Transcript Ülesanne
Võrrandisüsteemide koostamine tekstülesannete põhjal II osa © T. Lepikult, 2003 Kahekohalised arvud Ülesanne 1 Kahekohalise arvu numbrite summa on 12. Selle arvu numbrite ümberpaigutamisel saame arvu, mis on esialgsest 18 võrra väiksem. Leida esialgne arv Lahendus Seda tüüpi ülesannetes tuleb otsitavat arvu vaadelda kujul z = 10x + y , kus x näitab kümneliste arvu ja y üheliste arvu. Tasub tähele panna, et otsitavad x ja y peavad olema täisarvud ning rahuldama võrratusi 0 x 10, 0 y 10. Ülesanne 1 (2) Lahendus jätkub ... Kui ülesannet lahendades peaksime saama otsitavatele niisugused väärtused, mis neid võrratusi ja/või täisarvulisuse nõuet rikuvad, tuleb hakata lahenduskäigust vigu otsima. Kuna ülesande püstituse kohaselt peab otsitava arvu numbrite summa olema 12, saame esimeseks võrrandiks x y 12. Numbrite ümberpaigutamisel saame arvu 10y + x. Kuna see arv peab olema esialgsest 18 võrra väiksem, saame siit teise võrrandi: x 10 y 10x y 18 x 10 y 10x y 18 9 x 9 y 18 x y 2. Ülesanne 1 (3) Lahendus jätkub ... Kaks võrrandit koos moodustavad võrrandisüsteemi. Kuna kumbki võrrand on lineaarne, on ka saadud võrrandisüsteem lineaarne: x y 12, x y 2. Võrrandisüsteemi lahendamiseks liidame võrrandite vasakud ja paremad pooled: x y 12 + x y 2 2 x 14 Ülesanne 1 (4) Lahendus jätkub ... Saadud võrrandi vasaku ja parema poole jagame kahega ning saame ühe otsitava väärtuse: x 7. Paneme tähele, et x Z ja 0 x 10 , seega on lahenduse algul toodud nõuded täidetud. Teise tundmatu y saame kui ühes süsteemi võrranditest, näiteks teises, asendame tundmatu x leitud väärtusega: x y 2 y x2 y 72 5 Ka tundmatu y väärtus rahuldab lahenduse algul kirjapandud tingimusi. Ülesanne 1 (5) Lahendus jätkub ... Otsitav arv on seega 75. Tema numbrite summa on tõesti 12 ja numbrite vahetamisel saadud arv (57) on 18 võrra väiksem kui esialgne arv. Vastus: Otsitav arv on 75. Ülesanne 2 (kiiruste liitmine) Ülesanne 2 Aurik sõidab mööda jõge pärivoolu ühest sadamast teise 4 tunniga ja vastuvoolu 5 tunniga. Leida sadamatevaheline kaugus, kui jõe voolukiirus on 2 km/h. Lahendus Liikumisega seotud ülesannetes tuleb teada kiiruse v, läbitud teepikkuse s ja liikumiseks kulunud aja t vahelist seost: s v , t millest järelduvad seosed s vt s t . ja v Ülesanne 2 (2) Samuti peame teadma, et samasuunaliste liikumiste liitliikumisel kiirused liituvad: v v1 v2 , vastassunaliste kiiruste korral aga lahutuvad: v v1 v2 . Antud ülesande korral tähendab see seda, et kui tähistada laeva kiirus seisvas vees tähega v, siis pärivoolu liigub ta kiirusega v + 2 km/h, vastuvoolu aga kiirusega v - 2 km/h. Peale laeva kiiruse v on tundmatuks ka ülesandes küsitud sadamatevaheline kaugus. Tähistame selle tähega s. Ülesanne 2 (3) Kuna teepikkus on aja ja kiiruse korrutis, siis pärivoolu liikumisel saame sadamatevahelise kauguse leida valemi pärivoolu sõites kulub 4 tundi s (v 2)t 4(v 2) 4v 8 abil, vastuvoolu liikudes aga kasutame valemit vastuvoolu sõites kulub 5 tundi s (v 2)t 5(v 2) 5v 10. Saime kahest võrrandist koosneva lineaarse võrrandisüsteemi: s 5v 10, s 4 v 8. Ülesanne 2 (4) Võrrandisüsteemi lahendamiseks lahutame esimese võrrandi vasakust ja paremast poolest teise võrrandi vastvad pooled: + s 5v 10 s 4v 8 0 v 18. Saadud seosest leiame laeva kiiruse seisvas vees: v 18 km / h. Võrrandisüsteemi esimesest võrrandist saame: s 5v 10 5 18 10 80km Ülesanne 2 (5) Kontrolliks leiame laeva kiiruse pärivoolu: v p 18 2 20 km / h, ja pärivoolu ühest sadamast teise jõudmiseks vajaliku aja: s 80 tp 4 h. v p 20 Vastuvoolu liikudes on kiirus ja teekonnale kuluv aeg: vv 18 2 16 km / h, s 80 tv 5 h. vv 16 Leitud ajad klapivad ülesande sõnastuses antutega, seega lahend sobib. Vastus: Sadamatevaheline kaugus on 80 km. Ülesanne iseseisvaks lahendamiseks Ülesanne 3 Mööda jõge pärivoolu liikuv laev läbib a kilomeetrit m tunniga; liikudes vastuvoolu, läbib ta sama tee n tunniga. Leida jõe voolukiirus. Vastuse vaatamiseks kliki hiirenupuga ... Vastus : a (n m) km vj , (n m ja m 0). 2mn h