Transcript อันดับ
CHAPTER 7
Second-Order Circuits
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
1
วัตถุประสงค์ และเนือ้ หา
เนือ้ หา
ศึกษาวงจรอันดับสอง:
การหาค่ าเริ่มต้ นและค่ าสุ ดท้ าย
วงจรอนุกรม RLC ขณะไม่ มีแหล่งจ่ าย
วงจรขนาน RLC ขณะไม่ มีแหล่งจ่ าย
ผลตอบสนองต่ อฟังก์ ชั่นขั้นบันไดของวงจรอนุกรม RLC
ผลตอบสนองต่ อฟังก์ชั่นขั้นบันไดของวงจรขนาน RLC
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
2
Finding initial and final values
การแก้สมการอนุพนั ธ์เพื่อหาคาตอบสมบูรณ์ เราจาเป็ นต้องทราบค่าเงื่อนไขเริ่ มต้นและค่า
สุ ดท้าย
กระแสไหลผ่านตัวเหนี่ยวนาและแรงดันตกคร่ อมตัวเก็บประจุไม่สามารถเปลี่ยนแปลง
ทันทันใดได้ ดังนั้น
v (0 ) v (0 )
i(0
) i(0
)
โดยที่ แสดงถึงเวลาก่อนที่จะทาการสวิตคืซ์อแเวลาหลั
ละ งทาการสวิต
ซึ่ งเราจะสมมุติเหตุการณ์เหล่านี้วา่ เกิดการสวิตซ์ที่
t 0
t 0
t0
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
3
Finding initial and final values
สวิตซ์ถูกปิ ดเป็ นเวลานาน มันถูกเปิ ดที่เวลา
คานวณหา
และ
(ก)
(ข
และ
Example
t 0
v (0 )
i(0 )
dv ( 0
di ( 0 ) / dt
) / dt
)
(ค)i ( ) และv ( )
4
12V
+
-
i
0.25H
2
t 0
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
+
0.1F
v
-
4
Finding initial and final values
(ก) i ( 0
)
และ
v (0 )
4
12
42
+
2
+
-
12V
i (0 )
i
v
-
2A
v (0 ) 2i(0 ) 4 V
กระแสไหลผ่านตัวเหนี่ยวนาและแรงดันตัวเก็บประจุไม่สามารถเปลี่ยนแปลงทันทีทนั ใด
ดังนั้น
i(0 ) i(0 ) 2 A
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
v (0 ) v (0 ) 4 V
5
Finding initial and final values
(ข
)
di ( 0 ) / dt
และ
dv ( 0
) / dt
4
i
0.25H
i(0 ) i(0 ) 2 A
จาก
+
Cdv / dt i C
dv ( 0 )
iC (0 )
dt
KVL
C
2
dt
v
-
20 V/s
di ( 0 )
0.1F
0 .1
12 4 i ( 0 ) v L ( 0 ) v ( 0 ) 0
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
+
-
12V
v L (0 )
L
0
v L (0
) 12 8 4 0
0 A/s
0 . 25
6
Finding initial and final values
(ค)i ( ) และv ( )
4
i
+
12V
+
-
i ( ) 0 A
v
-
v ( ) 12 V
กรณี แหล่งจ่ายไฟตรงตัวเหนี่ ยวนาเสมือนลัดวงจรในขณะที่เก็บประจุเสมือนเปิ ดวงจร
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
7
Source free of series RLC circuit
L
R
I0
i
ที่เวลา
t 0
+
V0
-
C
ค่าเริ่ มต้นคือ
v (0)
0
1
idt
C
V0
i(0) I 0
KVL
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
Ri L
di
dt
1
C
t
2
idt 0
d i
dt
2
Rdi
Ldt
i
0
LC
8
Source free of series RLC circuit
ค่าเริ่ มต้นของอนุพนั ธ์กระแส i คือ
Ri ( 0 ) L
di ( 0 )
dt
di ( 0 )
V0 0
dt
1
L
( RI
0
V0 )
เรารู ้วา่ คาตอบอยูใ่ นรู ปของเอ็กซ์โพเนเชียล (Exponential form)
i Ae
st
โดยที่ A และ s เป็ นค่าคงที่
d
dt
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
2
i
2
Rdi
Ldt
i
LC
0
Ae
st
R
1
2
s
s
0
L
LC
9
Source free of series RLC circuit
เพราะ i Ae เป็ นคาตอบดังนั้น
st
s
2
R
s
L
1
0
LC
รากของสมการหาได้โดย
s1
s1
R
2L
R
2L
R
2L
2
R
2L
2
LC
R
2L
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
1
1
LC
,
s 1
2
0
s 2
2
0
0
2
2
1
LC
10
