d x

0 (

x

) 

f

(

x

) 

x



f x

0 (

x

0 ) differenciahányados:az x értékek változásához mekkora függvényérték változás tartozik

A sűrűségfüggvény

•

Az f(x) sűrűségfüggvény az eloszlásfüggvény derivált függvénye, f(x)≥0, végtelen határok közötti integrálja 1-el egyenlő. Annak a valószínűsége, hogy ξ a (c, d) tartományba esik:

c



d f

(

x

)

dx



F

(

d

) 

F

(

c

) ha F az f függvény primitív függvénye (azaz F deriváltja az eredeti függvény), a Newton-Leibnitz formula szerint

Normális eloszlás

•

Az eloszlások egyike a Gauss által meghatározott, geodéziában használt normális eloszlás.

• Tétel:

ha a valószínűségi változó értékét nagyszámú egymástól független véletlen tényező befolyásolja úgy, hogy a tényezők külön-külön csak igen kis mértékben érvényesülnek és a hatások összeadódnak, akkor a valószinűségi változó normális eloszlású.

•

A normális eloszlás sűrűségfüggvénye:

f

(

x

)   1 2  exp    (

x



a

) 2 2  2  

Ahol - „ a” a várható érték - „ σ” a szórás - „ exp” a természetes logaritmus e alapjának a szögletes zárójelben megadott kitevőjű hatványa

A haranggörbe

•

A normális eloszlás sűrűségfüggvényének a képe a haranggörbe vagy másnéven Gauss-görbe.

• helyzetét a várható érték határozza meg • alakját a szórás határozza meg • inflexiós pontja (ahol a görbe görbületet vált) a várható értékhez képest szimmetrikusan és attól σ távolságra helyezkedik el • kisebb szórású eloszlás haranggörbéje meredekebb, nagyobb szórásúé laposabb

•

A három szigma szabály

Annak a valószínűsége, hogy a ξ normális eloszlású valószínűségi változó értéke a várható érték körüli és a szórás egy-, két-, háromszorosának megfelelő szélességű intervallumba esik:

P

(  

P

(  2 

P

(  3        

a



a



a

     )  2  3    0 .

6827 ) )   0 .

9545 0 .

9973 .

Tehát 99.7% valószínűségű, hogy a normális eloszlású valószínűségi változó értéke a várható érték körüli +/-3σ tartományba esik.

A pontosság és megbízhatóság fogalma

• Jelöljük U-val a mérés tárgyát képező

mennyiség hibátlan értékét, L-el a mérési eredményt, ε-al a valódi hibát.

• Ekkor U=L-ε illetve ε=L-U azaz • Valódi hiba=hibás érték – hibátlan érték • A pontosság a valódi hiba abszolút értéke. • Ugyanazon mérési eredmények közül az a pontosabb, amelyik hibája abszolút értékre nézve kisebb. Mivel a valódi hiba ismeretlen, ezért a valódi pontosság is ismeretlen, minden esetben csak közelítőleg lehet meghatározni.

• Megbízhatóság: a mérési eredmények

egymáshoz való viszonyát fejezi ki, azt mutatja meg, hogy mi az az intervallum, amelyen belül a mérési eredmények szóródnak

A pontosság és megbízhatóság fogalma

1. A legvalószínűbb érték annál közelebb van a hibátlan értékhez, minnél pontosabb a mérés 2. Annál meredekebb a haranggörbe, minél megbízhatóbbak a mérések

Megbízhatósági mérőszámok

• A mérési hiba értékét mint a mérési eredmény (L) és

a mért mennyiség valódi értéke (U) különbségeként definiáljuk:

• ε=L-U

Mivel a mérési hiba valódi értékét nem ismerjük,ezért a mérési hibák jellemzésére megbízhatósági mérőszámokat vezettek be.

Megbízhatósági mérőszám: azt fejezi ki, hogy egy mérési sorozat esetén a mérési eredmények milyen feltételezhető értékkel térnek el a valódi értéktől. Azt a mérési sorozatot tekintjük megbízhatóbbnak, amelyben a mérési hibák kisebb, szűkebb határok között ingadoznak és amelyben a nagyobb hibák értéke kevesebb.

• •

Középhiba

A középhiba matematikai megfelelője a szórás, a mérési eredmények változékonyságának mértéke. Jele: m vagy μ

• dimenziója megegyezik a mérési eredmény dimenziójával • a középhibát +/- előjellel írjuk • a megbízhatóság reciprok mértéke (minnél nagyobb a középhiba, annál kevésbé megbízható a mérési eredmény) • Legyenek L 1 , L 1 2 , L , Δ 3 2 ......L

, Δ 3 n mérési eredmények, és ehhez n véletlen hibák.

Gauss-féle középhiba

- a véletlen hibák négyzetösszegének középértékéből vont négyzetgyök  2 

i n

  1  2

n

 

i n

  1  2

n

Laplace-féle átlagos hiba

- a véletlen hibák abszolút értékének a számtani közepe    1   2  ...

