Transcript 第1章--熱學

Ch1-熱學
§1-1 溫度與熱平衡
§1-2 熱容量與比熱
§1-3 熱膨脹
§1-4 物質的三態變化與潛熱
§1-5 熱的本質與熱功當量
§1-6 理想氣體方程式
§1-7 氣體動力論
§1-8 溫度與分子平均動能
選讀材料：熱力學第一定律
§ 1-1 溫度與熱平衡
1. 熱平衡：
• 熱平衡：當孤立的兩個物體互相傳熱時，經過一段時
間，兩物體的宏觀性質（可經由實驗直接測得的物理
量，例如壓力、體積等）將不再變化，這時我們說這
兩物體達到「熱平衡」狀態。
• 熱力學第零定律：當 A、B 兩物體分別與 C 物體處於
熱平衡狀態，則 A 物體與 B 物體之間也會處於熱平衡
狀態。稱為「熱力學第零定律」。
• 溫度與熱平衡：由「熱力學第零定律」得知，所有彼
此處於熱平衡狀態的物體，其冷熱程度是相同的，此
冷熱程度我們以「溫度」表示之。
2. 溫度：
1) 測溫性質：我們僅憑感覺來表達冷熱程度，不僅測量範
圍狹窄，而且無法獲得準確一致的結果。因此我們必須
尋求隨冷熱變化明顯的物質製成溫度計，作為表示冷熱
程度的客觀標準。物體溫度發生改變時，其許多特性會
隨之變化，這些會反應物體溫度的物理量稱為「測溫性
質」。
2) 溫度計：利用測溫性質可以作成各種測量溫度的工具稱
為溫度計。
各種溫度計與其所使用的測溫性質
溫度計
測溫物質與性質
水銀溫度計
水銀的體積
酒精溫度計
酒精的體積
電阻溫度計
導體的電阻
半導體溫度計
半導體的電阻
定容氣體溫度計
氣體的壓力
定壓氣體溫度計
氣體的體積
轉動式溫度計
雙金屬片的長度差
熱電偶溫度計
熱電偶的電位差
液晶溫度計
液晶的顏色
光測溫度計
熱輻射的強度
3) 溫標與溫度的換算：
 攝氏溫標：1atm下，純水的冰點
與沸點分別為 0℃ 及100℃。
 華氏溫標：1atm下，純水的冰點
與沸點分別為 32˚F 及 212 ˚F 。
 兩溫標的換算關係為：
T 0
TF  32
 C
212  32 100  0
9
 TF  TC  32
5
TC
TF
 絕對溫標：
a. 查理與給呂薩克定律：法國人查理
氣壓 p
與給呂薩克從實驗中發現，當定量
的低密度氣體其體積保持不變時，
其壓力 p 與攝氏溫度 t 成線性關係，
改變氣體種類時結果亦然。各直線
273.15 0
外插之延長線，在 t 軸之截距相交
於同一點，該點溫度為
－273.15 ℃。
b. 定容氣體溫度計：根據查理與給呂
薩克定律，將少量的惰性氣體裝入
固定體積的容器中，接上測壓力的
水銀管，即構成一定容的理想氣體
溫度計，如右圖。
氣體一
氣體二
氣體三
t（攝氏）
定容氣體溫度計
c. 絕對溫標：1848年，克耳文爵士建議將－273.15 ℃（理
論中的最低溫度）定為克氏零度，記為 0K，而將 0 ℃ 定
為 273.15K，此種溫標稱為克氏溫標或絕對溫標。以克氏
溫標表示的溫度，稱為克氏溫度，或絕對溫度。
d. 1954年國際度量衡大會中決定，選取水在三相點的溫度
273.16K（0.1 ℃）作為標定點溫度。因此如一定容理想
氣體溫度計在水的三相點時量到的氣壓為 P3 。以此溫度
計來測量一待測體溫度，達熱平衡時量到的氣壓為 P，
則此待測體的溫度
p
T  273.16 
p3
水的三相點時的壓力為
4.58mm Hg
 克氏溫度 T 與攝氏溫度 t 的換算： T  t  273.15
例題：曾在法國使用一段時間的一種溫標，將水的冰點定
為 0oR，沸點定為 80oR，則正常人的體溫 37℃，用此溫標
表示為幾度？
答案：29.6 oR
例題：一物體的華氏與攝氏溫度的讀數相差 36o 時，則此
物體的溫度為攝氏幾度？
答案：－85℃
§1-2 熱容量與比熱
1. 熱量：
1) 熱量：會自發地從高溫物質流向低溫物質的物理量，高
溫物質熱量流出，使溫度逐漸降低；而低溫物質因熱量
流入，使溫度逐漸上升，最終兩者達成熱平衡。
2) 單位：
• 卡（cal）：1g 純水升高由 14.5℃上升至 15.5℃ 所吸收的
熱量。
• 英熱單位（BTU） ：使 1 lb（磅）水從 63 ℉ 上升至 64
℉（上升 1℉）所需的熱量。
• 1 BTU = 252 cal。
2. 熱容量：
• 熱容量：物質每升高或降低 1℃ 時，所吸收或放出的熱
量，以 C 表示熱容量。
• 單位： cal∕℃。
• 設某物質升高溫度 Δt 時，共吸收 ΔQ 的熱量，則依上述
定義，其熱容量 C 可表示成 C = ΔQ∕Δt。
• 在相同的熱源下，物質的熱容量越大，則溫度越不容易
升降。
• 水當量：物質的熱容量相當於幾克的水，以克為單位。
3. 比熱：
• 定義：使單位質量的物質每升高或降低 1℃ 時，所吸收或
放出的熱量，以 s 表示比熱。
• 單位： cal∕g ．℃。
• 設某物質升高溫度 Δt 時，共吸收 ΔQ 的熱量，則
ΔQ = msΔt。
• 熱容量 C = ms。
• 比熱是與材料有關的物理量，為物質的特性，但會隨溫
度而有些微改變。
4. 莫耳熱容量：
• 莫耳熱容量：每莫耳物質的熱容量，以 Cm 表示，常用
的單位為 J／mol．K。
• 各物質的比熱無一定關係，但部分物質的莫耳熱容卻有
規律性。底下表格為常見物質在一大氣壓 25℃下的比熱
與莫耳熱容量。
例題：有 A、B 兩種物質，其質量比為 1：2，而熱容量的比
為 2：1，則兩物質的比熱之比為
(A) 4：1 (B) 1：4 (C) 2：1 (D) 1：2 (E) 1：1。
答案：A
例題：有一燒杯的熱容量為 0.1千卡∕℃，則該燒杯的水當量
為 (A) 0.1 (B)10 (C)100 (D)1000 (E)10000 公克。
答案：C
例題：有三物體，其質量與比熱分別為 m1，m2，m3 與 s1，
s2，s3，原來溫度各為 T1，T2，T3，今讓三物體作熱接觸，
則達熱平衡時，最終溫度為何？
m1s1T1  m2s 2T2  m3s3T3
答案：T 
m1s1  m2s2  m3s3
例題：在室溫 20℃時，將 200 公克 60℃的水倒入保溫杯中，
若不計熱的散失，達成熱平衡時，保溫杯內的溫度為30℃，
則保溫杯的熱容量為
(A)200 (B)300 (C)400 (D)500 (E)600 卡／°C。
答案：E
例題：甲、乙、丙三個相同材質的金屬球， 質量比為 1：1：2，
初始溫度分別為 50℃、30℃、10℃ 。今先將甲和乙接觸達熱
平衡後分開， 再將乙和丙接觸達熱平衡後分開， 若僅考慮三
金屬球間的熱傳導， 且無其他熱流失， 則以下敘述哪些是正
確的？
(A) 甲的最終溫度為 30℃ (B) 乙的最終溫度為 20℃
(C) 甲、乙、丙三者的最終攝氏溫度比值為 2：1：1
(D) 甲、乙、丙三者的熱容量比值為 1：1：2
(E) 甲、乙、丙三者的熱容量比值為 1：1：1。 [95.指定科考]
答案：BCD
例題：核能電廠遇突發事故時可以關閉反應爐，停止連鎖反
應，反應後的產物仍具有放射性，也會持續產生餘熱，因此
仍需用水來冷卻反應爐。假設某反應爐正常運轉的發電功率
為 2.1x109 W ，停機以後某時段內餘熱的發熱功率為正常運
轉時發電功率的 4.0%。已知水的比熱為 4.2x103 J/kg．K，如
果用 20℃的水來吸收此餘熱，且不能讓水沸騰而蒸發，則每
秒至少需要多少質量的水？
[103.指考]
答案：250kg
§1-3 熱膨脹
1. 線膨脹：
• 固態物體的長度隨溫度上升而增加。由實驗的結果得知，
物體長度增加量 ΔL 與原來長度 L0 及上升的溫度 Δt 成正
比，即
L  L  L0  L0 t

