Transcript Formação_-_Matemática_(1)

Orientação Técnico-Pedagógica
Formação - Escolas Prioritárias
Matemática
Núcleo Pedagógico de Jacareí
SECRETARIA DA EDUCAÇÃO
Coordenadoria de Gestão da Educação Básica
1
Níveis de proficiência estabelecidos pelo
SARESP
O direcionamento que daremos aqui neste tópico
destinado aos níveis de Proficiência será de
estabelecer uma análise das reais necessidades em
que esses indicadores possam direcionar uma
proposta de formação docente e posterior
intervenção em sala de aula.
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2
PROFICIÊNCIA
Classificação
Insuficiente
Nível de Proficiência
Abaixo do Básico
Descrição
“Os alunos neste nível
demonstram domínio
insuficiente dos conteúdos,
competências e habilidades
desejáveis para o ano/série
escolar em que se
encontram.”
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3
PROFICIÊNCIA
Classificação
Nível de Proficiência
Descrição
Básico
“Os alunos, neste nível,
demonstram domínio mínimo
dos conteúdos, competências
e habilidades, mas possuem
as estruturas necessárias
para interagir com a
proposta curricular no
ano/série subsequente”
Adequado
“Os alunos, neste nível
demonstram domínio perfeito
dos conteúdos, competências
e habilidades desejáveis para
o ano/série escolar em que se
encontram”.
Suficiente
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PROFICIÊNCIA
Classificação
Avançado
Nível de Proficiência
Avançado
Descrição
“Os alunos, neste nível,
demonstram conhecimentos
e domínio dos conteúdos,
competências e habilidades
acima do requerido no
ano/série escolar em que se
encontram”.
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Objetivos de trabalho
Classificação
Nível de Proficiência
Insuficiente
Abaixo do Básico
Básico
Suficiente
Adequado
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6
Para o tratamento desta problemática,
iniciaremos este estudo com algumas
indicações de Gerard Vergnaud em seu
artigo: “O longo e o curto prazo na
aprendizagem da Matemática”
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Base Teórica:
Teoria dos Campos Conceituais
Vergnaud (2011) refere-se ao “longo prazo”
como perspectiva de desenvolvimento, ou
seja, há de se respeitar o tempo de
aprendizagem do sujeito de aprendizagem e
que o resultado não é instantâneo, necessita
de certo período de acomodação dos
conhecimentos já adquiridos.
O longo prazo e o curto prazo
na aprendizagem da Matemática
o “curto prazo” refere-se à situação na qual o
aluno está agindo em determinada situação
de aprendizagem, utilizando os esquemas de
ações,
envolvendo
as
invariantes
operacionais, ou seja os teoremas e os
conceitos
em
ação,
previamente
estabelecidos e o professor é o ente de
ligação, que lhe dá condições para facilitar e
guiar o processo de aquisição.
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8
Piaget e Vergnaud
Para Vergnaud, Piaget reduz seu estudo às estruturas lógicas
gerais, independentes do conteúdo do conhecimento:
“complexidade lógica geral”.
Piaget não trabalhou em contextos escolares, centro de interesse
de Vergnaud.
Vergnaud retoma os princípios de Piaget, porém adota como
referência o conteúdo do conhecimento.
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Considerou-se um epistemólogo genético
porque investigou a natureza e a gênese
do conhecimento nos seus processos e
estágios de desenvolvimento.
Fonte: PORTAL EDUCAÇÃO - Cursos
Online : Mais de 1000 cursos online com
certificado
http://www.portaleducacao.com.br/psicolog
ia/artigos/26650/principios-sobre-odesenvolvimento-para-jeanpiaget#ixzz2gZMDWmQj
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Vergnaud (1994), define Campo Conceitual, da
seguinte maneira:
um conjunto de situações cujo tratamento implica
esquemas, conceitos e teoremas em estreita relação,
assim como representações linguísticas e simbólicas
que podem utilizar-se para simbolizá-los.
(VERGNAUD, 1994, p. 75)
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a proposta de Vergnaud é que se identifique, valorize e
estude as ações dos estudantes no momento em que eles
estão resolvendo problemas, pois é nesse momento que
os conceitos e conhecimentos traduzidos em forma
de invariantes implícitos, isto é quando aparecem os
esquemas de ação do sujeito, formando assim os
elementos constitutivos dos esquemas desses alunos, e
que o esquema é “uma espécie de modo finalizado pela
intenção do sujeito e estruturado pelos meios que este
emprega para alcançar seu objetivo” Vergnaud e Laborde
(1994, p. 68).
