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```Mat. Sc #9
Chapter 7 Mechanical Properties (1)

Material Sciences and Engineering
William D. Callister, Jr.
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CHAPTER 7:
MECHANICAL PROPERTIES
• Stress and strain: What are they and why are
• Elastic behavior: When loads are small, how much
deformation occurs? What materials deform least?
• Plastic behavior: At what point do dislocations
cause permanent deformation? What materials are
most resistant to permanent deformation?
• Toughness and ductility: What are they and how
do we measure them?
• Ceramic Materials: What special provisions/tests are
1
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7.1 簡介 (Introduction)
 許多材料使用時會承受力或負荷, 在此情况下, 必須了解材料之特性及確定

 材料的機械性可以反應出其受力或負荷與變形的關聯性ｏ
 強度, 硬度, 延性和勁度是重要的機械性貭ｏ
 實驗室測量時也須考慮之因素: 負荷的種類, 負荷之時間, 環境的狀况ｏ
 負荷方式 : 拉伸, 壓縮及煎切ｏ
 負荷的大小可能是固定, 或随時間而連續變化, 可時是瞬時或持續的ｏ
 統一規範出一致的測試法, 通常都由專業協會來協調, ASTM (美國材料測

 材料常被選用於結構之應用, 是因其具有所需的各項機械性質之組合ｏ
 本章討論各種材料的應力及應变行為與其相關的机械性質ｏ
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 拉伸負荷
 壓縮負荷
 扭短Τ
剪應變γ
{虛線代表變形前之形狀}
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COMMON STATES OF STRESS
• Simple tension: cable
F

Ao
• Simple shear: drive shaft
Ski lift
(photo courtesy P.M. Anderson)
Fs
 
Ao
Note:  = M/AcR here.
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OTHER COMMON STRESS STATES (1)
• Simple compression:
Ao
Canyon Bridge, Los Alamos, NM
(photo courtesy P.M. Anderson)
Balanced Rock, Arches
National Park
(photo courtesy P.M. Anderson)
Note: compressive
structure member
( < 0 here).
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OTHER COMMON STRESS STATES (2)
• Bi-axial tension:
Pressurized tank
(photo courtesy
P.M. Anderson)
• Hydrostatic compression:
Fish under water
 > 0
z > 0
(photo courtesy
P.M. Anderson)
 h< 0
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7.2 應力及應變的觀念 (Stress and Strain)

 假如一負荷以靜態或相對於時間, 以非常緩慢的速度均勻作用於一構件的

 有三種主要的負荷方式: 拉伸, 壓縮和剪切ｏ 工程應用上, 負荷方式還有扭

 拉伸試驗 (Tension Test): 沿着試片的軸向,逐漸增加拉伸負荷, 試片變形,

 通常樣品具有圓形橫斷面,但也有時也會使用矩形試片ｏ拉伸試驗機設計以

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7.2 應力及應變的觀念 (Stress and Strain)

 拉伸試驗的輸出是以負荷或力對伸長量的方式記錄於長條圖上ｏ 這些負荷-變形的特

如果試片的斷面(cross section)是兩倍時, 則產生相同的伸長量需要兩倍的負荷ｏ
 工程應力 (Engineering Stress) 及工程應變 ( Engineering strain)相對的參數關係:
σ = F / Ao
F = 垂直於試片橫截面的負荷 (N –牛頓; lb = 磅力 psi)
Ao = 橫截面面積 ( m2; in 2 )
6
2
 工程應力的單位: 百萬帕斯卡 : MPa (10 N/m );
psi (pound per square in).
 工程應变 :
l1 = 瞬時長度,
ε = l1 – lo / lo = ⊿l / lo
lo = 原長, ⊿l = 瞬時变形的長度; ε是無因次
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STRESS-STRAIN TESTING
• Typical tensile specimen
• Typical tensile
test machine
Callister 6e.
• Other types of tests:
--compression: brittle
materials (e.g., concrete)
--torsion: cylindrical tubes,
Adapted from Fig. 6.3, Callister 6e.
(Fig. 6.3 is taken from H.W. Hayden,
W.G. Moffatt, and J. Wulff, The
Structure and Properties of
Materials, Vol. III, Mechanical
Behavior, p. 2, John Wiley and Sons,
New York, 1965.)
9
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7.2 應力及應變的觀念 (Stress and Strain)