L  L0 (1  t)
t0
t0 +Δt
L0
ΔL
L
• 式中α稱為線膨脹係數，為溫度上升1℃時，物體長度的
增加量與起始長度的比值。在一般溫度範圍內，α之值
都很小，且幾乎不變
常見物質在室溫 25℃ 時之線膨脹係數
物質
α（℃ - 1）
物質
α（℃ - 1）
鋁
23.1 x 10 - 6
金
14.2 x 10 - 6
鐵
11.8 x 10 - 6
鋅
30.2 x 10 - 6
銅
16.5 x 10 - 6
錫
22.0 x 10 - 6
銀
18.9 x 10 - 6
鎳
13.4 x 10 - 6
鉛
28.9 x 10 - 6
鋼
11.0 x 10 - 6
玻璃
9.0 x 10 - 6
石英
0.5 x 10 - 6
2. 面膨脹：
• 在初溫時面積為 A0 的物體，當溫度升高Δt 時，其面積變
為 A。由實驗的結果得知，其面積的增加量與原面積 A0 及
溫差Δt 成正比。即
A  A  A 0   A 0 t

A  A 0 (1  t)
• β稱為面膨脹係數其值約為線膨
脹係數的兩倍，即 β≈ 2α。
說明：如右圖所示
A  ab  a 0 b0 (1  t) 2
a0
b0
t0
a
t0 +Δt
 A 0 (1  2t   2 t 2 )
 A 0 (1  2t)    2
ΔA
b
3. 體膨脹：
• 在初溫時體積為 V0 的物體，當溫度升高Δt 時，其體積變
為 V。由實驗的結果得知，其體積的增加量與原體積 V0
及溫差Δt 成正比。即
V  V  V0  V0 t

V  V0 (1  t)
• γ稱為體膨脹係數其值約為線膨
脹係數的三倍，即 γ≈ 3α。
說明：如右圖所示
V  abc  a 0 b 0c0 (1  t)3
 V0 (1  3t  3 2 t 2   3t 3 )
 V0 (1  3t)    3
b0
a0
b
c0
t0
c
a t0 +Δt
4. 理想氣體的體膨脹：
• 定壓的查理－給呂薩克定律：在密閉容器內的低密度氣體，
若其壓力維持不變，則其體積與攝氏溫度也有線性關係。
若氣體壓力保持不變，其體積與克氏溫度成正比。
V  273.15  t 


V0
273.15
1
V  V0 (1 
t)
273.15
• 密閉容器中的低密度氣體，壓力固
定時，在 0℃時的體膨脹係數為
1∕273.15 ℃－1，遠大於液體和固體
之體膨脹係數。
V
V0
273.15
0
t （℃ ）
例題：如果鋪設鋼製鐵軌時的溫度為 20℃，每一段鐵軌長度
為 20公尺，欲使其在溫度 40℃不至發生變形，則兩段鐵軌
之間應留多長的伸縮縫?
（鋼的線膨脹係數 α=11.0 ×10 -6 (1∕℃)）
解：兩段鐵軌之間必須預留一條鐵軌所膨脹
的長度，因此兩鐵軌間伸縮縫的長度須為
 