Source free of series RLC circuit
คาตอบของสมการอ น ุพ นั ธ ์อ นั ด บั ส อ ง เป็ นผลรวมของกระแส
และi
ดังนั้นผลตอบสนองธรรมชาติของวงจรอนุกรม RLC คือ
i1
i ( t ) i1 ( t ) i 2 ( t )
i ( t ) A1 e
s1 t
A2 e
2
s2t
คาตอบมีสามรู ปแบบ
1.ในกรณี
0
เรี ยกว่า Overdamped case
2.ในกรณี
0
เรี ยกว่า Critically damped case
3.ในกรณี
0
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
เรี ยกว่า Underdamped case
11
Source free of series RLC circuit
Overdamped Case
รากสมการ s1 และ
( 0 )
s2
หรื อ
C 4L / R
2
เป็ นจานวนจริ งและมีเครื่ องหมายเป็ นลบ
ดังนั้นคาตอบของสมการในกรณี น้ ี
i ( t ) A1 e
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
s1 t
A2 e
s2t
12
Source free of series RLC circuit
Critically damped case
รากสมการ s1 และ
s2
( 0 )
หรื อ
C 4L / R
2
เท่ากันและเป็ นจานวนจริ ง
s 1 s 2
R
2L
ดังนั้นคาตอบของสมการในกรณี น้ ี
i ( A1 t A 2 ) e
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
t
13
Source free of series RLC circuit
Underdamped Case
หรื อ
( 0 )
C 4L / R
2
รากสมการแสดงได้เป็ น
s 1
( 0 ) j d
2
2
s 2
( 0
2
2
) j d
ดังนั้นคาตอบของสมการ
i (t ) e
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
t
B 1 cos d t B 2
sin d t
14
Source free of series RLC circuit
Example
คานวณหา สมมุติวา่ วงจรอยูใ่ นสถานะอิ่มตัวที่เวลา
t 0
i (t )
4
t 0
i
+
0.02F
10V
+
-
v
6
-
3
0.5H
หาเงื่อนไขเริ่ มต้น
4
i(0)
10
46
i
1A
+
10V
v
+
-
6
-
v (0 ) 6i (0 ) 6 V
t0
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
15
Source free of series RLC circuit
รากสมการแสดงได้เป็ น
R
2L
9
0
9,
2 ( 0 .5 )
s 1, 2
1
LC
2
0 9
2
1
0 . 5 0 . 02
10
81 100
9
+
0.02F
ผลตอบสนองธรรมชาติแสดงเป็ น Underamped
โดยแสดงคาตอบได้ดงั นี้
i (t ) e
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
9t
( A1 cos 4 . 359 t A 2 sin 4 . 359 t )
v
-
0.5H
t 0
(1)
16
Source free of series RLC circuit
หาค่าคงที่
A1 โดยแทนเวลา t 0
ในสมการ (1)
i ( 0 ) 1 A1
ค่าเริ่ มต้นอนุพนั ธ์กระแส
di
dt
t0
i
1
L
Ri ( 0 ) v ( 0 ) 2 9 (1) 6 6 A/s
ทาการอนุพนั ธ์คาตอบกระแส
di
9e
dt
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
9t
(2)
i
( A1 cos 4 . 359 t A 2 sin 4 . 359 t ) e
9t
( 4 . 359 )( A1 sin 4 . 359 t A 2 cos 4 . 359 t )
(3)
17
Source free of series RLC circuit
แทนค่า
di / dt 6
และ
t 0
ในสมการที่ (3)
6 9 ( A1 0 ) 4 . 359 ( 0 A 2 )
หาค่า A โดยการแทนค่า
2
A1 1
A 2 0 . 6882
ดังนั้นคาตอบสมบูรณ์
i (t ) e
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
9t
(cos 4 . 359 t 0 . 6882 sin 4 . 359 t )
18
Source free of parallel RLC circuit
v
R
v
L
I0 v
t 0
C
V0
-
-
-
ที่เวลา
+
+
+
ค่าเริ่ มต้นคือ
i(0) I 0
1
L
0
vdt
v (0) V 0
KCL
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
v
R
1
L
t
vdt C
dv
dt
2
0
d v
dt
2
1
dv
RC dt
1
v0
LC
19
Source free of parallel RLC circuit
สรุ ปรากสมการอนุพนั ธ์อนั ดับสอง (ขั้นตอนหาเช่นเดียวกันกับวงจรอนุกรม) คือ
s
2
1
s
RC
1
0
