Transcript อันดับ

CHAPTER 7
Second-Order Circuits
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
1
วัตถุประสงค์ และเนือ้ หา
เนือ้ หา
ศึกษาวงจรอันดับสอง:
การหาค่ าเริ่มต้ นและค่ าสุ ดท้ าย
วงจรอนุกรม RLC ขณะไม่ มีแหล่งจ่ าย
วงจรขนาน RLC ขณะไม่ มีแหล่งจ่ าย
ผลตอบสนองต่ อฟังก์ ชั่นขั้นบันไดของวงจรอนุกรม RLC
ผลตอบสนองต่ อฟังก์ชั่นขั้นบันไดของวงจรขนาน RLC
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
2
Finding initial and final values
การแก้สมการอนุพนั ธ์เพื่อหาคาตอบสมบูรณ์ เราจาเป็ นต้องทราบค่าเงื่อนไขเริ่ มต้นและค่า
สุ ดท้าย
กระแสไหลผ่านตัวเหนี่ยวนาและแรงดันตกคร่ อมตัวเก็บประจุไม่สามารถเปลี่ยนแปลง
ทันทันใดได้ ดังนั้น


v (0 )  v (0 )
i(0

)  i(0

)
โดยที่ แสดงถึงเวลาก่อนที่จะทาการสวิตคืซ์อแเวลาหลั
ละ งทาการสวิต
ซึ่ งเราจะสมมุติเหตุการณ์เหล่านี้วา่ เกิดการสวิตซ์ที่
t 0

t 0

t0
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
3
Finding initial and final values
สวิตซ์ถูกปิ ดเป็ นเวลานาน มันถูกเปิ ดที่เวลา
คานวณหา
และ
(ก)
(ข
และ
Example
t 0


v (0 )
i(0 )

dv ( 0
di ( 0 ) / dt

) / dt
)
(ค)i ( ) และv ( )
4
12V
+
-
i
0.25H
2
t 0
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
+
0.1F
v
-
4
Finding initial and final values
(ก) i ( 0

)
และ

v (0 )
4

12
42
+
2
+
-
12V
i (0 ) 
i
v
-
 2A


v (0 )  2i(0 )  4 V
กระแสไหลผ่านตัวเหนี่ยวนาและแรงดันตัวเก็บประจุไม่สามารถเปลี่ยนแปลงทันทีทนั ใด
ดังนั้น


i(0 )  i(0 )  2 A
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)


v (0 )  v (0 )  4 V
5
Finding initial and final values
(ข
)

di ( 0 ) / dt
และ
dv ( 0

) / dt
4

i
0.25H

i(0 )  i(0 )  2 A
จาก
+
Cdv / dt  i C


dv ( 0 )
iC (0 )

dt
KVL

C
2

dt

v
-
 20 V/s



di ( 0 )
0.1F
0 .1

 12  4 i ( 0 )  v L ( 0 )  v ( 0 )  0
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
+
-
12V
v L (0 )
L

0
v L (0

)  12  8  4  0
 0 A/s
0 . 25
6
Finding initial and final values
(ค)i ( ) และv ( )
4
i
+
12V
+
-
i ( )  0 A
v
-
v (  )  12 V
กรณี แหล่งจ่ายไฟตรงตัวเหนี่ ยวนาเสมือนลัดวงจรในขณะที่เก็บประจุเสมือนเปิ ดวงจร
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
7
Source free of series RLC circuit
L
R
I0
i
ที่เวลา
t 0
+
V0
-
C
ค่าเริ่ มต้นคือ
v (0) 
0
1
 idt
C
 V0

i(0)  I 0
KVL
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
Ri  L
di
dt

1
C
t


2
idt  0
d i
dt
2

Rdi
Ldt

i
0
LC
8
Source free of series RLC circuit
ค่าเริ่ มต้นของอนุพนั ธ์กระแส i คือ
Ri ( 0 )  L
di ( 0 )
dt
di ( 0 )
 V0  0
 
dt
1
L
( RI
0
 V0 )
เรารู ้วา่ คาตอบอยูใ่ นรู ปของเอ็กซ์โพเนเชียล (Exponential form)
i  Ae
st
โดยที่ A และ s เป็ นค่าคงที่
d
dt
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
2
i
2

