Transcript Relativnost gibanja

a ako se pokaže netočnom
Francuzi će me zvati Švicarcem,
Švicarci - Nijemcem,
Nijemci - Židovom.
Albert Einstein (1879-1955)
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
Ako se moja teorija relativnosti pokaže
točnom Nijemci će me zvati Nijemcem,
Švicarci - švicarskim građaninom,
Francuzi - velikim znanstvenikom,
FIZIKA 1
RELATIVNOST GIBANJA
Klasična,
Galileijeva
v<<c
17. stoljeće
Specijalna
teorija
relativnosti
v
c
Opća
teorija
relativnosti
v
c
v jednolika
neakcelerirani sustavi
v nije jednolika
akcelerirani sustavi
Einstein 1905.g.
Einstein 1915.g.
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
Relativnost
Postoji li u prostoru privilegirana točka, smjer, gibanje?
Postoji li u vremenu privilegiran trenutak?
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
KLASIČNA RELATIVNOST
Newtonovi zakoni vrijede jednako
bez obzira miruje li sustav
(u kojem ih provjeravamo)
ili se jednoliko translacijski giba
(nerelativistički-brzinom puno manjom od brzine svjetlosti).
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
Klasičan princip relativnosti
x
y
y’
Ovaj sustav se giba
jednoliko brzinom
v puno manjom od c
(u smjeru osi x)
x’
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
S’
S
FIZIKA 1
z’
z
S
x
y
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
z
S
S’
FIZIKA 1
z’
x’
x
y
y’
peron
Opažač O
- prometnik stoji (miruje) na peronu
vlak
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
z
Opažač O’
– vlakovođa koji sjedi (miruje) u vlaku
koji se giba jednoliko (brzinom
v puno manjom od c)
S
S’
T
x’
x
y
y’
peron
Opažač O
- prometnik stoji (miruje) na peronu
FIZIKA 1
z’
vlak
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
z
Opažač O’
– vlakovođa koji sjedi (miruje) u vlaku
koji se giba jednoliko (brzinom
v puno manjom od c)
Zadatak za obojicu: opišite položaj točke T
S
S’
T
x’
x
y
y’
peron
Opažač O
- prometnik stoji (miruje) na peronu
FIZIKA 1
z’
vlak
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
z
Opažač O’
– vlakovođa koji sjedi (miruje) u vlaku
koji se giba jednoliko (brzinom
v puno manjom od c)
Zadatak za obojicu: opišite položaj točke T
r ’ (x’,y’,z’)
S’
S
x’
x
y
y’
peron
Opažač O
- prometnik stoji (miruje) na peronu
vlak
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
r (x,y,z)
FIZIKA 1
T
z’
z
Opažač O’
– vlakovođa koji sjedi (miruje) u vlaku
koji se giba jednoliko (brzinom
v puno manjom od c)
U kakvoj su (matematičkoj) vezi r i r’ ?
r
r’
S’
S
x’
x
y
FIZIKA 1
T
y’
peron
Opažač O
- prometnik stoji (miruje) na peronu
vlak
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
z’
z
Opažač O’
– vlakovođa koji sjedi (miruje) u vlaku
koji se giba jednoliko (brzinom
v puno manjom od c)
U kakvoj su (matematičkoj) vezi r i r’ ?
r
FIZIKA 1
r’
S’
S
vt
y
T
peron
Opažač O
- prometnik stoji (miruje) na peronu
x’
y’
vlak
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
z’
z
Opažač O’
– vlakovođa koji sjedi (miruje) u vlaku
koji se giba jednoliko (brzinom
v puno manjom od c)
r = r’+ vt
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
Galileijeve transformacije koordinata
Galileijeve transformacije
x
x’
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
S’
S
FIZIKA 1
x koordinata točke koju mjeri opažač iz sustava S
x’ kordinata točke koju mjeri opažač iz sustava S’
t vrijeme koje mjeri opažač iz sustava S
t’ vrijeme koje mjeri opažač iz sustava S’
v brzina sustava S’ u odnosu na sustav S
S
T
S’
x
x’
x
x’
x = vt + x’
t = t’
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
vt
FIZIKA 1
Galileijeve transformacije
Galileijeve transformacije
t = t’
koordinata u smjeru gibanja
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
x = x’+ vt
y = y’
z = z’
FIZIKA 1
Transformacije koordinata
z’
S
S’
x’
x
y
y’
peron
Opažač O
- prometnik stoji (miruje) na peronu
vlak
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
z
FIZIKA 1
Zadatak za obojicu: izmjerite brzinu putnika P
Opažač O’
– vlakovođa koji sjedi (miruje) u vlaku
koji se giba jednoliko (brzinom
v puno manjom od c)
Zadatak za obojicu: izmjerite brzinu putnika P
S’
S
x’
x
y’
peron
Opažač O
- prometnik stoji (miruje) na peronu
vlak
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
brzina (u S’) je u’
brzina (u S) je u
y
FIZIKA 1
z’
z
Opažač O’
– vlakovođa koji sjedi (miruje) u vlaku
koji se giba jednoliko (brzinom
v puno manjom od c)
brzina (u S’) je u’
brzina (u S) je u
S’
S
x’
x
y
y’
peron
vlak
u = u’+ v
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
z’
z
FIZIKA 1
U kakvoj su (matematičkoj) vezi u i u’ ?
u = u’+ v
Zbrajanje (slaganje) brzina
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
Galileijeve transformacije brzina
Galileijeve transformacije
u’ brzina objekta koju mjeri opažač iz S’ u '  x'  x2 ' x1 '
t '
t 2 't1 '
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
u brzina objekta koju mjeri opažač iz S
x x2  x1
u