 

n n



i n

  1 

i n

A súly

• A súly egyenesen arányos a megbízhatósággal.

Jele: p, a latin pondus szóból származik

• Valamely mérési eredmény súlya alatt azt a mennyiséget értjük, amely fordítva arányos a szóban forgó mérési eredmény μ-el jelölt középhibájának négyzetével, azaz

p

  1 2

Eszerint a súly mindig pozitív mennyiség, dimenziója pedig a négyzetre emelt középhiba reciprok értékének a dimenziójával azonos.

A súlyokat csak mint viszonyszámokat alkalmazzuk, ezért azok értékét meg szoktuk szorozni valamilyen együtthatóval.

Ebben az esetben μ 0 a súlyegység középhibája, azaz az egység súlyú méréshez tartozó középhiba.

p

   0 2 2    0

p

 0   

p

Ha a súly az egységgel egyenlő:

p

   0 2 2  1  0 2   2 ;  0  

Közelítő súlyok felvétele a gyakorlatban gyakrabban előforduló mérésekhez

• Teodolittal való irányzás, iránymérés irányértékeit vagy egyenlő súlyúnak vesszük, vagy pedig az irányhosszak arányában súlyozzuk. Ez utóbbi esetben célszerű súlyegységnek az 1 km hosszú irányt választani.

• Hosszmérés középhibája a távolság négyzetgyökével egyenes arányban növekszik: 

t



t e

 

e p e

:

p t

1 :

p t

2 

t

1 : 1

t

1 1 :

t

2 Hosszmérésnél a súlyegység a mérendő távolságnak megfelelően 10, 100, vagy 1000. Ha ez utóbbi a súlyegység akkor az μ e érték a kilométeres középhiba.

Optikai távmérés esetén a mérőszalaggal való hosszméréshez hasonlóan járunk el.

Fizikai távmérésnél a mérőműszerek prospektusai megadnak a távmérés megbízhatóságára vonatkozóan egy távolságtól független, és egy attól függő középhiba értéket is (pl. 2mm+2ppm). Ennek jelentése, hogy minden távolság mérése 2mm-es megbízhatósággal jellemezhető, plusz ehhez még hozzájön kilométerenként 2 mm. Amennyiben a mért távolság kisebb vagy nagyobb, mint 1 km, úgy a 2mm távolságtól függő középhiba arányos része jellemzi a távmérést.

•

Közelítő súlyok felvétele a gyakorlatban gyakrabban előforduló mérésekhez

Szintezési vonalban a középhiba értékét a távolság négyzetgyökével egyenes arányban növekedőnek tekintjük: 

t



t e

 

e p e

:

p t

1 :

p t

2 

t

1 : 1

t

1 1 :

t

2 A súlyegységet 100 m; 1 km, esetleg 10 km egységben szokás felvenni.

Trigonometriai magasságmérésnél – ha a számított magasságkülönbségeket tekintjük mérési eredménynek, a meghatározott magasságkülönbség megbízhatósága: 

m



t

 

e p

1 :

p

2 :

p

3  1

t

2 2 1 :

t

3 2

Hibaterjedés

Geodézia II.

A hibaterjedés törvénye

• Hibaterjedés törvénye

: ha hibával terhelt mennyiségekből valamilyen ismert függvény vagy függvények segítségével újabb mennyiségeket határozunk meg, akkor azok is hibával terheltek. A hibaterjedés törvénye azt fejezi ki, hogy a meghatározó adatok megbízhatósági mérőszámainak ismeretében hogyan határozhatjuk meg a meghatározott mennyiségek megbízhatósági mérőszámait.

•

A geodéziai mérési eredmények valószínűségi változónak tekinthetőek (egymástól függetlenek és csak szabálytalan hibák terhelik), tehát a mérési eredmények függvényei is valószínűségi változók. A hibaterjedés törvénye lehetőséget ad, hogy a függvények megbízhatósági mérőszámait meghatározzuk.

Hibaterjedés adott számmal való szorzás esetén

• Tétel:

Egy állandó számmal való szorzás esetén a szorzat középhibáját úgy kapjuk, hogy a mért mennyiség középhibáját megszorozzuk a megadott állandó számmal .

• • •

A függvénykapcsolat: U=a*x Az x mennyiségre végzett mérések eredményei: x 1 , x 2 , ....x

n Helyettesítsük be a mérési eredményeket az eredeti függvénykapcsolatba:

U U

2 1  

a a

 

x

1

x

2

..........

......

U n



a



x n

• • •

Hibaterjedés adott számmal való szorzás esetén

Az egyes U értékek véletlen hibái: Δ U1 , Δ U2 ,... Δ Un A mérési eredmények véletlen hibái: Δ Ekkor: x1 , Δ x2 ,... Δ xn

U U

2 1   

U

1 

U

2  

a a

 (

x

1  (

x

2   

x

1 ) 

x

2 ) ..........

..........

..........

.......

U n

 

Un



a

 (

x n

 

xn

)

de a



x

1

a



x

2   

U

1 

U

2  

a



a



x

1

x

2  

a



a



x

1  

x

2 ..........