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Mapa Conceitual
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Esquema
Conceito
Invariantes
Para Vergnaud, esquema é o conceito
mais importante da psicologia
cognitiva, quando se trata em teorizar
sobre ação e atividade, pois a maior
parte de nossas atividades cognitivas é
efetuada através de esquemas.
Pensar é um gesto, sob o aspecto de
produzir sequências de ações, ou
operações sob certas circunstâncias, com
objetivos, ou sub-objetivos, de agrupar
informações e processá-las
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Esquema
Vergnaud, (1998), destaca quatro
características principais em um esquema:
1. Objetivos e antecipações;
2. Regras de ação, procura de informação
e controle;
3. Invariantes Operacionais (conceitos em
ação e teoremas em ação), que pilotam
o reconhecimento pelo sujeito dos
elementos pertinentes da situação e da
coleta de informações sobre a maneira
da situação a tratar.
4. Possibilidades de Inferências;
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Conceito
- Conjunto de esquemas postos em
prática
- Conjunto de invariantes utilizáveis
na ação.
- Neste caso não se discute a
validade ou não de um conceito, mas
sim o uso de palavras, enunciados e
signos.
- Isto leva a considerar que um
conceito é uma tríade dos conjuntos:
C= (S, I, R)
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Tríade
(S,I,R)
S: é o conjunto das situações que dão
sentido ao conceito (a referência);
I: é o conjunto de invariantes sobre os
quais descansa a operacionalidade dos
esquemas (os significados);
R: é o conjunto de formas linguísticas e
não linguísticas que permitem
representar simbolicamente o conceito,
suas propriedades, as situações e os
procedimentos de tratamento (os
significantes).
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Invariantes operatórios
I. Conceitos em ação.
II. Teoremas em ação.
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I.
Conceitos
em ação.
Conceitos em Ação são relevantes ou não
ou são parcialmente relevantes para
identificar e selecionar a informação,
porém relevância ou irrelevância não
significam: verdadeiro ou falso, não há
significado em dizer que os conceitos do
triângulo, ou número, ou simetria ou
operação escalar, ou transformações são,
elas mesmas, verdadeiras ou falsas; e
ainda estes conceitos são conceitos
matemáticos relevantes para caracterizar
representação e ação em tarefas
matemáticas.
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II. Teoremas
em ação
Teoremas em Ação são definidos como
relações matemáticas que devem ser
levados em consideração pelos alunos
quando eles escolhem uma operação
ou uma sequência de operações para
resolver um problema. Estas relações
geralmente não são expressas
verbalmente pelos alunos. Assim,
Teoremas em Ação não são teoremas
de senso convencional porque a
maioria deles não são explícitos.
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II. Teoremas
em ação
Portanto, teoremas em ação, são
formas de analisar as estratégias
intuitivas
dos
alunos
e
consequentemente
ajudá-los
à
transformar conhecimento intuitivo
em conhecimento explícito e também
oferecer
um
caminho
para
diagnosticar o conhecimento do aluno
e assim oferecer situações que
permitirão
consolidar
seu
conhecimento.
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Campo Conceitual das Estruturas
Aditivas
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22
Aditiva:
Composição de Medidas;
Transformação de Medidas;
Comparação de Medidas.
Multiplicativa:
Multiplicação;
Divisão por Partes;
Divisão por Cotas.
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23
Definição.
[...] o campo conceitual das estruturas
aditivas é simultaneamente o conjunto
de situações cujo tratamento implica
uma ou várias adições ou subtrações, é
o conjunto de conceitos e teoremas que
permitem analisar essas situações como
tarefas matemáticas.
São elementos das estruturas aditivas,
os conceitos de cardinal, medida,
transformação, temporal por aumento
ou diminuição, relação de comparação
qualitativa, inversão. (VERGNAUD,
1990, p. 146.)
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24
Categorias
Segundo Vergnaud (1991) as relações
aditivas são relações ternárias que
podem ser articuladas de diversas
maneiras e oferecer uma grande
variedade de estruturas aditivas. O
autor identifica seis esquemas ternários
básicos, elencados a seguir.