t
t 2  t1
FIZIKA 1
Izvod transformacije brzina
Galileijeve transformacije
x2 'vt2 ' x1 'vt1 ' ( x2 ' x1 ' )  (vt2 'vt1 ' )
u

t2 't1 '
t2 't1 '
( x2 ' x1 ' ) v(t 2 't1 ' )

x
'
u


 v  u ' v
t 2 't1 '
t 2 't1 '
t '
u  u ' v
u'  u  v
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić

x2 'vt2 '  x1 'vt1 '
x x2  x1
u


t2 't1 '
t t2  t1
FIZIKA 1
Izvod transformacije brzina
x = x’+ vt
y = y’
z = z’
t = t’
koordinata u smjeru gibanja
Transformacije brzina
u = u’+ v
slaganje ili zbrajanje brzina
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
Transformacije koordinata
FIZIKA 1
Galileijeve transformacije - klasična relativnost
r = r’+ vt
u = u’+ v
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
Galileijeve transformacije
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
RELATIVNOST
FIZIKA 1
KLASIČNA
Eppur si muove !
Galileo Galilei (1564-1642)
Relacija zbrajanja brzina
u'  u  v
dx '
u' 
 x '
dt '
je tada
x '  x  v
d
/
dt
x'  x  0
/ m
mx'  mx
F ' F
Newtonov zakon gibanja je invarijantan na Galileijeve transformacije
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
Zapišimo brzine
dx
u
 x
dt
FIZIKA 1
Galileijeve transformacije i Newtonov zakon gibanja
Newtonovi zakoni vrijede jednako
bez obzira miruje li sustav (u kojem ih provjeravamo)
ili se jednoliko translacijski giba
(nerelativistički-brzinom puno manjom od brzine svjetlosti).
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
Klasičan princip relativnosti
RELATIVNOSTI
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
SPECIJALNA TEORIJA
FIZIKA 1
KADA
ZAŠTO
POSTOJANJE
pa se prisjetimo koliko silan opseg filozofije im bijaše
posvećen.
Mi u našim umovanjima nismo ništa bolji od ribe koja
pokušava dokučiti sastav vode.
Encyclopedia Britannica, 13th edition
čuveni Einsteinov članak Prostor-vrijeme
FIZIKA 1
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
GDJE
KONCEPTI PROSTORA I VREMENA
Što je neki pojam općenitiji to češće on ulazi u naše
mišljenje, a što je posredniji njegov odnos prema
osjetilnom iskustvu, to nam je teže razumjeti njegovo
značenje. To je osobito slučaj s prirodoznanstvenim
pojmovima na koje smo se bili navikli upotrebljavajući
ih od djetinjstva. Uzmimo pojmove koji su u vezi s
riječima
Edgar Allan Poe, Esej o kozmologiji, 1848.
FIZIKA 1
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
Space and duration are one.
KONCEPTI PROSTORA I VREMENA
Prvi poznati zapis o prostoru i vremenu
kao različitim percepcijama istoga
novela The Time Machine, Herbert G. Wells, 1895.
FIZIKA 1
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
KONCEPTI PROSTORA I VREMENA
There is no difference between time and any of
the three dimensions of space except that our
consciousness moves along it.
... Scientific people…know very well that time is
only a kind of space.
Po njegovom mišljenju on je s tim pojmovima
rasčistio još u djetinjstvu. Ja sam se, međutim,
razvijao tako sporo da su prostor i vrijeme
zaokupljali moje misli i kada sam već bio odrastao.
Albert Einstein
FIZIKA 1
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
Čini mi se da je razlog slijedeći: Normalno odrastao
čovjek uopće ne razmišlja o problemu prostora i
vremena.
KONCEPTI PROSTORA I VREMENA
Zašto sam baš ja stvorio teoriju relativnosti..
... Što je uopće gibanje ?
..promjena položaja u
v r e m e n u ..
... Što je uopće brzina ?
..kvocijent prijeđenog puta i v r e m e n a ..
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
Da nismo nešto zaboravili .. transformirati ?
z’
S
S’
x’
x
y
Peron
Prometnik...
y’
Vlak
Vlakovođa...
Klasična fizika (mehanika, relativnost): DA
Zagarantirana istodobnost
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
z
FIZIKA 1
Mjere li oba opažača isto vrijeme ?
Što se događa ako v
c?
z’
S
S’
x
y
y’
x’
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
z
FIZIKA 1
Vrijedi li i tada zbrajanje brzina ?
brzina (u sustavu S’) je u’
brzina (u sustavu S) je u
S’
S
x’
x
y
y’
peron
Opažač O
- prometnik stoji (miruje) na peronu
raketa
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
z’
z
FIZIKA 1
Zadatak za obojicu: izmjerite brzinu putnika P
Opažač O’
– pilot koji sjedi (miruje) u raketi koja
se giba jednoliko brzinom v
usporedivom s c
Specijalna teorija relativnosti
Albert Michaelson
(1852-1931)
FIZIKA 1
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
krah klasične relativnosti
krah koncepta etera
SPECIJALNA RELATIVNOST
Michaelson - Morley eksperiment
1881.g.
Michaelson - Morley eksperiment - ideja
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
Zemlja u ovoj točki putanje ide
ususret svjetlosti zvijezde
Svjetlost udaljene zvijezde
Zemlja u ovoj točki putanje ide
od smjera gibanja svjetlosti zvijezde
Michaelsonov interferometar, 1887
zrcalo M
izvor
zrcalo
N
O
OM=ON
detektor:
nije opažen pomak interferencijskih pruga tj.
svjetlost je uvijek imala istu brzinu !
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
Polupropusno zrcalo
FIZIKA 1
Smjer gibanja Zemlje
t '  Ax  Bt
Fizički uvjeti za određivanje koeficijenata a,b,A,B
1)
u'  0  u  v
2)
u  0  u '  v
3)
Za svjetlost
v
4)
u  u'  c
v
x, t  x' , t '  x' ' , t ' '
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
x'  ax  bt
FIZIKA 1
Lorentzove transformacije - izvod
Izraz za brzinu
Lorentzove transformacije
x2 ' x1 '
u' 
t2 't1 '
x1 '  ax1  bt1
x2 '  ax2  bt2
t '  Ax  Bt
t1 '  Ax1  Bt1
t2 '  Ax2  Bt2
a( x2  x1 )  b(t2  t1 )

