Transcript matek-diferensial-2

HITUNG DIFERENSIAL
ALJABAR KALKULUS
Konsep matematika yg mempelajari
tingkat perubahan dari suatu fungsi
DIFERENSIAL
•Mempelajari tingkat perubahan
rata-rata/seketika dari suatu fungsi
•Mencari turunan dari suatu fungsi
INTEGRAL
•Mencari fungsi asal jika diketahui
nilai perubahannya
•Menentukan luas bidang
APLIKASI
•Menghitung nilai optimal
•Analisis marginal
APLIKASI
•Surplus konsumen dan
surplus produsen
PENGERTIAN LIMIT
Konsep dasar diferensial
 Adalah harga batas tertentu, L, yang dicapai
oleh suatu fungsi, f(x), jika variabelnya
mendekati harga tertentu, a.

lim f ( x)  L
x a

Kegunaan Limit :
Perhitungan bentuk-bentuk tak tentu
 Menentukan kontinuitas/diskontinuitas suatu
fungsi
 Perhitungan hasil bagi diferensial/turunan fungsi

PERHITUNGAN BENTUK TAK TENTU
Bentuk tak tentu : 0/0, ~/~, 1~, ~ - ~
 Contoh :

X 9
1. lim
x  3 2 X  6
2
2.Dik : f ( x)  X 2  3 X
f (2  x)  f (2)
lim
x  0
x
2 X  4 X  10
3. lim 2
x  
X  7 X  18
2
2 X 3  4 X 2  10X
4. lim
x  
X 2  7 X  18
2 X 2  4 X  10
5. lim 3
x    X  7 X 2  18X
1 

6. lim1 

x  
3X 

6x
 2X  2 

7. lim
2
x  
 2X  5X 
2
2x
8. lim X  X 2  10X
x  
KONTINUITAS FUNGSI

Suatu fungsi Y = f(x) dikatakan kontinyu
untuk x = a dari suatu interval tertentu
jika :
Y
= f(a) terdefinisi
f ( x ) mempunyai harga tertentu,
 lim
x a
misal L
 L = f(a)
PERHITUNGAN HASIL BAGI
DIFERENSIAL
Y
f ( x  x)  f ( x)

X
x
 Menunjukkan perubahan rata-rata Y terhadap X
 Jika perubahan X (X) cukup kecil sehingga
mendekati nol, maka :
Y
f ( x  x)  f ( x)
lim
 lim
x   0 X
x   0
x

Limit dari hasil bagi diferensial = DERIVATIVE
PERTAMA = Y
'
'
X
 f ( x)  Y
TURUNAN PERTAMA FUNGSI IMPLISIT
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y
Y

=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
c  Y’ = 0
aX + b  Y’ = a
Xn  Y’ = n Xn-1
Un  Y’ = n Un-1 . U’
U ± V  Y’ = U’ ± V’
U/V  Y’ = (U’V – V’U)/V2
ex  Y’ = ex
eu  Y’ = u’.eu
ln X  Y’ = 1/X
ln U  Y’ = U’/U
ax  Y’ = ax ln a

Turunan fungsi implisit
Y = f’(x) X

Turunan yang lebih tinggi
n

Y
n
n
Y  f (X ) 
X n

Turunan fungsi dalam bentuk parameter
Jika X = f(x) dan Y = g(x), maka
Y Y / t
Y 

X X / t
'
SOAL LATIHAN LIMIT
 6x  4x 
 2

 6x  2x 
8 x 2  3x
4 x3  2 x
2
1. lim
x  
3. lim
x  
3x
5. lim x  x  10x  20
2
x  
2. lim
4 x 2  5x  6
6 x  12
4. lim
2 x 2  5x  6
3x  8
x 2
x  0
6. lim 1  5 x 
1/ 2 x
x  
7.Jika _ f ( x)  7 x 2  3x, tentukan:
f ( x  5)  f (5)
lim
x
x  0
SOAL LATIHAN TURUNAN
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Tentukan turunan pertama dari fungsi
berikut :
Y = 4x3+3x2–5x+7x-10
Y = ln(6x2+x)-e3x-2
Y = (4x2-1)/(2x+3)
Y = 3x2e-2x
Y = ln((4x+5)/(2x-1))
Y = (3x–7)6
Y = 2t2-4t dan X = 3t+1
APLIKASI TURUNAN PERTAMA
Menentukan gradien/slope garis singgung
Y – Y1 = m (X – X1)  m = Y’
 Menentukan koordinat titik stasioner




