Identificação de Sistemas - DCA
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Transcript Identificação de Sistemas - DCA
CONTROLE
AVANÇADO
Prof. André Laurindo Maitelli
DCA-UFRN
IDENTIFICAÇÃO DE
SISTEMAS
DINÂMICOS
Introdução
• “É a determinação de um modelo matemático que
represente os aspectos essenciais do sistema,
caracterizado pela manipulação dos sinais de
entrada e saída que estão relacionados através de
uma função de transferência contínua ou discreta”
• “É a determinação, com base em entradas e saídas,
de um sistema em uma classe de sistemas
especificados, ao qual o sistema em teste é
equivalente”.
• Para processos industriais, o modelo pode ser
obtido a partir do tratamento das medidas
coletadas através de uma realização experimental
Introdução
incertezas
entrada
Processo
saída
Técnicas de
Identificação
Modelo matemático
do processo
Etapas
• Planejamento Experimental
– o sinal de entrada deve excitar todos os modos do sistema
– um bom método de identificação deve ser insensível às
características do sinal de entrada
• Seleção da Estrutura do Modelo
– pode ser feita a modelagem usando leis físicas
– a modelagem pode ser do tipo caixa preta, quando não se
tem nenhum conhecimento sobre o processo
– pode ser caixa cinza, quando se tem algum conhecimento
• Estimação de Parâmetros
– baseada em: dados de entrada e saída do processo, uma
classe de modelos e um critério
• Validação
– verificação da adequação do modelo escolhido
Laço de Identificação
conhecimento
a priori
Planejamento
Experimental
Dados
Conjunto de
modelos
Critério
Avaliação do modelo
Não OK
Validação
usar
OK
revisar
* O modelo pode ser
deficiente devido a:
- falha
do
procedimento
numérico
- critério mal escolhido
- conjunto
de
modelos
inapropriado
- dados não informativos
Procedimentos
• Diferentes procedimentos para a geração do
sinal de entrada, medição da saída e
armazenamento dos dados:
–
–
–
–
Teste de resposta ao degrau
Teste de resposta em freqüência
Off-line
On-line
Procedimentos
• Identificação de um processo pelo teste de
resposta ao degrau:
entrada
Processo
saída Armazenamento
de dados
• O teste só tem validade para processos lineares ou
não-lineares linearizados em pontos de operação
• Não permite a identificação de modelos de ordem
superior, pois o degrau tem pobre composição em
freqüência
Procedimentos
• Identificação de um processo pelo teste de
resposta em freqüência:
Analisador
de Espectro
módulo
entrada
Processo
saída
fase
• Aplica-se um sinal senoidal de freqüência variável
na entrada do processo
• Analisa-se as curvas de resposta em freqüência,
identificando-se pólos e zeros
Procedimentos
• Identificação off-line:
– Excita-se o processo e armazenam-se as
medidas de entrada e saída para aplicação e
avaliação a posteriori dos algoritmos não
recursivos
– É necessário o conhecimento da estrutura do
modelo, envolvendo ordem e atraso de
transporte
Procedimentos
• Identificação on-line:
– Excita-se o processo e trata-se em tempo real as
medidas de entrada e saída obtidas
– A aplicação em tempo real dos algoritmos de
identificação é interessante para o rastreamento
dos parâmetros variantes no tempo
– Supera uma desvantagem da aplicação off-line
que é a necessidade de armazenamento de uma
grande quantidade de dados.