Rdi
Ldt

i
LC
 0
Ae
st
R
1 
 2
s
s 
0
L
LC 

9
Source free of series RLC circuit
เพราะ i  Ae เป็ นคาตอบดังนั้น
st
s
2

R
s
L
1
0
LC
รากของสมการหาได้โดย
s1  
s1  
R

2L
R
2L

 R 


 2L 
2
 R 


 2L 
2
 

LC
R
2L
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
1

1
LC
,
s 1   

2
0
s 2   

2
0
0 
2
2
1
LC
10
Source free of series RLC circuit
คาตอบของสมการอ น ุพ นั ธ ์อ นั ด บั ส อ ง เป็ นผลรวมของกระแส
และi
ดังนั้นผลตอบสนองธรรมชาติของวงจรอนุกรม RLC คือ
i1
i ( t )  i1 ( t )  i 2 ( t )
i ( t )  A1 e
s1 t
 A2 e
2
s2t
คาตอบมีสามรู ปแบบ
1.ในกรณี
  0
เรี ยกว่า Overdamped case
2.ในกรณี
  0
เรี ยกว่า Critically damped case
3.ในกรณี
  0
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
เรี ยกว่า Underdamped case
11
Source free of series RLC circuit
Overdamped Case
รากสมการ s1 และ
(   0 )
s2
หรื อ
C  4L / R
2
เป็ นจานวนจริ งและมีเครื่ องหมายเป็ นลบ
ดังนั้นคาตอบของสมการในกรณี น้ ี
i ( t )  A1 e
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
s1 t
 A2 e
s2t
12
Source free of series RLC circuit
Critically damped case
รากสมการ s1 และ
s2
(   0 )
หรื อ
C  4L / R
2
เท่ากันและเป็ นจานวนจริ ง
s 1  s 2    
R
2L
ดังนั้นคาตอบของสมการในกรณี น้ ี
i  ( A1 t  A 2 ) e
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
 t
13
Source free of series RLC circuit
Underdamped Case
หรื อ
(   0 )
C  4L / R
2
รากสมการแสดงได้เป็ น
s 1   
 ( 0   )     j  d
2
2
s 2   
 ( 0  
2
2
)    j  d
ดังนั้นคาตอบของสมการ
i (t )  e
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
 t
B 1 cos  d t  B 2
sin  d t 
14
Source free of series RLC circuit
Example
คานวณหา สมมุติวา่ วงจรอยูใ่ นสถานะอิ่มตัวที่เวลา
t 0
i (t )
4
t 0
i
+
0.02F
10V
+
-

v
6
-
3
0.5H
หาเงื่อนไขเริ่ มต้น
4
i(0) 
10
46
i
 1A
+
10V
v
+
-
6
-
v (0 )  6i (0 )  6 V
t0
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
15
Source free of series RLC circuit
รากสมการแสดงได้เป็ น
R
 
2L
9

0 
 9,
2 ( 0 .5 )
s 1, 2    

1

LC
2
  0  9 
2
1
0 . 5  0 . 02
 10
81  100
9
+
0.02F
ผลตอบสนองธรรมชาติแสดงเป็ น Underamped
โดยแสดงคาตอบได้ดงั นี้
i (t )  e
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
9t
( A1 cos 4 . 359 t  A 2 sin 4 . 359 t )
v
-
0.5H
t 0
(1)
16
Source free of series RLC circuit
หาค่าคงที่
A1 โดยแทนเวลา t  0
ในสมการ (1)
i ( 0 )  1  A1
ค่าเริ่ มต้นอนุพนั ธ์กระแส
di
dt
 
t0
i
1
L
Ri ( 0 )  v ( 0 )    2 9 (1)  6    6 A/s
ทาการอนุพนั ธ์คาตอบกระแส
di
 9e
dt
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
9t
(2)
i
( A1 cos 4 . 359 t  A 2 sin 4 . 359 t )  e
9t
( 4 . 359 )(  A1 sin 4 . 359 t  A 2 cos 4 . 359 t )
(3)
17
Source free of series RLC circuit
แทนค่า
di / dt   6
และ
t 0
ในสมการที่ (3)
 6   9 ( A1  0 )  4 . 359 (  0  A 2 )
หาค่า A โดยการแทนค่า
2
A1  1
A 2  0 . 6882
ดังนั้นคาตอบสมบูรณ์
i (t )  e
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
9t
(cos 4 . 359 t  0 . 6882 sin 4 . 359 t )
18
Source free of parallel RLC circuit
v
R
v
L
I0 v
t 0
C
V0
-
-
-
ที่เวลา
+
+
+
ค่าเริ่ มต้นคือ
i(0)  I 0 
1
L
0
 vdt

v (0)  V 0
KCL
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
v
R

1
L
t


vdt  C
dv
dt
2
0
d v
dt
2

1
dv
RC dt

1
v0
LC
19
Source free of parallel RLC circuit
สรุ ปรากสมการอนุพนั ธ์อนั ดับสอง (ขั้นตอนหาเช่นเดียวกันกับวงจรอนุกรม) คือ
s
2

1
s
RC
1
0
LC
 
1
,
s 1, 2
2
1
 1 

 
 