6

t

20

11

10
 (40  20)
0
 0.0044m  0.44cm
例題：鐘擺為黃銅製成的時鐘，在 20℃ 時做校正，當氣溫
上升為 35℃ 時，時鐘每天誤差多少時間？
（黃銅的線膨脹係數） α=18.9 ×10 -6 (1∕℃)）
答案：約慢12.25秒
例題：在 0℃ 校準的鋼尺（線膨脹係數為 α1 ），在 40℃時
測得鋁棒的長為 ℓ，則鋁棒（線膨脹係數為 α2 ），在 0℃
之長為何？
（1  401）
答案：
（1  402）
例題：鋁板上有一圓洞，在 0℃ 時的直徑為 2.000cm，當鋁
板的溫度上升至 100℃ 時的直徑為多少？（設鋁的線膨脹係
數為 25 ×10 -6） (A)2.001cm (B)2.003cm (C)2.005cm
(D)2.007cm (E)2.009cm。
答案：C
例題：銅的線膨脹係數是 17.0 × 10 - 6（1∕℃），銅在 -10 ℃
時的密度是ρ1，在 15℃ 時的密度為ρ2，則
1  2
 ________。
[89. 日大]
1
答案：1.275 103
二項式定理：
n(n  1) 2 n(n  1)(n  2) 3
(1  x )  1  nx 
x 
x 
2 1
3  2 1
當 x 1 時，其近似結果為
n
(1  x ) n  1  nx
1
(a ) 當 n  1 
1 x
1 x
1
(b) 當 n  2 ， 
 1 2x
2
(1  x )
例題：密閉容器內裝有低密度的氣體，若壓力保持固定時，
其在 100℃ 時的體膨脹係數為何？
1
答案：
373.15
§1-4 物質的三態變化與潛熱
1. 物質的三態變化：
當改變物質的壓力、溫度時，其
物態會發生改變，物態的改變稱
為物態變化或相變。各種相變的
名稱如右圖所示。
2. 相變時的溫度：
• 熔點：一般純物質的固態和液態之間的相變，在定壓時通
常發生在特定溫度，稱為固體的熔點或液體的凝固點。
• 沸點：當蒸汽壓與外加壓力相等時，液體內的小氣泡便翻
湧而出，形成沸騰，此時的溫度即為沸點。
3. 三相圖：
• 一般物質在凝固後
體積縮小，當壓力
加大時，凝固點、
沸點升高。如右上
圖所示。
• 少數物質，如冰、
銻、鉍、生鐵等，
在凝固後體積膨脹
者，當壓力加大時，
凝固點降低，沸點
升高。如右下圖所
示。
3. 潛熱：
物質受熱時之溫度與
所加熱量之關係圖
1) 潛熱的意義：
• 物態變化時所吸收或放出的
熱量
• 潛熱只改變分子間的位能，
而不改變分子運動的動能，
因此其溫度保持不變。
溫
度
固
體
固
液
體
共
存
液
體
液
氣
體
共
存
氣
體
所加熱量
2) 潛熱的種類：
• 熔化熱（凝固熱）：定壓下，使單位質量的固體（液體）物
質變為同溫度之液體（固體）物質所吸收（放出）的熱量。
• 汽化熱（凝結熱）：定壓下，使單位質量的固體（液體）物
質變為同溫度之液體（固體）物質所吸收（放出）的熱量。
4. 常見物質在 1 atm 時的熔點、沸點及潛熱：
物質
熔點
(℃)
熔化熱
(cal∕g)
沸點
(℃)
汽化熱
(cal∕g)
水
0
80
100
540
氧
- 218
3.3
- 183
51
水銀
- 38.8
2.82
357
65
銅
1083
42
2300
1750
鉛
327
5.86
1620
175
空氣
- 212
5.5
- 191
51
例題：將 100℃的水蒸氣 120克，與 0℃的冰 120克混合於
絕熱的容器內；假設蒸氣壓變化的因素可略，則達平衡之
後剩下的水蒸氣有__________克。
[87.日大]
答案：80克
例題：設 M1 克的冰和 M2 克的水
蒸氣混合後，最後的溫度成為 T。 100℃
則 M1∕M2 和 T 的關係為右圖中的
那一條？ [67.日大]
0℃
M
說明： 1  3  T  100 o C
M2
M1
 3  T  100 o C
M2
答案：E
T
(A) (B)
(C)
(D)
(E) M1∕M2
§1-5 熱的本質與熱功當量
1. 熱的本質模型：
• 熱質說：認為熱是無色、無味，又沒有質量的流質，稱為
熱質。熱質不能產生，也不能消失，總量維持守恆。熱質
增加時，溫度會升高，而熱質減少，使溫度降低。
• 熱動說：經過侖福特發現，及後來焦耳不斷的實驗測定，
