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Estatística Geral
(Probabilidade Exercícios)
Cap. II – Nazareth, H.Curso Básico de
Estatística.
Profº: Glauco Vieira de Oliveira
ICET/CUA/UFMT
Probabilidade
Lista de exercícios
1) Um Jogo consiste em lançar 2 moedas simultaneamente. Qual o
espaço amostral? Faça a distribuição probabilística dos eventos.
2)
Um aluno faz 3 provas, podendo obter 0, 1, 2, 3, 4, ou 5 pontos
em cada uma delas:
a)
b)
3)
Em 6 lançamentos de uma moeda:
a)
b)
4)
Quantos são os possíveis resultados, considerando as notas das três
provas?
i. Note que a pergunta é diferente de: Quais seriam os possíveis
resultados finais (somatório das 3 notas) para este aluno?
Qual a probabilidade de o aluno conseguir 3 pontos?
Qual a probabilidade de sair cara na quarta jogada e cara na quinta?
Qual a probabilidade de sair cara apenas na primeira ou apenas na
terceira jogada?
No Lançamento de 2 dados, calcular a probabilidade de :
a)
b)
c)
O resultado do 1º ser ímpar;
O resultado do segundo ser par;
A soma dos pontos ser 7.
Lista de exercícios
5)
Uma Urna contém 4 bolas pretas e 2 brancas. Três bolas
são retiradas ao acaso, sem reposição. Seja X o numero de
bolas brancas possivelmente obtidas. Faça a distribuição
probabilística das bolas brancas
6)
Um Grupo de 3 homens e 2 mulheres candidata-se a 2
prêmios. Qual a probabilidade de os prêmios não serem
ganhos por uma mulher?
7)
Calcular a probabilidade de haver meninos e meninas em
famílias com três crianças, admitindo-se a mesma
probabilidade para ambos os sexos.
8)
Três bolas de gude são retiradas, sem restituição, de uma
urna que contém 4 vermelhas e 5 brancas. Se X é uma
variável que representa o número de bolas vermelhas
retiradas, construir uma tabela que mostre a distribuição de
probabilidade de X.
Lista de exercícios
9)
Consideremos a tabela que nos dá a idade de alunos do
ciclo básico de uma escola de 1º grau de São Paulo:
Iniciaram em
1984
Iniciaram em
1985
Total
7 anos
-
220
220
8 anos
200
20
220
9 anos
60
-
60
260
240
500
Idade
Total
Preencha o Quadro Acima e responda.
Quer sortear-se um aluno para ser o representante do ciclo Básico.
Qual a Probabilidade de ele:
a)
b)
c)
d)
Estar na escola desde 1984?
Estar na escola desde 84 e ter 9 anos?
Ter iniciado em 85 e ter 7 anos?
Ter 7 anos?
Método binomial
O método (produto de probabilidades) é usado, por exemplo,
quando se quer saber qual a probabilidade de numa família,
todas as crianças serem meninos ou todas serem meninas.
Se um casal planejou ter 4 filhos, a probabilidade de que
todos sejam meninos é:
1 1 1 1
1
P(4 meninos)
2 2 2 2
16
Quando há uma mistura de sexos, por exemplo, 3 meninos e 1
menina, 2 meninos e 2 meninas, etc. e não se especifica a
ordem de ocorrência, podemos utilizar o método binomial:
Relembrando o Binômio de Newton
(a + b)1 = a + b
(a + b)2 = 1a2 + 2ab + 1b2
(a + b)3 = 1a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3
(a + b)4 = 1a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + b4
(a + b)5 = 1a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5 ab4 + b5
Método binomial
Triângulo de Pascal
1
1
1
1
1
1
1
2
3
4
5
1
3
6
10
1
4
10
1
5
1
Relembrando Análise Combinatória:
Cnk
n!
k!(n k)!
É o nº total de combinações de n objetos tomados k a k, ou seja,
é o numero de subconjuntos de k elementos tomados de um
conjunto com n elementos
Generalizando, podemos escrever, para x e y R e n N:
(a b) n (a b) n Cn0 an C1nan1b Cn2 an2b 2 ... Ckn ank bk Cnnbn
Observação: k N e k ≤ n
1) Consideremos uma família com duas crianças
Se: M- Menino (associado a uma probabilidade p) e
F- Menina (associado a uma probabilidade q)
P(MM) = P(M) . P(M) = ¼
P(MF ou FM) = ¼ + ¼
P(FF) = P(F) . P(F) = ¼
Podemos também escrever
p2 Probabilidade de nascerem dois meninos (MM)
2pq Probabilidade de nascerem 1 menino e 1 menina (MF e FM)*
q2 Probabilidade de nascerem dois meninos (FF)
* Probabilidade sem considerar a ordem
Sabendo que p = q = ½ então: p2=1/4, 2pq =2/4 e q2=1/4
Observe que:
a)
p2 + 2pq + q2 = 1
b)
p2 + 2pq + q2 é uma distribuição Binomial (Binômio de Newton)
2) Um casal pretende ter 4 filhos e quer saber qual
é a probabilidade de nascerem:
a)
b)
c)
d)
e)
4 meninos;
3 meninos e 1 menina;
2 meninos e 2 meninas;
1 menino e 3 meninas
4 meninas
Lista de exercícios
1)
¼; ½; ¼
2)
.
a)
b)
3)
Probabilidade
216
i. Neste caso seria 15 possibilidades
E={três pontos}; P(E)=10/216
Em 6 lançamentos de uma moeda:
a) Observe que a pergunta despreza os demais lançamentos.
P(duas caras)= P(kk)=P(k) x P(k) = ¼.
b) Observe que a pergunta considera os demais lançamentos. Assim:
P(k1 ou k3) = 1/32
4)
Dois dados
a)
b)
c)
1/2;
½
1/6
Lista de exercícios
5)
p/ X= 0 P(x)=1/5; p X= 1,P(x)=3/5; p/ X= 2 P(x)=1/5
6)
P=3/10
7)
P=3/4
8)
X =
0
1
2
3
P(x)=
1/6
½
3/10
1/10
Lista de exercícios
9)
Consideremos a tabela que nos dá a idade de alunos do
ciclo básico de uma escola de 1º grau de São Paulo:
Iniciaram em
1984
Iniciaram em
1985
Total
7 anos
-
220
220
8 anos
200
20
220
9 anos
60
-
60
260
240
500
Idade
Total
Preencha o Quadro Acima e responda.
Quer sortear-se um aluno para ser o representante do ciclo Básico.
Qual a Probabilidade de ele:
a)
b)
c)
d)
Estar na escola desde 1984? P=0,52
Estar na escola desde 84 e ter 9 anos? P=0,12
Ter iniciado em 85 e ter 7 anos? P=0,44
Ter 7 anos? P=0,44
2) Um casal pretende ter 4 filhos e quer saber qual
é a probabilidade de nascerem:
Método binomial: n=4; a=P(menino)=1/2 e b=P(menina)=1/2
a) p= C4, 4 x (1/2)4 x (1/2)0 = 1/16
b) P= C4, 3 x (1/2)3 x (1/2)1
c) P= C4, 2 x (1/2)2 x (1/2)2
d) P= C4, 1 x (1/2)1 x (1/2)3
e) P= 1/16