2 RC
LC
 2 RC 
1
0 
2 RC
1
LC
ผลเฉลยของระบบสมการนี้มีสามรู ปแบบ
1.ในกรณี    เรี ยกว่า Overdamped case
0
2.ในกรณี
  0
3.ในกรณี
  0
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
เรี ยกว่า Critically damped case
เรี ยกว่า Underdamped case
20
Source free of parallel RLC circuit
Overdamped Case
รากสมการ s1 และ
(   0 )
s2
หรื อ
2
L  4R C
เป็ นจานวนจริ งและมีเครื่ องหมายเป็ นลบ
ดังนั้นคาตอบของสมการในกรณี น้ ี
i ( t )  A1 e
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
s1 t
 A2 e
s2t
21
Source free of parallel RLC circuit
Critically damped case
รากสมการ s1 และ
s2
(   0 )
หรื อ
2
L  4R C
เท่ากันและเป็ นจานวนจริ ง
s 1  s 2    
R
2L
ดังนั้นคาตอบของสมการในกรณี น้ ี
i  ( A1 t  A 2 ) e
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
 t
22
Source free of parallel RLC circuit
Underdamped Case
(   0 )
หรื อ
2
L  4R C
รากสมการแสดงได้เป็ น
s 1, 2     j  d
d 
0 
2
2
ดังนั้นคาตอบของสมการ
v (t )  e
 t
 A1 cos  d t 
A 2 sin  d t 
ค่าเริ่ มต้นอนุพนั ธ์กระแส i คือ
V0
R
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
 I0  C
dv ( 0 )
dt
0
dv ( 0 )
dt
 
(V 0  RI 0 )
RC
23
Source free of parallel RLC circuit
t 0
Vs
R
L
i
+
+
-
C
v
-
ใช้ KVL วิเคราะห์ลูปเมื่อเวลา
t 0
L
di
dt
แทน
iC
 Ri  v  V s
dv
dt
2
d v
dt
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
2

Rdv
Ldt

v
LC

Vs
LC
24
Step response of series RLC circuit
คาตอบประกอบด้วยสองส่ วนคือผลตอบสนองธรรมชาติ
และผลตอบสนองด้วยแรงกระทา
v n (t )
v f (t )
v (t )  v n (t )  v f (t )
ผลตอบสนองธรรมชาติหาได้โดยการเซ็ทแหล่งจ่ายให้เท่ากับศูนย์
คาตอบมีสามกรณี คือ
v ( t )  A1 e
s1 t
 A2 e
v ( t )  ( A1  A 2 t ) e
s2t
 t
(Overdamped)
(Critically damped)
v ( t )  ( A1 cos  d t  A 2 sin  d t ) e
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
Vs  0
 t
(Underdamped)
25
Step response of series RLC circuit
ผลตอบสนองด้วยแรงกระทาหาได้จากสภาวะ (Steady state)
v f (t )  v (  )  V s
ดังนั้นคาตอบสมบูรณ์คือ
v ( t )  V s  A1 e
s1 t
 A2 e
v ( t )  V s  ( A1  A 2 t ) e
s2t
 t
(Overdamped)
(Critically damped)
v ( t )  V s  ( A1 cos  d t  A 2 sin  d t ) e
 t
(Underdamped)
น
ค่าคงที่ และ หาได้จากเงื่อนไขเริ่ มต้และ
A1
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
A2
v (0)
dv ( 0 ) / dt
26
Step response of series RLC circuit
Example
คานวณหา และ สาหรับ
R
+
+
-
เมื่อ R  1
t 0
1H
i
24V
t 0
i (t )
v (t )
0.5F
v
1
-
กระแสเริ่ มต้นที่ไหลผ่านตัวเหนี่ยวนา
i(0) 
24
11
 12 A
ค่าแรงดันเริ่ มต้นที่ตกคร่ อมตัวเก็บประจุคือแรงดันที่ตกคร่ อมตัวต้านทาน
R  1
v ( 0 )  1i ( 0 )  12 V
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
27
Step response of series RLC circuit
 
R
2L
  0 .5   0  2

1
2 1
0 
 0 .5
1

LC
1
1  0 . 25
2
ดังนั้นผลตอบสนองธรรมชาติของวงจรอยูใ่ นกรณี Underdamped
รากสมการคือ
s 1, 2    

2
  0   0 . 5  j1 . 936
2
ดังนั้นคาตอบสมบูรณ์คือ
v ( t )  24  ( A1 cos 1 . 936 t  A 2 sin 1 . 936 t ) e
 0 .5 t
(1)
ค่าคงที่ และ หาได้จากเงื่อนไขเริ่ มต้น
A2
A1
v ( 0 )  12  24  A1
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)