Estimação de Parâmetros
u(k)
y(k 1) f (, y(k), u(k))
y(k)
ESTIMADOR
ˆ
Serão considerados modelos ARMAX:
y(k) a 1 y(k 1) a 2 y(k 2) ... a n y(k n) b1u(k 1) b 2 u(k 2) ... b m u(k m) e(k)
Método dos Mínimos Quadrados
Supondo que foram feitas N medidas de entrada e saída:
u(0), u(1),....,u(N)
a1
a
2
a n
b1
b
2
b
m
y(0), y(1),....,y(N)
Definindo:
y(1)
e(1)
y ( 2)
e ( 2)
e
Y
y
(
N
)
e
(
N
)
Tem-se:
y(1 n )
y(0)
y(1)
y( 2 n )
X
y( N 1) y( N n )
Y X e
u (0) u (1 m)
u (1)
u (2 m)
u ( N 1 u ( N m)
Exemplo
y(k) ay(k 1) bu (k 1) e(k)
u (0)
y(1) y(0)
e(1)
y(2) y(1)
a e(2)
u
(
1
)
b
y
(
N
)
y
(
N
1
)
u
(
N
1
)
e
(
N
)
Y X e
Método dos Mínimos Quadrados
• Problema a ser resolvido:
– Dados Y e X, obter θ
• Solução: utilizar método dos mínimos quadrados.
Escolher θ que minimize a função erro J:
N
J e 2 (k ) e T e
k 1
J Y X Y X
T
Mínimo quando:
J
0
ˆ
Y T Y Y T X T X T Y T X T X 0
ˆ X T X
1
XT Y
2X T Y 2X T Xˆ 0
Método dos Mínimos Quadrados
ˆ X X
T
1
T
X Y
Min Σ
yr
yp
x
• Observações:
– A solução existe se (XTX)-1, a chamada pseudoinversa, for não-singular
– A seqüência escolhida de entradas {u(k)} deve
garantir a existência da não-singularidade
– Se não houver a presença de incertezas (ruídos)
podemos achar ˆ em N=n+m passos
– A matriz X cresce a medida que N cresce
Exemplo
y(k) 0.8y(k 1) u(k 1)
Suponha y(0)=0 e que foi aplicada a seguinte entrada:
u(0)=1 e u(1)=-1
Logo: y(1)= -0.8y(0)+u(0)= 1
y(2)= -0.8y(1)+u(1)= -1.8
1
Y
1
.
8
X X
T
1
1
0
X
1 1
1 1 1
0 1 0
XT X
1 1 1 1 1 2
2 1
1
1
ˆ a 2 1 0 1 1 0.8
b 1 1 1 1 1.8 1.0
Propriedades Estatísticas do
Estimador
• Assumindo que e(k) é uma variável
aleatória independente, gaussiana com
média zero e variância σ2, ou seja,
Ee(i)e( j) 2 ij
Ee(k) 0
1) Média
ˆ X T X
1
X X X X X e
Eˆ E EX X X E{e}
X T X e X T X
ˆ X T X
1
1
T
1
T
T
T
X e
Mas E{e} 0
Logo:
E ˆ
1
T
T
Propriedades Estatísticas do
Estimador
2) Covariância
E ˆ ˆ
T
T
1
1
T
T
T
T
E X X X e X X X e
X X
T
Assim,
1
T
T
T
X E ee X X X
X X
T
1
1
2 I
Os elementos da diagonal de Ψ representam as variâncias
de cada parâmetro que compõe o vetor de parâmetros θ
Propriedades Estatísticas do
Estimador
Para N observações:
N
2
X X
N
T
XTX
lim lim
N
N N N
2
Calculando:
Se o estimador for consistente:
1
XTX
lim
N N
em que Γ é uma matriz constante não-singular
Então,
lim 0
N
1
1
Propriedades Estatísticas do
Estimador
Conclusão:
Se Eˆ e
Então
lim 0
N
ˆ quando N
O estimador é consistente
Método dos Mínimos
Quadrados Recursivo
• Ideal para aplicações on-line em sistemas
com parâmetros constantes e desconhecidos
y(1) y(0)
