Transcript ΘεμελιώδειςΑρχέςΔιατήρησης

Θεμελιώδεις Αρχές της Μηχανικής
Οι παρακάτω βασικές διατηρητικές αρχές έχουν διατυπωθεί για ένα σύστημα
Διατήρηση μάζας του συστήματος:
dm
0
dt Syst
Ο 2ος νόμος του Νεύτωνα για την Ορμή:
dP
dt
Νόμος Ροπών του Νεύτωνα για την Στροφορμή:
συστήματος μαζών
Για απλή περιστροφή στερεού στρώματος
γύρω από άξονα x
:
F
Syst

dH
dt
Μ x =I x
dmV
dt

d
m
Syst
dV
dt
  r V 
Syst
dt
Syst
dx
dt
I x : Ροπή αδρανείας ως προς άξονα x
 : ροπή ως προς το κέντρο μάζας  x : γωνιακή ταχύτητα ως προς άξονα x
r : απόσταση από κέντρο μάζας
1ος Θερμοδυναμικός Νόμος για την
Διατήρηση της Ενέργειας
dE
dt
=Q-W
Syst
Q : ρυθμός μεταφοράς θερμότητας στο σύστημα από το περιβάλλον
W : ρυθμός παραγωγής έργου από το σύστημα στο περιβάλλον
 maSyst
Syst
Σύστημα - Όγκος Ελέγχου
• Ως Σύστημα ορίζεται δεδομένη ποσότητα μάζας, τα όρια της οποίας δεν
διαπερνώνται από υλικό.
• Ως Όγκος ελέγχου ορίζεται περιοχή του χώρου η οποία επιλέγεται προς
ανάλυση, μέσω των ορίων της οποίας μπορεί να διέρχεται υλικό.
• Οι Θεμελιώδεις νόμοι της φυσικής, π.χ. διατήρηση μάζας, ενέργειας και
ορμής, εφαρμόζονται σε Συστήματα.
• Όμως στα περισσότερα προβλήματα της Ρευστομηχανικής η ανάλυση
μέσω Όγκου Ελέγχου είναι προτιμητέα αυτής μέσω Συστήματος (όπως η
Οιλεριανή περιγραφή είναι προτιμητέα της Λαγκραντζιανής στην
διαφορική ανάλυση της ροής διότι, μεταξύ άλλων, στην δεύτερη
περίπτωση τα περισσότερα προβλήματα διατυπώνονται ως μεταβατικά)
• Συνεπώς είναι χρήσιμο να μετασχηματίσουμε τις βασικές αρχές
διατήρησης ώστε να εκφρασθούν για Όγκο Ελέγχου. Αυτό επιτυγχάνεται
μέσω του Θεωρήματος Μεταφοράς Reynolds (Reynolds Transport
Theorem ή RTT).
Θεώρημα Μεταφοράς Reynolds
Υπάρχει ευθεία αναλογία μεταξύ του μετασχηματισμού από την Λαγκραντζιανή στην
Οιλεριανή αναπαράσταση της ροής (για διαφορική ανάλυση απειροστού στοιχείου
ρευστού) και του μετασχηματισμού από την ανάλυση μέσω συστήματος σε αυτήν
μέσω Όγκου Ελέγχου (για ολοκληρωτική ανάλυση συγκεκριμένου όγκου ρευστού) με
χρήση του Θεωρήματος Μεταφοράς του Reynolds
V ή u συμβολίζουν
ταχύτητα
V συμβολίζει όγκο
Κινούμενος ΟΕ
Υλικός Όγκος όπου περιέχεται σε κάθε χρονική στιγμή το εξεταζόμενο σύστημα
κάθε διαφορικό στοιχείο της εξωτερικής υλικής επιφάνειας dAm
διανύει μέσα σε χρόνο  t  0 διαφορικό στοιχείο όγκου dV  u  n t dAm
Κινούμενος Όγκος Ελέγχου
κάθε διαφορικό στοιχείο της εξωτερικής επιφάνειας του Όγκου Ελέγχου dAS
διανύει μέσα σε χρόνο  t  0 διαφορικό στοιχείο όγκου dV  uS  n t dAS
Έστω εκτατική ποσότητα ΒΣυστ(x(t),t) και η αντίστοιχή της ανά μονάδα όγκου
Β μέσα σε υλικό όγκο Vm(t). Κάθε σημείο του όγκου αυτού ορίζεται με βάση
την αρχική του θέση και το πεδίο ταχυτήτων
t
x0 , x  x0 ; t   x0   u  x0 ;  d
0
Η μεταβολή της συνολικής ποσότητας ΒΣυστ μέσα στον Υλικό Όγκο, που αποτελεί
μέρος κινούμενου ρευστού, μέσα σε απειροστό χρόνο δt δίνεται από την σχέση

