Transcript EQUAÇÕES 2º GRAU - Matemática no ENEM

ANÁLISE COMBINATÓRIA E
PROBABILIDADE.
Professor Clístenes Cunha
n p
FORMULÁRIO

Arranjo (a ordem importa)
An, p 

n!
 n  p !
Permutação (caso particular de arranjo n=p)
Pn  n !

Permutação com repetição
Pnx , y , z ,... 

n!
x ! y ! z !...
Combinação (a ordem não importa)
Cn, p 
n!
 n  p ! p !
ANÁLISE COMBINATÓRIA
São descritos os quatro princípios que determinei
para melhor orientar ao estudo dos exercícios de
análise combinatória, agrupados por metodologia
de resolução.
Os princípios são:
o
o
o
o
Restrição;
Exclusão;
Junção e
Ordenação.
Princípio da Restrição
1-(UFBA) Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 6 e 8, podemos
formar x números ímpares, com três algarismos
distintos cada um. Determine x.
2-(Unimontes MG-07) Com os algarismos
significativos, quantos números pares de três
algarismos, sem repetição, se podem formar?
a)
b)
c)
d)
224
168
252
288
Princípio da Exclusão
3-(UFRJ) Quantos números de quatro algarismos
podemos formar nos quais o algarismo 2 aparece
ao menos uma vez?
4-(Mackenzie SP-07) Em uma sala de aula há 25
alunos, quatro deles considerados gênios. O
número de grupos, com três alunos, que pode ser
formado, incluindo pelo menos um dos gênios, é:
Princípio da Junção
4-(UniT) Quantos anagramas tem a palavra
CILAS em que as vogais aparecem juntas?
5-(UFAL AL-06) TRAIPU é um município
alagoano situado próximo às margens do rio São
Francisco com população aproximada de 24 000
habitantes. Considerando as letras da palavra
TRAIPU, o número de anagramas em que as
vogais nunca aparecem juntas é:
Princípio da Ordenação
5-(Esan-SP) Formados e dispostos em ordem
alfabética todos os anagramas da palavra ESAN,
a palavra NASE ocupará a posição:
a)
b)
c)
d)
e)
14ª
15ª
13ª
7ª
12ª
n  A
P  A 
n U 
PROBABILIDADE
Probabilidade de União de Eventos:
P  A B  P  A  P  B  P  A B
Probabilidade de Eventos Condicionados:
 A
P  A B   P  A .P B
Probabilidade de Eventos Independentes:
P  A B  P  A.P  B
 
P  A  P Ä  1
Exercícios
1-Numa pesquisa feita com um grupo de garotas sobre
a preferência entre dois tipos de filmes: ficção
cientifica e romance, obtivemos os seguintes
resultados:





a)
b)
20 gostam de romance
12 gostam de ficção cientifica
4 gostam dos dois
2 não gostam de nenhum dos dois
Sorteando uma garota desse grupo, calcule a
probabilidade dela gostar de:
Apenas romance.
Romance ou ficção científica.
Exercícios
2-(PUCCAMP-SP) O número de fichas de certa
urna é igual ao número de anagramas da palavra
VESTIBULAR. Se em cada ficha escrevemos
apenas um dos anagramas, a probabilidade de
sortearmos uma ficha dessa urna e no anagrama
marcado as vogais estarem juntas é:
a)
b)
c)
d)
e)
1/5 040
1/1 260
1/60
1/30
1/15
Exercícios
3-(FEI-SP) Uma caixa contém 3 bolas verdes, 4
bolas amarelas e 2 bolas pretas. Duas bolas são
retiradas ao acaso e sem reposição. A
probabilidade de ambas serem da mesma cor é:
a)
b)
c)
d)
e)
13/72
1/18
5/18
1/9
¼
Exercícios
4-(UEL-PR) Dois dados não viciados são lançados.
A probabilidade de obter-se a soma de seus pontos
maior ou igual a 5 é:
a)
b)
c)
d)
e)
5/6
13/18
2/3
5/12
½
Exercícios
5-As probabilidades de dois alunos A e B tirarem
nota máxima numa prova de Matemática são:
P(A) = 2/5 e P(B) = ¼. Qual a probabilidade de:
a)
b)
c)
d)
Ambos tirarem nota máxima?
Ao menos um tirar nota máxima?
Nenhum tirar nota máxima?
O aluno A tirar nota máxima, mas o B não?