Transcript 軸的強度與應力

第十三章 軸的強度與應力
13-1
13-2
13-3
13-4
13-5
扭轉的意義
扭轉角的計算
動力與扭轉的關係
輪軸大小的計算
實心圓軸與空心圓軸的比較
13-1 扭轉的意義
1 扭轉的意義
在上一章我們已說明了樑的定義，本章將針對軸詳加討論之。
一根細長的構件，當其一端固定，另一端承受扭轉力矩作用，
或是其兩端同時承受大小相等，方向相反之扭轉力矩作用時，
則此細長構件稱為軸（Shaft），而扭轉力矩簡稱為扭矩
（Torque）。如圖13-1(a)所示，當我們使用螺絲起子旋緊
或拆卸一根螺絲時，我們所施於螺絲起子的作用即為扭矩，
而螺絲起子之金屬桿即為軸。如圖13-1(b)所示，為一馬達
帶動一轉軸旋轉，此軸即承受扭矩之作用。
13-1 扭轉的意義
我們在研究軸的強度與應力時，均假設其所承受之扭矩為
純扭矩，即此軸除了承受扭矩之外，不得有其他之負荷加
諸於其上（如彎曲力矩），稱為純扭矩。
13-1 扭轉的意義
在分析軸之純扭矩負荷時，尚須符合下列假設條件：
（1）軸之材料須為均勻材質。
（2）扭矩之作用面須與軸線垂直，不得傾斜。
（3）軸承受扭矩負荷後，軸不可發生彎曲現象。
（4）軸承受扭矩負荷後，軸之長度不可發生變化。
（5）軸扭轉時所產生的應力與應變，須符合虎克定律。
（6）軸扭轉後，其斷面仍保持平面，且直徑保持直線而
不彎曲。
13-1 扭轉的意義
13-1 扭轉的意義
13-1 扭轉的意義
由上式可知，在同一圓軸上，半徑愈大處，其剪應力愈
大。即圓軸承受一扭矩作用後，其在圓軸表面上之剪應
力最大，而在軸線上的剪應力為零。
13-1 扭轉的意義
如圖13-3 所示，為圓軸之橫截面，則在此橫截面上的所承
受之扭矩，即為此截面上各微小面積上的內力對軸心所產
生的扭矩和，即：
13-1 扭轉的意義
13-1 扭轉的意義
13-1 扭轉的意義
而空心圓軸之極截面係數為：
13-1 扭轉的意義
則空心圓軸之最大剪應力為：
13-1 扭轉的意義
軸承受純扭矩作用時，其破壞應力為張應力。如鑄鐵、石材、
混凝土等脆性材料承受扭矩作用時，因張應力之作用面為材
料之破壞面，故其破裂角度必與圓柱之軸線成45°角，如圖
13-5(a)所示。而剪應力之作用面則為垂直軸線之橫切面。
如圖13-5(b)所示，為粉筆承受扭矩作用後之破裂情形。由
圖13-5(b)所示中可知，在粉筆表面的每一個微小面積，均
承受等值之張應力與壓應力作用，且因破裂角度沿張應力之
方向破壞，並使其破裂角度與軸線成45°破壞。
13-1 扭轉的意義
13-1 扭轉的意義
13-1 扭轉的意義
13-1 扭轉的意義
13-1 扭轉的意義
13-1 扭轉的意義
13-1 扭轉的意義
13-2 扭轉角的計算
13-2 扭轉角的計算
扭轉角的單位為弧度（rad），其大小與扭矩及軸長成正
比，而與剪割彈性係數及極慣性矩成反比。
13-2 扭轉角的計算
剪割彈性係數G 及極慣性矩J 的乘積GJ，稱為扭轉剛度
（Torsional Rigidity），GJ值愈大，表示材料受扭矩負荷
後，愈不容易扭轉變形；反之，若GJ值愈小，表示材料受扭
矩負荷後，則愈容易扭轉變形。
13-2 扭轉角的計算
13-2 扭轉角的計算
13-2 扭轉角的計算
13-2 扭轉角的計算
13-3 動力與扭轉的關係
圓軸的功用，最主要的就是將馬達或引擎產生的動力傳達
出去。如圖13-7 所示，即為一馬達將其動力傳達給一齒輪
之情形。
上圖中，我們若在圓軸之右端觀看時，馬達產生順時針的扭
矩，而齒輪因慣性的作用，因而產生逆時針之扭矩，此逆時
針的扭矩必與馬達產生的扭矩大小相等。若其須將動力傳達
給二個以上的齒輪時，則各齒輪所獲得之扭矩和，必等於馬
達所產生的扭矩。如圖13-8 所示，則：
13-3 動力與扭轉的關係
13-3 動力與扭轉的關係
如圖13-9 所示，若馬達之扭矩傳給齒輪B 及齒輪C，此時，
此圓軸之總扭轉角為AB 段的扭轉角與BC段的扭轉角之和，
即：
13-3 動力與扭轉的關係
13-3 動力與扭轉的關係
13-3 動力與扭轉的關係
13-3 動力與扭轉的關係
13-3 動力與扭轉的關係
13-3 動力與扭轉的關係
13-3 動力與扭轉的關係
13-4 輪軸大小的計算
13-4 輪軸大小的計算
13-4 輪軸大小的計算
13-4 輪軸大小的計算
13-5 實心圓軸與空心圓軸的比較
圓軸承受扭矩作用後，其材料內部任一點之剪應力大小和該
點距軸心之長度成正比，即其在圓軸表面上之剪應力最大，
愈靠近軸心的剪應力就會愈小，而在軸心時的剪應力為零。
因此，在軸心附近部分的材料其實對抵抗扭矩的剪應力幫助
不大。所以，在工程應用上，為了減輕軸的重量及節省材料，
又不會降低太多軸的強度，一般均採用空心圓軸來作為軸的
材料。
13-5 實心圓軸與空心圓軸的比較
13-5 實心圓軸與空心圓軸的比較
13-5 實心圓軸與空心圓軸的比較
13-5 實心圓軸與空心圓軸的比較
13-5 實心圓軸與空心圓軸的比較
13-5 實心圓軸與空心圓軸的比較
13-5 實心圓軸與空心圓軸的比較