y(2) y(1)
y
(
N
)
y( N 1)
y(N 1) y(N)
y(1 n )
u (0)
y( 2 n )
u (1)
y( N n )
u ( N 1)
y(N 1 n )
u (N)
Generalizando, temos:
Y( N) X( N)
E( N)
T
y( N 1) x ( N 1)
e( N 1)
u (1 m)
e(1)
e(2)
u (2 m)
u ( N m)
e
(
N
)
u (N 1 m )
e
(N
1)
Método dos Mínimos
Quadrados Recursivo
Considerando:
Z(I) ZI
Já sabemos que:
ˆ N X TN X N
Logo, com (N+1) amostras:
ˆ N 1 X TN 1 X N 1
ˆ N 1
1
X TN YN PN X TN YN
ˆ N 1 X TN 1 X N 1
1
X TN 1 YN 1
YN
1
X TN 1
y N 1
T
X N x N 1
XN
x TN 1
1
X
T
N
x N 1
ˆ N 1 X TN X N x N 1 x TN 1
X
1
YN
y N 1
T
N
YN x N 1 y N 1
Método dos Mínimos
Quadrados Recursivo
Lema de Inversão de Matrizes:
Sejam Anxn
bnx1, cnx1
A, (A+bcT) matrizes não-singulares
Então:
A bc
T 1
1
1
A 1 c A b
T
1
A 1bcA 1
Método dos Mínimos
Quadrados Recursivo
PN 1 X X N x N 1 x
Definindo:
T
N
1
T
N 1
E usando o lema de inversão de matrizes, com:
A XTN X N , b x N1 , c T x TN1
Temos que:
PN 1 X X N
T
N
1
1 x
T
N 1
X
PN 1 I 1 x
T
N
T
N 1
XN
1
X X
1
x N1
PN x N 1
1
T
N
1
N
x N 1 x
PN x N 1 x TN 1 PN
T
N 1
X
T
N
XN
1
Método dos Mínimos
Quadrados Recursivo
ˆ N1 PN1 XTN YN x N1 y N1
Assim:
ˆ N 1 I 1 x TN 1 PN x N 1
1
1 x
1
ˆ N 1 ˆ N 1 x TN 1 PN x N 1
1
T
N 1
PN x N 1 x TN 1 PN X TN YN x N 1 y N 1
ˆ N 1 PN X TN YN PN x N 1 y N 1 1 x TN 1 PN x N 1
ˆ N 1 ˆ N 1 x TN 1 PN x N 1
1
PN x N 1 x TN 1 PN X TN YN x N 1 y N 1
PN x N 1 PN x N 1 y N 1 PN x N 1 x TN 1 PN X TN YN PN x N 1 x TN 1 PN x N 1 y N 1
PN x N 1 1 x TN 1 PN x N 1 y N 1 x TN 1 PN X TN YN x TN 1 PN x N 1 y N 1
Finalmente, temos que:
ˆ N 1 ˆ N 1 x TN 1 PN x N 1
1
PN x N 1 y N 1 x TN 1 ˆ N
Método dos Mínimos
Quadrados Recursivo
Assim:
1
K 1 x T P x
PN x N 1
N
N 1 N N 1
T ˆ
ˆ
ˆ
K
y
x
N 1
N
N
N 1
N 1 N
T
P
I
K
x
N N 1 PN
N 1
Em que:
x TN1 y(N) y(N n 1) u(N) u(N m 1)
É chamado de regressor e contém as informações de
entrada e saída
Seleção de P0 e ˆ 0
1) Calculando os primeiros k pontos:
ˆ k X Tk X k
1
T
k
X Yk
Pk X X k
T
k
1
2) ˆ 0 arbitrário
P0 I
Na k-ésima iteração os valores de ˆ k e Pk se aproximam
daqueles calculados em 1) se α→infinito
Seleção de P0 e ˆ 0
1
k 1
Pk P
xkx
1
k 2
Pk P
T 1
k
x k 1 x
Pk1 Pk12 x k1x Tk1
T
k 1
xkx
T 1
k
Pk
P
1
0
x 1 x .... x k 1 x
T
1
T
k 1
Pk Po1 X Tk X k
xkx
1
T 1
k
1
Seleção de P0 e ˆ 0
ˆ k Pk x Tk Yk
ˆ k Pk X Tk 1
ˆ k Pk X Tk 1Yk 1 x k y k
ˆ k Pk X Tk 2
x k 1
Yk 2
x y
k k
y k 1
ˆ k Pk X T0 Y0 x1 y1 .... x k y k
ˆ k Pk P01ˆ 0 XTk Yk
Yk 1
x k
y k
Seleção de P0 e ˆ 0
Conclusão:
Para P0 I (α grande) e ˆ 0 arbitrário:
P01 0
ˆ k Pk X Tk Yk
Pk X Tk X k
1
Isto significa que, nestas condições, o método recursivo
aproxima-se do exato.