 
D 
 1 
 B  x  t  ; t  dV   lim
   B  t   t  dV   B  t  dV   
t 0  t
Dt Vm t  
Vm  t 
 Vm t  t 

 
 1 
 1 
 
 
lim    B  t   t  dV   B  t   t  dV    lim    B  t   t  dV   B  t  dV   
 t 0  t
   t 0   t Vm t 
 
Vm  t 
Vm  t 
 Vm  t  t 
1


B t   t   B t  
lim 
B
t


t
dV

lim
dV  






 t 0  t
 t 0

t
 Vm  t  t Vm t 

Vm t 

1

B
lim 
B
t


t
u

n

tdA

dV 





 t 0  t

t
 un tAm  t 
 Vm t 
DBSys
Dt


D 
B
B
x
t
;
t
dV
dV


         B  t  u  ndA  
Dt Vm  t 
t
Vm  t 
 Am  t 
Gauss
( I ) 

DBSys
Dt

 B

    Bu   dV


t

Vm  t  
Vm 0

 Διαφορική μορφή διατηρητικής αρχής
(I )
• Γενικευμένο θεώρημα Leibniz για κινούμενο όγκο ελέγχου ταχύτητας
uS
ο
οποίος ταυτίζεται με το σύστημα κατά την χρονική στιγμή t=0
d
B
BdV

CV t dV  CS BuS ndA (II )
dt CV
• Γενικευμένο θεώρημα μεταφοράς Reynolds για κινούμενο Όγκο Ελέγχου –
Εφαρμογή στην Ολοκληρωτική Ανάλυση της Ροής μέσω Όγκου Ελέγχου
dBsys
d
BdV   B(u  uS ) ndA
u  u S  ur

CV
CS
dt
dt
ur : Σχετική ταχύτητα ρευστού ως προς κινούμενο Όγκο Ελέγχου
( II )
(I) 

υπολογιζόμενη στα όρια του Όγκου Ελέγχου
B  x t  ; t     x t  ; t  b  x t  ; t 
Εισαγωγή εντατικής ιδιότητας b
dBsys d
   bdV    bur ndA
CS
dt
dt CV
• Το θεώρημα μεταφοράς Reynolds χρησιμοποιείται για την διατύπωση των αρχών
διατήρησης μάζας, ενέργειας, γραμμικής ορμής και στροφορμής σε διαφορική και
ολοκληρωτική μορφή
Μάζα
Ορμή
Ενέργεια
Εκτατική Ιδιότητα
m
mu
E
b BΣυσ/m, Εντατική Ιδιότητα
1
u
e
BΣυσ,
Στροφορμή
H
r  u 
Θεώρημα Μεταφοράς Reynolds
• Ερμηνεία:
– Η χρονική μεταβολή της ιδιότητας B του συστήματος
ισούται με το άθροισμα (Όρος 1) + (Όρος 2)
– Όρος 1: Χρονική μεταβολή της B μέσα στον Όγκο
Ελέγχου
– Όρος 2: Καθαρή εκροή της ιδιότητας Β από τον Όγκο
Ελέγχου μέσω των τοιχωμάτων της διεπιφάνειάς του με το
περιβάλλον
dBsys
d
   bdV    bu ndA
CS
dt
dt CV
1ος Όρος
2ος Όρος για ακίνητο ΟΕ
Ειδικές Μορφές
• Για κινούμενους ή παραμωρφούμενους Όγκους Ελέγχου
dBsys
d
   bdV    bur ndA
CS
dt
dt CV
• Η απόλυτη ταχύτητα u στον δεύτερο όρο έχει αντικατασταθεί
από την σχετική ταχύτητα u r  u  u s
• u r είναι η ταχύτητα του ρευστού ως προς σύστημα που κινείται
με την ταχύτητα του Όγκου Ελέγχου.
Ειδικές Μορφές
Για μόνιμη κατάσταση η χρονοπαράγωγος μηδενίζεται
dBsys
0
d
   bdV    bur ndA    bur ndA
CS
CS
dt
dt CV
Για όγκους ελέγχου με καλά καθορισμένες και σχετικά λεπτές
εισόδους και εξόδους
dBsys
d
   bdV    avg bavg ur ,avg A   avg bavg ur ,avg A
dt
dt CV
out
in
Για ασυμπίεστο ρευστό ρ=σταθερό
1 dBsys d
  bdV   bavg ur ,avg A   bavg ur ,avg A
 dt
dt CV
out
in
Διατήρηση Μάζας - Διαφορική Μορφή
b 1
ά
kg m kg
, u  3  2 
ά
m s ms
DmSys
Dt
0
Ρυθμός ροής μάζας ανά
μονάδα επιφάνειας