 壓縮試驗操作方式如同拉伸試驗, 但作用負荷是壓縮力和試片沿着應力方向

 上頁所列之公式也用以計算壓縮應力‧力及應變, 但壓縮力取負號, 產生負應

 公式中, 由lo 大於l1, 計算之應變值也必須是負值ｏ
 因拉伸試驗較易埶行所以其測試較普遍ｏ 除非像有製造應用上需要材料大

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7.2 應力及應變的觀念 (Stress and Strain)

 純剪刀測試 (Shear Test), 剪應力 Τ, 剪應变的計算公式是依據下面的公式:

Τ ( 應力) = F / Ao
F = 是平行作用於上平面及下平面且面積為Ao的力或負荷

γ ( 應變) = tan θ
 剪應力及剪應变單位與拉伸試驗相同ｏ
 應力狀態的幾何考量: 若考慮相對於試片端面任意方位角度θ之pp’平面時,

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7.3 應力應變行為 (Stress-strain Behavior)
 虎克定律 (Hook’s Law): 結構變形或應變的程度是依據所施加的應力大小而定, 對於


σ=Exε;
E =σ/ε
E = 比例常數 (GPa 或 Psi) 稱之謂彈性模數 (Modulus of Elasticity) 或楊氏

6
6
 金属的彈性模數:
45 GPa (鎂, 6.5 x10 psi) ~ 409 GPa (鎢. 59x10 psi)
 陶瓷的彈性模數:
70 ~500 GPa (10x 10 ; 700 x 10 psi)
 高分子聚合物之模數:
0.007 ~4 GPa (10 ~ 0.6 x 10 psi)
6
3
6
6
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7.3 應力應變行為 (Stress-strain Behavior)
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7.3 應力應變行為 (Stress-strain Behavior)
 彈性變形 ( elastic deformation ): 應力和應變成比例的變形稱之。(如圖)
 應力 ( 縱座標) 與應變 (橫座標)會產生如圖之線性關係, 這個線性區域的斜率相當

 有一巳知應力作用下模數愈大則材料勁度愈大, 或具有較小的彈性應變ｏ 模數是

• 線性彈性變形

 彈性變數並非永久的, 即指當釋放作用負

 某些材料 (如鑄鐵, 混凝土和許多高分子)

 對於非線性行為, 可採用正切或割線模數
(tangent modulus)ｏ
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ELASTIC DEFORMATION
1. Initial
bonds
stretch
initial

F
Elastic means reversible!
2
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7.3 應力應變行為 (Stress-strain Behavior)
E ∞ ( dF / dr ) ro

 以原子尺度大小來看, 巨觀的彈性應變表現是因原子間距離微小的改變和原子間鍵

 因此, 彈性模式之大小是相鄰原子/ 離子 / 分子間抵抗分離的一種量測, 亦即原子間

 金屬, 陶瓷, 高分子間模式之差別, 是因三材料有不同的原子鍵結形式之結果ｏ
 所有材料隨溫度之增加, 其彈性模式會下降ｏ 如上圖右所示ｏ
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PLASTIC DEFORMATION (METALS)
1. Initial
F
Plastic means permanent!
linear
elastic
linear
elastic

3
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7.4 滯彈性 (Anelasticity)
 至目前為止都假設彈性變形與時間無関, 意卽作用力產生瞬間

 滯彈性: 大部的工程材料存在輿時間相関的彈性應变量, 也就

 這是由於與時間相關的微觀和原子參與變形過程所致ｏ
 對金属而言滯彈性份量很小經常可忽略之, 但對某些高分子材

(viscoelastic behaviour)ｏ
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 一銅片長305 mm (12 in.)以276 MPa (40,000 psi) 應力拉

 (solution):
σ = ε E = (△ l / lo ) x E
∆ l = σx lo / E
3
∆ l = (276) (305) / 110 x 10 = 0.77 mm ( or 0.03 in.)
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7.5 材料的彈性性質 ( Elastic Properties of Materials)
 當一拉伸力作用於材料時, 在應力作用的方向上 (z 軸方向)會產生彈性伸長並伴

