Transcript Document
TUGEVUSÕPETUS
Masinaelementide ja peenmehaanika õppetool
Ekstsentriline surve
F
Priit Põdra
Ekstsentriline surve
1
1. Ülesande püstitus ja algandmed
Priit Põdra
Tugedega konstruktsioon
Tugi
Tala
Tugi
Priit Põdra
Ekstsentriline surve
3
Lühike ühtlane surutud tugi
Arvutada lühikesele toele koormuse F
suurim lubatav väärtus !
Toe ristlõike kuju ja
koormuse asend
F
400
100
50
Koormus
F
400
25
300
Priit Põdra
Ekstsentriline surve
4
2. Toe kesk-peatasandid
Priit Põdra
2.1. Ristlõike osakujundid ja teljestikud
Osakujundid
Liitkujund koosneb
2-st osakujundist
Osakujund nr 1 = ristkülik pinnakeskmega C1
Osakujund nr 1
1
C1
y1z1 = osakujundi nr 1 kesk-peateljestik
C2
z2
400
100
Osakujund nr 2
400
y2
y
300
Priit Põdra
Teljestikud
z1
2
y1
Osakujund nr 2 = võrdhaarne kolmnurk
pinnakeskmega C2
y2z2 = osakujundi nr 2 kesk-peateljestik
Telg y1 y2 = osakujundi nr 1 sümmeetriatelg
= osakujundi nr 2 sümmeetriatelg
= liitkujundi SÜMMEETRIATELG
Telg y1 y2 y = liitkujundi KESKPEATELG
Liitkujundi teine keskpeatelg (z) on esimesega
(y) risti ja läbib pinnakeset
Ekstsentriline surve
6
2.2. Osakujundite andmed
Lihtkujundite andmed on
toodud käsiraamatutes
Priit Põdra
Ekstsentriline surve
7
2.3. Ristlõike pinnakeskme asukoht (1)
yC1
Liitkujundi pinnakeskme koordinaat telje z ’ suhtes: y S z '
C
A
Osakujund nr 1
S z ' S z1' S z2'
yC2
z1
Osakujundi nr 1 staatiline
moment telje z’ suhtes
2
C2
z2
Osakujund nr 2
y1
y2
y
Osakujundi nr 2 staatiline
moment telje z’ suhtes
Osakujundite staatilised momendid
S z1 yC1 A1 S z2' yC2 A2
Osakujundi nr 1
pinnakeskme C1
koordinaat telje z ’
suhtes (y-koordinaat)
Osakujundi nr 1 pindala
Priit Põdra
Liitkujundi pindala
Liitkujundi staatiline moment telje z ’ suhtes
z’
C1
1
Liitkujundi staatiline
moment telje z’ suhtes
Ekstsentriline surve
Osakujundi
nr 2 pindala
Osakujundi nr 2 pinnakeskme C2 koordinaat
telje z ’ suhtes (ykoordinaat)
8
2.3. Ristlõike pinnakeskme asukoht (2)
h(1)
yC1
b(1)
Osakujundite pinnakeskmete koordinaadid
z’
C1
1
y C1
yC2
z1
2
C2
h(2)
h(2)/3
z2
y1
y C2
h 1 100
50 mm
2
2
h 2
400- 100
h
100
200 mm
3
3
1
NB! Koordinaadid on MÄRGIGA suurused
b(2)
Osakujundite pindalad
y2
400
A1 b 1 h 1 400100 40000 mm2
400
100
y
A2
b 2 h 2 300 400 100
45000 mm2
2
2
300
Priit Põdra
Ekstsentriline surve
9
2.3. Ristlõike pinnakeskme asukoht (3)
Liitkujundi pinnakeskme z - koordinaat
S z ' y C1 A1 y C 2 A2 50 40000 200 45000
yC
129,4 129 mm
1
2
A
40000 45000
A A
yC
129
z’
NB! Koordinaat on MÄRGIGA suurus
C
z
