Transcript Ülesanne
Võrrandisüsteemide koostamine
tekstülesannete põhjal
II osa
© T. Lepikult, 2003
Kahekohalised arvud
Ülesanne 1
Kahekohalise arvu numbrite summa on 12. Selle arvu
numbrite ümberpaigutamisel saame arvu, mis on esialgsest
18 võrra väiksem. Leida esialgne arv
Lahendus
Seda tüüpi ülesannetes tuleb otsitavat arvu vaadelda
kujul z = 10x + y , kus x näitab kümneliste arvu ja y
üheliste arvu.
Tasub tähele panna, et otsitavad x ja y peavad olema
täisarvud ning rahuldama võrratusi
0 x 10,
0 y 10.
Ülesanne 1 (2)
Lahendus jätkub ...
Kui ülesannet lahendades peaksime saama otsitavatele
niisugused väärtused, mis neid võrratusi ja/või täisarvulisuse
nõuet rikuvad, tuleb hakata lahenduskäigust vigu otsima.
Kuna ülesande püstituse kohaselt peab otsitava arvu
numbrite summa olema 12, saame esimeseks võrrandiks
x y 12.
Numbrite ümberpaigutamisel saame arvu 10y + x. Kuna
see arv peab olema esialgsest 18 võrra väiksem, saame
siit teise võrrandi:
x 10 y 10x y 18 x 10 y 10x y 18
9 x 9 y 18 x y 2.
Ülesanne 1 (3)
Lahendus jätkub ...
Kaks võrrandit koos moodustavad võrrandisüsteemi. Kuna
kumbki võrrand on lineaarne, on ka saadud
võrrandisüsteem lineaarne:
x y 12,
x y 2.
Võrrandisüsteemi lahendamiseks liidame võrrandite
vasakud ja paremad pooled:
x y 12
+
x y 2
2 x 14
Ülesanne 1 (4)
Lahendus jätkub ...
Saadud võrrandi vasaku ja parema poole jagame kahega
ning saame ühe otsitava väärtuse:
x 7.
Paneme tähele, et x Z ja 0 x 10 , seega on
lahenduse algul toodud nõuded täidetud.
Teise tundmatu y saame kui ühes süsteemi võrranditest,
näiteks teises, asendame tundmatu x leitud väärtusega:
x y 2 y x2 y 72 5
Ka tundmatu y väärtus rahuldab lahenduse algul
kirjapandud tingimusi.
Ülesanne 1 (5)
Lahendus jätkub ...
Otsitav arv on seega 75. Tema numbrite summa on tõesti 12
ja numbrite vahetamisel saadud arv (57) on 18 võrra väiksem
kui esialgne arv.
Vastus:
Otsitav arv on 75.
Ülesanne 2 (kiiruste liitmine)
Ülesanne 2
Aurik sõidab mööda jõge pärivoolu ühest sadamast teise 4
tunniga ja vastuvoolu 5 tunniga. Leida sadamatevaheline
kaugus, kui jõe voolukiirus on 2 km/h.
Lahendus
Liikumisega seotud ülesannetes tuleb teada kiiruse v, läbitud
teepikkuse s ja liikumiseks kulunud aja t vahelist seost:
s
v ,
t
millest järelduvad seosed
s vt
s
t
.
ja
v
Ülesanne 2 (2)
Samuti peame teadma, et samasuunaliste liikumiste
liitliikumisel kiirused liituvad:
v v1 v2 ,
vastassunaliste kiiruste korral aga lahutuvad:
v v1 v2 .
Antud ülesande korral tähendab see seda, et kui tähistada
laeva kiirus seisvas vees tähega v, siis pärivoolu liigub ta
kiirusega v + 2 km/h, vastuvoolu aga kiirusega v - 2 km/h.
Peale laeva kiiruse v on tundmatuks ka ülesandes küsitud
sadamatevaheline kaugus. Tähistame selle tähega s.
Ülesanne 2 (3)
Kuna teepikkus on aja ja kiiruse korrutis, siis pärivoolu
liikumisel saame sadamatevahelise kauguse leida valemi
pärivoolu sõites kulub 4 tundi
s (v 2)t 4(v 2) 4v 8
abil, vastuvoolu liikudes aga kasutame valemit
vastuvoolu sõites kulub 5 tundi
s (v 2)t 5(v 2) 5v 10.
Saime kahest võrrandist koosneva lineaarse võrrandisüsteemi:
s 5v 10,
s 4 v 8.
Ülesanne 2 (4)
Võrrandisüsteemi lahendamiseks lahutame esimese võrrandi
vasakust ja paremast poolest teise võrrandi vastvad pooled:
+
s 5v 10
s 4v 8
0 v 18.
Saadud seosest leiame laeva kiiruse seisvas vees:
v 18 km / h.
Võrrandisüsteemi esimesest võrrandist saame:
s 5v 10 5 18 10 80km
Ülesanne 2 (5)
Kontrolliks leiame laeva kiiruse pärivoolu:
v p 18 2 20 km / h,
ja pärivoolu ühest sadamast teise jõudmiseks vajaliku aja:
s 80
tp
4 h.
v p 20
Vastuvoolu liikudes on kiirus ja teekonnale kuluv aeg:
vv 18 2 16 km / h,
s 80
tv 5 h.
vv 16
Leitud ajad klapivad ülesande sõnastuses antutega, seega
lahend sobib.
Vastus:
Sadamatevaheline kaugus on 80 km.
Ülesanne iseseisvaks lahendamiseks
Ülesanne 3
Mööda jõge pärivoolu liikuv laev läbib a kilomeetrit m tunniga;
liikudes vastuvoolu, läbib ta sama tee n tunniga. Leida jõe
voolukiirus.
Vastuse vaatamiseks kliki hiirenupuga ...
Vastus :
a (n m) km
vj
, (n m ja m 0).
2mn h