認為熱乃能量的另一種形式，可以和其他的能量形式互相
轉換。後來更了解到熱是組成物質的微小粒子運動的表現，
即原子、分子間的力學能。
2. 焦耳實驗：
• 實驗目的：使力學轉換成熱能，證實熱是能量的一種，並
測出功與熱之間的關係。
• 實驗裝置：如右圖所示。
• 步驟與原理：利用兩質量均為 m 之
重錘，由 h 高處緩緩下降，帶動一
轉翼轉動將水攪拌對水作功，力學
能轉換成熱能，使水與容器的溫度
上升。
h
m
h
m
• 實驗結果：測出整個過程所減少的
力學能 W（焦耳）和所產生的熱能
Q（卡），求出焦耳（功的單位）
與卡（熱量的單位）之間轉換的關
係：
W
J
 4.186 （焦耳/卡） ，此常數 J 稱為熱功當量。
Q
• 註：1948年，將 1 卡直接定義成 4.186 焦耳。
例題：一瀑布高為 420米。假設水落至瀑布底時的全部力
學能全變成熱能，則瀑布底及頂點的水溫相差幾度？
答案：0.98 ℃
例題：高空下落的雨滴，因受到空氣阻力，落地前會以等速
下降。一雨滴的質量為 2.7 × 10 -7 公斤，落地前以等速度 20
公尺／秒下降，設在此等速運動期間，雨滴受空氣阻力所生
之熱量全部被雨滴吸收，且雨滴之質量保持不變，則此雨滴
每秒溫度升高幾度？
[79.日大]
答案：約為 0.05度
例題：有一質量為 m、比熱為 s 的金屬小珠子自高處靜止落下，
由於空氣阻力的緣故，珠子落地前以等速度 v 下降。假設空氣
對珠子的阻力所導致的熱全部由珠子吸收，而不考慮珠子的熱
散失，令重力加速度為 g，且所有物理量均採 SI 制，則在珠子
落地前以等速度 v 下降時，珠子的溫度每單位時間升高多少？
[101.指考]
gv
答案：
s
例題：0℃ 的冰塊由高處掉到 0℃ 的水中，掉入水中後，
冰塊剛好因此而完全熔化成的水。問冰塊由多高處落下？
答案：約為 3.42×10 4 公尺
例題：質量為 100克與質量為 200克的兩鉛塊，分別以 250公
尺∕秒與 200公尺∕秒的速率相向運動，正面碰撞後，兩塊合為
一體。
(a)碰撞後，該鉛塊的速率為何？
(b)假設因碰撞而放出的能均變成熱，則所生的熱為幾卡？
(c)又假設所生的熱均用於增加鉛塊的溫度，則鉛塊的溫度增
加幾度？（但鉛塊的比熱為 0.0309卡∕克-度） [74.夜大]
答案： (a) v  50 m / s
(b) 1612.5 卡
(c) 約 174 ℃
例題：一卡車的質量為 4.0 × 10 3 公斤，以 10 公尺∕秒的速率
沿仰角 30o 的斜坡上等速上升，引擎輸出的功率為
2.0 ×
10 6 瓦特，則每秒因摩擦所產生的熱量約為若干仟卡？
答案：約為 431 仟卡
§1-6理想氣體方程式
1. 波以耳定律：
1662年，英國化學家波以耳從實驗研究中發現，密閉容器
內定量的低密度氣體，若氣體溫度 T 維持不變，其壓力 P
與其體積 V 成反比。即 PV = 定值。
2. 查理-給呂薩克定律：
• 定容的查理－給呂薩克定律：密閉容器內的低密度氣體，
若氣體體積 V 維持不變，其壓力 P 與絕對溫度 T 成正比。
即 V / T = 定值
• 定壓的查理－給呂薩克定律：密閉容器內的低密度氣體，
若氣體壓力 P 維持不變，其體積 V 也與絕對溫度 T 成正
比。即 P / T = 定值
定容的查理與給呂薩克定律：
定量的低密度氣體其體積保持不變
時，溫度每升高 1 ℃，其壓力增加
0℃ 時壓力的 1∕273.15。
t
t  273.15
P  P0 (1 
)  P0 (
)
273.15
273.15
P0
(
)T  T
273.15
氣壓 P
273.15 0 t（攝氏）
定壓的查理與給呂薩克定律：
定量的低密度氣體其壓力保持不變
時，溫度每升高 1 ℃，其體積增加
0℃ 時體積的 1∕273.15。
t
t  273.15
V  V0 (1 
)  V0 (
)
273.15
273.15
V0
(
)T  T
273.15
體積 V
273.15 0 t（攝氏）
3. 理想氣體方程式：
綜合波以耳定律、查理-給呂薩克定律可以得到，當氣體處於
低密度狀態時，其壓力 P，體積 V，溫度 T 和莫耳數 n 之間
的關係為
PV  nRT
R 是與氣體種類無關之常數，稱為理想氣體常數
0.082 公升 - 大氣壓∕ 莫耳 - 度

