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四．带电粒子在圆形边界磁场中的运动
O’
r
r
v
r
v
2
v
r
2
•
O
B
•
v
B
O
入射速度方向指向匀
强磁场区域圆的圆心，
刚出射时速度方向的
反向延长线必过该区
域圆的圆心．
1.圆形区域内存在垂直纸面的半径为R的匀强磁场，
磁感强度为B，现有一电量为q、质量为m的正离子
从a点沿圆形区域的直径射入，设正离子射出磁场
区域的方向与入射方向的夹角为600，求此离子在
磁场区域内飞行的时间及射出的位置。
y
0
O’
60
1 2 m
m
t
360
v
y
v
P(x y)
0
T 

6 qB
3 qB
1
0
x  R cos 60  R
2
y  R sin 60 
0
oO•
B
x
x
3
2
P(
1
2
R,
3
2
R)
R
2．在圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场．从磁
场边缘A点沿半径方向射人一束速率不同的质子，对
这些质子在磁场中的运动情况的分析中，正确的是：
A.运动时间越长的，在磁场中通过的距离越长
BC
B.运动时间越短的，其速率越大
C.磁场中偏转角越小的，运动时间越短
D.所有质子在磁场中的运动时间都相等
v0
A
•
B
T 
2 m
k
qB
O4
O3
O2
O1
r 
mv
v
qB
半径越大，偏向角θ越小．
圆心角等于偏向角θ
t

2
T 
3.在直角坐标系xOy中，有一半径为R的圆形磁场区
域，磁感强度为B，磁场方向垂直xOy平面指向纸内，
该区域的圆心坐标为（R，0）。如图所示，有一个质
量为m、带电量为－q的离子，由静止经匀强电场加
速后从点（0，R/2）沿x轴正方向射入磁场，离子从
射入到射出磁场通过了该磁场的最大距离，不计重力
影响。求： ⑴.离子在磁场区域经历的时间。⑵.加速
电场的加速电压。
y
t
60
360
0
0
T 
r  2R
qU 
1
2
1 2 m

6 qB
v
qBr

m
mv
2
U 
m
R/2 •
·
3 qB
O
2 qBR
r
m
B
600
2
2 qB R
2
O2
O• 1
r
x
R
4、圆心为O、半径为r的圆形区域中有一个磁感强度
为B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边
缘的最短距离为L的O＇处有一竖直放置的荧屏MN，
今有一质量为m的电子以速率v从左侧沿ＯＯ＇方向垂
直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P点，如图
所示，求O＇P的长度和电子通过磁场所用的时间
M
L
v
A
Ｏ
•
Ｏ＇
B
B
P
N
tan(
M

)
2
r
eBr

L
R
mv

2 tan(
v
)
2
tan  

m v e B r
2
1  tan ( )
2
2
O ' P  ( L  r ) tan  
  arctan(
t
R
v

m
eB
2
2
2
m v e B r
2
2
2
m v e B r
2

R
2
arctan(
2
Ｏ1
2 eBrmv
2
2
2
)
2 eBrmv
m v e B r
2
2
2
2
Ｏ＇
B
2
2 ( L  r ) eBrmv
2
•
A
2 eBrmv

Ｏ
2
)
2
B
R
P
N
5．（2004全国三）一匀磁场,磁场方向垂直于xy平面,
在xy平面上,磁场分布在以O为中心的一个圆形区域内.
一个质量为m、电荷量为q的带电粒子,由原点O开始运
动,初速为v,方向沿x正方向.后来,粒子经过y轴上的P点,
此时速度方向与y轴的夹角为300,P到O的距离为L,如图
所示.不计重力的影响.求磁场的磁感强度B的大小和xy
平面上磁场区域的半径R.
2
v
300 y
L  3r
解: qvB  m
r
P
mv
3 mv
B 

L
A
r
qr
qL
r
R  2 r cos 30 
0
3
3
L
0
vR
6．如图所示，一个质量为m、电量为q的正离子，在小
孔S处正对着圆心O以速度v射入半径为R的绝缘圆筒中。
圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大
小为B。要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从A点
射出，求正离子在磁场中运动的时间t.设粒子与圆筒内
壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力。
解:粒子经过与圆筒发生n（n=2,3,4……）
次与圆筒碰撞从原孔射出，其在圆筒磁场
中运动的轨迹为n+1段对称分布的圆弧，
2
  
每段圆弧的圆心角为
( n  1)
B
R
0
·
正离子在磁场中运动的时间
t  ( n  1)

2
 
T  ( n  1)
O
．
v
S
2
( n  1) 2  m
2
qB

( n  1) m
qB
n2

r  R tan
  
t
v
R
n 1
r
2
2
n 1
O
．
v
0

( n  1)
 总 （ n  1)(  
总r
B
O’
·
r
S
)  ( n  1)
( n  1) R tan

v

n 1
n2
7．如图所示，在半径为R的圆筒内有匀强磁场，质量
为m、带电量为q的正离子在小孔S处，以速度v0向着
圆心射入，施加的磁感应强度为多大，此粒子才能在
最短的时间内从原孔射出？（设相碰时电量和动能均
无损失）
B
解:粒子经过n=2,3,4……次与圆
筒碰撞从原孔射出，其运动轨迹
具有对称性．当发生最少碰撞次
数n=2时
0
R
r
r  R cot 30 
0
qvB  m
v
2
r
t  3
1
6
T 
B 
3R
mv 0
O’

qr
m
qB

0

  60
mv 0
3 qR
3 R
v0
O
．
v
·
r
S
当发生碰撞次数n=3时
  90
B
0
R
r' R
qvB  m
v
B'
t' 4 
4
T '
mv 0

qr '
r
1
0
r
2
2 m
qB '

2 R
mv 0
qR
O’
O
．
v
·
r
S
t
v0
可见发生碰撞次数越多，所用时间越长，故当n=2时所用
时间最短
r  R cot 30 
0
qv 0 B  m
mv 0
B 

rq
v
B
3R
R
2
0
r
r
0

O’
mv 0
O
．
v
·
r
S
3 Rq
思考：求碰撞次数n=2时粒子在磁场中运动的时间．
T 
2 m

qB
t  3
1
6
T 
2 3 R
v0
1 2 3 R
2
v0

3 R
v0
8.一带电质点，质量为m，电量为q，重力忽略不计，
以平行于ox轴的速度v从y轴上的a点射入．如图中第一
象限所示的区域。为了使该质点能从x轴上的b点以垂
直于ox的速度射出，可在适当的地方加一垂直于xy平
面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一
个圆形区域内，求这圆形磁场区域的最小半径.
qvB  m
v
2
r
r 
mv
qB
R 
2r
2

y
a
O
2 mv
2 qB
v
b
O’
v
x