LC
1
,
s 1, 2
2
1
1
2 RC
LC
2 RC
1
0
2 RC
1
LC
ผลเฉลยของระบบสมการนี้มีสามรู ปแบบ
1.ในกรณี เรี ยกว่า Overdamped case
0
2.ในกรณี
0
3.ในกรณี
0
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
เรี ยกว่า Critically damped case
เรี ยกว่า Underdamped case
20
Source free of parallel RLC circuit
Overdamped Case
รากสมการ s1 และ
( 0 )
s2
หรื อ
2
L 4R C
เป็ นจานวนจริ งและมีเครื่ องหมายเป็ นลบ
ดังนั้นคาตอบของสมการในกรณี น้ ี
i ( t ) A1 e
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
s1 t
A2 e
s2t
21
Source free of parallel RLC circuit
Critically damped case
รากสมการ s1 และ
s2
( 0 )
หรื อ
2
L 4R C
เท่ากันและเป็ นจานวนจริ ง
s 1 s 2
R
2L
ดังนั้นคาตอบของสมการในกรณี น้ ี
i ( A1 t A 2 ) e
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
t
22
Source free of parallel RLC circuit
Underdamped Case
( 0 )
หรื อ
2
L 4R C
รากสมการแสดงได้เป็ น
s 1, 2 j d
d
0
2
2
ดังนั้นคาตอบของสมการ
v (t ) e
t
A1 cos d t
A 2 sin d t
ค่าเริ่ มต้นอนุพนั ธ์กระแส i คือ
V0
R
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
I0 C
dv ( 0 )
dt
0
dv ( 0 )
dt
(V 0 RI 0 )
RC
23
Source free of parallel RLC circuit
t 0
Vs
R
L
i
+
+
-
C
v
-
ใช้ KVL วิเคราะห์ลูปเมื่อเวลา
t 0
L
di
dt
แทน
iC
Ri v V s
dv
dt
2
d v
dt
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
2
Rdv
Ldt
v
LC
Vs
LC
24
Step response of series RLC circuit
คาตอบประกอบด้วยสองส่ วนคือผลตอบสนองธรรมชาติ
และผลตอบสนองด้วยแรงกระทา
v n (t )
v f (t )
v (t ) v n (t ) v f (t )
ผลตอบสนองธรรมชาติหาได้โดยการเซ็ทแหล่งจ่ายให้เท่ากับศูนย์
คาตอบมีสามกรณี คือ
v ( t ) A1 e
s1 t
A2 e
v ( t ) ( A1 A 2 t ) e
s2t
t
(Overdamped)
(Critically damped)
v ( t ) ( A1 cos d t A 2 sin d t ) e
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
Vs 0
t
(Underdamped)
25
Step response of series RLC circuit
ผลตอบสนองด้วยแรงกระทาหาได้จากสภาวะ (Steady state)
v f (t ) v ( ) V s
ดังนั้นคาตอบสมบูรณ์คือ
v ( t ) V s A1 e
s1 t
A2 e
v ( t ) V s ( A1 A 2 t ) e
s2t
t
(Overdamped)
(Critically damped)
v ( t ) V s ( A1 cos d t A 2 sin d t ) e
t
(Underdamped)
น
ค่าคงที่ และ หาได้จากเงื่อนไขเริ่ มต้และ
A1
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
A2
v (0)
dv ( 0 ) / dt
26
Step response of series RLC circuit
Example
คานวณหา และ สาหรับ
R
+
+
-
เมื่อ R 1
t 0
1H
i
24V
t 0
i (t )
v (t )
0.5F
v
1
-
กระแสเริ่ มต้นที่ไหลผ่านตัวเหนี่ยวนา
i(0)
24
11
12 A
ค่าแรงดันเริ่ มต้นที่ตกคร่ อมตัวเก็บประจุคือแรงดันที่ตกคร่ อมตัวต้านทาน
R 1
v ( 0 ) 1i ( 0 ) 12 V
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
27
Step response of series RLC circuit
R
2L
0 .5 0 2
1
2 1
0
0 .5
1
LC
1
1 0 . 25
2
ดังนั้นผลตอบสนองธรรมชาติของวงจรอยูใ่ นกรณี Underdamped
รากสมการคือ
s 1, 2
2
0 0 . 5 j1 . 936
2
ดังนั้นคาตอบสมบูรณ์คือ
v ( t ) 24 ( A1 cos 1 . 936 t A 2 sin 1 . 936 t ) e
0 .5 t
(1)
ค่าคงที่ และ หาได้จากเงื่อนไขเริ่ มต้น