 包松比 (Poission Ratio): 若作用應力是單軸向 ( z 向如圖)且材料是等向性的,

ν= - εx / εz = - εy / εz ( 正號)
 理論上等向性材料的包松比 = 1 / 4; 此外其最大值是 0.50 ｏ
 對許多金属和其他合金, 包松比 = 0.25 ~0.35 之間ｏ
 對等向性材料其剪力模數及包松比間的関係為:
E = 2 G (1 + ν)

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 一直徑10mm (0.4 in.)的圓柱形黃銅,

-3
-4

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 大部份的金属材料, 彈性变形僅存在應變之0.005之內ｏ
 當变形超過此點時, 應力不再與應变成正比, 卽虎克定律不再適用, 且發生

 典型金属在塑性區域的拉伸力及應變行為如圖 (a) 所示ｏ
 大部份金属從彈性到塑性的轉变是循漸近式的, 在塑性變形開始的一些曲

 從原子結構的觀點, 塑化变形可視為打斷原子

(a)
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7.6 拉伸性質 ( Tensile Properties):

 大部份材料都設計在施加壓力發生彈性變形範圍之內, 因此必須知道塑性變形之開

 由彈性轉換至塑性變形, 降伏點可從應力-應變曲線開始偏離線性而決定, 此點P
(前頁圖)稱之為比例限 (proportional limit).
 此點的位置無法正確決定, 因此傳統上利用0.002特定偏移應變量建立一平行於應

(yield strength).
 某些銅表現如右圖之應力-應變行為,彈性與塑性之間轉換

Phenomenon)ｏ
 金屬降伏強度之大小是其抵抗塑化變形能力的量測, 降伏強

Psi)
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7.6 拉伸性質 ( Tensile Properties):

 金屬在降伏後, 繼續塑性變形, 應力增加至最大值如圖所示之M點, 而後降低至最

 拉伸強度 (TS, Tensile strength): 是工程應力與應變曲線中的最大應力值, 相當

 頸縮現象 (necking): 在M點之前, 拉伸試片窄的區域是均勻的, 但M點之後, 試片

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 E (彈性模式) = Δσ / Δε


= (150-0) MPa / (0.0016 -0) = 93.8 GPa
6
[or 13.6 x10 psi]
 於插圖中畫出0.002應變偏距線, 其和應力

psi).- 此為黃銅之降伏強度ｏ
 拉伸強度σ由圖得知為450 MPa
( 65,000psi):

F = σAo = σ (do / 2)2 π
= 57,900N (13,000 lb)
 由應力點A找出在應變軸所對應之應變
(0.06) 由於Lo = 250 mm
Δ l = ε Lo = (0.06) ( 250 ) = 15mm
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7.6 拉伸性質 ( Tensile Properties):

 延性 ( ductility ): 它是測量持續至破裂時所能承受塑性變形的程度ｏ
 脆性 ( brittle ): 一材料在破裂時僅有非常小或甚至沒有塑性變形者稱之ｏ
 延性可定量以伸長率 ( percent elongation)或斷面收縮率 (percent reduction in
area) 耒表示ｏ
 伸長% elongation: 為在破裂時塑性應變的百分比:
% EL = ( lf – lo / lo ) x 100
 由於在破裂時塑性變形較明顯的部僅在頸縮區, 而%EL的大小與試片之標距長度有

 斷面收縮率:
% RA = ( Ao –Af / Ao ) x 100
Ao 原來之截面; Af 是斷裂點之橫截面面積
 一己知材料之% EL 及% RA 大小通常不相同ｏ
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7.6 拉伸性質 ( Tensile Properties):

 材料之延性資訊之重要性: 可指出結構在破裂前的塑性變形, 也可指出製造操

 破裂應變小於5%時, 可視為近似脆性材料ｏ
 因此金屬數種重要之机械性質可由拉伸應力對應變之測試來決定ｏ
 彈性模數降伏及拉伸強度之大小隨溫度之上升而下降, 而延性剛好相反ｏ
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7.6 拉伸性質 ( Tensile Properties):

 彈性能 (resilience): 是材料在彈性變形時吸收能量的能力, 當負荷除去時則此能量

 彈性能模數 ( Modulus of resilience: Ur )是材料承受應力時由未負荷狀態到降伏


Ur = ∫ σdε

Ur = ½ σ ε

Ur = ½ σ (σ / E) = σ / 22E

 因此彈性材料具有高降伏強度與，低彈性模數, 這种合金

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7.6 拉伸性質 ( Tensile Properties):