R  8.317 焦耳∕ 莫耳 - 度
1.987 卡∕ 莫耳 - 度

http://www.phy.ntnu.edu.tw/ntnujava/
例題：一氣缸中裝有 3 莫耳之理想氣體，設活塞與氣缸壁間
之摩擦可以略去，氣體之起始溫度為 300K，體積為 0.45 m3。
今再將 1 莫耳的同種理想氣體緩緩灌入氣缸，並將其溫度冷
卻至 250K。設氣缸外壓力維持不變，則最後平衡時，氣缸
中氣體的體積為 __________。
[88.日大]
答案：0.5 m3
例題：兩同體積之氣室以一體積可以忽略之細管相連通，兩
氣室內含有一大氣壓、27℃之氦氣。若將其中一氣室加溫至
127℃，另一氣室降溫至 - 73℃，則氣室中之氦氣之最終壓力
為__________大氣壓。
[88.日大]
8
答案： atm
9
例題：某君找到一根玻璃毛細管，其中空部分的截面積為 0.1
公分2，長為 120公分。若要作成可以測量 0°C 至 100°C 間溫度
之氣體溫度計，應選擇下面哪一種容器最為適當？ (A)250cc.
平底燒瓶 (B)200cc.味全奶瓶 (C)100cc.養樂多膠瓶 (D)50cc.藥
瓶 (E)25cc.試管。
[67.日大]
答案：E
例題：一定質量之理想氣體，在 PT
（壓力－絕對溫度）圖上，由狀態 a
經圖中所示之過程再回到原狀態。圖
中 ab 平行於 cd，且 ab 之延長線通過
原點。下列敘述何者正確？
(A) a 到 b 之過程中體積不變
(B) b 到 c 之過程體積減少
(C) c 到 d 的過程體積不變
(D) d 到 a 的等壓過程中體積增加
(E) 狀態 c 之體積最小。 [82.日大]
答案：ABDE
P
d
a
c
e
b
0
T
例題：一容積為 V 的氧氣筒內裝有壓力為 P 的高壓氧，筒內
氣體的絕對溫度 T 與室溫相同。設病患在大氣壓力 Po 下利用
壓力差使用此氧氣筒。假設筒內的氧氣為理想氣體，氣體常
數為 R，且每單位時間流出的氧分子莫耳數固定為 r，過程中
氧氣筒內外溫度皆保持為 T，則此筒氧氣可使用的時間為何？
[103.指考]
V(P  P0 )
答案：
rRT
§1-7 氣體動力論
1. 氣體動力論的發展史：
• 1678年，英國人虎克首次用組成氣體
的粒子不斷撞擊器壁（如右圖），來
解釋氣體壓力的產生。
• 1857年，克勞休斯利用一簡化的氣體
模型，假設容器中的氣體分子只在垂
直於容器壁的路徑上運動，由此導出
理想氣體的定律。
• 1859年，馬克斯威爾由更符合真實情
況的理想氣體模型導出溫度與理想氣
體分子平均動能的關係式。
合力 F
P
F
A
2. 理想氣體模型的基本假設：
• 理想氣體是由極大數目的分子所組成，且分子的運動是無
規則的，因此在任一段時間內，向各方向運動的分子數目
皆相同。
• 分子與分子間距離比分子直徑大得多，因此通常在低密度
下，氣體分子本身的總體積與氣體占有空間的體積相比是
極微小的。
• 分子可視為小剛球，當其互相間的碰撞或與容器壁的碰撞
是作彈性碰撞，並且遵守牛頓運動定律。碰撞時間極短，
除碰撞外，分子間沒有相互作用力，所以在兩次碰撞之間
分子作等速直線運動。
3. 理論的推導：
y
• 考慮一邊長為 L、容積為 V（= L3）
的正立方密閉容器，如右圖，內含
N 個相同的氣體分子，每個分子質
量均為 m。
• 若器壁是光滑之剛體，則分子與器
壁的碰撞呈彈性碰撞。第 i 個分子與
A x 面碰撞後，其速度與此面平行的
分量 v i y 與 v i z 將不改變，如右圖所
示，僅 v i x 分量在碰撞後變成
- v i x，即此分子之動量變化的量值
Δp i = 2mv i x。
vi
Ax
x
L
z
viy
vix
viy
viz
y
viz
vix
z
x
• 假如這個氣體分子彈回去後未與其它氣體分子發生碰撞，
彈到對面器壁彈回來再一次碰到這面器壁所經過的時間
2L
t i 
vix
這個氣體分子不斷的來回碰撞這面器壁，對這面器壁所
產生的平均撞擊力
pi 2mvix
mvi2
Fi 