..........

..........

..........

.

a



x n

 

Un



a



x n



a

 

xn vagyis



U

1 

U

2  

a a

  

x

1 

x

2 ..........

........



Un



a

 

xn

Hibaterjedés adott számmal való szorzás esetén

•

Négyzetre emelve, majd összegezve:

 2

U

1  2

U

2 

a

2   2

x

1 

a

2   2

x

2 ..........

..........

 2

Un



a

2   2

xn összegezve

 

U



a

2  :  

x

Jobb és bal oldalt osztva n-el:

 

U n



a

2   

x n

De a Gauss-féle középhiba képlete miatt:

n

 

x

 

x

2

n



U

2 

U

   

U

2

a

2

a

  

x

2 

x

•

Hibaterjedés összeg és különbség esetén

Tétel: összeg vagy különbség középhibájának négyzete egyenlő az egyes tagok középhibájának négyzetösszegével.

• • • • •

Legyen a függvényünk: U=x+y A mérési eredmények: x 1 , y 1 , x 2 , y 2 , ... x n , y n Az egyes U értékek véletlenhibái: Δ U1 , Δ A mérési eredmények véletlen hibák: Δ x1 U2 ,... Δ , Δ Un y1 , Δ x2 , Δ Ekkor:

U

1 

x

1 

y

1

U

2 

x

2 

y

2

y2 , ... Δ xn , Δ yn

..........

........

U n



x n



y n és U

1  

U

1

U

2  

U

2   (

x

1  (

x

2 

x

1 )  

x

2 )  (

y

1  

y

1 )  (

y

2  

y

2 ) ..........

..........

..........

..........

.........

U n

 

Un

 (

x n

 

xn

)  (

y n

 

yn

)

de x

1 

x

2 

y

1  

U

1

y

2  

U

2  (

x

1   (

x

2 

y

1 )  ( 

x

1  

y

1 )

y

2 )  ( 

x

2  

y

2 ) ..........

..........

..........

..........

..........

........

x n



y n

 

Un

 (

x n



y n

)  ( 

xn

 

yn

)

tehát



U

1  

x

1  

y

1 

U

2  

x

2  

y

2 ..........

..........

..



Un

 

xn

 

yn

Hibaterjedés összeg és különbség esetén

•

Négyzetre emelve:

 2

U

1   2

x

1  2  

x

1  

y

1   2

y

1  2

U

2   2

x

2  2  

x

2  

y

2   2

y

2 ..........

..........

..........

..........

.

 2

Un

  2

xn

 2  

xn

 

yn

  2

yn összegezve

       

n U

2

U

 2  2

n x x

   2  2   

x



x n

   

y y

   

 

y

 

n y

Mivel Δ x és Δ y ugyanolyan valószínűséggel lehet pozitív vagy negatív, ezért ha n a végtelen felé tart:  2  

x n

 

y

  0

Hibaterjedés összeg és különbség esetén

•

Ekkor:

     

U

 2

x

 2

y n n n de

 

U



n



U

2 ;  

x



n



x

2 ;  

y



n



y

2

tehát



U

2  

x

2   2

y



U

  

x

2   2

y

Tetszőleges lineáris függvény középhibája: U=±ax±by ±cz ±... ±const



U

  (

a

 

x

) 2  (

b

 

y

) 2  (

c

 

z

) 2  ...

ha



x

 

y

 

z

 ...

  

U

   

a

2 

b

2 

c

2  ...

Lineáris függvény: az elsőfokú (képük mindig egyenes) és konstans függvényeket nevezzük lineáris függvényeknek.

Hibaterjedés általános esetben

• Nem lineáris függvények középhibája:

a legegyszerűbben valamilyen lineáris függvényre vezetjük vissza Taylor-sorba fejtéssel; csak a lineáris tagokat tartjuk meg, és ezekre alkalmazzuk a fent megismert törvényszerűségeket. A hibaterjedés tehát alkalmazható minden olyan függvényre, amely folytonos, differenciálható és Taylor-sorba fejthető. A csak lineáris tagok megtartása és az összes többi felsőrendű tag elhanyagolása megengedhető közelítést jelent.

•

Legyen U ismeretlen mennyiség a megmért x, y, z... mennyiségek tetszőleges f függvénye, ezek véletlen hibái Δ U , Δ x , Δ y , Δ z ..., középhibái μ U , μ x , μ y , μ z ...

U=f(x, y, z...)

Hibaterjedés általános esetben

Az x, y, z ... mennyiségek meghatározására általában végzünk, így az eredmények x 1 , y 1 , z 1 ...,x 2 , y 2 , z 2 ...,x n , y n , z n ..., ezek véletlen hibái Δ x1 , Δ y1 , Δ z1 ezeket behelyettesítjük az f ..., Δ eredményeket fogunk kapni.

x2 , Δ y2 , Δ függvénybe, z2 U ..., Δ xn , Δ n yn számú mérést , Δ zn ... .Ha értékére különböző

U U

2 1  

f

(

x

1 ,

y

1 ,

z

1 ,...)

f

(

x

2 ,

y

2 ,

z

2 ,...) ..........