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Categorias
1. Composição de Duas medidas se compõem para dar
lugar à outra medida; (composição
duas medidas
em uma terceira protótipo);
Tipologia: Nesta categoria estão
essencialmente os problemas de reunião
ou do desmembramento de coleções com
valores mensuráveis. De acordo com que
se pede, o todo ou uma das partes, a
operação associada será uma adição ou
uma subtração.
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26
Composição de Medidas
6
14
• Ex.: Paulo tem seis
bolas de vidro e oito
de aço. Quantas ele
tem ao todo?
8
© Alex SandroSECRETARIA
Gomes e José Castro
Filho
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Categorias
2. Relação de
transformação
de estados
Uma transformação opera sobre uma
medida para dar lugar a uma outra medida
Tipologia: Esta categoria trata de
enunciados que descrevem as situações que
são desenvolvidas frequentemente no
tempo, em que é possível identificar um
estado inicial, uma transformação
(positiva ou negativa) e que opere sobre
estado para chegar a um estado final. Esta
estrutura define ainda outras seis
categorias de problemas, segundo o tipo de
transformação: positiva ou negativa e se a
busca leva a um estado final ou um estado
inicial.
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28
Transformação de estados
+4
7
11
• Paulo tinha sete bolas antes de jogar. Ele ganhou
quatro. Quantas ele tem agora ?
© Alex SandroSECRETARIA
Gomes e José Castro
Filho
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Categorias
Uma relação que une duas medidas.
3. Relação de
comparação
aditiva
Tipologia: Aqui temos dois estados
relativos a duas medidas mensuráveis
ou localizáveis, se comparam de
maneira aditiva, onde uma das medidas
desempenha um papel de referente a
outra referido. A relação se enuncia
mediante as expressões “a mais” ou “a
menos”.
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30
Relação entre Medidas
8
-5
3
• Paulo tem oito bolas.
José tem cinco bolas a
menos. Quantas bolas
tem José ?
© Alex SandroSECRETARIA
Gomes e José Castro
Filho
DA EDUCAÇÃO
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Categorias
4. Composições de
transformações
duas transformações se compõem para
dar lugar a uma terceira transformação.
Tipologia: Duas transformações ou mais se
aplicam entre si entre estados
desconhecidos (pois se forem conhecidos,
cairiam na família de “relações de
transformações”). A transformação única,
composta por estas transformações,
permite transformar o estado inicial no
estado final obtido após a aplicação de
todas as transformações implicadas.
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32
Composição de Transformações
• Paulo ganhou seis bolas ontem e perdeu nove
bolas hoje. Quantas ele perdeu ao total ?
+6
-9
-3
© Alex SandroSECRETARIA
Gomes e José Castro
Filho
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5. Transformação
de uma relação
Uma transformação opera sobre um
estado relativo (uma relação) para dar
lugar a um estado relativo.
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34
Transformação de Relações
+4
-6
-2
• Paulo devia seis bolas a Henrique. Ele deu-lhe
quatro. Quantas ele deve agora ?
© Alex SandroSECRETARIA
Gomes e José Castro
Filho
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Categorias
6. Composição de
duas
transformações
Dois estados relativos (relações) se
compõem para dar lugar a um estado
relativo.
Tipologia: Estes dois últimos casos
podem ser descritos de maneira análoga
às duas primeiras categorias. Não existe
nenhum tipo de problema, destas duas
últimas categorias, que pode ser
aplicado nas séries iniciais do ensino
fundamental.
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36
Composição de Transformações
• Paulo ganhou seis bolas ontem e perdeu nove
bolas hoje. Quantas ele perdeu ao total ?
+6
-9
-3
© Alex SandroSECRETARIA
Gomes e José Castro
Filho
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Quadro Resumo
Campo Conceitual
das Estruturas
Aditivas
COMPOSIÇÃO
A
Parte
X
Todo
B
Parte
Em um jardim encontramos
rosas e cravos, contaram-se
10 rosas e 12 cravos, qual é o
total de rosas e cravos deste
jardim?
Protótipo
Parte
A
B
Parte
X
1ª Extensão
Todo
Em um jardim foram
contadas 22 flores entre
cravos e rosas, destas flores
12 eram cravos, quantas
rosas existiam no jardim?