t i 2L / vix
L
全部氣體分子撞擊 A x 面所給予之總撞擊平均力為
vix2
F   Fi  m
L
i
i
式中的
2
2
2
v
可以用
v
的平均值
v
 ix
x
x 來表示，
i
N mv 2x
1
2
v   vix ，因此 F 
N i
L
2
x
我門希望最後結果是由速率平方的平均值 v 2 來表示，
而不是由 v 2x 的平均值 v 2x 來表示。因為 v 2  v 2x  v 2y  v 2z ，
因此我們有 v 2  v 2x  v 2y  v 2z
根據理想氣體模型的假設，氣體分子的運動是無規的，
1 2
2
2
2
因此有 v x  v y  v z  v ，將這個結果代入總撞擊力
3
Nmv 2
的公式，得到 F 
3L
• 這個平均撞擊力在 A x 這面器壁所造成的壓力
F Nmv2 Nmv2 2 N 1
2 NEk
2
P 2 


( mv ) 
3
L
3L
3V
3V 2
3 V
或 PV 
2
NE k
3
1
E k  mv 2 為氣體分子的平均動能。
2
以上的結果是在假設氣體分子間不發生碰撞所得，實際
上氣體分子間時常會互相碰撞。兩分子間的碰撞如為彈
性碰撞，很容易證明碰撞後速度互換。因此並不會影響
所推導出來的最後結果。
例題：假設一氣體容器的器壁上有一微小面積，氣體分子在
該處反射後的速率為入射速率的 3∕4，則在該處的壓力為器
壁上他處壓力的
[65.日大]
(A) 1∕4 (B) 1∕2 (C) 3∕4 (D) 5∕8 (E) 7∕8。
答案：E
例題：氦分子的質量為 6.64 × 10 -27 公斤。若每秒有 10 23 個
氦分子與器壁垂直方向成 60 o 角撞擊面積為 2 × 10 -4 平方公
尺的器壁上，其速率為 10 3 公尺∕秒，則施於器壁的壓力為
若干？
答案：3.32 x 10 3 牛頓∕公尺2
60 o
60 o
例題：1 莫耳的氦氣在 1 大氣壓下，其體積為 22.4公升，則
每個氦分子的平均動能為何？
答案：5.65 × 10 －21 焦耳
§1-8 溫度與分子平均動能
1. 溫度與平均動能的關係：
首先將理想氣體的物態方程式改寫成
N
PV  nRT 
RT  NkT
N0
其中 N 為氣體分子的總數，N0 為亞佛加厥數。新的常數
R
k
 1.38 1023 焦耳∕ 度，稱為波茲曼常數。
N0
2
與前一節由氣體動力論所導出的方程式 PV  NE k
3
作一對照即得到
1
3
2
E k  mv  kT
2
2
即氣體分子的平均動能與氣體的絕對溫度成正比，或溫度
的本質可看成是分子平均移動動能的度量。
2. 方均根速率：
氣體分子的方均根速率以符號 v rms 表示，定義成
vrms  v2
方均根速率並不等平均速率，但與平均速率接近，分子的
平均速率不容易計算，而方均根速率，利用之前的公式可
導出下面的關係式
vrms
3kT
3RT
3pV



