Transcript 1 vmbo-KGT 2.2 Grote getallen

vwo B Samenvatting Hoofdstuk 5
De standaardfunctie f(x) = gx
f(x) = gx met g constant en g > 0 is een exponentiële functie
g>1
0<g<1
y
y
ℝ is de verzameling van
alle getallen
1
O
grafiek is stijgend op ℝ
domein ℝ
bereik < 0, >
de x-as is asymptoot
asymptoot is een lijn waar de grafiek op
den duur bijna mee samenvalt
x
1
O
x
grafiek is dalend op ℝ
domein ℝ
bereik < 0, >
de x-as is asymptoot
5.1
Het effect van transformaties op y = gx
y = gx
verm. t.o.v. de x-as met a
y = a · gx
vermenigvuldig in de formule de
functiewaarde met a
asymptoot  y = 0
y = gx
verm. t.o.v. de y-as met b
1
y=gb
vervang in de formule x door
y = gx
translatie (c, 0)
y = gx – c
vervang in de formule x door x – c
y = gx
translatie (0, d)
y = gx + d
tel in de formule d op bij de
functiewaarde
asymptoot  y = d
1
b
asymptoot  y = 0
asymptoot  y = 0
5.1
Rekenregels van machten
• a4 = a · a · a · a
• a2 · a3 = a · a · a · a · a = a5
a5
a·a·a·a·a
• 3 =
= a2
a
a·a·a
•
(a2)3
=
a2
·
a2
·
a2
=
a6
• (ab)3 = ab · ab · ab = a3b3
bij vermenigvuldigen de exponenten
optellen
bij delen trek je de exponenten van
elkaar af
bij macht van een macht
vermenigvuldig je de exponenten
bij de macht van een product krijg je
een product van machten
5.1
Algemeen
• ap · aq = ap + q
•
ap
= ap – q
aq
• (ap)q = apq
• (ab)p = apbp
5.1
Negatieve exponenten
4° = 1
a° = 1 (a ≠ 0)
2-1 = ½
8-1 = ⅛
1
-n
a =
(aan≠ 0)
Verhuist een macht van de teller naar
de noemer of omgekeerd, dan
verandert de exponent van teken.
De rekenregels voor machten gelden ook bij negatieve exponenten.
5.1
Machten met gebroken exponenten
x½ = √x
3
x = √x
4½ = √4 = 2
3
64 = √64 = 4
algemeen : a = n√a
q p
p
ook geldt : a =q √a (a
> 0)
5.1
Lineaire groei en exponentiële groei
5.2
Bij de formule N = b ∙ gt onderscheiden we 2 gevallen
Groeifactoren kleiner dan 0 of gelijk aan 1 hebben geen betekenis.
g>1
0<g<1
y
y
stijgend
dalend
1
O
1
x
O
x
5.2
Groeifactor en groeipercentage
Neemt een hoeveelheid per tijdseenheid met een vast percentage toe of af, dan
heb je met exponentiële groei te maken.
v.b. Een bedrag van 250 euro neemt per jaar met 4,5% toe
100% + 4,5% = 104,5%  : 100  ×1,045
dan is de groeifactor 1,045
formule : B = 250 ×1,045t
dus bij een groeifactor van 0,956
is de procentuele afname 100% - 95,6% = 4,4%
We zeggen dat het groeipercentage - 4,4% is.
Bij een verandering van p% per tijdseenheid hoort
exponentiële groei met groeifactor g = 1 + p/100.
Bij een groeifactor g per tijdseenheid hoort een
verandering van p = (g – 1) × 100%.
5.2
Groeipercentages omzetten naar een andere tijdseenheid
Bij exponentiële groei met groeifactor g per tijdseenheid,
is de groeifactor per n tijdseenheden gelijk aan gn
Bij een groeifactor van 1,5 per uur
hoort een groeifactor van 1,524 ≈ 16834,11 per dag,
en een groeifactor van 1,5¼ ≈ 1,11 per kwartier.
1,11  111%  toename per kwartier is 11%
Het omzetten van groeipercentages naar een andere
tijdseenheid gaat via groeifactoren.
5.2
Logaritme en exponent
2x = 8
x = 3 want 23 = 8
2x = 8 ⇔ 2log(8)
23 = 8 ⇔ 2log(8) = 3
2log(32) = 5 want 25 = 32
algemeen :
glog(x) = y betekent gy = x
dus glog(gy) = y
x > 0 , g > 0 en g ≠ 0
5.3
De standaardgrafiek y = glog(x)
Functies f en g met de eigenschap dat hun grafieken elkaars
spiegelbeeld zijn in de lijn y = x heten inverse functies.
g>1
0<g<1
y
y
y=x
y=x
y = 2x
1
O
y = (½)x
x
1
1
O
x
1
y = 2log(x)
y = ½log(x)
5.3
5.3
opgave 54
y = a · glog(x + b)
a>0
0<g<1
b>0
b< 0
b>0
b< 0
y
y
y
y
O
x
x = -b
O
x = -b
x
O
O
O
x = -b
O
x
O
x = -b
x
x = -b
y
y
x
x
x = -b
x = -b
y
g>1
a<0
y
x
O
x = -b
x
Logaritmische schaalverdeling
Een gewone schaalverdeling is niet praktisch als je op een getallenlijn
gegevens wilt uitzetten die sterk in grootte verschillen.
We kiezen in zo’n situatie liever een logaritmische schaalverdeling.
paard = 600 kg.
log(600) ≈ 2,8
Op de logaritmische schaalverdeling is de afstand van 104 tot 100 gelijk
aan 4 log(104) = 4
5.4
Exponentiële groei en logaritmisch papier
Bij een rechte lijn op logaritmisch papier hoort exponentiële groei,
dus een formule van de vorm N = b · gt
De verdubbelingstijd bij exponentiële groei is de tijd waarin de
hoeveelheid verdubbelt.
Bij groeifactor g bereken je de verdubbelingstijd T door de vergelijking
gT = 2 op te lossen.
De verdubbelingstijd is onafhankelijk van b.
5.4
opgave 72
jaar
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2003
aantal N
155
200
441
494
553
619
870
a Teken
b vanaf 1997
c Lijn door (2, 441) en (8, 870)
g6 jaar = 870/441 ≈ 1,97
gjaar = 1,97⅙ ≈ 1,12
N = b · 1,12t
441 = b · 1,122
t = 2  N = 441
b = 441/1,122
b ≈ 352
∙
N = 352 · 1,12t
∙
∙
∙
∙
∙
∙
2003
2002
2001
2000
1999
1998
1997
1996
1995
5.4