..........

..........

..

U i



f

(

x i

,

y i

,

z i

,...) ..........

..........

..........

.

U n



f

(

x n

,

y n

,

z n

,...)

Ragadjuk ki az i-dik értéket:

U i



f

(

x i

,

y i

,

z i

,...)

ahol U i

 

Ui



U

,

x i

 

xi



x

,

y i

 

yi



y

,

z i

 

zi



z

,...

Hibaterjedés általános esetben

U i

 

Ui



Ui



f

 (

x i f

(

x i

 

xi

,

y i

 

xi

,

y i

 

yi

 

yi

,

z i

 ,

z i



zi

 

zi

,...) ,...) 

f

(

x i

,

y i

,

z i

,...)

Az f függvényt sorba fejtve és csak a lineáris tagokat tartva meg:



Ui



Ui

 

f

(

x i

,  

f x

 

y i xi

,

z i

,...)   

f



y

 

yi



f



x

 

xi

  

f



z

 

zi



f



y

  

yi

...

 

f



z

 

zi

 ...



f

(

x i

,

y i

,

z i

,...)

Emeljük négyzetre, és írjuk fel i=1-től n-ig:

 2

U

1  

f



x

2   2

x

1    

f



y

  2   2

y

1  

f



z

 2   2

z

1  ...

 2 

f x



f y

 

x

1  

y

1  ...

 2

U

2   

f x

2   2

x

2    

f



y

  2   2

y

2  

f



z

 2   2

z

2  ...

 2 

f x



f y

 

x

2  

y

2  ...

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

.........

 2

Ui

  

f x

2   2

xi

   

f



y

  2   2

yi

  

f z

 2   2

zi

 ...

 2 

f x



f y

 

xi

 

yi

 ...

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

.........

 2

Un

  

f x

2   2

xn

   

f



y

  2   2

yn

 

f



z

 2   2

zn

 ...

 2 

f x



f y

 

xn

 

yn

 ...

összegezve

 

f



x

 2   

x

   

f



y

  2   

y

 

f



z

 2   ...

 2 

f x



f y

  

x

 

y

  ...

Hibaterjedés általános esetben

•

A valódi hibák előjele éppen úgy lehet pozitív, mint negatív, ezért a kettős szorzatok előjele is részben pozitív, részben negatív, így azok összege ha a tagok száma a végtelen felé tart, zérus felé konvergál.

2  

U

 

f



x

osztva n-el:

  

x

   

f



y

  2   

y



n

 

f



x

2 

n



f



z

2   

z

 ...

   

f



y

  2   

y



n



f



z

2 

de

 

U



n



U

2 ;  

x



n



x

2 ;  

y



n



y

2 ;  

z



n



z

2 ;...



U

2  

f



x

2  

x

2    

f



y

  2   2

y

 

f



z

2  

z

2  ...

vagy n

 ...



U

  

f



x

2  

x

2    

f



y

  2   2

y

 

f



z

2  

z

2  ...

Hibaterjedés alapképlete

Hibaterjedés általános esetben

•

Határozzuk meg a függvényérték súlyát p U -t, ha ismerjük az egyes mennyiségek p x , p y , p z ,... súlyát.

p U



c

2 

U

2 ;

p x



c

2 

x

2 ;

p y



c

2 

y

2 ;

p z



c

2 

z

2 ;...

tehát



U

2 

c

2

p U

; 

x

2 

c

2

p x

;  2

y



c

2

p y

; 

z

2 

c

2

p z

;...

C tetszőleges, nem negatív szám Behelyettesítve a hibaterjedés képletébe:

c p U

2  1

p U

 

f



x



f



x

2 

c

2

p x

   

f



y

  2 

c

2

p y

 2  1

p x

   

f



y

  2  1

p y

 

f



z

 2 

c

2

p z

 ...



f



z

 2  1

p z

 ...

Hibaterjedés általános esetben

Következtetés :



U p U

  

n



n p

számtani középérték középhibája egység súlyú mérés esetén számtani középérték súlya egység súlyú mérés esetén

U



a



x akkor



U



a

 

x

1

p U



a

2

p x

mérési eredmény többszöröse függvény középhibája mérési eredmény többszöröse függvény súlya

U



ax



by



cz

 ...

akkor



U



a

2 

x

2 

b

2 

y

2 

c

2 

z

2  ...

1

p U



a

2

p x



b

2

p y



c

2

p z

 ...

összeg függvény középhibája összeg függvény súlya

Parciális deriválás

• Tétel

: Parciális deriváltnak nevezzük a többváltozós függvények olyan deriváltját, mikor a függvényt egy rögzített változójának függvényeként fogjuk fel, eszerint deriválunk, miközben a többi változót konstansnak tekintjük.