Teljestik yz = liitkujundi KESK-PEATELJESTIK
Liitkujundi
pinnakese
y
Priit Põdra
Ristlõike pinnakese C on
punkt, mida läbib varda telg
Ekstsentriline surve
10
2.4. Toe kesk-peatasandid
x
x
z
F
z
zx - keskpeatasand
y
y
xy - keskpeatasand
Priit Põdra
Ekstsentriline surve
11
3. Toe sisejõudude analüüs
Priit Põdra
3.1. Koormatud toe kolmvaade
Vaade vasakult
Vaade eest
F
F
x
x
F
x
z
y
z
Vaade ülalt
y
F
C
z
y
Priit Põdra
Ekstsentriline surve
13
3.2. Sisejõud kesk-peatasandis xy
Lõike sisejõud
Sisejõud arvutatakse LÕIKEMEETODIGA
x
F
z
F
F
50
ey x
Koormuse
ekstsentrilisus
telje y sihis
x
y
y
y
h(1)
Lõige
yC
Mz
Vaate suund
N
Positiivsed kiud
on tõmmatud
Koormuse ekstsentrilisus
Tasakaaluvõrrandid
F 0 F N 0 N F
M 0 Fe M 0 M Fe
z
Priit Põdra
y
z
z
e y yC 50 129 50 79 mm 0,079m
y
F 0,079 M z 0,079F
Ekstsentriline surve
Sisejõud ei sõltu
koordinaadist x
14
3.3. Sisejõud kesk-peatasandis zx
Lõike sisejõud
Sisejõud arvutatakse LÕIKEMEETODIGA
x
F
z
25
F
F
ez
x
x
Koormuse
ekstsentrilisus
telje z sihis
z
z
y
b(1)/2
b(1)/2
Lõige
My
Vaate suund
NB! See on sama sisejõud
N, mis tasandis xy
Tasakaaluvõrrandid
F 0 F N 0 N F
Positiivsed
kiud on
tõmmatud
Koormuse ekstsentrilisus
b 1
400
ez
25
25 175 mm 0,175m
2
2
M y 0 Fez M y 0 M y Fez F 0,175 M y 0,175F
Priit Põdra
N
Ekstsentriline surve
Sisejõud ei sõltu
koordinaadist x
15
3.4. Toe tööseisund
x
F
Ekstsentriliselt surutud tugi on
ÜHTLASELT koormatud
z
(kõikides ristlõigetes on sisejõudude
väärtused samad)
Ekstsentrilise surve sisejõud
ristlõigetes
N F
M y 0,175F
M 0,079F
z
y
Ekstsentriline pike = PIKKE ja PAINDE koosmõju
Priit Põdra
Ekstsentriline surve
16
3.5. Toe deformatsioonid (1)
Paine ümber telje z
Paine ümber telje y
M
x
y
Mz
z
y
Priit Põdra
x
z
y
Ekstsentriline surve
17
3.5. Toe deformatsioonid (2)
Surve
Kolme deformatsiooni summa
x
Fx
x
z
z
F
y
y
Priit Põdra
Ekstsentriline surve
18
3.5. Toe deformatsioonid (3)
x
Fx
+
z
+
y
x
z
F
y
Priit Põdra
Ekstsentriline surve
19
4. Toe ristlõike pingete laotused
Priit Põdra
4.1. Pikkepinge toe ristlõigetes
Ristlõike pikkepinge laotus
N
N
F
F
1
11,76 F 11,8F
2
6
6
A A A
40000 10 45000 10
N
Pikkepinge funktsioon
toe ristlõikes
C
Pikkepinge laotus sisepinnal on
ühtlane
z
x
Fx
11,8F
Priit Põdra
z
y
Kõikides sisepinna punktides on
pikkepinge väärtus sama
y
Ekstsentriline surve
21
4.2. Paindepinge momendist My toe ristlõigetes
zmax
400
Ristlõike paindepinge laotus
100
|zmin|
My
400
C
My
z
Iy
Ristlõike paindemoment
z
Punkti koordinaat
300
Ristlõike telg-inertsimoment