Excitação Persistente
• O sinal de controle deve ser escolhido de
forma a excitar todos os modos do sistema;
• Para tanto deve ser rico em freqüências
• Um sinal muito utilizado na prática é o
PRBS (Pseudo Random Binary Signal), por
possuir estas características
+1
-1
Método dos Mínimos
Quadrados Recursivo com Fator de
Esquecimento
• Utilizado para sistemas variantes no tempo;
• A idéia é dar um maior “peso” aos dados
mais atuais;
• Deve-se ter um cuidado na escolha do fator
de esquecimento;
• Alternativamente, pode-se utilizar outros
métodos como o “reset” da matriz de
covariância.
Método dos Mínimos
Quadrados Recursivo com Fator de
Esquecimento
Definindo:
N
J N N k e 2 (k) N 1e 2 (1) N 2 e 2 (2) .... e 2 ( N 1) e 2 ( N)
k 1
N
N 1
e(1)
N2
e(2) e( N)
T
J N E TN E N
ˆ N X TN X N
1
X TN YN
Método dos Mínimos
Quadrados Recursivo com Fator de
Esquecimento
N 1
J N 1 N 1k e 2 (k )
k 1
N 1
Assim,
N 1
N2
e(1)
E N 1
E N
e( N 1)
e(2)
e( N) e( N 1)
T
Método dos Mínimos
Quadrados Recursivo com Fator de
Esquecimento
YN X N
E N
y
xT
e
N
1
N
1
N
1
ˆ N 1 X TN 1 X N 1
ˆ N 1
X TN
1
X TN 1 YN 1
x N 1
X N
x T
N 1
ˆ N 1 X TN X N x N 1 x TN 1
X
1
T
N
1
X TN
x N 1
YN x N 1 y N 1
YN
y
N
1
Método dos Mínimos
Quadrados Recursivo com Fator de
Esquecimento
PN 1 X X N x N 1 x
Definindo:
T
N
1
T
N 1
E usando procedimento semelhante ao caso sem esquecimento,
obtém-se:
1
T
K N x N 1 PN x N 1 PN x N 1
ˆ
T ˆ
ˆ
K
y
x
N 1
N
N
N 1
N 1 N
1
PN 1 I K N x TN 1 PN
Usualmente λ entre 0.995 e 1
0 1
Seleção da Estrutura do Modelo
• A seleção da estrutura de um modelo, no
caso de sistemas monovariáveis limita-se à
determinação da ordem do modelo e a
determinação do atraso de transporte;
• A partir desta afirmação surge um
compromisso entre a capacidade de
representação da dinâmica essencial do
sistema e um número adequado de
parâmetros que possibilite menor esforço
para o processamento dos algoritmos de
identificação e controle;
Seleção da Estrutura do Modelo
• Definindo:
1 N
J N y(k 1) x Tk 1ˆ k
N k 1
2
• Podemos utilizar o critério de Akaike para
determinar a melhor estrutura:
AIC N lnJ N 2p
• em que N é o numero de medidas realizadas
durante o experimento e p é o número de
parâmetros utilizados no modelo estimado;
Seleção da Estrutura do Modelo
• O critério é utilizado da seguinte maneira:
– inicia-se com a utilização de um modelo de
baixa ordem, n=m=1, por exemplo;
– aumenta-se a ordem do modelo estimado e o
critério é avaliado para cada incremento na
ordem, utilizando um determinado conjunto de
medidas;
– A escolha da estrutura adequada é baseada na
menor taxa de variação do critério.