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Quadro Resumo
TRANSFORMAÇÃO
Campo Conceitual
das Estruturas
Aditivas
T
I
X
Protótipo
X
F
I
Em um dado momento de um campeonato,
uma equipe possuía 20 pontos, ao vencer
um jogo ela acumulou 3 pontos. Qual é a
pontuação desta equipe neste momento do
campeonato?
Luzia tinha 4 figurinhas, participou de um
jogo de bafo e no final do jogo ficou com 10
figurinhas. O aconteceu no jogo?
1ª Extensão
T
X
-t
F
2ª Extensão
Paulo comprou 10 quilos de arroz para sua
casa e verificou que ficou com 40 quilos de
arroz. Qual era o seu estoque inicial?
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39
COMPOSIÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES
Problemas Mistos
Nesta classe de problemas existe a composição de
transformações, sendo que uma medida sofre uma
transformação, que resulta em uma transformação
intermediária e posteriormente sofre outra transformação
resultando em estado final.
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40
COMPOSIÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES
Problemas Mistos
Pedro jogou duas partidas de bolinhas de gude. Durante a
primeira partida, ele ganhou 7 bolinhas. Ele jogou a
segunda partida. Fazendo as contas para as duas partidas,
ele viu que perdeu ao todo 2 bolinhas. O que ocorreu na
segunda partida?
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41
COMPOSIÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES
Problemas Mistos
PEDRO JOGOU DUAS PARTIDAS DE BOLINHAS DE GUDE. DURANTE A
PRIMEIRA PARTIDA, ELE GANHOU 7 BOLINHAS. ELE JOGOU A SEGUNDA
PARTIDA. FAZENDO AS CONTAS PARA AS DUAS PARTIDAS, ELE VIU QUE
PERDEU AO TODO 2 BOLINHAS. O QUE OCORREU NA SEGUNDA
PARTIDA?
1º Aspecto do pensamento.
Um raciocínio que pode ser utilizado aqui seria
o princípio da equivalência, da seguinte
maneira: se na primeira partida ele ganhou 7
bolinhas, para saber o quanto ele tinha
anteriormente basta subtrair 7 bolinhas, ou
seja, anulamos os resultados.
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42
COMPOSIÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES
Problemas Mistos
PEDRO JOGOU DUAS PARTIDAS DE BOLINHAS DE GUDE. DURANTE A
PRIMEIRA PARTIDA, ELE GANHOU 7 BOLINHAS. ELE JOGOU A SEGUNDA
PARTIDA. FAZENDO AS CONTAS PARA AS DUAS PARTIDAS, ELE VIU QUE
PERDEU AO TODO 2 BOLINHAS. O QUE OCORREU NA SEGUNDA
PARTIDA?
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43
COMPOSIÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES
Problemas Mistos
PEDRO JOGOU DUAS PARTIDAS DE BOLINHAS DE GUDE. DURANTE A
PRIMEIRA PARTIDA, ELE GANHOU 7 BOLINHAS. ELE JOGOU A SEGUNDA
PARTIDA. FAZENDO AS CONTAS PARA AS DUAS PARTIDAS, ELE VIU QUE
PERDEU AO TODO 2 BOLINHAS. O QUE OCORREU NA SEGUNDA
PARTIDA?
2º Aspecto do pensamento.
Se anteriormente havíamos subtraído 7 para
sabermos o quanto ele tinha de bolinhas ao
iniciar a partida, então o valor relativo da
primeira transformação é -7 e se na segunda
partida ele perdeu 2 (-2), então a composição
das medidas relativas é -9, que é o número
relativo que representa o valor de x, pois (-9)
+ (+7) = (-2)
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44
COMPOSIÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES
Problemas Mistos
PEDRO JOGOU DUAS PARTIDAS DE BOLINHAS DE GUDE. DURANTE A
PRIMEIRA PARTIDA, ELE GANHOU 7 BOLINHAS. ELE JOGOU A SEGUNDA
PARTIDA. FAZENDO AS CONTAS PARA AS DUAS PARTIDAS, ELE VIU QUE
PERDEU AO TODO 2 BOLINHAS. O QUE OCORREU NA SEGUNDA
PARTIDA?