A( x2  x1 )  B(t2  t1 )
( x2  x1 )
a
 b 1
(t 2  t1 )

(x  x )
A 2 1  B 1
(t 2  t1 )
au  b

Au  B
: (t 2  t1 )
: (t 2  t1 )
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
(ax2  bt2 )  (ax1  bt1 )
x2 ' x1 '

u' 
t2 't1 ' ( Ax2  Bt2 )  ( Ax1  Bt1 )
FIZIKA 1
Lor.transf. x'  ax  bt
u'  0  u  v
av  b
au  b
u' 
 0

Av  B
Au  B
b  av
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
Uvjet 1)
FIZIKA 1
Lorentzove transformacije
Ba
Uvjet 2)
u  0  u '  v
au  b
a 0  b
u' 
v 
b   Bv


Au  B
A0  B
Lorentzove transformacije

zbog
b  av
Ba
ac  av
c
Ac  a

av
A 2
c
FIZIKA 1
ac  b
c
Ac  B
u  u'  c
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
Uvjet 3) Za svjetlost
Lorentzove transformacije
uvrstimo u izraz
au  b
u' 
Au  B
au  av
u' 
av
 2 ua
c
Za v<<c
(u  v)a

vu
(1  2 )a
c
u’=u-v
Ba
av
A 2
c
FIZIKA 1
b  av
u v

vu
1 2
c
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
Dobivene relacije
Novi izraz za
slaganje brzina
što je Galileijev izraz za slaganje brzina
Lorentzove transformacije
v
b  av
uvrstimo u Lor.transformacije
x'  ax  bt
t '  Ax  Bt