Ristlõike suurimad paindepinged
Mymin
y
My
max
My
min
My
My
Iy
z max
My
Iy
z min
zmax = 200 mm = 0,2 m
max
My
Priit Põdra
zmin = - 200 mm = - 0,2 m
Ekstsentriline surve
22
4.2.1. Ristlõike inertsimoment telje y suhtes
Ristlõike osakujundid
I y I y1 I y2
h(1)
b(1)
Inertsimoment telje y suhtes
C1
1
Osakujundi nr. 2 inertsimoment telje y suhtes
z1
C
z
C2
z2
h(2)
2
y1
b(2)
Osakujundi nr. 2 inertsimoment telje y suhtes
I y1
b 1 h 1 4003 100
533,3 106 mm4 5,33 104 m 4
12
12
I y2
b 2 h 2 3003 300
168,7 106 mm4 1,69 104 m 4
48
48
3
3
400
y2
100
I y I y1 I y2 5,33 104 1,69 104
400
y
7,02 104 m 4
300
Priit Põdra
Ekstsentriline surve
23
4.2.2. Ristlõike paindepinge My funktsioon
Ristlõike paindepinge My laotus
My
C
z
My
Iy
0,175F
z
z 249,2Fz 249Fz
4
7,02 10
Paindepinge funktsioon toe
ristlõikes
Ristlõike suurimad paindepinged
49,8F
max
My
249Fzmax 249 F 0,2 49,8F
y
My
See on tõmbepinge (+)
min
My
249Fzmin 249 F 0,2 49,8F
See on survepinge (-)
49,8F
Priit Põdra
Ekstsentriline surve
24
4.3. Paindepinge momendist Mz toe ristlõigetes
400
C
Ristlõike paindepinge laotus
100
400
|ymin|
min
Mz
z
ymax
300
Ristlõike telginertsimoment
Punkti koordinaat
Ristlõike
paindemoment
Mz
y
Mz
Mz
y
Iz
max
Mz
Ristlõike suurimad paindepinged
max
Mz
Priit Põdra
Mz
y max
Iz
min
Mz
Mz
y min
Iz
Ekstsentriline surve
25
4.3.1. Ristlõike inertsimoment telje z suhtes (1)
Ristlõike osakujundid
h(1)
Inertsimoment telje z suhtes
I z I z1 I z2
C1
1
e1
yC2
yC
yC1
b(1)
C
z1
z
|e2|
C2
z2
h(2)
2
y1
Osakujundi nr. 2
inertsimoment
telje z suhtes
Rööpsete telgede teoreem
osakujundile
I M I K e2 A
b(2)
y2
Mittekesktelg z
y
Kesktelg z1 või z2
e1 yC yC1 129 50 79 mm e2 yC yC2 129 200 71 mm
Priit Põdra
Osakujundi nr. 2
inertsimoment
telje z suhtes
Ekstsentriline surve
Pindala
A(1) või A(2)
Rööpse telje M
koordinaat K
suhtes e1 või e2
26
4.3.1. Ristlõike inertsimoment telje z suhtes (2)
h(1)
Osakujundite inertsimomendid
e1
C
z1
z
|e2|
C2
h(2)
2
y1
b(2)
y2
400
100
y
400
300
Priit Põdra
I z1 I z11 e12 A1
C1
1
yC2
yC
yC1
b(1)
z2
b 1 h 1
e12 A1
12
3
400 1003
792 40000
12
282,9 106 mm4 2,83 104 m 4
I z2 I z22 e22 A2
b 2 h 2
e22 A2
36
3
300 3003
2
71 45000
36
451,8 106 mm4 4,52 104 m 4
Liitkujundi inertsimoment
I z I z1 I z2 2,83104 4,52 104 7,35104 m4
Ekstsentriline surve
27
4.3.2. Ristlõike paindepinge Mz funktsioon
|ymin|
13,8F
C
Ristlõike paindepinge Mz laotus
Mz
Mz
ymax
z
Mz
0,079F
y
y 107,4Fy 107Fy
4
Iz
7,35 10
Paindepinge funktsioon toe
ristlõikes
ymax = 400 yC = 400 129 = 271mm = 0,271 m
29,0F