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45
COMPOSIÇÃO DE TRANSFORMAÇÕES
Problemas Mistos
PEDRO JOGOU DUAS PARTIDAS DE BOLINHAS DE GUDE. DURANTE A
PRIMEIRA PARTIDA, ELE GANHOU 7 BOLINHAS. ELE JOGOU A SEGUNDA
PARTIDA. FAZENDO AS CONTAS PARA AS DUAS PARTIDAS, ELE VIU QUE
PERDEU AO TODO 2 BOLINHAS. O QUE OCORREU NA SEGUNDA
PARTIDA?
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Campo Conceitual das Estruturas
Multiplicativas
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47
Definição.
As relações multiplicativas básicas,
segundo Vergnaud (1991), não são
relações
ternárias,
elas
são
quaternárias, pois os problemas mais
simples de multiplicação e divisão
implicam na proporção simples de duas
variáveis uma em relação a outra.
As relações multiplicativas estão
divididas em dois grandes grupos; o
isomorfismo de medidas e o produto de
medidas.
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48
As relações quaternárias, segundo
Vergnaud (1991), são as mais utilizadas
na escola primária, quando se introduz a
multiplicação e fazem parte da formação
da
grande maioria dos problemas de tipo
multiplicativo. Como o próprio diz, elas se
relacionam entre si através de quatro
quantidades, sendo as duas primeiras
medidas
de certo tipo que se relacionam com duas
de outro tipo de medidas. Pertencem à
classe das relações quaternárias os
problemas de isomorfismos de medidas,
ou seja, os problemas de multiplicação, a
divisão como partição, a divisão como
quotição e a quarta proporcional
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49
Já as relações ternárias, consistem em
relações entre três quantidades, de tal
forma que uma é o produto das outras
duas, ou seja, o produto de medidas, tanto
no
plano numérico como no plano
dimensional, estão inseridos neste
contexto os
problemas que dizem respeito ao produto
cartesiano, proporções múltiplas e
comparação multiplicativa.
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Categorias
1. Isomorfismo de
Medidas.
RELAÇÕES
QUATERNÁRIAS
Pacotes
Bombons
1
10
3
X
Tenho 3 pacotes de bombons, com
10 bombons cada. Qual é a minha
quantia total de bombons?
Multiplicação
Multiplicou
por 10
Multiplicou
por 3
1
10
3
X
Multiplicar
por 3 (30)
Multiplicar
por 10 (30)
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54
Categorias
1. Isomorfismo de
Medidas.
Divisão como
partição
RELAÇÕES
QUATERNÁRIAS
Carrinho
Valor
1
x
4
40
Pela compra de 4 carrinhos, Carlos
gastou R$ 40,00. Quanto ele
gastou em cada carrinho?
Multiplicar
por 10 (10)
Multiplicou
por 4
1
x
4
40
Dividir por 4
(10)
Multiplicou
por 10
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55
Categorias
1. Isomorfismo de
Medidas.
RELAÇÕES
QUATERNÁRIAS
Pacotes
Divisão como
quota
1
Valor
6
30
x
Pedro tem R$ 30,00 e quer comprar
alguns pacotes de bombons que
custam R$ 6,00 cada pacote. Qual
é a quantidade de pacotes que
Pedro irá comprar?
Multiplicou por 6
1
6
Multiplicar por 5 (5)
Multiplicou por 5
x
30
Dividir por 6 (5)
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56
Categorias
1. Isomorfismo de
Medidas.
RELAÇÕES
QUATERNÁRIAS
1
10
3
X
Multiplicação
Divisão como
partição
1
x
4
40
Divisão como
quota
1
6
x
30
Tenho 3 pacotes de bombons, com
10 bombons cada. Qual é a minha
quantia total de bombons?
Pela compra de 4 carrinhos, Carlos
gastou R$ 40,00. Quanto ele
gastou em cada carrinho?
Pedro tem R$ 30,00 e quer comprar
alguns pacotes de bombons que
custam R$ 6,00 cada pacote. Qual
é a quantidade de pacotes que
Pedro irá comprar?
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Categorias
1. Isomorfismo de
Medidas.
Quarta
Proporcional
Dividiu por 2
RELAÇÕES
QUATERNÁRIAS
Tempo (h)
6
4
3
X
6
4
3
X
“metade”
de 6
Para executar certo serviço em 6
horas, necessito de 4 funcionários.