 韌性 : 是常用的一種機械性質, 它是測量材料斷裂時所能吸收的能量ｏ
 在決定韌性時, 試片的几何形狀和負荷的作用方式相當重要, 當一指凹痕或

 對於靜態 (低應變速率) 之狀況, 韌性可藉由拉伸的應力對應變的測試結果

 它是σ – ε曲線到斷裂點以下所圍的面積ｏ
 對於韌性材料, 必須顯示強度和延性兩者, 通常延性材料的韌性佳ｏ
 即時脆性材料具有高降伏和拉伸強度, 但由於缺乏延性, 所以其韌性仍較延

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ENGINEERING STRESS
• Tensile stress, :
• Shear stress, :
Ft

Ao
original area
Stress has units:
N/m2 or lb/in2
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ENGINEERING STRAIN
• Tensile strain:
• Lateral strain:
/2
wo
• Shear strain:
/2
L/2
 = tan 
/2 - 
/2
/2
Lo
/2
L/2
Strain is always
dimensionless.
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LINEAR ELASTIC PROPERTIES
• Modulus of Elasticity, E:
(also known as Young's modulus)
• Hooke's Law:
=Ee
• Poisson's ratio, n:
metals: n ~ 0.33
ceramics: ~0.25
polymers: ~0.40
Units:
E: [GPa] or [psi]
n: dimensionless
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PROPERTIES FROM BONDING: E
• Elastic modulus, E
Elastic modulus
F
L
=E
Ao
Lo
• E ~ curvature at ro
Energy
unstretched length
ro
E is larger if Eo is larger.
r
smaller Elastic Modulus
larger Elastic Modulus
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YOUNG’S MODULI: COMPARISON
Metals
Alloys
1200
1000
800
600
400
E(GPa)
200
100
80
60
40
109 Pa
Graphite
Composites
Ceramics Polymers
/fibers
Semicond
Diamond
Tungsten
Molybdenum
Steel, Ni
Tantalum
Platinum
Cu alloys
Zinc, Ti
Silver, Gold
Aluminum
Magnesium,
Tin
Si carbide
Al oxide
Si nitride
Carbon fibers only
CFRE(|| fibers)*
<111>
Si crystal
Aramid fibers only
<100>
AFRE(|| fibers)*
Glass-soda
Glass fibers only
GFRE(|| fibers)*
Concrete
GFRE*
20
10
8
6
4
2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
CFRE*
GFRE( fibers)*
Graphite
Polyester
PET
PS
PC
CFRE( fibers)*
AFRE( fibers)*
Epoxy only
PP
HDPE
PTFE
LDPE
Wood(
Based on data in Table B2,
Callister 6e.
Composite data based on
reinforced epoxy with 60 vol%
of aligned
carbon (CFRE),
aramid (AFRE), or
glass (GFRE)
fibers.
grain)
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PLASTIC (PERMANENT) DEFORMATION
(at lower temperatures, T < Tmelt/3)
• Simple tension test:
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YIELD STRENGTH, y
• Stress at which noticeable plastic deformation has
occurred.
when ep = 0.002
tensile stress, 
y
engineering strain, e
e = 0.002
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YIELD STRENGTH: COMPARISON
y(ceramics)
>>y(metals)
>> y(polymers)
Room T values
Based on data in Table B4,
Callister 6e.
a = annealed
hr = hot rolled
ag = aged
cd = cold drawn
cw = cold worked
qt = quenched & tempered
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TENSILE STRENGTH, TS
• Maximum possible engineering stress in tension.
Callister 6e.
• Metals: occurs when noticeable necking starts.
• Ceramics: occurs when crack propagation starts.
• Polymers: occurs when polymer backbones are
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TENSILE STRENGTH: COMPARISON
TS(ceram)
~TS(met)
~ TS(comp)
>> TS(poly)
Room T values
Based on data in Table B4,
Callister 6e.
a = annealed
hr = hot rolled
ag = aged
cd = cold drawn
cw = cold worked
qt = quenched & tempered
AFRE, GFRE, & CFRE =
aramid, glass, & carbon
fiber-reinforced epoxy
composites, with 60 vol%
fibers.
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