 

Vm 0




u
dV


    u   0






t

t


Vm  t 
Εάν δεν υπάρχουν πηγές ή καταβόθρες στον ΟΕ

     u   0  Εξίσωση Συνέχειας
t

D
 u       u  0 
   u  0
t
Dt
 

Οιλεριανή αναπαράσταση
Χρήση Μερικής Παραγώγου
Για ασυμπίεστο ρευστό
Για μόνιμη ροή

Λαγκραντζιανή αναπαράσταση
Χρήση Υλικής Παραγώγου για
κάθε σωματίδιο
 
D
 0  u  0
Dt



 0    u   0
t
Διατήρηση Μάζας - Ολοκληρωτική Μορφή
 
dm
d
 m, b  1: 0 

 dV     u n  dA  0

dt  dt CV
CS
• Γενική αρχή διατήρησης μάζας για ακίνητο
Όγκο Ελέγχου οποιουδήποτε σχήματος
dm
dm
 CV  mnet  0
dt 
dt
– Ρυθμός μεταβολής μάζας μέσα στον ΟΕ
dmCV d

 dV

dt
dt CV
– Καθαρή εκροή μάζας από τα τοιχώματα
του ΟΕ
mnet    m   un dA 
CS
CS
  u n  dA
CS
Παράδειγμα: Ισοζύγιο μάζας σε δεξαμενή που γεμίζει με νερό
• Για να βρούμε τον ρυθμό αύξησης της
στάθμης της δεξαμενής εφαρμόζουμε
την αρχή διατήρησης μάζας ως εξής:
n1
1
2
n2
Ως Όγκος Ελέγχου ορίζεται το εσωτερικό
της δεξαμενής με άνω όριο το νοητό
επίπεδο στην κορυφή της
Νερό εισέρχεται και εξέρχεται στην
δεξαμενή μέσω των διατομών 1 και 2
ενώ η διατομή της δεξαμενής Α και το
ύψος της h θεωρούνται σταθερά
Το νερό είναι ασυμπίεστο
dmCV
0
 m1  m2
dt
dmCV

 mout  min
dt
dmCV

 min  mout  mnet ,in 
dt
hw
h


d
  air A  dz   w A  dz   mnet ,in

dt 
hw
0

dhw mnet ,in
 air   w



dt
w A
Διεργασίες σε Μόνιμη Κατάσταση
• Σε μόνιμη κατάσταση η συνολική μάζα
μέσα στον ΟΕ παραμένει σταθερή.
dmCV
0
dt
• Η συνολική μάζα που εισέρχεται στον
ΟΕ ισούται με την εξερχόμενη
m  m
in
out
• Για ασυμπίεστη ροή ρ=σταθερό
u A  u A
n
in
n
n
n
out
• Για ασυμπίεστο ρευστό ακόμα και σε μη μόνιμη κατάσταση
η μάζα που περιέχεται στον ΟΕ παραμένει αμετάβλητη

dmCV d 
    dV   0
dt
dt  CV

• Οι χρονικές μεταβολές της ταχύτητας στην είσοδο αντανακλούν άμεσα στις ταχύτητες
εξόδου χωρίς να επηρεάζεται η μάζα του ΟΕ, π.χ. για μία είσοδο και μία έξοδο
u1 (t)A1  u 2  t  A 2