Quantos
funcionários
serão
necessários para executar este mesmo
serviço em 3 horas?
funcionários
Multiplicar por por 2
“dobro” de
4=8
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58
Categorias
2. Produtos de
medidas
Proporções
múltiplas
RELAÇÕES
TERNÁRIAS
Uma dada receita foi descrita da seguinte maneira: para cada
copo de leite são necessários 3 ovos, e para cada ovo são
necessários 2 xícaras de farinha. Pretende-se fazer esta receita
com 2 copos de leite, quantas xícaras de farinha serão
necessárias?
Copo de leite
Ovos
Xícaras de farinha
Taxa: x 3
1
3
Taxa: x 2
2
1
2
6
X= 12
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59
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60
Categorias
2. Produtos de
medidas
Produto
Cartesiano Bilinearidade
RELAÇÕES
TERNÁRIAS
Um parque de diversão cobra 2 reais para brincar em
qualquer brinquedo por 1 hora.
Maria quer levar seus três filhos para brincar no parque por
quatro horas. Quanto ela pagará?
Crianças
3
Valor a
pagar
Par: (criança x horas)
3x4
Horas
x
Taxa: x 2
4
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Slide
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Categorias
2. Produtos de
medidas
RELAÇÕES
TERNÁRIAS
Em uma sorveteria, o sorvete de uma bola pode ser servido
em casquinha ou copinho. Existem quatro variedades de
sabores: menta, baunilha, chocolate ou morango. De
quantas maneiras diferentes podemos montar um sorvete de
uma bola.
Produto
Cartesiano
R= {a,b}, (sendo a= casquinha e b= copinho) o conjunto dos recipientes
S= {c, d, e, f}, (c= menta, d= baunilha, e=chocolate, f=morango) o
conjunto dos sabores
R
S
c
d
e
f
a
(a,c)
(a,d)
(a,e)
(a,f)
b
(b,c)
(b,d)
(b,e)
(b,f)
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Slide
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Categorias
2. Produtos de
medidas
Espaço
Contínuo
RELAÇÕES
TERNÁRIAS
Em uma sala de aula em formato retangular, existem 8
filas de carteiras, com 5 carteiras cada. Quantas
carteiras a sala possui?
Par (horizontal x vertical) = nº de carteiras na horizontal x
nº de carteiras na vertical
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64
Categorias
3. Comparação
multiplicativa
RELAÇÕES
TERNÁRIAS
Comprei uma boneca por R$ 21,00 e uma bola por
R$ 3,00. Quantas vezes a boneca foi mais cara que
a bola?
A
Referido
÷?
B
Relação
Referente
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Categorias
3. Comparação
multiplicativa
RELAÇÕES
TERNÁRIAS
Comprei uma bola por R$ 3,00 e comprei uma
boneca 7 vezes mais cara que a bola. Quanto
custou a boneca.
x
Referido
X7
B
Relação
Referente
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O conceito de esquema aliado aos
invariantes operatórios, são os
pontos centrais da Teoria dos Campos
Conceituais, nesta teoria o conceito de
esquema se refere à organização
estrutural das ações do sujeito frente a
uma dada
classe de situações e possuem duas
características distintas, a primeira dá o
sentido
organizador do esquema, pois é ele que
organiza e dá sentido às ações, a outra
caracteriza a dinâmica do esquema como
assimilador e antecipador, pois ele pode
mudar sua significação e se transformar no
decurso das ações.
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Referências
bibliográficas.
VERGNAUD. G. - A Teoria dos Campos Conceptuais: in
Didáctica das Matemáticas, Brun, J (Dir), Lisboa:
Instituto Piaget, 1996, 280 p., Cap. 3, 155-191
____________ A Comprehensive Theory of
Representation for Mathematics Education, in Journal of
Mathematical Behavior, 17, vol. 2, pp 167 – 181, 1998.
____________. - El Niño, las Matemáticas y la
Realidad, México: Editorial Trilhas, 1991.
YAMANAKA.O.Y - Um Estudo sobre a Introdução
Algébrica nas Séries Iniciais – 2009. 156 f. Dissertação (
Mestrado Acadêmico) – Pontifícia Universidade Católica
de São Paulo, São Paulo, 2009.
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Obrigado!
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