverdeling is de afstand van 104 tot 100 gelijk aan 4
log(104) = 4
10.7
107
Logaritmisch papier
F  2400
2400000
opgave 84
106
EE
150000
150
55
DD55000
105
CC23000
23
BB
7500
7,5
104
AA
1300
1,3
10
3
10.7
opgave 87a
Rechte lijn op logaritmisch papier,
dus N = b · gt.
t = 1 en N = 30
t = 7 en N = 400
400
400
g6 dagen = 30
1
 400  6
gdag =  30  ≈ 1,540


N = b · 1,540t
30
b · 1,5401 = 30
t = 1 en N = 30
b=
30
 19
19,5
1,540
Dus N = 19,5 · 1,540t.
10.7