m
M0 (分子量)
M(總質量)
例題：將一理想氣體，在等壓條件下，使其體積增為兩倍。
系統達平衡之後，下列敘述何者正確？
(A)質量密度為原來的 1∕2 倍
(B)分子方均根速率為原來的兩倍
(C)分子總動量與原來相同
(D)溫度為原來溫度的兩倍
(E)分子平均動能為原來的兩倍
[85.日大]
答案：ACDE
(C) 總動量始終為零
(B)方均根速率為原來的 2 倍
例題：1997年若貝爾物理獎得獎者主要的貢獻是發展出以
雷射冷卻原子的方法。某實驗室以此方法將納（23 Na） 原
子冷卻後，測得這些氣態納原子的方均根速率為 0.20 公
尺∕秒；若系統可視為理想氣體，則這些納原子的絕對溫度
為為若干？
答案： 3.687 105
例題：已知氫分子（H2）之方均根速率在室溫（300K）時
約為 2000公尺∕秒，則氧分子（O2）之方均根速率在1200K
時約為
(A)500公尺∕秒 (B)1000公尺∕秒 (C)2000公尺∕秒
(D)4000公尺∕秒 (E)8000公尺∕秒。
[83.日大]
答案：B
例題：已知在某一溫度下，同種氣體分子的運動速率有大有小。
今將同為 5 莫耳及100℃的氦氣及氮氣注入同一密閉隔熱的真
空鋼瓶內，鋼瓶上裝設有一速度選擇閥，當此閥門開啟時可以
使到達該閥門而速率高於 400 m/s 的鋼瓶內任何種類氣體分子
單向通過此閥門，而脫離鋼瓶。待氦氣與氮氣達到熱平衡後開
啟此速度選擇閥一段時間，然後關閉。當存留於鋼瓶內的氦氣
與氮氣再次達到熱平衡後，則下列關於鋼瓶中氦氣與氮氣的敘
述，何者正確？(氦氣分子量為4，氮氣分子量為28)
(A) 氦氣的溫度較氮氣高 (B) 氮氣的溫度較氦氣高 (C) 氮氣的
分壓較氦氣高 (D) 氦氣的分壓較氮氣高 (E) 兩種氣體的分子數
目相等。
[103.指考]
答案：C
例題：在地球表面，若空氣平均一分子的重量為 5.0 × 10 -25
牛頓，地球的半徑為 6.4 × 10 6 米，則空氣分子要逃離地球表
面時，地球表面的溫度至少須為若干？
[72.日大]
答案：1.5 105 K
例題：某容積不變之密閉容器中裝有氦氣，最初溫度為攝氏
零下 173 度，若溫度升高為攝氏 127 度，則其中氦分子每秒
撞擊器壁之次數變為最初之 __________ 倍。
答案：2
例題：有一充滿氦氣的氣球，由一大氣壓的地面升至 0.5
大氣壓的高空。假設氦氣的溫度不改變，又氣球皮的張力
可忽略，則每單位時間撞到氣球皮單位面積的分子數為在
地面時的幾倍？
[63.日大]
答案：原來一半
選讀材料：熱力學第一定律
1. 氣體分子的內能：
理想氣體分子間幾乎無作用力，因此分子間的位能可以
忽略掉，氣體分子的內能即為分子的總動能，以符號 U
表示，如為單原子理想氣體
3
3
3
U  NE k  NkT  nRT  PV
2
2
2
如為多原子分子的氣體，則除了移動動能外還需考慮轉
動動能。有一定理稱為均分定理告訴我們，氣體分子運
動時，每一自由度貢獻 1∕2 kT 的動能。對於雙原子的分
子，移動加轉動共有五個自由度，因此氣體的內能
5
5
U  nRT  PV
2
2
2. 熱力學第一定律：
根據能量的觀念，一個理想氣體系統可透過吸放熱或作功
的形式與外界產生能量的轉移。因此一理想氣體的內能可
以藉由熱量吸收 ΔQ 而增加，會因為對外做功 W 而減少，
由能量守恆的原理，一系統的內能變化量為
U  Q  W
這個關係式稱為熱力學第一定律，為能量守恆的敘述。
3. 氣體對外所作的功：
• 如右圖，考慮一裝有活塞（面積為 A）
的圓柱形容器，內有壓力為 P 的氣體，
若壓力保持不變，活塞產生了一小段位
移Δx ，則氣體對外作功
W  Fx  (PA)x  PV
F
A
ΔV
P
Δx
• 氣體的體積如不改變，則氣體對外界不作功。如氣體
體積變化的同時，壓力也在改變，則氣體對外界所作
的功可由其 P - V 圖求所圍面積。
4. 在孤立系統中將不同的氣體混合
將幾種不同的氣體加以混合，氣體如不產生化學變化，且
在混合過程與外界無能量的交換，則混合後總內能保持守
恆。例如兩種氣體，混合前的壓力分別為 P1、P2，體積分
別為 V1、V2，溫度分別為 T1、T2，混合後達平衡時壓力變
為 P，體積為 V，溫度為 T，則由內能守恆可得到下列關
係式：
n1RT1  n 2 RT2  (n1  n 2 )RT