Ba
av
A 2
c
x'  ax  avt  a( x  vt)
av
v
t '   2 x  at  a( 2 x  t )
c
c
FIZIKA 1
Relacije veze koeficijenata
x, t  x' , t '  x' ' , t ' '
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
Određivanje vrijednosti a iz uvjeta 4)
v
Lorentzove transformacije
x' '  a( x'(v)t ' )
v
-v
( v )
t ' '  a ( 2 x't ' )
c
v
x' '  a( x'vt' )  a(a( x  vt )  av ( 2 x  t ))
c
2

v 
2
 a  x  vt  vt  2 x 
c 

2


v
2
 a x 1  2 
 c 
FIZIKA 1
x'  a( x  vt )
v
t '  a( 2 x  t )
c
x' , t '  x' ' , t ' '
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
Koordinatu x’’ i vrijeme t’’ dobivamo iz x’, t’ i uvjeta
v
a uvršten u relacije veze koeficijenata b  av
odnosno Lorentzove transformacije
x' 
x'  ax  bt
t '  Ax  Bt

Ba
x  vt
2
v
1
c2
v
( 2 ) x  t
t'  c
2
v
1
c2
A
av
c2
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
2


v
2
x ' '  a x 1  2  Budući da prema uvjetu 4) mora biti x=x’’
 c 
1
2
v 
a 
2 

2
x'  x  a x 1  2 
v
 c 
1 2
c
FIZIKA 1
Lorentzove transformacije
Lorentzove transformacije
v2
1 2
c
 1
vc
FIZIKA 1
 a
x '   ( x  vt )
v
t '   ( 2 x  t )
c
Odnosno inverzne transformacije (x’,t’
x   ( x ' vt ' )
v
t   ( 2 x 't ' )
c
x,t ; v
-v)
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
Uobičajena je oznaka
1
v
t   ( 2 x 't ' )
c

v2
1 2
c
FIZIKA 1
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
x   ( x ' vt ' )
1
SPECIJALNA RELATIVNOST
Lorentzove transformacije
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
Posljedice specijalne teorije relativnosti
FIZIKA 1
Brzina svjetlosti c je konačna i maksimalna te
ne ovisi o gibanju izvora, odnosno motritelja.

1
2
v
1 2
c
FIZIKA 1
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
v'
t   ( 2 x 't ' )
c
SPECIJALNA RELATIVNOST
x teorija
  ( xrelativnosti
' vt ' )
Specijalna
1. Giba li se određeni broj motritelja konstantnom brzinom
jedan u odnosu na drugog i u odnosu na izvor svjetlosti te svaki
mjeri brzinu svjetlosti tog izvora - svi će izmjeriti istu vrijednost.
(KRAĆE: Brzina svjetlosti ne ovisi o gibanju izvora)
2. Prirodni zakoni i rezultati svih mjerenja isti su bez obzira miruje
li sustav ili se translacijski giba jednolikom brzinom.
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
Einsteinovi postulati - temeljne pretpostavke
teorije relativnosti
Posljedice specijalne teorije relativnosti

1
2
v
1 2
c
FIZIKA 1
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
v'
t


(
x
'

t
'
)
2 giba duljine (u smjeru gibanja)
U sustavu koji se relativistički
c
su kraće od onih u sustavu koji miruje.
SPECIJALNA RELATIVNOST
x


(
x
'

vt
'
)
Kontrakcija duljine
Posljedice specijalne teorije relativnosti
duljina štapa u sustavu u kojem štap miruje (S ’)
vlastita duljina štapa, duljina mirovanja
do  d '  x2 ' x1 '
Koliku duljinu štapa d mjeri opažač iz S?
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
- sustav S’ se jednoliko translacijski giba duž osi x u odnosu na S
- u S’ miruje štap duljine do
FIZIKA 1
Kontrakcija duljine
Kontrakcija duljine
Duljina štapa koju mjeri opažač iz S:
Lorentzove transformacije
x'   ( x  vt)

1
x'1   ( x1  vt1 )
v2
1 2
c
x'2   ( x2  vt2 )
d '  x'2  x'1   ( x2  vt2 ) _  ( x1  vt1 )
  ( x2  x1 )  v(t2  t1 )
d
0 jer se mjerenje mora obaviti
u istom trenutku (jer se S’ miče)
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
Odnos d i d’ ?
FIZIKA 1
d  x2  x1
Kontrakcija duljine
vlastita duljina štapa
Budući da je
v  c  1
1
v2
1 2
c
duljina štapa mjerena
u sustavu S
d d '
Kontrakcija ili skraćenje duljine
(u smjeru gibanja)
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić

FIZIKA 1
d '  d
Posljedice specijalne teorije relativnosti
se ne giba relativističkom brzinom).