A2
A1
v ( 0 ) 12 24 A1
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
A1 12
(2)
28
Step response of series RLC circuit
จาก
i ( 0 ) Cdv ( 0 ) / dt 12
dv ( 0 )
dt
12
C
12
0 .5
ทาการอนุพนั ธ์รูปแบบคาตอบสมบูรณ์เพื่อหาค่า
dv
e
dt
0 .5 t
(3)
48
A2
( 1 . 936 A1 sin 1 . 936 t 1 . 936 A 2 cos 1 . 936 t )
0 .5 e
0 .5 t
( A1 cos 1 . 936 t A 2 sin 1 . 936 t )
(4)
ที่เวลาt 0
dv ( 0 )
dt
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
48 ( 0 1 . 936 A 2 ) 0 . 5 ( A1 0 )
(5)
29
Step response of series RLC circuit
จาก (2) และ (5)
จะได้ค่า และ
A1
A2
v ( t ) 24 ( 12 cos 1 . 936 t 21 . 694 sin 1 . 936 t ) e
0 .5 t
กระแสตัวเหนี่ยวนา
i ( t ) ( 3 . 1 sin 1 . 936 t 12 cos 1 . 936 t ) e
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
0 .5 t
A
30
Step response of parallel RLC circuit
i
t 0
Is
KCL
แทน
v L
C
v
dv
dt
Is
ในสมการด้านบนและจัดรู ปใหม่
d
dt
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
iC
R
dt
L
-
v
di
R
+
2
i
2
1
di
RC dt
i
LC
Is
LC
31
Step response of parallel RLC circuit
คาตอบประกอบด้วยสองส่ วนคือผลตอบสนองธรรมชาติ
และผลตอบสนองด้วยแรงกระทา
i n (t )
i f (t )
i (t ) i n (t ) i f (t )
คาตอบสมบูรณ์คือ
i ( t ) I s A1 e
s1 t
A2 e
i ( t ) I s ( A1 A 2 t ) e
s2t
t
(Overdamped)
(Critically damped)
i ( t ) I s ( A1 cos d t A 2 sin d t ) e
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
t
(Underdamped)
32
Step response of parallel RLC circuit
Example
คานวณหา และ สาหรับ
i (t )
t 0
i R (t )
t 0
20
i
4A
20H
iR
20
+
8mF
v
-
+
-
30u(t )V
4A
สวิตซ์เปิ ดวงจรทาให้วงจรถูกแยกออกเป็ นสองวงจรย่
อย กร
ไหลผ่านตัวเหนี่ยวนาดังนั้น
t0
i(0) 4 A
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
33
Step response of parallel RLC circuit
30 u ( t ) 30
เมื่อเวลา
t0
และเท่ากับ 0 เมื่อเวลา
v (0)
t 0
20
20 20
t 0
ดังนั้น
( 30 ) 15 V
สวิตซ์ปิดวงจร จะได้วงจรดังนี้
i
4A
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
20H
iR
10
+
8mF
v
-
34
Step response of parallel RLC circuit
รากสมการหาได้ดงั นี้
1
2 RC
1
2 10 8 10
3
s 1 11 . 978 ,
0
LC
1
20 8 10
3
2 .5
s 1 0 . 5218
ดังนั้นผลตอบสนองวงจรอยูใ่ นกรณี Overdamped
i ( t ) I s A1 e
I s 4A
1
0
6 . 25
11 . 978 t
คือค่าสุ ดท้ายของ i (t ) ค่าคงที่
i ( 0 ) 4 4 A1 A 2
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
A1
A2 e
0 . 5218 t
(1)
และ หาได้จากเงื่อนไขเริ่ มต้นที่เว
t 0
A2
A 2 A1
(2)
35
Step response of parallel RLC circuit
ทาการอนุพนั ธ์รูปแบบคาตอบสมบูรณ์เพื่อหาค่า A
di ( t )
dt
4 A1 e
11 . 978 t
A2 e
di
0 . 5218 t
dt
1
และ
A2
11 . 978 A1 e
11 . 978 t
ที่เวลาt 0
di ( 0 )
dt
0 . 5218 A 2 e
0 . 5218 t
(3)
11 . 978 A1 0 . 5218 A 2
แต่
L
di ( 0 )
v ( 0 ) 15
di ( 0 )
dt
dt
จาก (2)
15
15
0 . 75
L
20
e
11 . 978 t
(4)
ถึง (4) จะได้ค่า และ
A1
A2
i ( t ) 4 0 . 0655 ( e
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
0 . 5218 t
)A
36