P1V1  P2 V2  PV
5. 氣體的莫耳比熱：
• 定容下：氣體在定容下不對外作功，則熱量變化量等於
內能變化量
3
Q  U  nRT（單原子分子）
2
因此莫耳比熱
Q 3
CV 
 R  12.48 （J / mol  K）
n T 2
• 定壓下：單原子分子的氣體，在定壓下對外所作的功
W  PV  nRT
因此熱量變化量
3
5
Q  U  W  nRT  nRT  nRT
2
2
莫耳比熱
Q 5
CP 
 R  20.79 （J / mol  K）
n T 2
例題：一密閉於隔熱活塞筒內之氣體，若推動活塞壓縮之，
則 (A)氣體之壓力增加 (B)氣體之溫度升高 (C)氣體之內
能增加 (D)氣體分子之平均速率不變 (E)氣體之密度增加。
[66.日大]
答案：ABCE
說明：外界對氣體作正功，氣體內能增加，因此溫度
升高，壓力變大，平均速率增加
例題：將一莫耳的單原子分子理想氣體加熱，使其溫度從
27℃升至 327℃，則下列敘述中何者正確？
(A)此系統的分子方均根速率增大為原來的兩倍
(B)若加熱過程中，體積維持一定，則此系統的氣體分子總能
量（分子的總移動動能）增大為原來總能量的兩倍
(C)若加熱過程中，壓力維持一定，則此系統的氣體分子總能
量仍增大為原來總能量的兩倍
(D)加熱過程中，無論是體積維持一定，或壓力維持一定，對
此系統需要輸進的熱量均相等。
[77.夜大]
答案：BC
例題：一理想氣體物系由狀態 a 經途中
所示之過程再回到狀態 a。
壓力
1) 求每一過程（a → b，b → c，c → d，
b
d → a）中物系所作的功
P1
2) 試判斷每一過程中物系是吸熱或放熱，
並說明你的理由。
P2 a
3) 物系回到 a 狀態後，內能之變化為多
V1
少？請說明你的理由。 [75.日大]
解：(1) a  b : W  0 ；c  d : W  0
b  c : W  P1 (V2  V1 )
d  a : W  P2 (V2  V1 )
c
d
V2 容積
3
(2) Q  U  W  ( PV)  W
2
a  b : P  0 且 W  0  Q  0 （吸熱）
b  c : V  0 且 W  0  Q  0 （吸熱）
c  d : P  0 且 W  0  Q  0 （放熱）
d  a : V  0 且 W  0  Q  0 （放熱）
3
(3) U  PV，回到 a 狀態，P、V 回到原來的值
2
因此內能不變。
例題：設於某一密閉容器中裝有一莫耳之單原子理想氣體，
其溫度由 300K 升高至 600K。設容器之體積不變，則下列
敘述何者正確？
(A)氣體的密度為原來的兩倍
(B)氣體的壓力為原來的兩倍
(C)氣體分子之方均根速率為原來的兩倍
(D)氣體分子之平均動能為原來的兩倍
(E)在升溫過程中氣體共吸熱 3.74 × 10 3 焦耳。 [84.日大]
答案：BDE
例題：在室溫時，甲容器體積為 V，內有氦氣，壓力為 2P，
乙容器體積為 V∕3，內有氦氣，壓力為 P，把乙容器之氦氣全
部加到甲容器內，若氦氣可視為理想氣體，並假設溫度不變，
則甲容器內的壓力變為 P 的________倍。
[83.日大]
7
答案：
3
例題：一絕熱密閉容器以一絕熱的中間隔板隔成左、右二
室。二室分別封存相同之單原子理想氣體。左室中氣體體
積為 V，莫耳數為 n，絕對溫度為 T；右室中氣體體積為
2V，莫耳數為 2n，絕對溫度為 2T。今將中間隔板抽去，
令左、右二室氣體混合，平衡後容器中氣體之壓力為左室
起始（未抽去中間隔板前）壓力的 __________倍。
[90.日大]
5
答案：
3
例題：兩絕熱容器內充以相同的理想氣體，兩者的壓力、體
積和溫度分別是（P，V，T1）及（P，2V，T2）。在兩者連
通混合達平衡之後，氣體的絕對溫度為__________。
[85.日大]
3T1T2
答案：
2T1  T2
例題：兩個絕熱容器內裝有相同的理想氣體，壓力相等，
其中一個容器體積為 Ｖ，溫度為 150 Ｋ，另一個容器體積
為 2V，溫度為 450K。若使這兩個容器相通，則熱平衡時
氣體之溫度為何？
答案：270K
例題：有兩種理想氣體，其氣體分子的質量，平均速率及
分子數分別為 m1、m2、v1、v1、N1 及 N2。兩者混合且平
衡後第一種分子的平均速率為何？
[68.夜大]
N1m1v12  N 2 m 2 v 22
答案：
(N1  N 2 )m1
例題：使 2 莫耳理想單原子氣體在定容下，溫度由 27℃加
熱至127 ℃ 需吸收熱量幾焦耳？如在 1atm 的定壓下進行，
則所需吸收熱量幾焦耳？
答案：約 2459 焦耳
約 4159 焦耳
THE END