Paradoks blizanaca
1
2
v
1 2
c
FIZIKA 1
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
v'
t


(
x
'

t
'
)
2 giba vrijeme teče sporije
U sustavu koji se relativistički
c
(vremenski interval je dulji od intervala u sustavu koji
SPECIJALNA RELATIVNOST
x


(
x
'

vt
'
)
Dilatacija vremena
Posljedice specijalne teorije relativnosti
to  t '  t2 't1 '
vlastito vrijeme - mjereno u sustavu u kojem miruje (S ’)
objekt kojemu se događaj zbiva
Koliki vremenski interval t mjeri opažač iz S?
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
- sustav S’ se jednoliko translacijski giba u odnosu na S
- u S’ se zbiva događaj koji traje vrijeme t’
FIZIKA 1
Dilatacija vremena
Dilatacija vremena
Vrijeme koje mjeri opažač iz S:
Lorentzove transformacije
v
t   ( 2 x 't ' )
c

1
v2
1 2
c
v
t1   ( 2 x1 't1 ' )
c
v
t 2   ( 2 x2 't 2 ' )
c
v
v
_
t  t2  t1   ( 2 x2 't 2 ' )  ( 2 x1 't1 ' )
c
c
v
  2 ( x2 ' x1 ' )   (t 2 't1 ' )
c
0 jer se događaj zbiva
t '
na istom mjestu
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
Odnos t’ i t ?
FIZIKA 1
t  t2  t1
Dilatacija vremena
t  t '
Vrijeme mjereno
u sustavu S
Budući da je
v  c  1
v2
1 2
c
Vlastito vrijeme
t  t '
FIZIKA 1
1
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić

Dilatacija ili produljenje vremena
Posljedice specijalne teorije relativnosti
njegovi metri čine nam se skraćenim, njegove ure usporenim.

1
Ivan Supek, Povijest fizike
2
v
1 2
c
FIZIKA 1
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
v'
t


(
x
'

t
'
)
.. svaki motritelj ima vlastite2metre i ure. Sustav koji miruje
c mjerila kao i mi. Kad se pokrene
zajedno s našim ima jednaka
SPECIJALNA RELATIVNOST
x   ( x ' vt ' )
Posljedice specijalne teorije relativnosti
razotkriva vezu prostora i vremena.
Krauss, Fizika zvjezdanih staza

1
2
v
1 2
c
FIZIKA 1
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
v
'
Ako neku brzinu proglasimo apsolutnom (nepromjenljivom)
t


(
x
'

t
'
)
onda relativni (promjenljivi)2postaju prostor i vrijeme.
c
U ovom slučaju to je brzina svjetlosti – zato ona
SPECIJALNA RELATIVNOST
x   ( x ' vt ' )
Relativistička masa

1
FIZIKA 1
m
v2
1 2
c
mo
c
Količina gibanja



p  mv  mov
v
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
m  mo
nije svojstvo tijela nego je
ovisna o brzini kojom se tijelo giba
Relativistički izraz za silu

FIZIKA 1
 d

F  (mo v  )
dt
1
v2
1 2
c
Relativistički oblik 2. N.z.
(Lorentz invarijantan)
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
 dp
F
dt



p  mv  mov
Relativistički izraz za energiju
Ek  Fs
dEk  Fds  Fvdt 

d (mv )
F
dt
d (mv )
dE k 
vdt
dt
 vd (m v)
 vm dv vdm
Diferencijal kinetičke energije
 m vdv v 2 dm

Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1
Kinetička energija
Relativistički izraz za energiju
Iz izraza za relativističku masu:
FIZIKA 1
v2
1 2
c
2
2 2
mo
2
m
o c
m 

2
2
v2
c

v
1 2
c
m c  m v  mo c
2 2
2 2
2 2
d
dt
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
m
2
mo
2mc2dm  (2mv2dm  2m2vdv)  0
mvdv v 2 dm  c 2 dm
Usporedbom s izrazom  za diferencijal kinetičke energije dobivamo
dEk  c 2dm
Relativistički izraz za energiju
Ek
m
0
mo

2
dE

d
(
m
c
)
 k 
Ek  0  c2 (m  mo )
Ek  mc2  moc2
Kinetička
energija
Ukupna
energija
Energija
mirovanja
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
dEk  d (mc2 )
FIZIKA 1
dEk  c 2dm
Relativistička energija čestice
E  mc
2
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
Relativistička masa čestice
FIZIKA 1
Princip ekvivalencije mase i energije
Mme Tussauds Amsterdam, muzej voštanih figura, snimio Marin Trošelj
Izv. prof. dr. sc. Rajka Jurdana Šepić
FIZIKA 1