Titik stasioner terjadi ketika garis singgung sejajar
dengan sumbu X atau gradien 0  f’(x) = 0
Jika f’(x) = 0 tidak mempunyai akar riil (D<0), maka
fungsi tsb tidak mempunyai titik stasioner.
Menentukan bagian kurva yang monoton
naik/turun
Monoton naik : X > 0  Y > 0
 Monoton turun : X > 0  Y < 0


Menghitung harga limit bentuk tak tentu dengan
cara L’Hopital
APLIKASI TURUNAN KEDUA

Menentukan bentuk kurva
 Cekung ke atas (concave upward) :
 Harga
Y” = f”(x) selalu positif untuk setiap hrg X
 Titik minimum : Y’ = 0, Y” > 0

Cekung ke bawah (concave downward) :
 Harga
Y” = f”(x) selalu negatif untuk setiap hrg X
 Titik maksimum : Y’ = 0, Y” < 0

Menentukan titik belok dan titik sadel
Batas antara bag kurva yg cekung ke atas dan
cekung ke bwh atau sebaliknya
 Syarat : Y” = f”(x) = 0
 Titik Belok : untuk X = 0  Y’ = 0, Y” = 0
 Titik Sadel : untuk X = 0  Y’ ≠ 0, Y” = 0

CONTOH SOAL

Diketahui fungsi Y = X3 – 3X2 – 9X + 22,
tentukan :
f(1), f’(4), f”(2)
2. Persamaan garis singgung di titik dengan
absis 2
3. Koordinat titik esktrim (maks/min)
4. Koordinat titik belok/titik sadel
1.
SOAL LATIHAN

Diketahui fungsi Y = X3 – 27X + a, dan
f(2) = 10. Tentukan :
Harga a
2. Persamaan garis singgung di titik dengan
absis 2
3. Koordinat titik esktrim (maks/min)
4. Koordinat titik belok/titik sadel
1.
APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI

Analisis marginal
 Laju
pertumbuhan
 Menghitung Marginal Revenue (MR) dan
Marginal Cost (MC)
MR = TR’ MC = TC’
APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI

Harga Ekstrim
 Total
Revenue (TR) maksimum : TR’ = 0
 Laba maksimum (rugi minimum), 

= TR – TC
 ’ = 0  MR = MC
 Output
optimum
 Terjadi
ketika Average Cost (AC) minimum
 AC minimum  AC’ = 0  AC = MC
APLIKASI DIFERENSIAL DLM EKONOMI

Elastisitas
 Mengukur
perubahan suatu variabel akibat
perubahan variabel lain
 Jenis elastisitas :permintaan/harga (Ed),
penawaran (Es), dll
 Perhitungan elastisitas :
 Elastisitas
Titik (Point Elasticity)
 Elastisitas
Busur (Arc Elasticity)
Q P
E
x
P Q
Q2  Q1 P2  P1
E
x
Q2  Q1 P2  P1
CONTOH SOAL

Diketahui D : Q = 500 – 0,5P dan
TC = Q2 + 790Q + 1.800
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Hitung TR, MR, AR, TC, MC, AC, VC, AVC,
dan AFC ketika Q = 10
Hitung TR maksimum
Hitung laba maksimum/rugi minimum
Hitung output optimum
Hitung elastisitas permintaan ketika Q = 100
Break Event Point (BEP)
SOAL LATIHAN
1.
Diketahui fungsi permintaan : Q – 90 +
2P = 0 dan fungsi biaya rata-rata : AC =
Q2 – 39,5Q + 120 + 125/Q. Hitung : a)
Penerimaan maks; b) Profit maks;
c)Elastisitas permintaan ketika P = 10