Elemi deriváltak:



f

 

c

'  '

f

   0    1 '    log '  

a

' 

n

  1 

x x



c n

 1  log

f e a

' ln   sin cos ' 

x x

'   '  

x

1 cos  sin

x x

'  1 cos 2

x



ctgx

 '   1 sin 2

x

(arcsin

x

)'  1 1 

x

2 (arccos

x

)'   1 1 

x

2 (

arctgx

)'  1  1

x

2 (

arcctgx

)'   1  1

x

2   ' 

e x

(

a x

)' 

a x

 ln

a

 1  sin

x

Parciális deriválás

•

Deriválási szabályok:

 Összeg és különbség deriváltja:

f



g

(

x

)  ' 

f

' (

x

) 

g

' (

x

) 

f

Szorzat deriváltja: (

x

) 

g

(

x

)  ' 

f

' (

x

) 

g

(

x

) 

f

(

x

) 

g

' (

x

) Hányados deriváltja:   

f g

( (

x

)

x

)    ' 

f

' (

x

) 

g

(

x

) 

f

(

x

) 

g

' (

x

)

g

2 (

x

) Összetett függvény deriváltja: 

f

(

g

(

x

))  ' 

f

' (

g

) 

g

' (

x

)

Példák

•

1. Egy AC hosszúságot két darabban tuduk csak megmérni, az AB és BC darabban, mikor AB+BC=AC. A kapott értékek:

• AB=112,00m±0,015m és BC=108,42 ±0.05m

• Mekkora AC középhibája?

• AC=112,00+108,42=220,42m 

AC

   2

AB

  2

AC

  ( 0 , 015 ) 2  ( 0 , 05 ) 2   0 , 052

m

Vagyis AC=220,42m ±0.052m

2. Egy álláspontról megmértünk két irányszöget l A -t és l B -t. Számítsuk ki a köztük lévő szöget, és annak középhibáját!

l A =34-48-52 ±20”; l B =122-35-21 ±10”; S=lB-lA=87-46-29

 

l S B

  1 ; 

S



l A

  1 

S

    

S



l A

  2  

A

2    

S



l B

  2  

B

2   22 "

Vagyis S=87-46-29 ±22”

Példák

• • •

3. Megmértük egy téglalap alakú földrészlet hosszát és szélességét. Mennyi a terület és annak a középhibája?

a=20.00m±5cm; b=80.00m ±20cm T=a*b=1600m 2



T



a



b

 80

m

; 

T



b



a

 20

m



T

  

T



a

2  

a

2  

T



b

2  

b

2  

b

2  

a

2 

a

2  

b

2   5 , 7

m

2

Vagyis: T=1600m 2 ±5,7m 2 Tanulság: Az egyik mérési eredmény mindig a másik középhibájával szerepel, tehát a kisebb méret mindig gondosabban mérendő, mint a nagyobb!

Példák

• • • •

4. Adott egy kör sugara, mekkora a kerületének és területének a középhibája?

r=12,000m±0.005m

K=2*Π*r=75.398m

T=r 2 *Π=452.39m

2



K



r



K



T



r

   2  



2  

r





2  

r

2 

T

 2    



2   

r



2  

r

2   0 .

0314

m

  0 .

377

m

2

Vagyis: K=75.398m ±0.0314m; T=452.39m

2 ±0.377m

2

• • •

Példák

5. Megmértük egy háromszög két szögét és egy oldalát, számítsuk ki a b oldalt és határozzuk meg a középhibáját!

α=32-43-15±2”; β=59-03-21 ±5”; a=312,24 ±1cm

b

b=?; μ b =?

α β a

b



b



a



b

  

b

  

a

    sin  1  sin sin   0  0  sin 

a

 0 sin sin    

a

 sin   sin

a

 2  cos sin  sin  sin     cos  

a

  sin sin   

a

 sin  sin cos   sin    cos sin 

b

  

ctg

  

b



ctg

 

b

  

b



a

2  

a

2  

b

  2   2     

b

    2   2    sin sin   2  ( 0 .

01 ) 2   

b



ctg

  2    2  "   2  

b



ctg

  2    5  "   2   1 .

896

cm

Vagyis: b=495.42 ±1.9cm

• •

6. Egy háromszögnek megmértük három oldalát, határozzuk meg az α szöget és annak középhibáját!

a=526.35m±1.5cm; b=843.12m ±1.5cm; c=1206.45m ±1.5cm

   

a

  arccos 

b

2 

c

2 2

bc



a

2   1   

b

2 1 2

bc

   

c

2 

a

2   2 21  45  57  2

a

2

bc de

cos  

b

2 

c

2 

a

2 2

bc ezért

  

a

  1 1  cos 2  

mivel

sin 2    

a

  cos 2   sin 1    1 2

a

2

bc mert

2

T



bc

sin  2

a

2

bc

 2

a

2

bc

sin  

a

2

T

Példák

α b c a

Példák

  

b

  sin 1     2

b

 2

bc

 (

b

2 

c

2 4

b

2 

a

2 )  ( 2

c c

2  2

b

 0 )      sin 1     4

b

2

c

 ( 2

b

2

c

4

b

2  2

c

3

c

2  2

a

2

c

)      sin 1     4

b

2

c

 2

b

2

c

 2

c

3 4

b

2

c

2  2

a

2

c

)     sin 1     2

b

2

c

 2

c

3 4

b

2

c

2  2

a

2

c

)      sin 1     2

c

 (

b

2 

c

2 2

c

 2

b

2

c



a

2 )     1 sin    

b

2 

c

2 

a

2 2

b

2

c

      