y
ymin = yC = 129 mm = 0,129 m
400
See on tõmbepinge (+)
100
Ristlõike suurimad paindepinged
400
300
Priit Põdra
See on
survepinge (-)
max
Mz
107Fymax 107 F 0,271 28,99F 29,0F
min
Mz
249Fymin 107 F 0,129 13,80F 13,8F
Ekstsentriline surve
28
5. Toe ristlõike pingete analüüs
Priit Põdra
5.1. Ristlõike pingete koosmõju
Ristlõike pingeepüürid
N
13,8F
Mz
C
z
11,8F
49,8F
29,0F
y
Ristlõike kõikide punktide
deformatsioonid on telje x sihilised ja
liituvad/lahutuvad
My
Ristlõike kõikide punktide pinged on
telje x sihilised (normaalpinged) ja
liituvad/lahutuvad
49,8F
Priit Põdra
Ekstsentriline surve
30
5.2. Ristlõike normaalpinge võrrand
Ristlõike punkti (y;z) summaarne
normaalpinge
N My Mz
11,8F 249Fz 107Fy
See on ristlõike punkti (koordinaatidega y ja z)
normaalpinge funktsioon
Ristlõike NULLJOON = joon ristlõike pinnal, mille
punktide normaalpinge väärtus on NULL
0
Ristlõike nulljoone võrrand
11,8F 249Fz 107Fy 0
Priit Põdra
Ekstsentriline surve
249z 107y 11,8
See on SIRGE
võrrand
31
5.3. Ristlõike ohtlikud punktid (1)
Ristlõike suurim tõmbepinge
11,8F 249Fz 107Fy max
Ristlõike suurim survepinge
11,8F 249Fz 107Fy min
PROBLEEM: Teada ei ole ohtlike punktide
asukohad (koordinaadid y ja z)
EELDUSED: Ristlõiked jäävad
deformeerumisel tasapinnalisteks
Ristlõike nulljoon on sirge
JÄRELDUSED: Suurimad pinged (ja deformatsioonid) on nulljoonest kõige kaugemates
punktides
Suurim tõmbepinge on nulljoonest ühel ja suurim survepinge teisel pool
Priit Põdra
Ekstsentriline surve
32
5.3. Ristlõike ohtlikud punktid (2)
Ohtlike punktide paiknemise saab
määrta geomeetriliselt
Ristlõike NULLJOON
13,8F
47
N
Mz
Nulljoone võrrand
C
249z 107y 11,8
110
z
NB! Need on
koordinaadid
(märgiga + või -)
Punktid, kus nulljoon lõikab telgi
11,8
0,0473 m 47 mm
249
11,8
0,1102 m 110 mm
Kui z = 0, siis: y
107
Kui y = 0, siis: z
11,8F
49,8F
29,0F
y
100
400
400
My
49,8F
Priit Põdra
NB! Ristlõike NULLJOON
paikneb nii, et pinnakese C
jääb koormuse F mõjusirge
ja nulljoone vahele
300
Ekstsentriline surve
33
5.3. Ristlõike ohtlikud punktid (3)
Ohtlike punktide asukohad määratakse nulljoonega paralleelsete sigete abil
Suurim
survepinge
O1
Nulljoonest kõige kaugemal asetsevad
ristlõike punktid
O2
Punkt O1 koordinaatidega:
y O1 y C 129 mm 0,129 m
z O1 200 mm 0,2 m
Siin on SURVEPINGE, kuna koormus F on SURUV
Suurim
tõmbepinge
Punkt O2 koordinaatidega:
yO2 y C 100 129 100 29 mm 0,029 m
z O2 200 mm 0,2 m
Priit Põdra
Ekstsentriline surve
34
5.4. Ristlõike suurimad pinged
Ristlõike suurim survepinge