A1   12
(2)
28
Step response of series RLC circuit
จาก
i ( 0 )  Cdv ( 0 ) / dt  12
dv ( 0 )
dt

12
C

12
0 .5
ทาการอนุพนั ธ์รูปแบบคาตอบสมบูรณ์เพื่อหาค่า
dv
e
dt
 0 .5 t
(3)
 48
A2
(  1 . 936 A1 sin 1 . 936 t  1 . 936 A 2 cos 1 . 936 t )
 0 .5 e
 0 .5 t
( A1 cos 1 . 936 t  A 2 sin 1 . 936 t )
(4)
ที่เวลาt  0
dv ( 0 )
dt
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
 48  (  0  1 . 936 A 2 )  0 . 5 ( A1  0 )
(5)
29
Step response of series RLC circuit
จาก (2) และ (5)
จะได้ค่า และ
A1
A2
v ( t )  24  (  12 cos 1 . 936 t  21 . 694 sin 1 . 936 t ) e
 0 .5 t
กระแสตัวเหนี่ยวนา
i ( t )  ( 3 . 1 sin 1 . 936 t  12 cos 1 . 936 t ) e
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
 0 .5 t
A
30
Step response of parallel RLC circuit
i
t 0
Is
KCL
แทน
v  L
C
v
dv
dt
 Is
ในสมการด้านบนและจัดรู ปใหม่
d
dt
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
iC
R
dt
L
-
v
di
R
+
2
i
2

1
di
RC dt

i
LC

Is
LC
31
Step response of parallel RLC circuit
คาตอบประกอบด้วยสองส่ วนคือผลตอบสนองธรรมชาติ
และผลตอบสนองด้วยแรงกระทา
i n (t )
i f (t )
i (t )  i n (t )  i f (t )
คาตอบสมบูรณ์คือ
i ( t )  I s  A1 e
s1 t
 A2 e
i ( t )  I s  ( A1  A 2 t ) e
s2t
 t
(Overdamped)
(Critically damped)
i ( t )  I s  ( A1 cos  d t  A 2 sin  d t ) e
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
 t
(Underdamped)
32
Step response of parallel RLC circuit
Example
คานวณหา และ สาหรับ
i (t )
t 0
i R (t )
t 0
20 
i
4A
20H
iR
20
+
8mF
v
-
+
-
30u(t )V
4A
สวิตซ์เปิ ดวงจรทาให้วงจรถูกแยกออกเป็ นสองวงจรย่
อย กร
ไหลผ่านตัวเหนี่ยวนาดังนั้น
t0
i(0)  4 A
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
33
Step response of parallel RLC circuit
30 u ( t )  30
เมื่อเวลา
t0
และเท่ากับ 0 เมื่อเวลา
v (0) 
t 0
20
20  20
t 0
ดังนั้น
( 30 )  15 V
สวิตซ์ปิดวงจร จะได้วงจรดังนี้
i
4A
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
20H
iR
10
+
8mF
v
-
34
Step response of parallel RLC circuit
รากสมการหาได้ดงั นี้
 
1
2 RC

1
2  10  8  10
3
s 1   11 . 978 ,
  0
LC
1

20  8  10
3
 2 .5
s 1   0 . 5218
ดังนั้นผลตอบสนองวงจรอยูใ่ นกรณี Overdamped
i ( t )  I s  A1 e
I s  4A
1
0 
 6 . 25
 11 . 978 t
คือค่าสุ ดท้ายของ i (t ) ค่าคงที่
i ( 0 )  4  4  A1  A 2
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)
A1
 A2 e
 0 . 5218 t
(1)
และ หาได้จากเงื่อนไขเริ่ มต้นที่เว
t 0
A2

A 2   A1
(2)
35
Step response of parallel RLC circuit
ทาการอนุพนั ธ์รูปแบบคาตอบสมบูรณ์เพื่อหาค่า A
di ( t )
dt
 4  A1 e
 11 . 978 t
 A2 e
di
 0 . 5218 t
dt
1
และ
A2
  11 . 978 A1 e
 11 . 978 t
ที่เวลาt  0
di ( 0 )
dt
 0 . 5218 A 2 e
 0 . 5218 t
(3)
  11 . 978 A1  0 . 5218 A 2
แต่
L
di ( 0 )
 v ( 0 )  15

di ( 0 )
dt
dt
จาก (2)
15

15
 0 . 75
L
20
e
 11 . 978 t
(4)
ถึง (4) จะได้ค่า และ
A1
A2
i ( t )  4  0 . 0655 ( e
A. Aurasopon
Electric Circuits (0307 201)

 0 . 5218 t
)A
36