b

2 sin 

c

2  

a

2  2

b

2

c

     

a

 (

b

2

a

 sin  

c

2   2

b

2

a

2

c

)     

a bc

sin    

b

2 

c

2 

a

2 2

ab

    

a

2

T

 cos 

   

c

  sin  1  sin 1     2

c

 2

bc

   4

bc

2    

b

2 

c

2 

a

2  2

b

3  4

b

2

c

2 2

c

2

b

 2

a

2

b

   4

b

2

c

2    2

b

    sin  1 

Példák

   2

bc

2  2

b

3 4

b

2

c

2  2

a

2

b

     sin 1     2

b

 (

c

2 2

b



b

2   ( 2

bc

2 )

a

2 )     sin 1  

c

2 

b

2 2

bc

2 

a

2   

a bc

sin  

c

2 

b

2 2

ac



a

2  

a

2

T

 cos          

a

2  

a

2    

b

2  

b

2    

c

2  

c

2  ( 0 .

001395 ) 2  0 .

015 2  (  0 .

000735 ) 2  0 .

015 2  ( 0 .

001122 ) 2  0 .

015 2   0 .

000029028

de

    0 .

000029028   "   5 .

99 "

Vagyis: α=21-45-57±5.99”

A kiegyenlítő számítás alapfeladata

Geodézia II.

A kiegyenlítő számítás feladata és szükségessége

•

Valamely mennyiség meghatározására a matematikailag szükséges mennyiségeken kívül fölös méréseket is végzünk. A meghatározandó mennyiséget egyetlen értékkel kell jellemeznünk, függetlenül attól, hogy mely mérési eredmények felhasználásával határozzuk meg. Ez szükségessé teszi a mérési eredmények megváltoztatását, javítását.

• Tétel

: a kiegyenlítő számítás feladata, hogy a mérési eredményeket úgy javítsuk meg, hogy a megjavított mérési eredmények ellentmondás nélkül kielégítsék a köztük fennálló matematikai, geometriai feltételeket.

A kiegyenlítő számítás feladata és szükségessége

• A mérési eredmények javítását olyan módon kell végezni,

hogy a javítások lehetőség szerint kicsik legyenek. A javítások minimalizálandó függvényét a kiegyenlítés célfüggvényének nevezzük.

• Célfüggvények felvételére több elfogadható megoldás

alakult ki:

• ∑|v|»min (Boskovič 1770, Laplace 1799) • javítások abszolut értéke összege legyen minimális • ∑v 2 »min (Legendre 1805, Gauss 1794, 1809, Adrain 1808) • javítások négyzetösszege legyen minimális • ∑v 2n »min (Beckenbach 1916) • javítások párosszámú hatványösszege legyen minimális • |v max |»min (Gauss 1809, Csebisev 1853) • a maximális javítás abszolútértéke legyen minimális

A kiegyenlítő számítás feladata és szükségessége

• A geodéziai gyakorlatban a ∑v

2 »min célfüggvényt használjuk. A feladat megoldásához meg kell határoznunk a számtani középértéket, amely tulajdonképpen a javítások négyzetösszegét teszi minimummá. Ezt a módszert nevezik a legkisebb négyzetek módszerének Legendre nyomán; először Gauss haszálta 1794-ben csillagászati feladatok megoldásához.

Carl Friedrich Gauss 1777-1855 Adrien-Marie Legendre 1752-1833

A kiegyenlítő számítások csoportosítása

Geodézia II.

A kiegyenlítő számítások csoportosítása

• A legkisebb négyzetek módszere szerint két fő csoport: • Közvetett kiegyenlítés: nem mért ismeretleneket, paramétereket vezetünk be, amelyekkel egy-egy mérés javításait ki tudjuk fejezni, először a paramétereket határozzuk meg, majd a javításokat és végül a kiegyenlített értékeket • Közvetlen kiegyenlítés: közvetlenül a mérési eredmények javításait és azok kiegyenlített értékeit határozzuk meg

Kiegyenlítési csoportok

• I. kiegyenlítési csoport: egy ismeretlenre végzett

közvetlen mérések kiegyenlítése

• II. kiegyenlítési csoport: közvetett mérések

kiegyenlítése v. koordináta kiegyenlítés v. paraméteres kiegyenlítés

• III. kiegyenlítési csoport: közvetlen mérések

kiegyenlítése az ismeretlenek között fennálló feltételekkel

• IV. kiegyenlítési csoport: közvetett mérések

kiegyenlítése a paraméterek között fennálló kényszerfeltételekkel

• V. kiegyenlítési csoport: közvetlen mérések

kiegyenlítése feltételekkel és paraméterekkel

• VI. kiegyenlítési csoport: közvetlen mérések

kiegyenlítése feltételekkel és paraméterekkel, mikor a paraméterek között kényszerfeltételek is fennállnak

I. kiegyenlítési csoport

Geodézia II.

