Geometria plana aula
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Transcript Geometria plana aula
Conceitos Iniciais
Ponto: A,B,C...
Conceitos
Reta: r,s,t...
Primitivos
Plano: ,,..
Reta que passa pelos pontos A e B
AB, BA Semi-retas
AB
Conceitos Iniciais
A
B
Segmento de reta AB
PARALELISMO
Algumas relações importantes
Qual a soma das
medidas dos ângulos
ao lado ?
.
Algumas relações importantes
Se + = 90 o ; então
estes são chamados
ÂNGULOS COMPLEMENTARES
.
é o complementar de
é o complementar de
PERGUNTA !!!
Quanto mede o compl. do ângulo x ?
?
.
x
PERGUNTA !!!
Quanto mede o compl. do ângulo x ?
90º - x
.
x
Compl(x) = 90o - x
Ângulos Suplementares
+ = 180o
Pares de ângulos que
suplementares.
somam 180o são
supl(x) = 180o - x
Dica! Bissetriz
A
P
O
B
Todo ponto da bissetriz é eqüidistante das duas semiretas
Ângulos Suplementares
+ = 180°
Ângulos Suplementares
/2
/2
+ = 180°
/2
/2
/2 + /2 = 90°
As bissetrizes de dois ângulos
adjacentes e suplementares
são
+ = 180°
perpendiculares
Paralelismo
r
s
Essas retas são paralelas ?
Paralelismo
r
s
Essas retas são paralelas ?
Paralelismo
t
r
s
Com a reta “t” transversal às r e s ficam determinados
8 ângulos, com os quais vamos definir os principais
casos de paralelismo.
Paralelismo
t
2
3
6
7
5
1
r
4
s
8
Com a reta “t” transversal às r e s ficam determinados
8 ângulos, com os quais vamos definir os principais
casos de paralelismo.
Paralelismo - 1º caso
Paralelismo - 1º caso
t
r
s
Os ângulos e estão na mesma posição em relação
às retas horizontais e estão ambos à direita de t.
São chamados ângulos
CORRESPONDENTES
Paralelismo - 1º caso
t
r
s
O que podemos afirmar sobre os ângulos e ?
Paralelismo - 1º caso
t
r
s
O que podemos afirmar sobre os ângulos e ?
Paralelismo - 1º caso
t
r
s
O que podemos afirmar sobre os ângulos e ?
Paralelismo - 1º caso
t
=
rs
O que podemos afirmar sobre os ângulos e ?
Conclusão
t
r
s
Se os ângulos e são c o n g r u e n t e s (iguais) ;
as retas r e s são paralelas.
Se as retas r e s forem paralelas; os ângulos
correspondentes determinados por uma transversal t
serão congruentes.
Conclusão
t
r
s
Se r // s
Comparação
fig. 1
fig.2
t
t
r
r
“diferentes”
s
s
“iguais” r //s
Ângulos correspondentes
Paralelismo - 2º caso
Paralelismo - 2º caso
t
r
s
Esses ângulos estão
posicionados como os
ângulos do 1o caso ?
Paralelismo - 2º caso X 1º caso
t
t
r
r
s
s
Paralelismo - 2º caso
t
r
s
Claro que não !
Nesse caso, os ângulos estão em posições alternadas.
Um acima de s, o outro abaixo de r.
Um à direita e outro à esquerda de t.
Paralelismo - 2º caso
São os ângulos
ALTERNOS.
t
r
s
Podem ser INTERNOS,
como e ,
ou então
EXTERNOS.
Paralelismo - 2º caso
t
y
r
s
x
x
e y são ALTERNOS EXTERNOS.
Paralelismo - 2º caso
t
t
y
r
r
s
s
x
Em qualquer um dos casos, se temos pares de ângulos
congruentes, as retas r e s serão paralelas, e v.v.
Paralelismo - 2º caso
t
t
y
r
r
s
s
x
Se r//s
Se x y r//s
Paralelismo - 3º caso
Paralelismo - 3º caso
t
r
s
Na figura acima temos ângulos que não são
alternos ou correspondentes. Apenas estão do
mesmo lado em relação à reta transversal t .
Paralelismo - 3º caso
t
r
s
Esses são chamados ângulos COLATERAIS, que
também podem ser INTERNOS ou EXTERNOS.
Paralelismo - 3º caso
t
r
s
Colaterais Internos
Paralelismo - 3º caso
t
r
s
Colaterais Externos
Paralelismo - 3º caso
t
t
r
r
s
s
Note que nesse caso é fácil perceber que os ângulos
não são congruentes, pois um é agudo e o outro
obtuso. (é possível que ambos sejam retos)
Paralelismo - 3º caso
t
t
r
r
s
s
Qual parece ser a relação que os ângulos das
figuras devem satisfazer para que as retas r e s
sejam paralelas ?
Paralelismo - 3º caso
t
r
s
Paralelismo - 3º caso
t
r
s
Paralelismo - 3º caso
t
r
s
Paralelismo - 3º caso
t
r
s
Paralelismo - 3º caso
t
t
r
r
s
Se + = 180o r//s.
( e suplementares)
s
S3j4m b3m v1nd0s
3 Até a próxima