Suurim
survepinge
O1
13,8F
N
C
Mz
O2
z
O1 11,8F 249FzO1 107FyO1
11,8 F 249 F 0,2 107 F 0,129
75,40F 75,4 F
KONTROLL: O1 PIDI olema survepinge O1
on märgiga “”, järelikult ON survepinge
11,8F
49,8F
y
29,0F
Suurim
tõmbepinge
My
49,8F
Ristlõike suurim tõmbepinge
O2 11,8F 249FzO2 107FyO2
11,8 F 249 F 0,2 107 F 0,029
34,89F 34,9 F
KONTROLL: Kui O1on survepinge, siis O2 PEAB olema tõmbepinge O2
on märgiga “+”, järelikult ON tõmbepinge
Priit Põdra
Ekstsentriline surve
35
6. Tugevusarvutus
Priit Põdra
6.1. Toele lubatav koormus
Materjal: MALM
Lubatav survepinge: []Surve = 200 MPa
Lubatav tõmbepinge: []Tõmme = 40 MPa
SURVE tugevustingimus ohtlikus punktis O1
O1 Surve
75,4F 200106
TÕMBE tugevustingimus ohtlikus punktis O2
O2 Tõmme
34,9F 40 106
Toele lubatav koormus:
Punkti O1 jaoks ohutu koormus F
200 106
F
2,65 106 N 2600kN
75,4
Punkti O2 jaoks ohutu koormus F
40 106
F
1,14 106 N 1100 kN
34,9
F min 2600kN;1100kN 1100kN
See koormuse väärtus on ohutu mõlema ohtliku punkti jaoks
Priit Põdra
Ekstsentriline surve
37
Suurim
survepinge
O1
6.2. Tugevuskontroll
13,8F
N
C
Mz
O2
z
Materjal: MALM
Lubatav survepinge: []Surve = 200 MPa
Lubatav tõmbepinge: []Tõmme = 40 MPa
11,8F
49,8F
y
29,0F
Suurim
tõmbepinge
My
49,8F
Ohtlikus SURVEpunktis O1
O1 75,4F 75,4 1100103 82,9 106 Pa 83 MPa 200 MPa
Ohtlikus survepunktis on tugevus tagatud
Ohtlikus TÕMBEpunktis O2
O2 34,9F 34,9 1100103 38,3 106 Pa 38 MPa 40 MPa
Ohtlikus tõmbepunktis on tugevus tagatud
Priit Põdra
Ekstsentriline surve
38
6.3. Summaarse pinge epüür
13,8F
N
Mz
x
C
z
F 1100kN
11,8F
49,8F
z
F
29,0F
y
y
83
My
49,8F
MPa
Ristlõike summaarne pinge
11,8F 249Fz 107Fy
38
Priit Põdra
Ekstsentriline surve
39
7. Jätkuülesanne
Priit Põdra
7.1. Jätkuülesande püstitus
Kui suur on toe lubatava koormuse väärtus,
kui koormus mõjub piki toe telge
x
x
F
z
z
F
y
y
F 1100kN
Priit Põdra
F ???
Ekstsentriline surve
41
7.2. Tugevusarvutus
Ekstsentriline pike
x
Pike (surve)
Pikke tugevustingimus
Surve
x
z
F
z
F
Pikke SURVEpinge
y
y
Materjal: MALM
Lubatav survepinge: []Surve = 200 MPa
Lubatav tõmbepinge: []Tõmme = 40 MPa
Priit Põdra
N
N
F
1
2
A A A
F
6
6
40000 10 45000 10
11,76F 11,8 F
11,8F 200106
200 106
F
16,94 106 N 16900kN
11,8
Ekstsentriline surve
42
7.3. Tugede võrdlus ja oluline järeldus
x
x
z
F
F
z
y
y
F 1100kN
Pikikoormuse
ekstsentrilisus on OHTLIK
Priit Põdra
F 16900kN
Mida suurem on pikikoormuse ekstsentrilisus,
seda väiksem on detaili kandevõime
(selles ülesandes on erinevus 15 x)
Ekstsentriline surve
43