I. kiegyenlítési csoport

• •

Egyenlősúlyú mérések esetén: Egy mennyiség meghatározására magát a mennyiséget n-szer megmértük. A mérési eredmények L 1 , L 2 , ...L

n , ezek súlya p 1 =p 2 =...p

n =1. A kiegyenlítés lépései:

1 .

L

1 2 .

x

, 

L

2 ,...

 

n L n

3 4 5 .

.

.

v

1  

v

 

x

0 

a legvalószínűbb érték számítása

L

1 ,...

v n

a mérési eredmények összeállítása



ellenőrzés

x



L n

a javítások számítása a javítások négyzetösszege

6 .

 7 .

p x

 

n n

 1 8 .



x

 

n

egy mérési eredmény középhibája



a hibaterjedés szerint a legvalószínűbb érték súlya

n

   

n v

 1 

a hibaterjedés szerint a legvalószínűbb érték középhibája

I. kiegyenlítési csoport - Példa

•

Egy hossz meghatározására hat egyenlő megbízhatóságú mérést végeztünk. Mennyi a legvalószínűbb érték, mekkora ennek a középhibája és mennyi egy mérési eredmény középhibája?

1 2 3 4 5 6 L 430.40

430.42

430.23

430.30

430.37

430.32

x 430.34

v=x-L (m) -0.06

-0.08

0.11

0.04

-0.03

0.02

v 2 0.0036

0.0064

0.0121

0.0016

0.0009

0.0004

∑ 2582.04

0 0.025

A legvalószínűbb érték és középhibája: 430.34m±2.89cm

μ (m) μ x (m) 0.0707 0.0289

0.0707

0.0707

0.0707

0.0707

0.0707

Egy mérési eredmény középhibája: ± 7.07 cm

I. kiegyenlítési csoport

• •

Különböző súlyú mérések esetén: Egy mennyiség meghatározására magát a mennyiséget n-szer megmértük. A mérési eredmények L 1 , L 2 , ...L

n , ezek súlya p 1 , p 2 , ...p

n .

A kiegyenlítés lépései:

1 .

L

1 2 .

x

, 

L

2 ,...

L n

    ;

p

1 ,

p

2 ,...

p n

mérési eredmények és súlyok összeállítása a legvalószínűbb érték

3 .

v

1 4 .

5 .

    

x

  0

L

1 ....

v n



x



ellenőrzés

L n

a javítások számítása súllyal szorzott négyzetek összegének számítása

6 .

 0 7 .

p x

8 .



x

9 .



i

     

n

 0  1 

súlyegység középhibája (f=n-1) a hibaterjedés szerint a legvalószínűbb érték súlya

 0

a hibaterjedés szerint a legvalószínűbb érték középhibája

 0

p x

az egyes mérési eredmények középhibája

p i

I. kiegyenlítési csoport - Példa

•

Egy pont tengerszint feletti magasságának a meghatározására négy különböző súlyú mérést végeztek. Mennyi a legvalószínűbb érték és a középhibája, és mennyi az egyes mérési eredmények középhibája?

L p 1 2 3 4 ∑ 435.167

435.165

435.162

435.177

3 5 2 1 11 pL 1305.501

2175.825

870.324

435.177

4786.827

x 435.166

v= x-L -0.001

pv pvv μ 0 μ x μ -0.003

0.000003

0.0073

0.0022

0.0042

0.001

0.005

0.000005

0.004

0.008

0.000032

-0.011

-0.011

0.000121

-0.001

0.000161

A legvalószínűbb érték és középhibája: 435.166m±2.2mm

0.0032

0.0052

0.0073

A mérési eredmények középhibája: ± 4.2mm, ± 3.2mm, ± 5.2mm, ± 7.3mm

I. kiegyenlítési csoport

• •

Oda-vissza mérések esetén: Egy mennyiség meghatározására két egyenlő megbízhatóságú mérést végeztünk (pl. egy távolságot megmértünk oda-vissza irányban). A mérési eredmények: L 1 , L 2 .

A kiegyenlítés lépései:

d



L

2 

L

1

x



L

1 

d

2  

d

2 

x



d

2

az észlelési differencia a legvalószínűbb érték a mérési eredmény középhibája a legvalószínűbb érték középhibája

I. kiegyenlítési csoport - Példa

• •

Egy távolságot oda-vissza megmértünk. Az egyenlő megbízhatóságú mérési eredmények: L 1 =100.13m, L 2 =100.09m

d



L

2 

L

1   0 .

04

x



L

1 

d

2  

d

2   100 .

11

m

 0 .

028

m



x



d

2   0 .

020

m

Tehát a legvalószínűbb érték és középhibája: 100.11m±0.020m

A mérések megbízhatósága és a középhiba mint a megfigyelések számának függvénye

• •

A megbízhatóság annál nagyobb, minnél kisebb a középhiba, vagyis minnél kisebb az a határérték, amellyel az abszolút helyes értéket megközelítettük.

Legyen a valószínűleg helyes érték megbízhatósága H, az egyes mérések megbízhatósága h:

H

 1 

x h

 1 

mivel

a legvalószínűbb érték megbízhatósága egyes mérések megbízhatósága

1 

x



ezért H

 

x



n



n



h

 1 

n

A valószínűleg helyes érték megbízhatósága mindig nagyobb, mint az egyes mérések megbízhatósága a valószínűleg helyes érték középhibája a megfigyelések számának négyzetgyöke arányában csökken

A mérések megbízhatósága és a középhiba mint a megfigyelések számának függvénye

• 

x

A függvény:

 

n ha

  1

μ értékének változása csak függőleges irányban tolná el a függvényt

akkor



x

 1

n

1.

2.

3.

A középhiba az első öt ismétlésig gyorsan csökken 20-24 ismétlés után alig csökken A pontosság növelésére csak 5-10, legfeljebb 20-25 ismétlést célszerű végezni, ennél nagyobb ismétlésszámot csak tudományos vizsgálatok indokolnak

A mérések ismétlésének hatása – összefüggések a súly és a középhiba között

•

Tételezzünk fel ugyanannak a mennyiségnek a meghatározására két mérési sorozatot ugyanazzal a műszerrel, ugyanolyan körülmények között.



x

1   ; 

x

2  

n

1

n

2

Mivel n 1 és n 2 nem egyenlő, ezért μ x1 és μ x2 sem egyenlő, és x 1 súlyúak. A súly a megfigyelések számától függ.

és x 2 különböző



x

1    

x

1  

x

1 

p

1 

p

1 ; 

x

2  

p

1 ;   

x

2   

x

2 

p

2

p

2

tehát p

1

p

2   

x

2 2

x

1 2

általában p

1

p

2    1 2 2 2 

n n

2 1

p

2

a két egyenlet bal oldala egyenlő egymással

Példa

•

1. Egy mérésünk középhibája μ 1 =±10”, súlya p=1, mekkora lesz a súlya annak a három mérésnek, amelyeknek középhibája 8”, 7”, és 6”?

p

1

p

2    1 2 2 2 1

p

2  8 2 10 2 ;

p

2  1 .

6 1

p

2  7 2 10 2 ;

p

2  2 .

0 1

p

2  6 2 10 2 ;

p

2  2 .

8

2. Egy szögmérésnél a súlyegység középhibája μ μ=±11.2”, hogy a súlya szintén 1 legyen?

0 =±4.5”. Hányszor kell megmérnünk ugyanazt a szöget egy olyan műszerrel, melynél az egyszeri mérés középhibája

p

1

p

2    1 2 2 2 ; 1

p

2  11 .

2 2 4 .

5 2 ;

p

2  0 .

16

p

1

p

2 

n n

2 1 ; 0 .

16 1  1

n

2 ;

n

2  6 .

25  7

egy mérés súlya

•

Példa

3. Egy háromszög belső szögeit három különböző műszerrel mértük. Az α szöget egy olyan műszerrel, melynek középhibája ±2”, a β szöget olyannal, melynek középhibája ±3”, a γ szöget olyannal, melynek középhibája ±5”. Hányszor kell az egyes szögeket megmérnünk az egyes műszerekkel, ha azt akarjuk, hogy mindhárom szögnek a súlya 1 legyen, ha a súlyegység középhibája μ 0 =1?

n

1 

n

0 

p

1 2

p

0 2     1 2 0 2

tehát n

1   1 2

p 0 =1, μ 0 =1”, n 0 =1

azaz n



n

   2    2   4  9

n

    2  25

Ha tehát az α szöget 4-szer, a β szöget 9-szer, a γ szöget 25-ször mérem meg, akkor a középhibák 1”-el lesznek egyenlőek, a súlyok pedig 1-el. Az eredmény olyan, mintha ugyanazzal a műszerrel végeztem volna a mérést, mégpedig egy olyannal, melynek középhibája 1”.

Példa

•

4. Egy háromszögben az α szöget háromszor, a β szöget négyszer mértük. A súlyok az ismétlés számmal arányosak, mekkora lesz a γ szög súlya, és mekkora az egyes szögek középhibája, ha a súlyegység középhibája 10”?

1

p

  1

p

  1

p

  1 3  1 4  7 12

p

  12 7  1 .

714

és



i

  0

p i azaz

   10 " 3   5 .

77 "    10 " 4   5 .

00 "    10 " 1 .

714   7 .

64 "

Kötelező és ajánlott irodalom

•

Ajánlott irodalom:

• Oltay Károly, 1962: Geodézia, Tankönyvkiadó-Budapest, 32-56 old.

• Sébor János, 1953: Geodézia I., Mezőgazdasági Kiadó, 7-28 old.

• Geodéziai Kézikönyv, 1956: I. kötet, Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, szerk.: Hazay István, 145-165 old.

• Geodéziai számítások, 1959, Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, szerk.: Dr. Vincze Vilmos, 379-384 old.